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专题 01 实数核心知识点精讲
1．理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小．
2．借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值（绝对值符号内不含字母）．
3．理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步为主）．
4．理解有理数的运算律，并能运用运算律简化运算.
5．能运用有理数的运算解决简单的问题．
6．了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应．能求实数的相反数与绝对值．
7．能用有理数估计一个无理数的大致范围．
考点1：实数的分类
考点2：实数的相关概念
1．数轴：规定了原点、单位长度和正方向的直线叫做数轴.数轴上所有的点与全体实数一一对应.
2．相反数：只有符号不同，而绝对值相同的两个数称为互为相反数，若a、b互为相反数，则a+b=0.
3．倒数：1除以一个不等于零的实数所得的商，叫做这个数的倒数.若a、b互为倒数，则ab=1.
4．绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离，记作 |a|.
5．科学记数法：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．当原数绝对值大于
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10时，写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数的整数位数减1；当原数绝对值小于1时，写成
a×10−n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数左边第一个非零的数字前的所有零的个数（包括小数点前面
的零）.
6．近似数：近似数与准确数的接近程度通常用精确度来表示，近似数一般由四舍五入取得，四舍五入
到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.
7．平方根：（1）算术平方根的概念：若x2＝a(x＞0)，则正数x叫做a的算术平方根.
（2）平方根的概念：若x2＝a，则x叫做a的平方根.
（3）表示：a的平方根表示为 ，a的算术平方根表示为 .
（4）
8．立方根：（1）定义：若x3＝a，则x叫做a的立方根.
（2）表示：a的立方根表示为 .
（3） .
考点3：实数的大小比较
（1）数轴比较法：数轴上两个点表示的数，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大；
（2）类别比较法：正数＞0＞负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小；
（3）差值比较法：
a-b＞0 a＞b;a-b=0 a=b;a-b＜0 a＜b
（4）平方⇔比较法： ⇔ ⇔
a2
a＞√b⇒ ＞b(b＞0）
考点4：实数的运算
1.数的乘方：求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂.在an中，a叫底数，n叫指数.
2．实数的运算：
（1）有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法结合律 、加法交换律 、乘法
交换律 、乘法结合律、 乘法分配律.
（2）运算顺序：先算乘方（开方），再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的.
3．零次幂;a≠0，则a0=1
4.负整数指数幂：若a≠0，n为正整数， 则 .
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5.-1的奇偶次幂： ；
【题型1：实数的概念】
【典例1】（2023•攀枝花）﹣3的绝对值是（ ）
A．3 B． C． D．﹣3
【答案】A
【分析】根据一个负数的绝对值是它的相反数即可求解．
【解析】解：﹣3的绝对值是3．
故选：A．
1．（2023•南充）如果向东走10m记作+10m，那么向西走8m记作（ ）
A．﹣10m B．+10m C．﹣8m D．+8m
【答案】C
【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答．
【解析】解：如果向东走10m记作+10m，那么向西走8m记作﹣8m．
故选：C．
2．（2023•青岛） 的相反数是（ ）
A．﹣ B． C．﹣7 D．7
【答案】A
【分析】根据实数a的相反数是﹣a进行求解．
【解析】解： 的相反数是﹣ ，
故选：A．
3．（2023•娄底）2023的倒数是（ ）
A．2023 B．﹣2023 C． D．
【答案】D
【分析】乘积是1的两数互为倒数，由此即可得到答案．
【解析】解：2023的倒数是 ．
故选：D．
4．（2023•吉林）月球表面的白天平均温度零上 126℃记作+126℃，夜间平均温度零下 150℃应记作
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（ ）
A．+150℃ B．﹣150℃ C．+276℃ D．﹣276℃
【答案】B
【分析】正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可得出答案．
【解析】解：零上126℃记作+126℃，
则零下150℃应记作﹣150℃，
故选：B．
【题型2：实数的分类】
【典例2】（2023•荆州）在实数﹣1， ， ，3.14中，无理数是（ ）
A．﹣1 B． C． D．3.14
【答案】B
【分析】无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可．
【解析】解：实数﹣1， ， ，3.14中，无理数是 ，
故选：B．
1．（2023•怀化）下列四个实数中，最小的数是（ ）
A．﹣5 B．0 C． D．
【答案】A
【分析】正数＞0＞负数；一个正数越大，其算术平方根越大；据此进行判断即可．
【解析】解：∵1＜2，
∴ ＜ ，
即1＜ ，
则 ＜ ，
那么﹣5＜0＜ ＜ ，
则最小的数为：﹣5，
故选：A．
2．（2023•浙江）下面四个数中，比1小的正无理数是（ ）
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A． B．﹣ C． D．
【答案】A
【分析】无理数即无限不循环的小数，结合实数比较大小的方法进行判断即可．
【解析】解：A．∵1＞ ，
∴ ＞ ，
即1＞ ，且 是正无理数，
则A符合题意；
B．﹣ 是负数，
则B不符合题意；
C． 是分数，不是无理数，
则C不符合题意；
D．∵π＞3，
∴ ＞1，
则D不符合题意；
故选：A．
3．（2023•凉山州）下列各数中，为有理数的是（ ）
A． B．3.232232223…
C． D．
【答案】A
【分析】运用有理数和无理数的概念进行逐一辨别、求解．
【解析】解：∵ ＝2，
∴选项A符合题意；
∵3.232232223…， ， 是无理数，
∴选项B，C，D不符合题意，
故选：A．
【题型3：数轴】
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【典例3】（2023•南通）如图，数轴上A，B，C，D，E五个点分别表示数1，2，3，4，5，则表示数
的点应在（ ）
A．线段AB上 B．线段BC上 C．线段CD上 D．线段DE上
【答案】C
【分析】根据算术平方根的定义，估算无理数 的大小，再根据数轴上A，B，C，D，E五个点在数
轴上的位置进行判断即可．
【解析】解：∵3＜ ＜4，而数轴上A，B，C，D，E五个点分别表示数1，2，3，4，5，
∴表示数 的点应在线段CD上，
故选：C．
1．（2023•通辽）二次根式 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出x的取值范围，进而在数轴上表示即可．
【解析】解：二次根式 在实数范围内有意义，
则1﹣x≥0，
解得：x≤1，
则实数x的取值范围在数轴上表示为：
．
故选：C．
2．（2023•自贡）如图，数轴上点A表示的数是2023，OA＝OB，则点B表示的数是（ ）
A．2023 B．﹣2023 C． D．﹣
【答案】B
【分析】结合已知条件，根据实数与数轴的对应关系即可求得答案．
【解析】解：∵OA＝OB，点A表示的数是2023，
∴OB＝2023，
∵点B在O点左侧，
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∴点B表示的数为：0﹣2023＝﹣2023，
故选：B．
3．（2023•济南）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．ab＞0 B．a+b＞0 C．a+3＜b+3 D．﹣3a＜﹣3b
【答案】D
【分析】从图中判断a的值和b的取值范围，再根据有理数的运算及不等式的性质来计算．
【解析】解：从图中得出：a＝2，﹣3＜b＜﹣2．（1）a和b相乘是负数，所以ab＜0，故A选项错误；
（2）a和b相加是负数，所以a+b＜0，故B选项错误；
（3）因为a＞b，所以a+3＞b+3，故C选项错误；
（4）因为a是正数，所以﹣3a＜0，又因为b是负数，所以﹣3b＞0，即﹣3a＜﹣3b，故选项D正确，
所以选择D；
答案为：D．
【题型4：科学记数法】
【典例4】（2023•淮安）健康成年人的心脏每分钟流过的血液约 4900mL．数据4900用科学记数法表示为
（ ）
A．0.49×104 B．4.9×104 C．4.9×103 D．49×102
【答案】C
【分析】根据科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，由此可得答案．
【解析】解：4900＝4.9×103．
故选：C．
1．（2023•北京）截至2023年6月11日17时，全国冬小麦收获2.39亿亩，进度过七成半，将239000000
用科学记数法表示应为（ ）
A．23.9×107 B．2.39×108 C．2.39×109 D．0.239×109
【答案】B
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比
原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解析】解：239000000＝2.39×108，
故选：B．
2．（2023•绍兴）据报道，2023年“五一”假期全国国内旅游出游合计 274000000人次．数字274000000
用科学记数法表示是（ ）
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A．27.4×107 B．2.74×108 C．0.274×109 D．2.74×109
【答案】B
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原
数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解析】解：274000000＝2.74×108．
故选：B．
【题型5：实数的大小比较】
【典例5】（2023•扬州）已知a＝ ，b＝2，c＝ ，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．b＞a＞c B．a＞c＞b C．a＞b＞c D．b＞c＞a
【答案】C
【分析】一个正数越大，其算术平方根越大，据此进行判断即可．
【解析】解：∵3＜4＜5，
∴ ＜ ＜ ，
即 ＜2＜ ，
则a＞b＞c，
故选：C．
1．（2023•潍坊）在实数1，﹣1，0， 中，最大的数是（ ）
A．1 B．﹣1 C．0 D．
【答案】D
【分析】根据正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而
小可得答案．
【解析】解：∵﹣1＜0＜1＜ ，
∴在实数1，﹣1，0， 中，最大的数是 ，
故选：D．
2．（2023•青海）写出一个比﹣ 大且比 小的整数 ﹣ 1 （或 0 或 1 ） ．
【答案】﹣1（或0或1）．
【分析】估算出 的取值范围即可求解．
【解析】解：∵1＜2＜4，
∴ ，
∴﹣2＜﹣ ＜﹣1，
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∴比﹣ 大且比 小的整数有﹣1，0，1．
故答案为：﹣1（或0或1）．
3．（2023•甘孜州）比较大小： ＞ 2．（填“＜”或“＞”）
【答案】＞．
【分析】先把2写成 ，然后根据被开方数大的算术平方根也大即可得出比较结果．
【解析】解：∵ ，
又∵ ，
∴ ，
故答案为：＞
【题型6：平方根、算术平方根和立方根】
【典例6】（2023•浙江）﹣8的立方根是（ ）
A．﹣2 B．2 C．±2 D．不存在
【答案】A
【分析】根据立方根的定义求出 的值，即可得出答案．
【解析】解：﹣8的立方根是 ＝ ＝﹣2，
故选：A
1．（2023•无锡）实数9的算术平方根是（ ）
A．3 B．±3 C． D．﹣9
【答案】A
【分析】根据算术平方根的定义，即可解答．
【解析】解：实数9的算术平方根是3，
故选：A．
2．（2023•郴州）计算 ＝ 3 ．
【答案】3．
【分析】如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作： ，由此即可得到答案．
【解析】解： ＝3．
故答案为：3．
3．（2023•邵阳） 的立方根是 2 ．
【答案】2．
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【分析】先求出 的值，再根据立方根的定义解答即可．
【解析】解： ＝8，
＝2．
故答案为：2．
【题型7：实数的运算】
【典例7】（2023•上海）计算： + ﹣（ ）﹣2+| ﹣3|．
【答案】﹣6．
【分析】根据立方根定义，二次根式的化简，负整数指数幂，绝对值的性质进行计算即可．
【解析】解：原式＝2+ ﹣9+3﹣
＝2+ ﹣2﹣9+3﹣
＝﹣6
1．（2023•广西）计算：（﹣1）×（﹣4）+22÷（7﹣5）．
【分析】先算括号里面的，再算乘方，乘除，最后算加减即可．
【解析】解：原式＝（﹣1）×（﹣4）+4÷2
＝4+2
＝6
2．（2023•北京）计算：4sin60°+（ ）﹣1+|﹣2|﹣ ．
【答案】5．
【分析】根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂的运算法则、绝对值的性质、二次根式的性质计算．
【解析】解：原式＝4× +3+2﹣2
＝2 +3+2﹣2
＝5．
3．（2023•娄底）计算：（π﹣2023）0+|1﹣ |+ ﹣tan60°．
【答案】2 ．
【分析】利用零指数幂，绝对值的性质，二次根式的运算法则，特殊锐角的三角函数值进行计算即可．
【解析】解：原式＝1+ ﹣1+2 ﹣ ＝2 ．
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1．某校仪仗队队员的平均身高为175cm，如果高于平均身高2cm记作+2cm，那么低于平均身高2cm应该
记作（ ）
A．2cm B．﹣2cm C．175cm D．﹣175cm
【答案】B
【分析】正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案．
【解析】解：由题意，高于平均身高2cm记作+2cm，高于平均身高和低于平均身高具有相反意义，所
以低于平均身高2cm记作﹣2cm．
故选：B．
2．﹣3的相反数是（ ）
A．﹣ B．3 C．﹣3 D．
【答案】B
【分析】根据相反数的概念解答求解．
【解析】解：﹣3的相反数是﹣（﹣3）＝3．
故选：B．
3．第19届亚运会将于2023年9月23日在杭州举行，其主体育场及田径项目比赛场地——杭州奥体中心
体育场，俗称“大莲花”，总建筑面积约216000平方米，将数216000用科学记数法表示为（ ）
A．216×103 B．21.6×104 C．2.16×105 D．0.216×106
【答案】C
【分析】把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记
数法叫做科学记数法，由此即可得到答案．
【解析】解：216000用科学记数法表示为2.16×105．
故选：C．
4．若|a|＝﹣a，a一定是（ ）
A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数
【答案】C
【分析】根据负数的绝对值等于他的相反数，可得答案．
【解析】解：∵非正数的绝对值等于他的相反数，|a|＝﹣a，
a一定是非正数，
故选：C．
5．若a和b互为相反数，则a+b+3的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
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【答案】B
【分析】运用互为相反数的两数相加为0进行求解．
【解析】解：∵a和b互为相反数，
∴a+b+3
＝0+3
＝3，
故选：B．
6．将﹣3﹣（+6）﹣（﹣5）+（﹣2）写成省略括号的和的形式是（ ）
A．﹣3+6﹣5﹣2 B．﹣3﹣6+5﹣2 C．﹣3﹣6﹣5﹣2 D．﹣3﹣6+5+2
【答案】B
【分析】原式利用减法法则变形即可得到结果．
【解析】解：﹣3﹣（+6）﹣（﹣5）+（﹣2）＝﹣3﹣6+5﹣2．
故选：B．
7．4的算术平方根是（ ）
A．±2 B．﹣2 C．2 D．
【答案】C
【分析】根据算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫
做a的算术平方根，记为 ，求出4的算术平方根即可．
【解析】解：4的算术平方根是： ，
故选：C．
8．如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（ ）
A．0.5 B．﹣0.5 C．﹣1.5 D．﹣2.5
【答案】B
【分析】设小手盖住的点表示的数为x，则﹣1＜x＜0，再根据每个选项中实数的范围进行判断即可．
【解析】解：设小手盖住的点表示的数为x，则﹣1＜x＜0，
则表示的数可能是﹣0.5．
故选：B．
9．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中错误的是（ ）
A．a＜﹣2 B．b＜1 C．a＞b D．﹣a＞b
【答案】B
【分析】由数轴可得a＜﹣2＜0＜b＜1，|a|＞|b|，然后将各项进行判断即可．
【解析】解：由数轴可得a＜﹣2＜0＜b＜1，|a|＞|b|，
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则A，C均不符合题意，B符合题意；
由|a|＞|b|可得a+b＜0，
则﹣a＞b，
那么D不符合题意；
故选：B．
10．在数﹣1、0、 、 中，为无理数的是（ ）
A．﹣1 B．0 C． D．
【答案】D
【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，进行判断即
可．
【解析】解：数﹣1、0、 、 中，为无理数的是 ．
故选：D．
11．在﹣2，3， ，0，﹣1.7五个数中，正数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据正数大于0，负数小于0判断即可．
【解析】解：在﹣2，3， ，0，﹣1.7五个数中，正数有3， ，共2个．
故选：B．
12．64的平方根是（ ）
A．±4 B．4 C．±8 D．8
【答案】C
【分析】±8的平方都等于64，可得64的平方根是±8．
【解析】解：∵±8的平方都等于64；
∴64的平方根是±8．
故选：C．
13．比较大小：3 ＞ （填写“＜”或“＞”）．
【答案】＞
【分析】将3转化为 ，然后比较被开方数即可得到答案．
【解析】解：∵3＝ ，且9＞7，
∴3＞ ，
故答案为：＞．
14．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则﹣a ＞ b．（填“＞”，“＝”，“＜”）
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【答案】＞．
【分析】根据数轴得出﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，继而得出1＜﹣a＜2，即可求解．
【解析】解：根据数轴可知﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，
∴1＜﹣a＜2，
∴﹣a＞b，
故答案为：＞．
15．代数式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x ≥ 5 ．
【答案】x≥5
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
【解析】解：由题意得，x﹣5≥0，
解得x≥5，
故答案为：x≥5．
16． 的平方根是 ± 2 ．
【答案】±2．
【分析】根据平方根、算术平方根的定义进行计算即可．
【解析】解：由于 ＝4，
所以 的平方根是 ＝±2，
故答案为：±2．
17．计算（3﹣π）0＝ 1 ．
【答案】1
【分析】直接利用零指数幂：a0＝1（a≠0）求解可得．
【解析】解：（3﹣π）0＝1，
故答案为：1．
18．计算：（﹣1）10×2+（﹣2）3÷4．
【答案】0．
【分析】先计算乘方，再计算乘除，后计算加减．
【解析】解：（﹣1）10×2+（﹣2）3÷4
＝1×2﹣8×
＝2﹣2
＝0．
19．计算： ．
【答案】3 +6．
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【分析】直接利用二次根式的性质、负整数指数幂的性质、零指数幂的性质分别化简，进而得出答案．
【解析】解：原式＝3 +9﹣1﹣2
＝3 +6．
20．计算： ．
【答案】﹣3．
【分析】根据特殊角的三角函数值，零次幂，负整数指数幂，化简绝对值进行计算即可求解．
【解析】解：
＝
＝
＝﹣3．
1．下列各数中，是负数的是（ ）
A．|﹣1| B．﹣22 C． D．（﹣3）0
【答案】B
【分析】利用绝对值的意义，有理数的乘方法则，二次根式的性质和零指数幂的意义对每个选项进行逐
一判断即可得出结论．
【解析】解：∵|﹣1|＝1＞0，是正数，
∴A选项不符合题意；
∵﹣22＝﹣4＜0，是负数，
∴B选项符合题意；
∵ ＝3＞0，是正数，
∴C选项不符合题意；
∵（﹣3）0＝1＞0，是正数，
∴D选项不符合题意．
故选：B．
2．若ab≠0，那么 + 的取值不可能是（ ）
A．﹣2 B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】由ab≠0，可得：①a＞0，b＞0，②a＜0，b＜0，③a＞0，b＜0，④a＜0，b＞0；分别计算即
可．
【解析】解：∵ab≠0，
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∴有四种情况：①a＞0，b＞0，②a＜0，b＜0，③a＞0，b＜0，④a＜0，b＞0；
①当a＞0，b＞0时，
+ ＝1+1＝2；
②当a＜0，b＜0时，
+ ＝﹣1﹣1＝﹣2；
③当a＞0，b＜0时，
+ ＝1﹣1＝0；
④当a＜0，b＞0时，
+ ＝﹣1+1＝0；
综上所述， + 的值为：±2或0．
故选：C．
3．如图，检测4个篮球，其中质量超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数，从轻重的角度看，最
接近标准的球是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由已知和要求，只要求出超过标准的克数和低于标准的克数的绝对值，绝对值小的则是最接近
标准的球．
【解析】解：通过求4个篮球的绝对值得：
|+10|＝10，|+8|＝8，|﹣12|＝12，|﹣5|＝5，
﹣5的绝对值最小．
所以这个球是最接近标准的球．
故选：D．
4．实数a与b在数轴上对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）
A．a＜0 B．a＜b C．b+5＞0 D．|a|＞|b|
【答案】C
【分析】根据数轴可以发现b＜a，且，由此即可判断以上选项正确与否．
【解析】解：A．∵2＜a＜3，a＞0，答案A不符合题意；
B．∵2＜a＜3，﹣4＜b＜﹣3，∴a＞b，∴答案B不符合题意；
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C．∵﹣4＜b＜﹣3，∴b+5＞0，∴答案C符合题意；
D．∵2＜a＜3，﹣4＜b＜﹣3，∴|a|＜b|，∴答案D不符合题意．
故选：C．
5．如图，数轴上被墨水遮盖的数的绝对值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】明确被覆盖数的范围，根据负数的绝对值取其相反数，得出答案．
【解析】解：由图可知，设被覆盖的数为a，则﹣4＜a＜﹣3，
∵当a＜0时，|a|＝﹣a，
∴3＜|a|＜4，
∵3＜ ＜4，满足题意，
故选：C．
6．大多数红绿灯都是固定时间设置，某市正在逐步推行智能感应红绿灯，这种红绿灯可以自动搜集车流
量信息，根据通行车辆的多少自动调节红绿灯的时长，若某十字路口某时间段自动搜集的车流量中，东
西走向直行与左转车辆分别约占总流量的 ， ；南北走向直行与左转车辆分别约占总流量的 ， ．
因右转车辆不受红绿灯限制，所以在设置红绿灯时，按东西走向直行、左转，南北走向直行、左转的次
序依次亮起绿灯作为一个周期时间（当某方向绿灯亮起时，其他3个方向全为红灯），若一个周期时间
为2分钟，则此时南北走向左转绿灯时长为（ ）
A．32秒 B．24秒 C．18秒 D．16秒
【答案】A
【分析】先重新计算南北走向直行流量占比，再用120乘以占比可得一个周期时间为2分钟南北走向直
行绿灯时长．
【解析】解：∵右转车辆不受红绿灯限制，
∴南北走向直行占题四种走向流量的比例为： ＝ ，
∴一个周期时间为2分钟，设置南北走向直行绿灯时长为120× ＝32s，
故选：A．
7．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，如图，这个三角形给出
了的展开式的系数规律（按n的次数由大到小的顺序）：
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请依据上述规律判断：若今天是星期三，则经过1510天后是（ ）
A．星期四 B．星期五 C．星期六 D．星期天
【答案】A
【分析】结合一个星期7天，即相应的尾数是7个数一循环，利用所给的规律求得1510天的尾数即可判
断．
【解析】解：∵1510＝（14+1）10
∴（14+1）10＝1410+10×149×1+…+10×14×19+110，
∴（14+1）10÷7的余数为：1，
即1510÷7的余数为：1，
∴若今天是星期三，则经过1510天后是星期四．
故选：A．
8．在算式 中的“□”里填入一个运算符号，使得它的结果最小（ ）
A．+ B．﹣ C．× D．÷
【答案】D
【分析】分别填入四个运算符号，计算出每个算式的结果，然后进行比较即可．
【解析】解：若填入的符号为+，算式为： ；
若填入的符号为﹣，算式为： ；
若填入的符号为×，算式为： ；
若填入的符号为÷，算式为： ，
∵ ，
，
∴ ，
∴若填入的符号为÷，算式的结果最小，
故选：D．
9．如图，已知矩形ABCD的边长分别为6，4，进行如下操作：第一次，顺次连接矩形ABCD各边的中点，
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得到四边形A B C D ；第二次，顺次连接四边形A B C D 各边的中点，得到四边形A B C D ；…如此
1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2
反复操作下去，则第n次操作后，得到四边形A B D 的面积是（ ）
n n n n
∁
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接A C ，D B ，可知四边形A B C D 的面积为矩形ABCD面积的一半，则S ＝ ×4×6＝
1 1 1 1 1 1 1 1 1
12，再根据三角形中位线定理可得C D ＝ C ，A D ＝ B D ，则S ＝ C × B D ＝ ab，依此
2 2 1 2 2 1 1 2 1 1 1
可得规律．
【解析】解：如图，连接A C ，D B ，
1 1 1 1
∵顺次连接矩形ABCD各边的中点，得到四边形A B C D ，
1 1 1 1
∴四边形A BCC 是矩形，
1 1
∴A C ＝BC，A C ∥BC，
1 1 1 1
同理，B D ＝AB，B D ∥AB，
1 1 1 1
∴A C ⊥B D ，
1 1 1 1
∴S ＝ ×4×6＝12，
1
∵顺次连接四边形A B C D 各边的中点，得到四边形A B C D ，
1 1 1 1 2 2 2 2
∴C D ＝ C ，A D ＝ B D ，
2 2 1 2 2 1 1
∴S ＝ C × B D ＝ ×12＝3，
2 1 1 1
……
依此可得S ＝ ，
n
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故选：B．
10．若 ，b＝（﹣1）﹣1， ，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a
【答案】B
【分析】利用零指数，负整数指数幂的运算法，计算a、b、c的值，再比较大小．
【解析】解：∵ ，
b＝（﹣1）﹣1＝﹣1，
，
∴a＞c＞b，
故选：B．
11．估计 的值在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【答案】A
【分析】首先得出 ，进而求出 的估计值．
【解析】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的值在2到3之间．
故选：A．
12．若a＝﹣3， ，则a，b的大小关系为（ ）
A．a＞b B．a＝b C．a＜b D．无法判断
【答案】C
【分析】先将 化简，再比较大小．
【解析】解： ，
则3＞﹣3，
∴a＜b．
故选：C．
13．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列关系式不成立的是（ ）
A．a+2＜b+2 B．a＜1 C．a+b＞0 D．﹣2a＜﹣2b
【答案】D
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【分析】根据有数轴上的各点来确定﹣1＜a＜0，b＞1＞0，来判断数的大小．
【解析】解：A选项中因为在数轴上得到a＜b，左右两边同时加上2，所以a+2＜b+2成立，符合题意
故正确；
B选项中，从数轴中直接观察到a＜1，符合题意故正确；
C选项中，因为a＞﹣1，b＞1，所以a+b＞0，符合题意故正确；
D选项中，从数轴中观察到a＜0，b＞0，a是负数，乘负数，结果为正数，b为负数，乘负数，结果为
负数，所以﹣2a＞﹣2b，故D选项不符合题意，是错误的．
故答案为D．
14．实数m、n在数轴上的位置如图所示，化简|n﹣m|﹣m的结果为（ ）
A．n﹣2m B．﹣n﹣2m C．n D．﹣n
【答案】D
【分析】根据实数m、n在数轴上的位置，可得到n﹣m＜0，再化简绝对值，得出结果．
【解析】解：由实数m、n在数轴上的位置可知，n﹣m＜0，
所以|n﹣m|﹣m＝m﹣n﹣m＝﹣n，
故选：D．
15．若a是不为1的有理数，则我们把 称为a的差倒数．如2的差倒数为 ，﹣1的差倒数为
．已知：a ＝3，a 是a 差倒数，a 是a 的差倒数，a 是a 的差倒数，…，依次类推，
1 2 1 3 2 4 3
a 的值是（ ）
2023
A．3 B． C． D．
【答案】A
【分析】根据差倒数定义计算得出 ，依次推导3个数据为一组，
，a ＝3．
2023
【解析】解：根据差倒数的定义知 ，以 这3个数为一组，
第2022个数为第674组数的第3个数据，则 ，那么a ＝3．
2023
故选：A．
16．如图将一张纸片剪成4个正三角形，称为第一次操作；然后将其中一个正三角形再剪成4个小正三角
形，共得到7个正三角形，称为第二次操作；将其中一个正三角形再剪成 4个正三角形，共得到10个
正三角形，称为第三次操作；…．根据以上操作，若要得到 2023个正三角形，则需要操作的次数为（
）
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A．671 B．672 C．673 D．674
【答案】D
【分析】根据已知第一次操作后得到4个小正三角形，第二次操作后得到7个小正三角形；第三次操作
后得到10个小正三角形；…继而即可求出剪m次时正三角形的个数为2023．
【解析】解：∵第一次操作后得到4个小正三角形，
第二次操作后得到7个小正三角形；
第三次操作后得到10个小正三角形，
……
∴第m次操作后，总的正三角形的个数为3m+1．则：
2023＝3m+1，
解得：m＝674，
故若要得到2023个小正三角形，则需要操作的次数为674次．
故选：D．
17．下列表格中的四个数都是按照规律填写的，则表中x的值是（ ）
A．135 B．170 C．209 D．252
【答案】C
【分析】根据表格找出方格中每个对应数字的表示规律然后求解．
【解析】解：根据表格可得规律：
第n个表格中，
左上数字为n，
左下数字为n+1，
右上数字为2（n+1），
右下数字为2（n+1）（n+1）+n，
∴20＝2（n+1），
解得n＝9，
∴a＝9，b＝10，x＝10×20+9＝209．
故选：C．
18．如M＝{1，2，x}，我们叫集合M，其中1，2，x叫做集合M的元素．集合中的元素具有确定性（如x
必然存在），互异性（如x≠1，x≠2），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合N＝{x，1，
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2}，我们说M＝N．已知集合A＝{2，0，x}，集合 ，若A＝B，则x﹣y的值是（
）
A．2 B． C．﹣2 D．﹣1
【答案】B
【分析】利用新定义，根据元素的互异性、无序性推出只有 ＝0，从而得出两种情况．讨论后即可得
解．
【解析】解：由题意知A＝{2，0，x}，由互异性可知，x≠2，x≠0．
因为B＝{ }，A＝B，
由x≠0，可得|x|≠0， ≠0，
所以 ，即y＝0，
那么就有 或者 ，
当 得x＝ ，
当 无解．
所以当x＝ 时，A＝{2，0， }，B＝{2， ，0}，
此时A＝B符合题意．
所以x﹣y＝ ．
故选：B．
19．我们知道，同一个平面内，1条直线将平面分成a ＝2部分，2条直线将平面最多分成a ＝4部分，3
1 2
条直线将平面最多分成a ＝7部分，4条直线将平面最多分成a ＝11部分…n条直线将平面最多分成a
3 4 n
部分，则 ＝（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
【答案】B
【分析】根据一条直线、两条直线、三条直线的情况可总结出规律：n条直线最多可将平面分成S＝
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1+1+2+3…+n＝ n（n+1）+1，依此求解即可．
【解析】解：由题意得：
有一条直线时，最多分成1+1＝2部分；
有两条直线时，最多分成1+1+2＝4部分；
有三条直线时，最多分成1+1+2+3＝7部分；
…，
有n条直线时，分成的平面最多有m个．有以下规律：
m＝1+1+…+（n﹣1）+n＝ +1，
∴a ＝2，a ＝4，a ＝7，a ＝11，a ＝16，a ＝22，a ＝29，a ＝37，a ＝46，a ＝56，
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
∴
＝ + + +…+
＝﹣1﹣ ﹣ ﹣ ﹣ ﹣ ﹣ ﹣ ﹣ ﹣
＝﹣1﹣ ﹣ ﹣ ﹣ ﹣ ﹣ ﹣ ﹣ ﹣
＝﹣1﹣ ﹣ ﹣ × + ﹣ × ﹣ × ﹣
＝﹣1﹣ ﹣ ﹣ ﹣ × ﹣ × ﹣
＝﹣1﹣ ﹣ ﹣ ﹣
＝﹣1﹣ ﹣ + ﹣ + ﹣
＝﹣2+
＝﹣ ．
故选：B．
1．（2023•广西）若零下2摄氏度记为﹣2℃，则零上2摄氏度记为（ ）
A．﹣2℃ B．0℃ C．+2℃ D．+4℃
【答案】C
【解析】解：由零下2摄氏度记为﹣2℃可知，零下记为“﹣“，零上记为“+”，
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∴零上2摄氏度记为：+2℃．
故选：C．
2．（2023•天津）据2023年5月21日《天津日报》报道，在天津举办的第七届世界智能大会通过“百网
同播、万人同屏、亿人同观”，全球网友得以共享高端思想盛宴，总浏览量达到935000000人次，将数
据935000000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.935×109 B．9.35×108 C．93.5×107 D．935×106
【答案】B
【解析】解：935000000＝9.35×108，
故选：B．
3．（2023•广州）﹣（﹣2023）＝（ ）
A．﹣2023 B．2023 C． D．
【答案】B
【解析】解：﹣（﹣2023）＝2023，
故选：B．
4．（2023•淮安）下列实数中，无理数是（ ）
A．﹣2 B．0 C． D．5
【答案】C
【解析】解：A、﹣2是有理数，故此选项不符合题意；
B、0是有理数，故此选项不符合题意；
C、 是无理数，故此选项符合题意；
D、5是有理数，故此选项不符合题意；
故选：C．
5．（2023•温州）如图，比数轴上点A表示的数大3的数是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【答案】D
【解析】解：由数轴可得：A表示﹣1，则比数轴上点A表示的数大3的数是：﹣1+3＝2．
故选：D．
6．（2022•安徽）下列为负数的是（ ）
A．|﹣2| B． C．0 D．﹣5
【答案】D
【解析】解：A．|﹣2|＝2，是正数，故本选项不合题意；
B． 是正数，故本选项不合题意；
C．0既不是正数，也不是负数，故本选项不合题意；
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D．﹣5是负数，故本选项符合题意．
故选：D．
7．（2023•天津）计算 的结果等于（ ）
A． B．﹣1 C． D．1
【答案】D
【分析】根据有理数乘法法则计算即可．
【解析】解：原式＝+（ ×2）
＝1，
故选：D．
8．（2023•青岛）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解： 与 无法合并，则A不符合题意；
2 ﹣ ＝ ，则B不符合题意；
× ＝ ＝ ，则C符合题意；
÷3＝ ＝ ，则D不符合题意；
故选：C．
9．（2023•西藏）已知a，b都是实数，若（a+2）2+|b﹣1|＝0，则（a+b）2023的值是（ ）
A．﹣2023 B．﹣1 C．1 D．2023
【答案】B
【解析】解：∵（a+2）2+|b﹣1|＝0，（a+2）2≥0，|b﹣1|≥0，
∴a+2＝0，b﹣1＝0，
解得a＝﹣2，b＝1，
∴（a+b）2023＝（﹣1）2023＝﹣1．
故选：B．
10．（2023•海南）如图，数轴上点A表示的数的相反数是（ ）
A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2
【答案】A
【解析】解：∵A点表示的数为﹣1，
∴数轴上点A所表示的数的相反数是1．
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故选：A．
11．（2023•西宁）算式﹣3□1的值最小时，□中填入的运算符号是（ ）
A．+ B．﹣ C．× D．÷
【答案】B
【解析】解：﹣3+1＝﹣2，﹣3﹣1＝﹣4，﹣3×1＝﹣3，﹣3÷1＝﹣3，
∵﹣4＜﹣3＝﹣3＜﹣2，
∴算式﹣3□1的值最小时，“□”中填入的运算符号是﹣．
故选：B．
12．（2023•内蒙古）若a，b为两个连续整数，且a＜ ＜b，则a+b＝ 3 ．
【答案】3．
【解析】解：∵1＜3＜4，
∴1＜ ＜2，
∴a＝1，b＝2，
则a+b＝1+2＝3，
故答案为：3．
13．（2023•福建）某仓库记账员为方便记账，将进货10件记作+10，那么出货5件应记作 ﹣ 5 ．
【答案】﹣5．
【解析】解：∵进货10件记作+10，
∴出货5件应记作﹣5，
故答案为：﹣5．
14．（2023•益阳）计算：| ﹣1|﹣（﹣ ）2﹣12×（﹣ ）．
【答案】 ．
【解析】解：原式＝ ﹣1﹣3+4
＝ ．
15．（2023•德阳）计算：2cos30°+（﹣ ）﹣1+| ﹣2|+（2 ）0+ ．
【答案】4．
【解析】解：原式＝2× ﹣2+2﹣ +1+3＝4．
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