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专题 01 实数核心知识点精讲
1．理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小．
2．借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值（绝对值符号内不含字母）．
3．理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步为主）．
4．理解有理数的运算律，并能运用运算律简化运算.
5．能运用有理数的运算解决简单的问题．
6．了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应．能求实数的相反数与绝对值．
7．能用有理数估计一个无理数的大致范围．
考点1：实数的分类
考点2：实数的相关概念
1．数轴：规定了原点、单位长度和正方向的直线叫做数轴.数轴上所有的点与全体实数一一对应.
2．相反数：只有符号不同，而绝对值相同的两个数称为互为相反数，若a、b互为相反数，则a+b=0.
3．倒数：1除以一个不等于零的实数所得的商，叫做这个数的倒数.若a、b互为倒数，则ab=1.
4．绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离，记作 |a|.
5．科学记数法：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．当原数绝对值大于
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10时，写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数的整数位数减1；当原数绝对值小于1时，写成
a×10−n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数左边第一个非零的数字前的所有零的个数（包括小数点前面
的零）.
6．近似数：近似数与准确数的接近程度通常用精确度来表示，近似数一般由四舍五入取得，四舍五入
到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.
7．平方根：（1）算术平方根的概念：若x2＝a(x＞0)，则正数x叫做a的算术平方根.
（2）平方根的概念：若x2＝a，则x叫做a的平方根.
（3）表示：a的平方根表示为 ，a的算术平方根表示为 .
（4）
8．立方根：（1）定义：若x3＝a，则x叫做a的立方根.
（2）表示：a的立方根表示为 .
（3） .
考点3：实数的大小比较
（1）数轴比较法：数轴上两个点表示的数，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大；
（2）类别比较法：正数＞0＞负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小；
（3）差值比较法：
a-b＞0 a＞b;a-b=0 a=b;a-b＜0 a＜b
（4）平方⇔比较法： ⇔ ⇔
a2
a＞√b⇒ ＞b(b＞0）
考点4：实数的运算
1.数的乘方：求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂.在an中，a叫底数，n叫指数.
2．实数的运算：
（1）有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法结合律 、加法交换律 、乘法
交换律 、乘法结合律、 乘法分配律.
（2）运算顺序：先算乘方（开方），再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的.
3．零次幂;a≠0，则a0=1
4.负整数指数幂：若a≠0，n为正整数， 则 .
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5.-1的奇偶次幂： ；
【题型1：实数的有概念】
【典例1】（2023•攀枝花）﹣3的绝对值是（ ）
A．3 B． C． D．﹣3
1．（2023•南充）如果向东走10m记作+10m，那么向西走8m记作（ ）
A．﹣10m B．+10m C．﹣8m D．+8m
2．（2023•青岛） 的相反数是（ ）
A．﹣ B． C．﹣7 D．7
3．（2023•娄底）2023的倒数是（ ）
A．2023 B．﹣2023 C． D．
4．（2023•吉林）月球表面的白天平均温度零上 126℃记作+126℃，夜间平均温度零下 150℃应记作
（ ）
A．+150℃ B．﹣150℃ C．+276℃ D．﹣276℃
【题型2：实数的分类】
【典例2】（2023•荆州）在实数﹣1， ， ，3.14中，无理数是（ ）
A．﹣1 B． C． D．3.14
1．（2023•怀化）下列四个实数中，最小的数是（ ）
A．﹣5 B．0 C． D．
2．（2023•浙江）下面四个数中，比1小的正无理数是（ ）
A． B．﹣ C． D．
3．（2023•凉山州）下列各数中，为有理数的是（ ）
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A． B．3.232232223…
C． D．
【题型3：数轴】
【典例3】（2023•南通）如图，数轴上A，B，C，D，E五个点分别表示数1，2，3，4，5，则表示数
的点应在（ ）
A．线段AB上 B．线段BC上 C．线段CD上 D．线段DE上
1．（2023•通辽）二次根式 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023•自贡）如图，数轴上点A表示的数是2023，OA＝OB，则点B表示的数是（ ）
A．2023 B．﹣2023 C． D．﹣
3．（2023•济南）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．ab＞0 B．a+b＞0 C．a+3＜b+3 D．﹣3a＜﹣3b
【题型4：科学记数法】
【典例4】（2023•淮安）健康成年人的心脏每分钟流过的血液约 4900mL．数据4900用科学记数法表示为
（ ）
A．0.49×104 B．4.9×104 C．4.9×103 D．49×102
1．（2023•北京）截至2023年6月11日17时，全国冬小麦收获2.39亿亩，进度过七成半，将239000000
用科学记数法表示应为（ ）
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A．23.9×107 B．2.39×108 C．2.39×109 D．0.239×109
2．（2023•绍兴）据报道，2023年“五一”假期全国国内旅游出游合计 274000000人次．数字274000000
用科学记数法表示是（ ）
A．27.4×107 B．2.74×108 C．0.274×109 D．2.74×109
【题型5：实数的大小比较】
【典例5】（2023•扬州）已知a＝ ，b＝2，c＝ ，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．b＞a＞c B．a＞c＞b C．a＞b＞c D．b＞c＞a
1．（2023•潍坊）在实数1，﹣1，0， 中，最大的数是（ ）
A．1 B．﹣1 C．0 D．
2．（2023•青海）写出一个比﹣ 大且比 小的整数 ﹣ 1 （或 0 或 1 ） ．
3．（2023•甘孜州）比较大小： ＞ 2．（填“＜”或“＞”）
【题型6：平方根、算术平方根和立方根】
【典例6】（2023•浙江）﹣8的立方根是（ ）
A．﹣2 B．2 C．±2 D．不存在
1．（2023•无锡）实数9的算术平方根是（ ）
A．3 B．±3 C． D．﹣9
2．（2023•郴州）计算 ＝ 3 ．
3．（2023•邵阳） 的立方根是 2 ．
【题型7：实数的运算】
【典例7】（2023•上海）计算： + ﹣（ ）﹣2+| ﹣3|．
1．（2023•广西）计算：（﹣1）×（﹣4）+22÷（7﹣5）．
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2．（2023•北京）计算：4sin60°+（ ）﹣1+|﹣2|﹣ ．
3．（2023•娄底）计算：（π﹣2023）0+|1﹣ |+ ﹣tan60°．
1．某校仪仗队队员的平均身高为175cm，如果高于平均身高2cm记作+2cm，那么低于平均身高2cm应该
记作（ ）
A．2cm B．﹣2cm C．175cm D．﹣175cm
2．﹣3的相反数是（ ）
A．﹣ B．3 C．﹣3 D．
3．第19届亚运会将于2023年9月23日在杭州举行，其主体育场及田径项目比赛场地——杭州奥体中心
体育场，俗称“大莲花”，总建筑面积约216000平方米，将数216000用科学记数法表示为（ ）
A．216×103 B．21.6×104 C．2.16×105 D．0.216×106
4．若|a|＝﹣a，a一定是（ ）
A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数
5．若a和b互为相反数，则a+b+3的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．将﹣3﹣（+6）﹣（﹣5）+（﹣2）写成省略括号的和的形式是（ ）
A．﹣3+6﹣5﹣2 B．﹣3﹣6+5﹣2 C．﹣3﹣6﹣5﹣2 D．﹣3﹣6+5+2
7．4的算术平方根是（ ）
A．±2 B．﹣2 C．2 D．
8．如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（ ）
A．0.5 B．﹣0.5 C．﹣1.5 D．﹣2.5
9．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中错误的是（ ）
A．a＜﹣2 B．b＜1 C．a＞b D．﹣a＞b
10．在数﹣1、0、 、 中，为无理数的是（ ）
A．﹣1 B．0 C． D．
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11．在﹣2，3， ，0，﹣1.7五个数中，正数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．64的平方根是（ ）
A．±4 B．4 C．±8 D．8
13．比较大小：3 ＞ （填写“＜”或“＞”）．
14．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则﹣a ＞ b．（填“＞”，“＝”，“＜”）
15．代数式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x ≥ 5 ．
16． 的平方根是 ± 2 ．
17．计算（3﹣π）0＝ 1 ．
18．计算：（﹣1）10×2+（﹣2）3÷4．
19．计算： ．
20．计算： ．
1．下列各数中，是负数的是（ ）
A．|﹣1| B．﹣22 C． D．（﹣3）0
2．若ab≠0，那么 + 的取值不可能是（ ）
A．﹣2 B．0 C．1 D．2
3．如图，检测4个篮球，其中质量超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数，从轻重的角度看，最
接近标准的球是（ ）
A． B． C． D．
4．实数a与b在数轴上对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）
A．a＜0 B．a＜b C．b+5＞0 D．|a|＞|b|
5．如图，数轴上被墨水遮盖的数的绝对值可能是（ ）
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A． B． C． D．
6．大多数红绿灯都是固定时间设置，某市正在逐步推行智能感应红绿灯，这种红绿灯可以自动搜集车流
量信息，根据通行车辆的多少自动调节红绿灯的时长，若某十字路口某时间段自动搜集的车流量中，东
西走向直行与左转车辆分别约占总流量的 ， ；南北走向直行与左转车辆分别约占总流量的 ， ．
因右转车辆不受红绿灯限制，所以在设置红绿灯时，按东西走向直行、左转，南北走向直行、左转的次
序依次亮起绿灯作为一个周期时间（当某方向绿灯亮起时，其他3个方向全为红灯），若一个周期时间
为2分钟，则此时南北走向左转绿灯时长为（ ）
A．32秒 B．24秒 C．18秒 D．16秒
7．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，如图，这个三角形给出
了的展开式的系数规律（按n的次数由大到小的顺序）：
请依据上述规律判断：若今天是星期三，则经过1510天后是（ ）
A．星期四 B．星期五 C．星期六 D．星期天
8．在算式 中的“□”里填入一个运算符号，使得它的结果最小（ ）
A．+ B．﹣ C．× D．÷
9．如图，已知矩形ABCD的边长分别为6，4，进行如下操作：第一次，顺次连接矩形ABCD各边的中点，
得到四边形A B C D ；第二次，顺次连接四边形A B C D 各边的中点，得到四边形A B C D ；…如此
1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2
反复操作下去，则第n次操作后，得到四边形A B D 的面积是（ ）
n n n n
∁
A． B． C． D．
10．若 ，b＝（﹣1）﹣1， ，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a
11．估计 的值在（ ）
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A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
12．若a＝﹣3， ，则a，b的大小关系为（ ）
A．a＞b B．a＝b C．a＜b D．无法判断
13．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列关系式不成立的是（ ）
A．a+2＜b+2 B．a＜1 C．a+b＞0 D．﹣2a＜﹣2b
14．实数m、n在数轴上的位置如图所示，化简|n﹣m|﹣m的结果为（ ）
A．n﹣2m B．﹣n﹣2m C．n D．﹣n
15．若a是不为1的有理数，则我们把 称为a的差倒数．如2的差倒数为 ，﹣1的差倒数为
．已知：a ＝3，a 是a 差倒数，a 是a 的差倒数，a 是a 的差倒数，…，依次类推，
1 2 1 3 2 4 3
a 的值是（ ）
2023
A．3 B． C． D．
16．如图将一张纸片剪成4个正三角形，称为第一次操作；然后将其中一个正三角形再剪成4个小正三角
形，共得到7个正三角形，称为第二次操作；将其中一个正三角形再剪成 4个正三角形，共得到10个
正三角形，称为第三次操作；…．根据以上操作，若要得到 2023个正三角形，则需要操作的次数为（
）
A．671 B．672 C．673 D．674
17．下列表格中的四个数都是按照规律填写的，则表中x的值是（ ）
A．135 B．170 C．209 D．252
18．如M＝{1，2，x}，我们叫集合M，其中1，2，x叫做集合M的元素．集合中的元素具有确定性（如x
必然存在），互异性（如x≠1，x≠2），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合N＝{x，1，
2}，我们说M＝N．已知集合A＝{2，0，x}，集合 ，若A＝B，则x﹣y的值是（
）
A．2 B． C．﹣2 D．﹣1
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19．我们知道，同一个平面内，1条直线将平面分成a ＝2部分，2条直线将平面最多分成a ＝4部分，3
1 2
条直线将平面最多分成a ＝7部分，4条直线将平面最多分成a ＝11部分…n条直线将平面最多分成a
3 4 n
部分，则 ＝（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
1．（2023•广西）若零下2摄氏度记为﹣2℃，则零上2摄氏度记为（ ）
A．﹣2℃ B．0℃ C．+2℃ D．+4℃
2．（2023•天津）据2023年5月21日《天津日报》报道，在天津举办的第七届世界智能大会通过“百网
同播、万人同屏、亿人同观”，全球网友得以共享高端思想盛宴，总浏览量达到935000000人次，将数
据935000000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.935×109 B．9.35×108 C．93.5×107 D．935×106
3．（2023•广州）﹣（﹣2023）＝（ ）
A．﹣2023 B．2023 C． D．
4．（2023•淮安）下列实数中，无理数是（ ）
A．﹣2 B．0 C． D．5
5．（2023•温州）如图，比数轴上点A表示的数大3的数是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
6．（2022•安徽）下列为负数的是（ ）
A．|﹣2| B． C．0 D．﹣5
7．（2023•天津）计算 的结果等于（ ）
A． B．﹣1 C． D．1
8．（2023•青岛）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023•西藏）已知a，b都是实数，若（a+2）2+|b﹣1|＝0，则（a+b）2023的值是（ ）
A．﹣2023 B．﹣1 C．1 D．2023
10．（2023•海南）如图，数轴上点A表示的数的相反数是（ ）
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A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2
11．（2023•西宁）算式﹣3□1的值最小时，□中填入的运算符号是（ ）
A．+ B．﹣ C．× D．÷
12．（2023•内蒙古）若a，b为两个连续整数，且a＜ ＜b，则a+b＝ 3 ．
13．（2023•福建）某仓库记账员为方便记账，将进货10件记作+10，那么出货5件应记作 ﹣ 5 ．
14．（2023•益阳）计算：| ﹣1|﹣（﹣ ）2﹣12×（﹣ ）．
15．（2023•德阳）计算：2cos30°+（﹣ ）﹣1+| ﹣2|+（2 ）0+ ．
11
