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专题 02 整式与因式分解的核心知识点精讲
1．能用幂的性质解决简单问题,会进行简单的整式乘法与加法的混合运算．
2．能用平方差公式、完全平方公式进行简单计算．
3．了解因式分解的意义及其与整式乘法之间的关系，会用提公因式法和公式法进行因式分解．
4．能选用恰当的方法进行相应的代数式的变形，并通过代数式的适当变形求代数式的值．
5．会列代数式表示简单的数量关系;能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义,会求代数式的值，并能
根据代数式的值或特征推断代数式反映的规律．
考点1：代数式
定义：用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。单独的一个数或字母也是代数式。
考点2：整式的相关概念
考点3：整式加减运算
1.实质：合并同类项
2.合并同类项：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。
3. 去括号
（1）a+(b+c)=a+b+c ； （2）a-(b+c)=a-b-c
考点4：幂运算
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（1）幂的乘法运算
口诀：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。即am×an=a（m+n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n)
（2）幂的乘方运算
(a m ) n amn
口诀：幂的乘方，底数不变，指数相乘。即 = (m,n都为正整数)
（3）积的乘方运算
(
abm
)
n anbmn
口诀：等于将积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。即 = （m,n为正整数）
（4）幂的除法运算
口诀：同底数幂相除，底数不变，指数相减。即am÷an=a（m-n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n)
考点5：整式乘法运算
（1）单项式乘单项式
单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连
同它的指数作为积的一个因式．
（2）单项式乘多项式
单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加．
（3）多项式乘多项式
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．
（4）乘法公式
(ab)(ab)a2 b2
①平方差公式：
ab2 a2 2abb2 (ab)2 a2 2abb2
完全平方公式：
②
（5）除法运算
①单项式的除法：把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同
它的指数作为商的一个因式．
②多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．
考点6：因式分解
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【题型1：代数式及其求值】
【典例1】（2023•南通）若a2﹣4a﹣12＝0，则2a2﹣8a﹣8的值为（ ）
A．24 B．20 C．18 D．16
1．（2023•雅安）若m2+2m﹣1＝0，则2m2+4m﹣3的值是（ ）
A．﹣1 B．﹣5 C．5 D．﹣3
2．（2023•常德）若a2+3a﹣4＝0，则2a2+6a﹣3＝（ ）
A．5 B．1 C．﹣1 D．0
3．（2023•巴中）若x满足x2+3x﹣5＝0，则代数式2x2+6x﹣3的值为（ ）
A．5 B．7 C．10 D．﹣13
【题型2：整式的相关概念及加减】
【典例2】（2022•湘潭）下列整式与ab2为同类项的是（ ）
A．a2b B．﹣2ab2 C．ab D．ab2c
1．（2021•河池）下列各式中，与2a2b为同类项的是（ ）
A．﹣2a2b B．﹣2ab C．2ab2 D．2a2
2．（2022•泰州）下列计算正确的是（ ）
A．3ab+2ab＝5ab B．5y2﹣2y2＝3
C．7a+a＝7a2 D．m2n﹣2mn2＝﹣mn2
3．（2022•包头）若一个多项式加上3xy+2y2﹣8，结果得2xy+3y2﹣5，则这个多项式为 ．
【题型3：幂运算】
【典例3】（2023•株洲）计算：（3a）2＝（ ）
A．5a B．3a2 C．6a2 D．9a2
1．（2023•丹东）下列运算正确的是（ ）
A．（3xy）2＝9x2y2 B．（y3）2＝y5
C．x2•x2＝2x2 D．x6÷x2＝x3
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2．（2023•陕西）计算： ＝（ ）
A． B． C． D．
3．（2023•温州）化简a4•（﹣a）3的结果是（ ）
A．a12 B．﹣a12 C．a7 D．﹣a7
【题型4：整式的乘除及化简求值】
【典例4】（2023•盐城）先化简，再求值：（a+3b）2+（a+3b）（a﹣3b），其中a＝2，b＝﹣1．
1．（2023•长沙）先化简，再求值：（2﹣a）（2+a）﹣2a（a+3）+3a2，其中a＝﹣ ．
2．（2023•常州）先化简，再求值：（x+1）2﹣2（x+1），其中x＝ ．
3．（2022•盐城）先化简，再求值：（x+4）（x﹣4）+（x﹣3）2，其中x2﹣3x+1＝0．
【题型5：因式分解】
【典例5】（2023•北京）分解因式：x2y﹣y3＝ ．
1．（2023•盐城）因式分解：x2﹣xy＝ ．
2．（2023•陕西）分解因式：3x2﹣12＝ ．
3．（2023•怀化）分解因式：2x2﹣4x+2＝ ．
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1．单项式mxy3与xn+2y3的和是5xy3，则m﹣n＝（ ）
2．下列计算正确的是（ ）
A．2ab+3ab＝5ab B．7y2﹣2y2＝5
C．4a+2a＝6a2 D．3m2n﹣2mn2＝mn2
3．如图是由连续的奇数1，3，5，7，……排成的数阵，用如图所示的T字框框住其中的四个数，设竖列
中间的数为x，则这四个数的和为（ ）
A．3x+1 B．3x+2 C．4x+1 D．4x+2
4．某商品标价为m元，商店以标价7折的价格开展促销活动，这时一件商品的售价为（ ）
A．0.3m元 B．1.7m元 C．7m元 D．0.7m元
5．如图是一组有规律的图案，它们由边长相等的等边三角形组成，第1个图案有4个三角形，第2个图案
有7个三角形，第 3个图案有10个三角形，…，照此规律，摆成第 6个图案需要的三角形个数是
（ ）
A．19个 B．22个 C．25个 D．26个
6．若代数2x2+3x的值为5，则代数式4x2+6x﹣9的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣4
7．下列计算正确的是（ ）
A．（a3）2＝a8 B．a2•a3＝a6
C．（2ab2）3＝8a3b6 D．
8．多项式3x2﹣2x+5的各项分别是（ ）
A．3x2，﹣2x，5 B．x2，x，5 C．3x2，2x，5 D．3，2，5
9．下列各整式中是三次单项式的是（ ）
A．5a3b B．32a2b C．﹣a2b3 D．9a2+b3
10．如果二次三项式x2+ax﹣2可分解为（x﹣2）（x+b），那么a+b的值为（ ）
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A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．0
11．将长、宽分别为x、y的四个完全一样的长方形，拼成如图所示的两个正方形，则这个图形可以用来解
释的代数恒等式是（ ）
A．（x+y）2＝x2+2xy+y2 B．（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2
C．（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2 D．（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy
12．（﹣x3）2的运算结果是（ ）
A．﹣x5 B．﹣x6 C．x6 D．x9
13．单项式﹣ 的系数和次数分别是（ ）
A．﹣ ，4 B．﹣ ，5 C． D．
14．若M和N都是三次多项式，则M+N一定是（ ）
A．次数低于三次的整式
B．六次多项式
C．三次多项式
D．次数不高于三次的整式
15．多项式x2+mx+25是完全平方式，那么m的值是（ ）
A．10 B．20 C．±10 D．±20
16．要使多项式2x2﹣2（7+3x﹣2x2）+mx2化简后不含x的二次项，则m的值是（ ）
A．2 B．0 C．﹣2 D．﹣6
17．先化简，再求值：（a+2）（a﹣2）+a（1﹣a），其中a＝2023．
18．甲、乙两个长方形的边长如图所示（m为正整数），其面积分别为S ，S ．
1 2
（1）填空：S ﹣S ＝ （用含m的代数式表示）；
1 2
（2）若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和．
①设该正方形的边长为x，求x的值（用含m的代数式表示）；
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②设该正方形的面积为S ，试探究：S 与2（S +S ）的差是否是常数？若是常数，求出这个常数，若不
3 3 1 2
是常数，请说明理由．
1．已知有2个完全相同的边长为a、b的小长方形和1个边长为m、n的大长方形，小明把这2个小长方形
按如图所示放置在大长方形中，小明经过推理得知，要求出图中阴影部分的周长之和，只需知道 a、
b、m、n中的一个量即可，则要知道的那个量是（ ）
A．a B．b C．m D．n
2．已知8m＝a，16n＝b，其中m，n为正整数，则23m+12n＝（ ）
A．ab2 B．a+b2 C．ab3 D．a+b3
3．比较344，433，522的大小正确的是（ ）
A．344＜433＜522 B．522＜433＜344
C．522＜344＜433 D．433＜344＜522
4．若（a+2b）•_____＝a2﹣4b2，则横线内应填的代数式是（ ）
A．﹣a﹣2b B．a+2b C．a﹣2b D．2b﹣a
5．同号两实数a，b满足a2+b2＝4﹣2ab，若a﹣b为整数，则ab的值为（ ）
A．1或 B．1或 C．2或 D．2或
6．我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约 13世纪）所著的《详解九章
算术》一书中，用如图的三角形解释二项式（a+b）n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．
根据“杨辉三角”设（a+b）n的展开式中各项系数的和为a ，若21010＝x，则a +a +a +…+a 的值为
n 1 2 3 2020
（ ）
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A．2x2 B．2x2﹣2 C．2020x﹣2 D．2020x
7．下列表格中的四个数都是按照规律填写的，则表中x的值是（ ）
A．135 B．170 C．209 D．252
故选：C．
8．定义运算“★”：a★b＝ ，关于x的方程（2x+1）★（2x﹣3）＝t恰好有两个不相等
的实数根，则t的取值范围是 ．
9．计算：已知：a+b＝3，ab＝1，则a2+b2＝ ．
10．如图，边长分别为a、b的两个正方形并排放在一起，当a+b＝8，ab＝10时，阴影部分的面积为 ．
11．因式分解：2x2﹣4x+2＝ ．
12．已知xy＝2，x+y＝3，则x2y+xy2＝ ．
13．如图，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝9，两正方形的面积和
S +S ＝51，则图中阴影部分面积为 ．
1 2
14．若实数a，b满足a﹣b＝1，则代数式a2﹣b2﹣2b+5的值为 ．
15．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”这个三角形给出了
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（a+b）n（n＝1，2，3，4，…）的展开式的系规律（按a的次数由大到小的顺序）．
请根据规律，写出（x+1）2022的展开式中含x2021项的系数是 ．
16．观察下列一组数：
a ＝ ，a ＝ ，a ＝ ，a ＝ ，a ＝ ，…，
1 2 3 4 5
它们是按一定规律排列的，请利用其中规律，写出第n个数a ＝ （用含n的式子表示）
n
17．先化简，再求值：（2a+1）（2a﹣1）﹣4a（a﹣1），其中a＝﹣1．
18．已知多项式A＝2x2﹣xy+my﹣8，B＝﹣nx2+xy+y+7，A﹣2B中不含有x2项和y项，求nm+mn的值．
19．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造
法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a+b）n（n为正整数）的
展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数 1，2，1，
恰好对应（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3＝
a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的系数等等．
（1）根据上面的规律，写出（a+b）5的展开式．
（2）利用上面的规律计算：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1．
20．我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数字等式，例如图 1，
可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式 ；
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（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝9，ab+bc+ac＝26，求a2+b2+c2的值；
（3）小明同学用2张边长为a的正方形、3张边长为b的正方形、5张边长为a、b的长方形纸片拼出了
一个长方形，那么该长方形较长一边的边长为多少？
（4）小明同学又用x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a、b的长方形纸片
拼出了一个面积为（25a+7b）（2a+5b）长方形，求9x+10y+6．
21．阅读理解：
若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值．
解：设9﹣x＝a，x﹣4＝b，
则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，
∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．
迁移应用：
（1）若x满足（2020﹣x）2+（x﹣2022）2＝10，求（2020﹣x）（x﹣2022）的值；
（2）如图，点E，G分别是正方形ABCD的边AD、AB上的点，满足DE＝k，BG＝k+1（k为常数，且
k＞0），长方形AEFG的面积是 ，分别以GF、AG作正方形GFIH和正方形AGJK，求阴影部分的面
积．
22．如图①所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成相等的四个小长方形，然后
按图②的方式拼成一个正方形．
（1）图②中阴影部分的正方形的边长等于 ；
（2）请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积：
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方法一： ；
方法二： ；
（3）根据（2）写出（m﹣n）2，（m+n）2，mn这三个代数式之间的等量关系及推理过程．
1．（2023•西藏）下列计算正确的是（ ）
A．2a2b﹣3a2b＝﹣a2b B．a3•a4＝a12
C．（﹣2a2b）3＝﹣6a6b3 D．（a+b）2＝a2+b2
2．（2023•攀枝花）我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式．给出以下4组图形及相应的
代数恒等式：
其中，图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2022•永州）若单项式3xmy与﹣2x6y是同类项，则m＝ ．
4.（2020•黔西南州）若7axb2与﹣a3by的和为单项式，则yx＝ ．
5．（2023•丽水）分解因式：x2﹣9＝ ．
6．（2023•淄博）分解因式：2a2﹣8b2＝ ．
7．（2022•广西）阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知 3a﹣b＝2，求代数式6a﹣2b﹣1
的值．”可以这样解：6a﹣2b﹣1＝2（3a﹣b）﹣1＝2×2﹣1＝3．根据阅读材料，解决问题：若x＝2是
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关于x的一元一次方程ax+b＝3的解，则代数式4a2+4ab+b2+4a+2b﹣1的值是 ．
8．（2023•长春）先化简，再求值：（a+1）2+a（1﹣a），其中 ．
9．（2023•邵阳）先化简，再求值：（a﹣3b）（a+3b）+（a﹣3b）2，其中a＝﹣3，b＝ ．
10.（2023•河北）现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图所示（a＞1）．某同学分别用6
张卡片拼出了两个矩形（不重叠无缝隙），如表2和表3，其面积分别为S ，S ．
1 2
表2
表3
（1）请用含a的式子分别表示S ，S ，当a＝2时，求S +S 的值；
1 2 1 2
（2）比较S 与S 的大小，并说明理由．
1 2
12
