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第 02 讲 整式与因式分解
目 录
.............................................2
题型01 列代数式.............................................................................................................................................................................2
题型02 判断单项式系数、次数...........................................................................................................................................2
题型03 判断多项式项、项数、次数................................................................................................................................2
题型04 判断同类项.......................................................................................................................................................................3
题型05 合并同类项.......................................................................................................................................................................3
题型06 添（去）括号..................................................................................................................................................................3
题型07 整式的加减.......................................................................................................................................................................4
题型08 幂的基本运算..................................................................................................................................................................4
题型09 幂的混合运算..................................................................................................................................................................5
题型10 整式的乘法.......................................................................................................................................................................5
题型11 整式的除法.......................................................................................................................................................................5
题型12 利用乘法公式计算.......................................................................................................................................................5
题型13 整式的化简求值............................................................................................................................................................6
题型14 判断因式分解..................................................................................................................................................................6
题型15 选用合适的方法因式分解......................................................................................................................................7
................7
...............10
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题型 01 列代数式
1．（2023·浙江杭州·一模）苹果的单价为a元/千克，香蕉的单价为b元/千克，买2千克苹果和3千克香蕉
共需（ ）
A．(a+b)元 B．(3a+2b)元 C．5(a+b)元 D．(2a+3b)元
2．（2023·河北唐山·二模）某两位数，十位数字为a，个位数字为b，将其十位上的数与个位上的数交换位
置，得到一个新的两位数，新两位数用代数式表示为（ ）
A．ba B．a+b C．10a+b D．10b+a
3．（2023·安徽合肥·一模）随着国产芯片自主研发的突破，某种型号芯片的价格经过两次降价，由原来每
片a元下降到每片b元，已知第一次下降了10％，第二次下降了20％，则a与b满足的数量关系是
（ ）
A．b=a(1−10％−20％) B．b=a(1−10％)(1−20％)
C．a=b(1+10％+20％) D．a=b(1+10％)(1+20％)
题型 02 判断单项式系数、次数
1．（2022·江苏南京·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A． 3πxy的系数是3 B．3πxy的次数是3
2 2 2
C． − x y2的系数是− D．− x y2的次数是2
3 3 3
2．（2023·河北承德·二模）下列各式中，运算结果为六次单项式的是（ ）
A．
m2+m4
B．
(m2) 4
C．
m3 ⋅m3
D．
(mn) 6
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题型 03 判断多项式项、项数、次数
1．（2022·安徽·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．3x−2的项是3x，2 B．2x2y+x y2−x是二次三项式
C．3x2y与−4 yx2是同类项 D．单项式−3πx2y的系数是−3
2．（2022·河北·一模）下列关于4a+2的叙述，错误的是（ ）
A．4a+2的次数是1 B．4a+2表示a的4倍与2的和
C．4a+2是多项式 D．4a+2可因式分解为4(a+1)
3．（2023·广东茂名·一模）多项式2x3+3x2−1的二次项系数是 ．
题型 04 判断同类项
1．（2023·江苏南京·一模）下列各组代数式中是同类项的是（ ）
A．5和3a B．2a2b和−ab2 C．3ab3和−3b3a D．abc和a2b2c2
2．（2023·广西柳州·二模）下列单项式中，与3ab2是同类项的是（ ）
A．3a2b B．4ab2 C．3a2b2 D．3ab
题型 05 合并同类项
1．（2023·江西上饶·一模）下列计算正确的是( )
A．3ab+2ab=5ab B．5 y2−2y2=3
C．7a+a=7a2 D．m2n−2mn2=−mn2
2．（2023·内蒙古乌兰察布·校考二模）若等式2a2 ⋅a+（ ）=3a3成立，则括号中填写单项式可以是
（ ）
A．a B．a2 C．a3 D．a4
题型 06 添（去）括号
1．（2023·广东佛山·校考模拟预测）去括号： =（ ）
(y2−x2 )−(x2−y2
)
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A．y2−x2−x2−y2 B．y2+x2+x2−y2
C．y2−x2+x2−y2 D．y2−x2−x2+ y2
2．（2023·浙江宁波·一模）−[a−(b+c)]去括号后应为（ ）
A．−a−b+c B．−a+b−c C．−a−b−c D．−a+b+c
1
3．（2023·河北张家口·三模）与−1− 结果相同的是（ ）
2
( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
A．+ −1+ B．+ −1− C．− −1+ D．− −1−
2 2 2 2
4．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）在多项式a−b−c−x−y−z中任意加括号，加括号后仍只有减法运
算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“加算操作”，例如
(a−b)−(c−x−y−z)=a−b−c+x+ y+z，a−b−(c−x−y)−z=a−b−c+x+ y−z，…．在所有可
能的“加算操作”中，不同的运算结果共有（ ）
A．8种 B．16种 C．24种 D．32种
题型 07 整式的加减
1．（2023·河北保定·校考模拟预测）化简2a−b−2(a+b)的结果为（ ）
A．−2b B．−3b C．b D．4a+b
2．（2023·江苏盐城·校考一模）墨迹覆盖了等式“ −(x2+1)=3x”中的多项式，则覆盖的多项式
为（ ）
A．x+2 B．−x2−1+3x C．3x−x2+1 D．3x+x2+1
3．（2023·安徽合肥·二模）化简：
3(a2+2ab)−2(ab−a2)
题型 08 幂的基本运算
1．（2023·湖南湘西·校考二模）下列运算正确的是（ ）
A．
a2 ⋅a3=a5
B．
(a3) 2 =a5
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C． D．a6
(ab) 2=ab2 =a3 (a≠0)
a2
2．（2023·湖北襄阳·一模）电子文件的大小常用B,KB,MB,GB等作为单位，其中
1GB=210MB,1MB=210KB,1KB=210B，某视频文件的大小约为1GB,1GB等于( )
A．230B B．830B C．8×1010B D．2×1030B
3．（2023·福建厦门·厦门市湖里中学校考模拟预测）计算
(2a4) 3
的结果是（ ）
A．2a12 B．8a12 C．6a7 D．8a7
4．（2023·吉林松原·校联考三模）66是63的（ ）
A．2倍 B．36倍 C．3倍 D．216倍
5．（2023·吉林四平·校联考三模）计算： ．（结果用幂的形式表示）
(a−b) 3 ⋅(b−a) 4=
题型 09 幂的混合运算
1．（2023·江苏徐州·模拟预测）计算
−a2 ⋅(a2) 3
的结果是（ ）
A．a8 B．－a8 C．a7 D．－a7
2．（2022·广东广州·二模）已知3m=4，32m−4n=2．若9n=x，则x的值为（ ）
A．8 B．4 C．2√2 D．√2
题型 10 整式的乘法
1
1．（2022·天津·模拟预测）计算： x y2 ⋅(−4x2y)= ．
2
2．（2022·江苏无锡·校考一模）已知 ，则 ．
ab2=−3 −ab(a2b5−ab3−b)=
3．（2023·浙江舟山·校联考一模）如果(x+m)(x−5)=x2−3x+k，那么k、m的值分别是（ ）．
A．k=10，m=2 B．k=10，m=−2
C．k=−10，m=2 D．k=−10，m=−2
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题型 11 整式的除法
1．（2023·天津·模拟预测）计算：12x2y÷(−6xy)= ．
2．（2023·陕西西安·模拟预测）计算：
（1）（x2y3）4+（﹣x）8（y6）2；
（2）（9x2y3﹣27x3y2）÷（3xy）2．
3．（2023·甘肃陇南·校考一模）计算
(ab2) 4 ÷(ab) 2
的结果是（ ）
A．a2b2 B．a2b3 C．a2b6 D．a3b3
4（2023·陕西西安·校考模拟预测）计算 的结果为（ ）
(12x3−18x2−6x)÷(−6x)
A．−2x2+3x B．−2x2−3x C．−2x2−3x−1 D．−2x2+3x+1
题型 12 利用乘法公式计算
1．（2023·湖北荆门·一模）将9.52变形正确的是（ ）
A．9.52=92+0.52 B．9.52=（10+0.5）（10﹣0.5）
C．9.52=102﹣2×10×0.5+0.52 D．9.52=92+9×0.5+0.52
2．（2023·天津河北·三模）计算(√19+1)(√19−1)的结果等于 ．
3．（2023·陕西西安·校考二模）化简：
(2x+1) 2−(4x+1)(x+1)
4．（2023·甘肃兰州·二模）化简：（2x﹣3）（2x＋3）﹣（2x﹣1）2
题型 13 整式的化简求值
1．（2023·四川泸州·四川省泸县第一中学校考二模）已知m、n是一元二次方程x2+2x−5=0的两个根，
则m2+mn+2m的值为（ ）
A．0 B．－10 C．3 D．10
2．（2023·广东深圳·深圳市福田区北环中学校考二模）已知x2−y2=69，x+ y=3，则x−y= ．
3．（2023·陕西·模拟预测）已知m2+n2+10=6m−2n，则m−n= ．
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4．（2023·内蒙古呼伦贝尔·三模）如果 ，那么 的平方根为 ．
√x−4+(y+6) 2=0 2x−y
5．（2023·河北秦皇岛·校联考三模）已知A=x2−2xy，B= y2+3xy，当x=−2，y=−3时，求2A−B
的值．
6．（2023·湖南岳阳·一模）已知 ，求代数式 的值．
x2+2x−2=0 x(x+2)+(x+1) 2
1
7．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）已知x2﹣3x+1＝0，求x2+ 的值．
x2
8．（2023·河北衡水·校联考一模）已知多项 ， ．
A=3x2−x+1 B=kx2−(2x2+x−2)
(1)当x=−1时，求A的值；
(2)小华认为无论k取何值，A−B的值都无法确定．小明认为k可以找到适当的数，使代数式A−B的值是
常数．你认为谁的说法正确？请说明理由．
9．（2023·吉林松原·校联考三模）先化简，再求值：(x+2)(3x−2)−2x(x+2)，其中x=√3−1．
题型 14 判断因式分解
1．（2023·江苏徐州·模拟预测）下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（ ）
A．x(2x+1)=2x2+x B．1−a2=(1+a)(1−a)
C． D．
(x+1)(x−1)=x2−1 a2−2a+3=(a−1) 2+2
2．（2023·甘肃平凉·校考三模）下列因式分解错误的是( )
A． B．
x2－y2＝(x+ y)(x－y) x2+6x+9＝(x+3) 2
C． D．
x2+xy＝x(x+ y) x2+ y2＝(x+ y) 2
3．（2023·河北·模拟预测）对于下列两个自左向右的变形：甲：6x2y=2x⋅3xy，乙：
其中说法正确的是（ ）
x2−2x+1=x(x−2)+1
A．甲、乙均为因式分解 B．甲、乙均不是因式分解
C．甲是因式分解，乙是整式乘法 D．甲是整式乘法，乙是因式分解
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题型 15 选用合适的方法因式分解
1．（2023·辽宁沈阳·三模）分解因式：x y2−x= ．
2．（2023·广东清远·二模）因式分解：a2+4a+4= ．
3．（2023·江苏徐州·一模）把下面各式分解因式：
(1)3x2−27 y2
(2)(a+b)−2a(a+b)+a2(a+b)
4．（2022·山东淄博·一模）分解因式：2x2−4x−6．
1．（2022·四川攀枝花·中考真题）下列各式不是单项式的为（ ）
b 1
A．3 B．a C． D． x2y
a 2
2．（2022·安徽·中考真题）下列各式中，计算结果等于a9的是（ ）
A．a3+a6 B．a3 ⋅a6 C．a10−a D．a18÷a2
3．（2023·湖北宜昌·中考真题）在日历上，某些数满足一定的规律．如图是某年8月份的日历，任意选择
其中所示的含4个数字的方框部分，设右上角的数字为a，则下列叙述中正确的是（ ）．
日 一 二 三 四 五 六
1 2 3 4
1
5 6 7 8 9 11
0
1 1 1
12 14 16 18
3 5 7
2 2 2
19 21 23 25
0 2 4
2 2 3
26 28 30
7 9 1
A．左上角的数字为a+1 B．左下角的数字为a+7
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C．右下角的数字为a+8 D．方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数
4．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A．
(a2b3) 2 =a4b6
B．
3ab−2ab=1
C．
(−a) 3 ⋅a=a4
D．
(a+b) 2=a2+b2
5．（2023·新疆·中考真题）计算4a⋅3a2b÷2ab的结果是（ ）
A．6a B．6ab C．6a2 D．6a2b2
6．（2023·山东日照·中考真题）已知直角三角形的三边a,b,c满足c>a>b，分别以a,b,c为边作三个正方
形，把两个较小的正方形放置在最大正方形内，如图，设三个正方形无重叠部分的面积为S ，均重叠部分
1
的面积为S ，则（ ）
2
A．S >S B．S b)的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C
类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为a+b的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C
类纸片．若要拼一个长为3a+b、宽为2a+2b的矩形，则需要C类纸片的张数为( )
A．6 B．7 C．8 D．9
8．（2022·湖北荆门·中考真题）对于任意实数a，b，a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）恒成立，则下列关系式
正确的是( )
A．a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2） B．a3﹣b3＝（a+b）（a2+ab+b2）
C．a3﹣b3＝（a﹣b）（a2﹣ab+b2） D．a3﹣b3＝（a+b）（a2+ab﹣b2）
9．（2023·四川内江·中考真题）已知a、b是方程x2+3x−4=0的两根，则a2+4a+b−3= ．
10．（2023·四川乐山·中考真题）若m、n满足3m−n−4=0，则8m÷2n= ．
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11．（2023·四川凉山·中考真题）已知y2−my+1是完全平方式，则m的值是 ．
12．（2023·江苏苏州·中考真题）已知一次函数y=kx+b的图象经过点(1,3)和(−1,2)，则k2−b2= ．
13．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）把多项式mx2−16m分解因式的结果是 ．
14．（2022·广西·中考真题）阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知3a−b=2，求代数式
6a−2b−1的值．”可以这样解：6a−2b−1=2(3a−b)−1=2×2−1=3．根据阅读材料，解决问题：
若x=2是关于x的一元一次方程ax+b=3的解，则代数式4a2+4ab+b2+4a+2b−1的值是 ．
15．（2023·四川凉山·中考真题）先化简，再求值： ，其中
(2x+ y) 2−(2x+ y)(2x−y)−2y(x+ y)
(1) 2023
x= ，y=22022．
2
16．（2023·河北·中考真题）现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示(a>1)．某
同学分别用6张卡片拼出了两个矩形(不重叠无缝隙)，如图2和图3，其面积分别为S ,S ．
1 2
(1)请用含a的式子分别表示S ,S ；当a=2时，求S +S 的值；
1 2 1 2
(2)比较S 与S 的大小，并说明理由．
1 2
1．（2023·重庆·中考真题）对于一个四位自然数M，若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数
字多2，则称M为“天真数”．如：四位数7311，∵7−1=6，3−1=2，∴7311是“天真数”；四位数
8421，∵8−1≠6，∴8421不是“天真数”，则最小的“天真数”为 ；一个“天真数”M的千位
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数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记P(M)=3(a+b)+c+d，Q(M)=a−5，若
P(M)
能被10整除，则满足条件的M的最大值为 ．
Q(M)
2．（2022·浙江丽水·中考真题）如图，标号为①，②，③，④的矩形不重叠地围成矩形PQMN，已知①
和②能够重合，③和④能够重合，这四个矩形的面积都是5.AE=a,DE=b，且a>b．
（1）若a，b是整数，则PQ的长是 ；
（2）若代数式 的值为零，则S 的值是 ．
a2−2ab−b2 四边形ABCD
S
矩形PQMN
3．（2022·四川凉山·中考真题）阅读材料：
b c
材料1：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x，x，则x＋x＝− ，xx＝
1 2 1 2 1 2
a a
材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值．
解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，
∴m＋n＝1，mn＝－1，
则m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根为x，x，则x＋x＝ ；xx＝ ．
1 2 1 2 1 2
n m
(2)类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n，求 + 的值．
m n
1 1
(3)思维拓展：已知实数s、t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求 − 的值．
s t
4．（2022·青海西宁·中考真题）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
将2a−3ab−4+6b因式分解．
【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：
解法一：原式=(2a−3ab)−(4−6b)=a(2−3b)−2(2−3b)=(2−3b)(a−2)
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解法二：原式=(2a−4)−(3ab−6b)=2(a−2)−3b(a−2)=(a−2)(2−3b)
【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式
法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方
程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）
【类比】
(1)请用分组分解法将x2−a2+x+a因式分解；
【挑战】
(2)请用分组分解法将ax+a2−2ab−bx+b2因式分解；
【应用】
(3)“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等
的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和
b(a>b)，斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将a4−2a3b+2a2b2−2ab3+b4因式分解，
再求值．
5．（2023·湖南张家界·中考真题）阅读下面材料：
将边长分别为a，a+√b，a+2√b，a+3√b的正方形面积分别记为S ，S ，S ，S ．
1 2 3 4
则
S −S =(a+√b) 2 −a2
2 1
=[(a+√b)+a]⋅[(a+√b)−a]
=(2a+√b)⋅√b
=b+2a√b
例如：当 ， 时，
a=1 b=3 S −S =3+2√3
2 1
根据以上材料解答下列问题：
(1)当a=1，b=3时，S −S =______，S −S =______；
3 2 4 3
(2)当a=1，b=3时，把边长为a+n√b的正方形面积记作S ，其中n是正整数，从（1）中的计算结果，
n+1
你能猜出S −S 等于多少吗？并证明你的猜想；
n+1 n
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(3)当a=1，b=3时，令t =S −S ，t =S −S ，t =S −S ，…，t =S −S ，且T=t +t +t +⋯+t ，
1 2 1 2 3 2 3 4 3 n n+1 n 1 2 3 50
求T的值．
13
