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专题 05 一次方程（组）及其应用的核心知识点精讲
1、掌握等式的基本性质掌握代入消元法和加减消元法，能解二元一次方程组．
2、能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理.
3、经历用一次方程组解应用题的过程，提高分析问题和解决问题的能力
【题型1：等式的性质】
【典例1】（2022•青海）根据等式的性质，下列各式变形正确的是（ ）
A．若 ＝ ，则a＝b B．若ac＝bc，则a＝b
C．若a2＝b2，则a＝b D．若﹣ x＝6，则x＝﹣2
【答案】A
【解答】解：A、若 ＝ ，则a＝b，故A符合题意；
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B、若ac＝bc（c≠0），则a＝b，故B不符合题意；
C、若a2＝b2，则a＝±b，故C不符合题意；
D、﹣ x＝6，则x＝﹣18，故D不符合题意；
故选：A．
1．（2022•滨州）在物理学中，导体中的电流I跟导体两端的电压U、导体的电阻R之间有以下关系：I＝
，去分母得IR＝U，那么其变形的依据是（ ）
A．等式的性质1 B．等式的性质2
C．分式的基本性质 D．不等式的性质2
【答案】B
【解答】解：将等式I＝ ，去分母得IR＝U，实质上是在等式的两边同时乘R，用到的是等式的基本性
质2．
故选：B．
2．（2021•安徽）设a，b，c为互不相等的实数，且b＝ a+ c，则下列结论正确的是（ ）
A．a＞b＞c B．c＞b＞a
C．a﹣b＝4（b﹣c） D．a﹣c＝5（a﹣b）
【答案】D
【解答】解：∵b＝ a+ c，
∴5b＝4a+c，
在等式的两边同时减去5a，得到5（b﹣a）＝c﹣a，
在等式的两边同时乘﹣1，则5（a﹣b）＝a﹣c．
故选：D．
【题型2：一次方程（组）的相关概念】
【典例2】（2023•永州）关于x的一元一次方程2x+m＝5的解为x＝1，则m的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．7 D．﹣7
【答案】A
【解答】解：∵x＝1是关于x的一元一次方程2x+m＝5的解，
∴2×1+m＝5，
∴m＝3，
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故选：A．
【典例3】（2023•眉山）已知关于x，y的二元一次方程组 的解满足x﹣y＝4，则m的值为（
）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解答】解：∵关于x、y的二元一次方程组为 ，
①﹣②，得：
2x﹣2y＝2m+6，
∴x﹣y＝m+3，
∵x﹣y＝4，
∴m+3＝4，
∴m＝1．
故选：B．
1．（2021•温州）解方程﹣2（2x+1）＝x，以下去括号正确的是（ ）
A．﹣4x+1＝﹣x B．﹣4x+2＝﹣x C．﹣4x﹣1＝x D．﹣4x﹣2＝x
【答案】D
【解答】解：根据乘法分配律得：﹣（4x+2）＝x，
去括号得：﹣4x﹣2＝x，
故选：D．
2．（2021•聊城）若﹣3＜a≤3，则关于x的方程x+a＝2解的取值范围为（ ）
A．﹣1≤x＜5 B．﹣1＜x≤1 C．﹣1≤x＜1 D．﹣1＜x≤5
【答案】A
【解答】解：x+a＝2，
x＝﹣a+2，
∵﹣3＜a≤3，
∴﹣3≤﹣a＜3，
∴﹣1≤﹣a+2＜5，
∴﹣1≤x＜5，
故选：A．
3．（2020•重庆）解一元一次方程 （x+1）＝1﹣ x时，去分母正确的是（ ）
A．3（x+1）＝1﹣2x B．2（x+1）＝1﹣3x
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C．2（x+1）＝6﹣3x D．3（x+1）＝6﹣2x
【答案】D
【解答】解：方程两边都乘以6，得：3（x+1）＝6﹣2x，
故选：D．
4．（2023•朝阳）已知关于x，y的方程组 的解满足x﹣y＝4，则a的值为 2 ．
【答案】2．
【解答】解： ，
①﹣②得：x﹣y＝a+2，
又∵关于x，y的方程组 的解满足x﹣y＝4，
∴a+2＝4，
∴a＝2．
故答案为：2．
【题型3：一次方程（组）的解法】
【典例4】（2021•广元）解方程： + ＝4．
【答案】x＝7．
【解答】解： + ＝4，
3（x﹣3）+2（x﹣1）＝24，
3x﹣9+2x﹣2＝24，
3x+2x＝24+9+2，
5x＝35，
x＝7．
【典例5】（2023•乐山）解二元一次方程组： ．
【答案】 ．
【解答】解： ，
①×2得：2x﹣2y＝2③，
②+③得：5x＝10，
解得：x＝2，
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把x＝2代入①中得：2﹣y＝1，
解得：y＝1，
∴原方程组的解为： ．
1．（2023•河南）方程组 的解为 ．
【答案】 ．
【解答】解： ，
①+②，得4x+4y＝12，
∴x+y＝3③．
①﹣③，得2x＝2，
∴x＝1．
②﹣①，得2y＝4，
∴y＝2．
∴原方程组的解为 ．
故答案为： ．
2．（2021•桂林）解一元一次方程：4x﹣1＝2x+5．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：4x﹣1＝2x+5，
4x﹣2x＝5+1，
2x＝6，
x＝3．
3．（2023•常德）解方程组： ．
【答案】 ．
【解答】解：①×2+②得：5x＝25，
解得：x＝5，
将x＝5代入①得：5﹣2y＝1，
解得：y＝2，
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所以原方程组的解是 ．
4．（2023•衢州）小红在解方程 时，第一步出现了错误：
解：2×7x＝（4x﹣1）+1，
…
（1）请在相应的方框内用横线划出小红的错误处．
（2）写出你的解答过程．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【解答】解：（1）如图：
（2）去分母：2×7x＝（4x﹣1）+6，
去括号：14x＝4x﹣1+6，
移项：14x﹣4x＝﹣1+6，
合并同类项：10x＝5，
系数化1：x＝ ．
【题型4：一次方程（组）的应用】
【典例6】（2023•深圳）某商场在世博会上购置A，B两种玩具，其中B玩具的单价比A玩具的单价贵25
元，且购置2个B玩具与1个A玩具共花费200元．
（1）求A，B玩具的单价；
（2）若该商场要求购置B玩具的数量是A玩具数量的2倍，且购置玩具的总额不高于20000元，则该
商场最多可以购置多少个A玩具？
【答案】（1）A玩具的进价为50元，每件B玩具的进价为75元；（2）100个．
【解答】解：（1）设每件A玩具的进价为x元，则每件B玩具的进价为（x+25）元，
根据题意得：2（x+25）+x＝200，
解得：x＝50，
可得x+25＝50+25＝75，
则每件A玩具的进价为50元，每件B玩具的进价为75元；
（2）设商场可以购置A玩具y个，
根据题意得：50y+75×2y≤20000，
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解得：y≤100，
则最多可以购置A玩具100个．
1．（2023•自贡）某校组织七年级学生到江姐故里研学旅行，租用同型号客车 4辆，还剩30人没有座位；
租用5辆，还空10个座位．求该客车的载客量．
【答案】该客车的载客量为40人．
【解答】解：设该客车的载客量为x人，
根据题意得：4x+30＝5x﹣10，
解得：x＝40．
答：该客车的载客量为40人．
2．（2023•陕西）“绿水青山就是金山银山”，希望中学每年都会组织学生进行植树活动．今年该校又买
了一批树苗，并组建了植树小组．如果每组植5棵，就会多出6棵树苗；如果每组植6棵，就会缺少9
棵树苗．求学校这次共买了多少棵树苗？
【答案】学校这次共买了81棵树苗．
【解答】解：设学校这次共买了x棵树苗，
则： ＝ ，
解得：x＝81，
答：学校这次共买了81棵树苗．
3．（2023•北京）对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地
头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是 6：4，左、右边的宽相等，均为天
头长与地头长的和的 ．某人要装裱一副对联，对联的长为100cm，宽为27cm．若要求装裱后的长是
装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长．
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【答案】边的宽为4cm，天头长为24cm．
【解答】解：设天头长为6x cm，地头长为4x cm，则左、右边的宽为x cm，
根据题意得，100+（6x+4x）＝4×[27+（6x﹣4x）]，
解得x＝4，
答：边的宽为4cm，天头长为24cm．
4．（2023•安徽）根据经营情况，公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整：甲地上涨
10%，乙地降价5元．已知销售单价调整前甲地比乙地少10元，调整后甲地比乙地少1元，求调整前甲、
乙两地该商品的销售单价．
【答案】调整前甲地该商品的销售单价为40元，乙地该商品的销售单价为50元．
【解答】解：设调整前甲地该商品的销售单价为x元，乙地该商品的销售单价为y元，
由题意得： ，
解得： ，
答：调整前甲地该商品的销售单价为40元，乙地该商品的销售单价为50元．
5．（2022•黑龙江）学校开展大课间活动，某班需要购买A、B两种跳绳．已知购进10根A种跳绳和5根
B种跳绳共需175元；购进15根A种跳绳和10根B种跳绳共需300元．
（1）求购进一根A种跳绳和一根B种跳绳各需多少元？
（2）设购买A种跳绳m根，若班级计划购买A、B两种跳绳共45根，所花费用不少于548元且不多于
560元，则有哪几种购买方案？
（3）在（2）的条件下，哪种购买方案需要的总费用最少？最少费用是多少元？
【答案】见试题解答内容
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【解答】解：（1）设购进一根A种跳绳需x元，购进一根B种跳绳需y元，
依题意得： ，
解得： ．
答：购进一根A种跳绳需10元，购进一根B种跳绳需15元．
（2）∵该班级计划购买A、B两种跳绳共45根，且购买A种跳绳m根，
∴购买B种跳绳（45﹣m）根．
依题意得： ，
解得：23≤m≤25.4，
又∵m为整数，
∴m可以取23，24，25，
∴共有3种购买方案，
方案1：购买23根A种跳绳，22根B种跳绳；
方案2：购买24根A种跳绳，21根B种跳绳；
方案3：购买25根A种跳绳，20根B种跳绳．
（3）设购买跳绳所需总费用为w元，则w＝10m+15（45﹣m）＝﹣5m+675．
∵﹣5＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝25时，w取得最小值，最小值＝﹣5×25+675＝550．
答：在（2）的条件下，购买方案3需要的总费用最少，最少费用是550元．
1．（2023•青县校级模拟）如果x＝y，那么根据等式的性质下列变形正确的是（ ）
A．x+y＝0 B． ＝ C．x﹣2＝y﹣2 D．x+7＝y﹣7
【答案】C
【解答】解：A、由x＝y，得到x﹣y＝0，原变形错误，故此选项不符合题意；
B、由x＝y，得到 ＝ ，原变形错误，故此选项不符合题意；
C、由x＝y，得到x﹣2＝y﹣2，原变形正确，故此选项符合题意；
D、由x＝y，得到x+7＝y+7，原变形错误，故此选项不符合题意；
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故选：C．
2．（2022秋•昆都仑区校级期末）为做好疫情防控工作，学校把一批口罩分给值班人员，如果每人分 3个，
则剩余20个；如果每人分4个，则还缺25个，设值班人员有x人，下列方程正确的是（ ）
A．3x+20＝4x﹣25 B．3x﹣25＝4x+20
C．4x﹣3x＝25﹣20 D．3x﹣20＝4x+25
【答案】A
【解答】解：由题意得3x+20＝4x﹣25．
故选：A．
3．（2023秋•瓦房店市校级期中）若x＝﹣4是方程a+3x＝﹣15的解，则a的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．﹣5 D．﹣3
【答案】D
【解答】解：把x＝﹣4代入方程得：a﹣12＝﹣15，
解得：a＝﹣3．
故选：D．
4．（2023秋•南宁期中）一元一次方程2x+1＝5的解为（ ）
A．x＝3 B．x＝4 C．x＝2 D．x＝0
【答案】C
【解答】解：移项和合并同类项，可得：2x＝4，
系数化为1，可得：x＝2．
故选：C．
5．（2022秋•乐亭县期末）解方程 ，去分母正确的是（ ）
A．2（2x+1）＝1﹣3（x﹣1） B．2（2x+1）＝6﹣3x﹣3
C．2（2x+1）＝6﹣3（x﹣1） D．3（2x+1）＝6﹣2（x﹣1）
【答案】C
【解答】解： ，去分母得2（2x+1）＝6﹣3（x﹣1）．
故选：C．
6．（2022秋•丰宁县校级期末）若方程2x＝8和方程ax+2x＝4的解相同，则a的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．0
【答案】B
【解答】解：解2x＝8，得
x＝4．
由同解方程，得
4a+2×4＝4．
解得a＝﹣1，
故选：B．
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7．（2022秋•凤翔县期末）已知3x|m|+（m+1）y＝6是关于x、y的二元一次方程，则m的值为（ ）
A．m＝1 B．m＝﹣1 C．m＝±1 D．m＝2
【答案】A
【解答】解：根据题意得|m|＝1且m+1≠0，
所以m＝1或m＝﹣1且m≠﹣1，
所以m＝1．
故选：A．
8．（2023春•莒南县期末）已知 是方程组 的解，则a+b＝（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
【答案】B
【解答】解：∵ 是方程组 的解
∴将 代入①，得
a+2＝﹣1，
∴a＝﹣3．
把 代入②，得
2﹣2b＝0，
∴b＝1．
∴a+b＝﹣3+1＝﹣2．
故选：B．
9．（2023春•西城区校级期中）已知 是二元一次方程y﹣kx＝7的解，则k的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
【答案】D
【解答】解：根据题意得，﹣1﹣2k＝7，
解得：k＝﹣4．
故选：D．
10．（2023•江山市模拟）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四
尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；
将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，木长多少尺？若设绳子长x尺，木长y尺，所列方程组正确的
是（ ）
A． B．
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C． D．
【答案】B
【解答】解：∵用绳子去量长木，绳子还剩余4.5尺，
∴x﹣y＝4.5；
∵将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，
∴ ．
∴所列方程组为 ．
故选：B．
11．（2023春•天元区校级期末）若 解得x，y的值互为相反数，则k的值为（ ）
A．4 B．﹣1 C．2 D．﹣5
【答案】D
【解答】解：由题意可知：x+y＝0，
∴ ，
解得： ，
将 代入2x﹣ky＝6，
得2×（﹣2）﹣2k＝6，
解得：k＝﹣5．
故选：D．
二．解答题（共5小题）
12．（2023•渝北区校级自主招生）解下列方程：
（1）2x﹣3（x﹣1）＝5（1﹣x）；
（2） ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）2x﹣3（x﹣1）＝5（1﹣x），
去括号得：
2x﹣3x+3＝5﹣5x，
移项得：
2x﹣3x+5x＝5﹣3，
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合并同类项得：
4x＝2，
把系数化为1得：
x＝ ．
（2）1﹣ ＝ ，
去分母得：
15﹣3（x﹣3）＝5（4﹣x），
去括号得：
15﹣3x+9＝20﹣5x，
移项得：
﹣3x+5x＝20﹣15﹣9，
合并同类项得：
2x＝﹣4，
把系数化为1得：
x＝﹣2．
13．（2023秋•靖江市校级期中）已知关于x的方程（|k|﹣3）x2﹣（k﹣3）x+2m+1＝0是一元一次方程．
（1）求k的值；
（2）若已知方程与方程3x＝4﹣5x的解相同，求m的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由题意得|k|﹣3＝0，k﹣3≠0，
∴k＝﹣3；
（2）3x＝4﹣5x，
3x+5x＝4，
x＝ ，
原方程为：6x+2m+1＝0，
把x＝ 代入：3+2m+1＝0，
m＝﹣2．
14．（2022秋•莲池区校级期末）解下列方程组：（1） ；
（2） ．
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【答案】（1） ；
（2） ．
【解答】解：（1）②﹣①得：4y＝16，
解得：y＝4，
把y＝4代入②得：x+4＝6，
解得：x＝2，
则方程组的解为 ；
（2）方程组整理得： ，
②×2﹣①得：5x＝12，
解得：x＝ ，
把x＝ 代入②得： ﹣y＝8，
解得：y＝ ，
则方程组的解为 ．
15．（2022秋•榆阳区校级期末）某车间为提高生产总量，在原有16名工人的基础上，新调入若干名工人，
使得调整后车间的总人数是调入工人人数的3倍多4人．
（1）求调入多少名工人；
（2）在（1）的条件下，每名工人每天可以生产240个螺栓或400个螺母，1个螺栓需要2个螺母，为
使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应该安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？
【答案】（1）调入6名工人；
（2）10名工人生产螺栓，12名工人生产螺母，可使每天生产的螺栓和螺母刚好配套．
【解答】解：（1）设调入x名工人，
根据题意得：16+x＝3x+4，
解得x＝6，
∴调入6名工人；
（2）由（1）知，调入6名工人后，车间有工人16+6＝22（名），
设y名工人生产螺栓，则（22﹣y）名工人生产螺母，
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∵每天生产的螺栓和螺母刚好配套，
∴240y×2＝400（22﹣y），
解得y＝10，
∴22﹣y＝22﹣10＝12，
答：10名工人生产螺栓，12名工人生产螺母，可使每天生产的螺栓和螺母刚好配套．
16．（2023春•铁锋区期末）列方程（组）或不等式（组）解应用题：
学校为了支持体育社团开展活动，鼓励同学们加强锻炼，准备增购一些羽毛球拍和乒乓球拍．
（1）根据图中信息，求出每支羽毛球拍和每支乒乓球拍的价格；
（2）学校准备用5300元购买羽毛球拍和乒乓球拍，且乒乓球拍的数量为羽毛球拍数量的 3倍，请问最
多能购买多少支羽毛球拍？
【答案】（1）每支羽毛球拍的价格为80元，每支乒乓球拍的价格为60元；
（2）最多能购买20支羽毛球拍．
【解答】解：（1）设每支羽毛球拍的价格为x元，每支乒乓球拍的价格为y元，
依题意得： ，
解得： ．
答：每支羽毛球拍的价格为80元，每支乒乓球拍的价格为60元．
（2）设购买m支羽毛球拍，则购买3m支乒乓球拍，
依题意得：80m+60×3m≤5300，
解得：m≤ ．
又∵m为整数，
∴m的最大值为20．
答：最多能购买20支羽毛球拍．
1．（2023秋•秦淮区期中）如果方程（a﹣2）x|a﹣1|+3＝9是关于x的一元一次方程，则a的值为（ ）
A．0 B．2 C．6 D．0或2
【答案】A
【解答】解：由题意得：|a﹣1|＝1且a﹣2≠0，
解得a＝0．
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故选：A．
2．（2023秋•工业园区校级期中）现定义运算“*”，对于任意有理数a与b，满足a*b＝
，譬如5*3＝3×5﹣3＝12， ，若有理数x满足x*3＝12，则x的值为（ ）
A．4 B．5 C．21 D．5或21
【答案】B
【解答】解：若x≥3，3x﹣3＝12，解得x＝5；
若x＜3，x﹣9＝12，解得x＝21（不符合题意，舍去）．
综上，x＝5，
故选：B．
3．（2022秋•颍州区校级期末）某车间有22名工人，每人每天可以生产600个螺钉或1000螺母．1个螺
钉配两个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？设有 x
名工人生产螺钉，可列方程为（ ）
A．2×600x＝1000（22﹣x） B．2×1000x＝600（22﹣x）
C．600x＝2×1000（22﹣x） D．1000x＝2×600（22﹣x）
【答案】A
【解答】解：设安排x名工人生产螺钉，则（22﹣x）人生产螺母，
由题意得：2×600x＝1000（22﹣x），
故选：A．
4．（2023秋•洛龙区期中）下列运用等式变形错误的是（ ）
A．由a＝b，得a+6＝b+6 B．由a＝b，得
C．由 ，得a＝b D．由﹣2a＝﹣2b，得a＝﹣b
【答案】D
【解答】解：A．∵a＝b，
∴a+6＝b+6，故本选项不符合题意；
B．∵a＝b，
∴ ＝ ，故本选项不符合题意；
C．∵ ＝ ，
∴a＝b，故本选项不符合题意；
D．∵﹣2a＝﹣2b，
∴a＝b，故本选项符合题意．
故选：D．
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5．（2023秋•新市区校级期中）如图，表中给出的是某月的日历，任意选取“Z”型框中的7个数（如阴
影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现此月这7个数的和可能的是（ ）
A．49 B．60 C．84 D．105
【答案】D
【解答】解：设中间的数为x，则上一行3个数分别是x﹣8，x﹣7，x﹣6，下一行3个数分别是x+8，
x+7，x+6，
则这7个数的和为x﹣8+x﹣7+x﹣6+x+x+8+x+7+x+6＝7x，
A．若7x＝49，则x＝7，不符合题意；
B．若7x＝60，则 ，不符合题意；
C．若7x＝84，则x＝12，不符合题意；
D．若7x＝105，则x＝15，符合题意；
故选：D．
6．（2023秋•蔡甸区期中）某商品进价 4元，标价5元出售，商家准备打折销售，但其利润率恰好为
10%，则该商品可以打（ ）折（利润率＝ ×100%）
A．7 B．7.5 C．8 D．8.8
【答案】D
【解答】解：设这种商品可以按x折销售，
则售价为（5×0.1x）元，那么利润为（5×0.1x﹣4）元，
所以相应的关系式为5×0.1x﹣4＝4×10%，
解得：x＝8.8．
答：该商品可以打8.8折，
故选：D．
7．（2023•九龙坡区校级开学）甲、乙两人在一条笔直的道路上相向而行，甲骑自行车从A地到B地需4
分钟，乙骑自行车从B地到A地需6分钟．现乙从B地先发出1分钟后，甲才从A地出发，问多久后甲、
乙相遇？设乙出发x分钟时，甲、乙相遇，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：∵甲骑自行车从A地到B地需4分钟，乙骑自行车从B地到A地需6分钟，
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∴甲的速度是 ，乙的速度是 ，
由题意得 ．
故选：A．
8．（2023秋•雁塔区校级期中）若关于x、y的二元一次方程x+2y＝2a﹣1的一组解为x＝3，y＝1，则a的
值是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．﹣1
【答案】A
【解答】解：把x＝3，y＝1代入关于x、y的二元一次方程x+2y＝2a﹣1得：
2a﹣1＝3+2×1，
2a﹣1＝5，
2a＝6，
a＝3，
故选：A．
9．（2023秋•深圳期中）关于x、y的二元一次方程组 的解为 ，则关于m，n的二元一次
方程组 的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：设m+n＝x'，m﹣n＝y'，
则关于m，n的二元一次方程组 可以转化为 ，
∵关于x、y的二元一次方程组 的解为 ，
∴关于x'、y'的二元一次方程组 的解 ，
∴ ，
①+②得：2m＝6，解得m＝3，
将m＝3代入①得：n＝﹣2，
∴ ．
故选：D．
10．（2022秋•溧阳市期末）完全相同的4个白色小长方形如图所示放置，形成了一个长、宽分别为 m、n
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的大长方形则图中阴影部分的周长是（ ）
A．4n B．2m+n C．2m+2n D．3m﹣n
【答案】A
【解答】解：设白色小长方形的长为x，宽为y，
根据题意得：x+2y＝m，
∵大长方形的长、宽分别为m、n，
∴左边阴影部分的长为（m﹣2y），宽为（n﹣2y），右边阴影部分的长为2y，宽为（n﹣x），
∴阴影部分的周长＝2[（m﹣2y）+（n﹣2y）]+2[2y+（n﹣x）]
＝2（m+n﹣4y）+2（2y+n﹣x）
＝2（m+n﹣4y+2y+n﹣x）
＝2（m+2n﹣2y﹣x）
＝2[m+2n﹣（2y+x）]
＝2（m+2n﹣m）
＝4n，
故选：A．
11．（2023春•富县期末）若关于x，y的二元一次方程组 的解满足 ，则k的取值范
围是（ ）
A．k≤1 B．k≤2 C．k≤﹣1 D．k≤﹣2
【答案】A
【解答】解：两方程相加，得3x+3y＝5k﹣1，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得：k≤1，
故选：A．
12．（2022春•朝天区期末）已知关于x，y的二元一次方程组 ，给出下列结论中正确的是（
）
①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，a＝﹣2；
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②当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝4+2a的解；
③无论a取什么实数，x+2y的值始终不变；
④若用x表示y，则y＝﹣ ；
A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④
【答案】D
【解答】解：关于x，y的二元一次方程组 ，
①+②得，2x+2y＝4+2a，
即：x+y＝2+a，
（1）①当方程组的解x，y的值互为相反数时，即x+y＝0时，即2+a＝0，
∴a＝﹣2，故①正确，
（2）②原方程组的解满足x+y＝2+a，
当a＝1时，x+y＝3，
而方程x+y＝4+2a的解满足x+y＝6，
因此②不正确，
（3）方程组 ，解得，
∴x+2y＝2a+1+2﹣2a＝3，
因此③是正确的，
（4）方程组 ，
由方程①得，a＝4﹣x﹣3y代入方程②得，
x﹣y＝3（4﹣x﹣3y），
即；y＝﹣ +
因此④是正确的，
故选：D．
13．（2022秋•成都期末）已知关于x，y的二元一次方程组为 ，则3x+2y的值为 7 ．
【答案】7．
【解答】解： ，
①+②得：3x+2y＝7．
14．（2023春•海林市校级期中）已知方程组 和 有相同的解，求a、b的值．
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【答案】见试题解答内容
【解答】解：先解方程组
，
解得： ，
将x＝2、y＝3代入另两个方程，
得方程组： ，
解得： ．
15．（2023春•兖州区期末）如图，欣欣食品加工厂与湖州、杭州两地有公路、铁路相连，该食品加工厂
从湖州收购一批每吨2000元的枇杷运回工厂加工，制成每吨8000元的枇杷干运到杭州销售，已知公路
运价为0.8元/（吨•千米），铁路运价为0.5元/（吨•千米），且这次运输共支出公路运输费960元，铁
路运输费1900元．
求：（1）该工厂从湖州购买了多少吨枇杷？制成运往杭州的枇杷干多少吨？
（2）这批枇杷干的销售款比购买枇杷费用与运输费用的和多多少元？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设该工厂从湖州购买了x吨枇杷，制成运往杭州的枇杷干y吨，
根据题意得： ，
解得： ．
答：该工厂从湖州购买了50吨枇杷，制成运往杭州的枇杷干20吨．
（2）8000×20﹣2000×50﹣960﹣1900＝57140（元）．
16．（2023春•罗山县期末）某校准备组织七年级400名学生参加夏令营，已知满员时，用3辆小客车和1
辆大客车每次可运送学生105人；用一辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人．
（1）1辆小客车和1辆大客车都坐满后一次可送多少名学生？
（2）若学校计划租用小客车a辆，大客车b辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满；
①请你设计出所有的租车方案；
②若小客车每辆需租金200元，大客车每辆需租金380元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金．
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【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设每辆小客车能坐m名学生，每辆大客车能坐n名学生
根据题意，得 ，
解得 ，
m+n＝20+45＝65，
答：1辆小客车和1辆大客车都坐满后一次可送65名学生．
（2）①由题意得：20a+45b＝400，
∴b＝ ，
∵a、b为非负整数，
∴ 或 或 ，
∴租车方案有三种：
方案一：小客车20车、大客车0辆，
方案二：小客车11辆，大客车4辆，
方案三：小客车2辆，大客车8辆；
②方案一租金：200×20＝4000（元），
方案二租金：200×11+380×4＝3720（元），
方案三租金：200×2+380×8＝3440（元），
∵3720＞3440，
∴方案三租金最少，最少租金为3440元．
答：这批枇杷干的销售款比购买枇杷费用与运输费用的和多57140元．
17．（2023春•围场县期末）宁波杨梅季，本地慈溪杨梅在宁波人的心中是一种家乡的味道．今年是杨梅
大年，菜杨梅种植大户为了能让居民品尝到物美价廉的杨梅，对 1000斤的杨梅进行打包方式优惠出售．
打包方式及售价如下：圆篮每篮8斤，售价160元；方篮每篮18斤，售价270元．假如用这两种打包方
式恰好全部装完这1000斤杨梅．
（1）若销售a篮圆篮和a篮方篮共收入8600元，求a的值；
（2）当销售总收入为16760元时，
①若这批杨梅全部售完，请问圆篮共包装了多少篮，方篮共包装了多少篮；
②若杨梅大户留下b（b＞0）篮圆篮送人，其余的杨梅全部售出，求b的值．
【答案】（1）a的值为20；
（2）①圆篮共包装了44篮，则方篮共包装36 篮；
②b的值为9或18．
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【解答】解：（1）由题意，得 160a+270a＝8600，
解得：a＝20，
答：a的值为20．
（2）①设圆篮共包装了x篮，则方篮共包装y 篮，
由题意，得 ，
解得： ，
答：圆篮共包装了44篮，则方篮共包装36 篮．
②设此时出售了m篮圆篮，n篮方篮杨梅，
则 ，
解这个关于m和n的方程组，可得：
，
∵n为正整数，
∴ ＞0，且b应为9的倍数，
解得： ，
又∵b＞0，
∴b的值为9或18．
答：b的值为9或18．
1．（2023•衢州）下列各组数满足方程2x+3y＝8的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：A．当x＝1，y＝2时，方程左边＝2×1+3×2＝8，方程右边＝8，
∴方程左边＝方程右边，选项A符合题意；
B．当x＝2，y＝1时，方程左边＝2×2+3×1＝7，方程右边＝8，7≠8，
∴方程左边≠方程右边，选项B不符合题意；
C．当x＝﹣1，y＝2时，方程左边＝2×（﹣1）+3×2＝4，方程右边＝8，4≠8，
∴方程左边≠方程右边，选项C不符合题意；
D．当x＝2，y＝4时，方程左边＝2×2+3×4＝16，方程右边＝8，16≠8，
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∴方程左边≠方程右边，选项D不符合题意．
故选：A．
2．（2022•百色）方程3x＝2x+7的解是（ ）
A．x＝4 B．x＝﹣4 C．x＝7 D．x＝﹣7
【答案】C
【解答】解：移项得：3x﹣2x＝7，
合并同类项得：x＝7．
故选：C．
3．（2023•南通）若实数x，y，m满足x+y+m＝6，3x﹣y+m＝4，则代数式﹣2xy+1的值可以是（ ）
A．3 B． C．2 D．
【答案】D
【解答】解：由题意可得 ，
解得： ，
则﹣2xy+1
＝﹣2× × +1
＝﹣ +1
＝﹣ +1
＝﹣ +1
＝﹣ + ≤ ，
∵3＞ ＞2＞ ，
∴A，B，C不符合题意，D符合题意，
故选：D．
4．（2021•重庆）若关于x的方程 +a＝4的解是x＝2，则a的值为 3 ．
【答案】3．
【解答】解：把x＝2代入方程 +a＝4得： +a＝4，
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解得：a＝3，
故答案为：3．
5．（2021•枣庄）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫图．将数字
1～9分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行、每一竖行以及两条斜对角线上的数字之和都是 15，
则m的值为 1 ．
【答案】1．
【解答】解：依题意，得：6+m+8＝15，
解得：m＝1．
故答案为：1．
6．（2023•连云港）解方程组 ．
【答案】 ．
【解答】解： ，
①+②得：5x＝15，
解得：x＝3，
将x＝3代入①得：3×3+y＝8，
解得：y＝﹣1，
故原方程组的解为： ．
7．（2022•荆州）已知方程组 的解满足2kx﹣3y＜5，求k的取值范围．
【答案】k＜2．
【解答】解：①+②得：2x＝4，
∴x＝2，
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①﹣②得：2y＝2，
∴y＝1，
代入2kx﹣3y＜5得：4k﹣3＜5，
∴k＜2．
答：k的取值范围为：k＜2．
8．（2022•岳阳）为迎接湖南省第十四届运动会在岳阳举行，某班组织学生参加全民健身线上跳绳活动，
需购买A，B两种跳绳若干．若购买3根A种跳绳和1根B种跳绳共需140元；若购买5根A种跳绳和3
根B种跳绳共需300元．
（1）求A，B两种跳绳的单价各是多少元？
（2）若该班准备购买A，B两种跳绳共46根，总费用不超过1780元，那么至多可以购买B种跳绳多少
根？
【答案】（1）A种跳绳的单价为30元，B种跳绳的单价为50元．
（2）至多可以购买B种跳绳20根．
【解答】解：（1）设A种跳绳的单价为x元，B种跳绳的单价为y元．
根据题意得： ，
解得： ，
答：A种跳绳的单价为30元，B种跳绳的单价为50元．
（2）设购买B种跳绳a根，则购买A种跳绳（46﹣a）根，
由题意得：30（46﹣a）+50a≤1780，
解得：a≤20，
答：至多可以购买B种跳绳20根．
9．（2023•河北）某磁性飞镖游戏的靶盘如图．珍珍玩了两局，每局投10次飞镖，若投到边界则不计入次
数，需重新投．计分规则如下：
投中位置 A区 B区 脱靶
一次计分（分） 3 1 ﹣2
在第一局中，珍珍投中A区4次，B区2次．脱靶4次．
（1）求珍珍第一局的得分；
（2）第二局，珍珍投中A区k次，B区3次，其余全部脱靶．若本局得分比第一局提高了 13分，求k
的值．
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【答案】（1）6分；
（2）k的值为6．
【解答】解：（1）由题意可得：4×3+2×1+4×（﹣2）＝6（分），
答：珍珍第一局的得分为6分；
（2）由题意可得：3k+3×1+（10﹣k﹣3）×（﹣2）＝6+13，
解得：k＝6．
∴k的值为6．
10．（2023•张家界）为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，原计划租用 45座客车若干
辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．现有甲、
乙两种客车，它们的载客量和租金如下表所示：
甲型客车 乙型客车
载客量 45 60
（人/辆）
租金（元/辆） 200 300
（1）参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？
（2）若租用同一种客车，要使每位师生都有座位，应该怎样租用才合算？
【答案】（1）参加此次研学活动的师生人数是600人，原计划租用13辆45座客车；
（2）租用14辆45座客车更合算．
【解答】解：（1）设参加此次研学活动的师生人数是x人，原计划租用y辆45座客车．
根据题意，得 ，
解得 ．
答：参加此次研学活动的师生人数是600人，原计划租用13辆45座客车；
（2）租45座客车：600÷45≈14（辆），所以需租14辆，租金为200×14＝2800（元），
租60座客车：600÷60＝10（辆），所以需租10辆，租金为300×10＝3000（元），
∵2800＜3000，
∴租用14辆45座客车更合算．
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