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专题05 因式分解
一、因式分解意义
【高频考点精讲】
1．分解因式的定义
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式。
2．因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式。因式分解是两个或几
个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式。
【热点题型精练】
1．（2022•衡水模拟）对于①x﹣3xy＝x（1﹣3y），②（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3，从左到右的变形，表述正确
的是（ ）
A．都是因式分解
B．都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算
D．①是乘法运算，②是因式分解
解：①x﹣3xy＝x（1﹣3y），从左到右的变形是因式分解；
②（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3，从左到右的变形是整式的乘法，不是因式分解；
所以①是因式分解，②是乘法运算．
答案：C．
2．（2022•成都模拟）若把多项式x2+mx﹣12分解因式后含有因式x﹣6，则m的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
解：设x2+mx﹣12＝（x﹣6）（x+a）＝x2+（a﹣6）x﹣6a，
可得m＝a﹣6，6a＝12，
解得：a＝2，m＝﹣4，
答案：D．
3．（2022•济宁中考）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．x2﹣x﹣1＝x（x﹣1）﹣1 B．x2﹣1＝（x﹣1）2
C．x2﹣x﹣6＝（x﹣3）（x+2） D．x（x﹣1）＝x2﹣x
解：A选项不是因式分解，故不符合题意；
B选项计算错误，故不符合题意；
C选项是因式分解，故符合题意；D选项不是因式分解，故不符合题意；
答案：C．
4．（2022•永州中考）下列因式分解正确的是（ ）
A．ax+ay＝a（x+y）+1 B．3a+3b＝3（a+b）
C．a2+4a+4＝（a+4）2 D．a2+b＝a（a+b）
解：A选项，ax+ay＝a（x+y），故该选项不符合题意；
B选项，3a+3b＝3（a+b），故该选项符合题意；
C选项，a2+4a+4＝（a+2）2，故该选项不符合题意；
D选项，a2与b没有公因式，故该选项不符合题意；
答案：B．
5．（2022•柳州中考）把多项式a2+2a分解因式得（ ）
A．a（a+2） B．a（a﹣2） C．（a+2）2 D．（a+2）（a﹣2）
解：a2+2a＝a（a+2）．
答案：A．
二、提公因式法
【高频考点精讲】
1．提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的
形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
2．具体方法
（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数，字母应取各项相同的字母，字母的指
数应取次数最低的。取相同的多项式，多项式的次数应取最低的。
（2）如果多项式的第一项为负，一般要提出“﹣”，使括号内第一项的系数为正，提出“﹣”时，多项式的各
项都要变号。
【热点题型精练】
5．（2022•柳州中考）把多项式a2+2a分解因式得（ ）
A．a（a+2） B．a（a﹣2） C．（a+2）2 D．（a+2）（a﹣2）
解：a2+2a＝a（a+2）．
答案：A．
6．（2022•石家庄模拟）将多项式（a﹣1）2﹣a+1因式分解，结果正确的是（ ）
A．a﹣1 B．（a﹣1）（a﹣2） C．（a﹣1）2 D．（a+1）（a﹣1）
解：（a﹣1）2﹣a+1
＝（a﹣1）2﹣（a﹣1）＝（a﹣1）（a﹣1﹣1）
＝（a﹣1）（a﹣2）．
答案：B．
7．（2022•广州中考）分解因式：3a2﹣21ab＝ 3 a （ a ﹣ 7 b ） ．
解：3a2﹣21ab＝3a（a﹣7b）．
答案：3a（a﹣7b）．
8．（2022•遵义模拟）如图，矩形的周长为10，面积为6，则m2n+mn2的值是 3 0 ．
解：根据题意得：2（m+n）＝10，mn＝6，
整理得：m+n＝5，mn＝6，
则原式＝mn（m+n）＝6×5＝30．
答案：30
三、公式法
【高频考点精讲】
1．如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫做公式法。
平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2；
2．概括整合：
（ ）能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反。
（1）能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，
另一2 项是这两个数（或式）的积的2倍。
【热点题型精练】
9．（2022•河池中考）多项式x2﹣4x+4因式分解的结果是（ ）
A．x（x﹣4）+4 B．（x+2）（x﹣2） C．（x+2）2 D．（x﹣2）2
解：原式＝（x﹣2）2．
答案：D．
10．（2022•衡水模拟）若 ＝8×10×12，则k＝（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6解：方程两边都乘以k，得
（92﹣1）（112﹣1）＝8×10×12k，
∴（9+1）（9﹣1）（11+1）（11﹣1）＝8×10×12k，
∴80×120＝8×10×12k，
∴k＝10．
经检验k＝10是原方程的解．
答案：B．
11．（2022•荆门中考）对于任意实数 a，b，a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）恒成立，则下列关系式正确的是
（ ）
A．a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）
B．a3﹣b3＝（a+b）（a2+ab+b2）
C．a3﹣b3＝（a﹣b）（a2﹣ab+b2）
D．a3﹣b3＝（a+b）（a2+ab﹣b2）
解：∵a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2），
∴a3﹣b3
＝a3+（﹣b3）
＝a3+（﹣b）3
＝[a+（﹣b）][（a2﹣a•（﹣b）+（﹣b）2]
＝（a﹣b）（a2+ab+b2）
答案：A．
12．（2022•盘锦中考）分解因式：x2y﹣2xy2+y3＝ y （ x ﹣ y ） 2 ．
解：∵x2y﹣2xy2+y3＝y（x2﹣2xy+y2）＝y（x﹣y）2．
答案：y（x﹣y）2．
13．（2022•黔东南州中考）分解因式：2022x2﹣4044x+2022＝ 202 2 （ x ﹣ 1 ） 2 ．
解：原式＝2022（x2﹣2x+1）
＝2022（x﹣1）2．
答案：2022（x﹣1）2．
14．（2022•绥化中考）因式分解：（m+n）2﹣6（m+n）+9＝ （ m + n ﹣ 3 ） 2 ．
解：原式＝（m+n）2﹣2•（m+n）•3+32
＝（m+n﹣3）2．
答案：（m+n﹣3）2．
四、十字相乘法【高频考点精讲】
1．x2+（p+q）x+pq型式子
（1）式子特点：二次项的系数是1；常数项是两个数的积。
（2）x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）
2．ax2+bx+c（a≠0）型式子
（1）把二次项系数a分解成两个因数a 、a 的积a •a ，把常数项c分解成两个因数c 、c 的积c •c ，并使
1 2 1 2 1 2 1 2
a c +a c =b。（2）ax2+bx+c＝（a x+c ）（a x+c ）．
1 2 2 1 1 1 2 2
【热点题型精练】
15．（2022•贺州模拟）把多项式x2+2x﹣8因式分解，正确的是（ ）
A．（x﹣4）2 B．（x+1）（x﹣8） C．（x+2）（x﹣4） D．（x﹣2）（x+4）
解：x2+2x﹣8＝（x﹣2）（x+4），
答案：D．
16．（2022•上海模拟）如果把二次三项式x2+2x+c分解因式得x2+2x+c＝（x﹣1）（x+3），那么常数c的值是（
）
A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2
解：∵x2+2x+c＝（x﹣1）（x+3），（x﹣1）（x+3）＝x2+2x﹣3，
∴c＝﹣3．
答案：B．
17．（2022•内江中考）分解因式：a4﹣3a2﹣4＝ （ a 2 + 1 ）（ a + 2 ）（ a ﹣ 2 ） ．
解：a4﹣3a2﹣4
＝（a2+1）（a2﹣4）
＝（a2+1）（a+2）（a﹣2），
答案：（a2+1）（a+2）（a﹣2）．
18．（2021•荆门中考）把多项式x3+2x2﹣3x因式分解，结果为 x （ x + 3 ）（ x ﹣ 1 ） ．
解：原式＝x（x2+2x﹣3）＝x（x+3）（x﹣1），
答案：x（x+3）（x﹣1）．
19．（2022•赣州模拟）已知：整式A＝x（x+3）+5，整式B＝ax﹣1．
（1）若A+B＝（x+2）2，求a的值；
（2）若A﹣B可以分解为（x﹣2）（x﹣3），求A+B．
解：（1）∵A＝x（x+3）+5＝x2+3x+5，
∴A+B＝x2+3x+5+ax﹣1＝x2+（3+a）x+4．
∵A+B＝（x+2）2，∴A+B＝（x+2）2＝x2+4x+4＝x2+（3+a）x+4．
∴3+a＝4．
∴a＝1．
（2）由（1）得：A＝x2+3x+5．
∴A﹣B＝x2+3x+5﹣（ax﹣1）＝x2+（3﹣a）x+6．
∴x2+（3﹣a）+6＝（x﹣2）（x﹣3）．
∴x2+（3﹣a）x+6＝x2﹣5x+6．
∴3﹣a＝﹣5．
∴a＝8．
∴A+B＝x2+11x+4
五、因式分解的应用
【高频考点精讲】
1．利用因式分解解决求值问题。
2．利用因式分解解决证明问题。
3．利用因式分解简化计算问题。
【热点题型精练】
20．（2022•黔西南州中考）已知ab＝2，a+b＝3，求a2b+ab2的值是 6 ．
解：a2b+ab2＝ab（a+b），
∵ab＝2，a+b＝3，
∴原式＝2×3＝6．
答案：6．
21．（2022•广安中考）已知a+b＝1，则代数式a2﹣b2+2b+9的值为 1 0 ．
解：∵a2﹣b2+2b+9
＝（a+b）（a﹣b）+2b+9
又∵a+b＝1，
∴原式＝a﹣b+2b+9
＝a+b+9
＝10．
22．（2021•绵阳中考）若x﹣y＝ ，xy＝﹣ ，则x2﹣y2＝ 0 ．
解：∴ ，
∴（x﹣y）2＝3，∴x2﹣2xy+y2＝3，
∴ ，
∴ ，
∴（x2﹣y2）2＝（x2+y2）2﹣4x2y2，
＝ ，
∴x2﹣y2＝0，
答案：0．
23．（2022•西宁中考）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
将2a﹣3ab﹣4+6b因式分解．
【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：
解法一：原式＝（2a﹣3ab）﹣（4﹣6b）
＝a（2﹣3b）﹣2（2﹣3b）
＝（2﹣3b）（a﹣2）
解法二：原式＝（2a﹣4）﹣（3ab﹣6b）
＝2（a﹣2）﹣3b（a﹣2）
＝（a﹣2）（2﹣3b）
【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、
公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数
等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）
【类比】（1）请用分组分解法将x2﹣a2+x+a因式分解；
【挑战】（2）请用分组分解法将ax+a2﹣2ab﹣bx+b2因式分解；
【应用】（3）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四
个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和b
（a＞b），斜边长是3，小正方形的面积是1．
根据以上信息，先将a4﹣2a3b+2a2b2﹣2ab3+b4因式分解，再求值．
解：（1）原式＝（x2﹣a2）+（x+a）
＝（x+a）（x﹣a）+（x+a）＝（x+a）（x﹣a+1）；
（2）原式＝（ax﹣bx）+（a2﹣2ab+b2）
＝x（a﹣b）+（a﹣b）2
＝（a﹣b）（x+a﹣b）；
（3）原式＝（a4+2a2b2+b4）﹣（2ab3+2a3b）
＝（a2+b2）2﹣2ab（a2+b2）
＝（a2+b2）（a2+b2﹣2ab）
＝（a2+b2）（a﹣b）2，
∵直角三角形的两条直角边长分别是a和b（a＞b），斜边长是3，小正方形的面积是1，
∴a2+b2＝32＝9，（a﹣b）2＝1，
∴原式＝9
