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专题 02 整式与因式分解【十大题型】
【题型1 实际问题中的代数式】..............................................................................................................................3
【题型2 求代数式的值】..........................................................................................................................................3
【题型3 整式的加减与幂的运算】..........................................................................................................................4
【题型4 整式的乘除】..............................................................................................................................................4
【题型5 乘法公式的应用】......................................................................................................................................4
【题型6 整式的化简求值】......................................................................................................................................5
【题型7 提公因式法分解因式】..............................................................................................................................5
【题型8 运用公式法分解因式】..............................................................................................................................6
【题型9 数式规律探究】..........................................................................................................................................6
【题型10 数式中的新定义问题探究】......................................................................................................................7
【知识点 整式与因式分解】
1.定义
(1)代数式：用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也
是代数式。
(2)单项式：用数或字母的乘积表示的式子叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。
单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的
次数。
注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示；一个单项式中，所
有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
(3)多项式：几个单项式的和叫做多项式。其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数
项。多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。
单项式与多项式统称整式。
(4)同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。
(5)合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。
合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变。
2.整式的运算
(1)整式的加减：几个整式相加减，如有括号就先去括号，然后再合并同类项。
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去括号法则：同号得正，异号得负。即括号外的因数的符号决定了括号内的符号是否改变：
如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；
如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。
(2)整式的乘除运算
①同底数幂的乘法：am·an=am+n。同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
②幂的乘方：(am)n=amn。幂的乘方，底数不变，指数相乘。
③积的乘方：(ab)n=anbn。积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
④单项式与单项式的乘法：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个
单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
⑤单项式与多项式的乘法：p(a+b+c)=pa+pb+pc。单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每
一项，再把所得的积相加。
⑥多项式与多项式的乘法：(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq。多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一
项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2。两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。这个公式
叫做平方差公式。
完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2。两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加
上(或减去)它们积的2倍。这两个公式叫做完全平方公式。
⑦同底数幂的除法：am÷an=am-n。同底数幂相除，底数不变，指数相减。
任何不等于0的数的0次幂都等于1。
⑧单项式与单项式的除法：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式
里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
⑨多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商
相加。
注：以上公式及法则在分式和二次根式的运算中同样适用。
(3)添括号法则
同号得正，异号得负。即括号前的符号决定了括号内各项的符号是否改变：
如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；
如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。
3.因式分解
定义：把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫
做把这个多项式分解因式。
以上公式都可以用来对多项式进行因式分解，因式分解的常用方法：
①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)；
②公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)；a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2。
③分组分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)
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④十字相乘法：a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q)
因式分解的一般步骤：
（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。
（2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公
式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分
解法分解因式
（3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。
【题型1 实际问题中的代数式】
【例1】（2023·湖南长沙·统考中考真题）为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“书香满
校园”的读书活动．现需购买甲，乙两种读本共100本供学生阅读，其中甲种读本的单价为10元/本，乙
种读本的单价为8元/本，设购买甲种读本x本，则购买乙种读本的费用为（ ）
A．8x元 B．10(100−x)元 C．8(100−x)元 D．(100−8x)元
【变式1-1】（2023·吉林长春·统考中考真题）2023长春马拉松于5月21日在南岭体育场鸣枪开跑，某同
学参加了7.5公里健康跑项目，他从起点开始以平均每分钟x公里的速度跑了10分钟，此时他离健康跑终
点的路程为 公里．（用含x的代数式表示）
【变式1-2】（2023·四川德阳·统考中考真题）在初中数学文化节游园活动中，被称为“数学小王子”的王
小明参加了“智取九宫格”游戏比赛，活动规则是：在九宫格中，除了已经填写的三个数之外的每一个方
格中，填入一个数，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和分别相等，且均为m．王小明
抽取到的题目如图所示，他运用初中所学的数学知识，很快就完成了这个游戏，则m= ．
16
7
4
【变式1-3】（2023·湖北宜昌·统考中考真题）从前，古希腊一位庄园主把一块边长为a米（a>6）的正方
形土地租给租户张老汉．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加6米，相邻的另一边减少6米，
变成矩形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积
会（ ）
A．没有变化 B．变大了 C．变小了 D．无法确定
【题型2 求代数式的值】
【规律方法】
求代数式的一般方法：
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（1）已知字母或代数式的值，直接代入数式求解。
（2）已知几个字母之间的关系，将代数式配凑成关于那几个字母之间的关系的式子，再整体代换。
（3）当字母的取值不明确时，需将字母的值化简或求解出来，再代入代数式解题。
【例2】（2023·江苏南通·统考中考真题）若a2−4a−12=0，则2a2−8a−8的值为（ ）
A．24 B．20 C．18 D．16
【变式2-1】（2023·四川乐山·统考中考真题）若m、n满足3m−n−4=0，则8m÷2n= ．
【变式2-2】（2023·广东深圳·统考中考真题）已知实数a，b，满足a+b=6，ab=7，则a2b+ab2的值为
．
【变式2-3】（2023·山东·统考中考真题）已知实数m满足m2−m−1=0，则2m3−3m2−m+9=
．
【题型3 整式的加减与幂的运算】
【例3】（2023·湖北襄阳·统考中考真题）下列各式中，计算结果等于a2的是（ ）
A．a2 ⋅a3 B．a5÷a3 C．a2+a3 D．a5−a0
【变式3-1】（2023·湖南永州·统考中考真题）若x，y均为实数，43x=2021，47y=2021，则43xy ⋅47xy=
1 1
x+y； + = ．
❑
x y
【变式3-2】（2023·内蒙古包头·中考真题）若一个多项式加上3xy+2y2−8，结果得2xy+3 y2−5，则这
个多项式为 ．
【变式3-3】（2023·辽宁沈阳·统考中考真题）当a+b=3时，代数式2(a+2b)−(3a+5b)+5的值为
．
【题型4 整式的乘除】
【例4】（2023·台湾·统考中考真题）计算(2x﹣3)(3x+4)的结果，与下列哪一个式子相同？（ ）
A．−7x+4 B．−7x−12 C．6x2−12 D．6x2−x−12
【变式4-1】（2023·江苏·统考中考真题）计算 ．
(x+ y)(x2−xy+ y2 )
【变式4-2】（2023·海南省直辖县级单位·统考一模）已知长方形的面积为18x3y4+9x y2−27x2y2，长
为9xy，则宽为( )
A．2x2y3+ y+3xy B．2x2y2−2y+3xy
C．2x2y3+2y−3xy D．2x2y3+ y−3xy
【变式4-3】（2023·江苏·统考中考真题）若(x+4)(x−2)=x2+px+q，则p、q的值是（ ）
A．2，−8 B．−2，−8 C．−2，8 D．2，8
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【题型5 乘法公式的应用】
【例5】（2023·四川泸州·统考中考真题）若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程
x2−10x+m=0的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为（ ）
A．√3 B．2√3 C．√14 D．2√14
【变式5-1】（2023·湖南·统考中考真题）已知y2−my+1是完全平方式，则m的值是 ．
【变式5-2】（2023·江苏宿迁·统考中考真题）若实数m满足 ，则
(m−2023) 2+(2024−m) 2=2025
(m−2023)(2024−m)= ．
【变式5-3】（2023·浙江·统考中考真题）如图，分别以a,b,m,n为边长作正方形，已知m>n且满足
am−bn=2，an+bm=4．
（1）若a=3,b=4，则图1阴影部分的面积是 ；
（2）若图1阴影部分的面积为3，图2四边形ABCD的面积为5，则图2阴影部分的面积是 ．
【题型6 整式的化简求值】
1
【例6】（2023·湖南·统考中考真题）先化简，再求值：(2−a)(2+a)−2a(a+3)+3a2，其中a=− ．
3
【变式6-1】（2023·广西玉林·统考中考真题）已知ab=a+b+1，则（a﹣1）（b﹣1）= ．
【变式6-2】（2023·北京·中考真题）已知 ，求代数式 的值．
x2−4x−1=0 (2x−3) 2−(x+ y)(x−y)−y2
【变式6-3】（2023·湖北随州·统考模拟预测）先化简，再求值：
√6
(a−2b) 2+(a−2b)(2b+a)−2a(2a−b)，其中，a=√2，b= ．
2
【题型7 提公因式法分解因式】
【规律方法】
确定公因式的方法：
（1）若各项系数都是整数，取各项系数的最大公因数作为公因式的系数。
（2）取各项相同的字母（或多项式因式）作为公因式的字母（或多项式因式），相同字母（或多项式因
式）取最低次幂。
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【例7】（2023·湖南·中考真题）因式分解：x2+x= ．
【变式7-1】（2023·湖南永州·统考中考真题）2a2与4ab的公因式为 ．
【变式7-2】（2023·湖北黄石·统考中考真题）因式分解：x(y−1)+4(1−y)= ．
【变式7-3】（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）因式分解：x2+xy−xz−yz= ．
【题型8 运用公式法分解因式】
【规律方法】
因式分解的三个步骤：
（1）先看有无公因式，有公因式的先提取公因式。
（2）提公因式后再看多项式的项数
①若多项式为两项，则考虑用平方差公式因式分解；
②若多项式为三项，则考虑用完全平方公式因式分解；
③若多项式有四项或四项以上，则考虑综合运用上面的方法；
（3）若上面方法都不能分解，则考虑把多项式重新整理、变形，再按上面步骤进行因式分解。
【例8】（2023·湖南益阳·统考中考真题）下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
2a2−4a+2=2(a−1) 2 a2+ab+a=a(a+b)
C． D．
4a2−b2=(4a+b)(4a−b) a3b−ab3=ab(a−b) 2
【变式8-1】（2023·浙江宁波·统考一模）分解因式：4+4m+m2= ．
【变式8-2】（2023江苏南京·统考中考模拟）因式分解：x(x−2)+1= ．
【变式8-3】（2023·河北·统考中考真题）若k为任意整数，则 的值总能（ ）
(2k+3) 2−4k2
A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除
【题型9 数式规律探究】
【规律方法】
以规律探索为背景，经过逻辑推理求解数学问题，要求具有更高的抽象思维能力和推理能力，对思维的严
谨性要求更高。
【例9】（2023·四川德阳·统考中考真题）在“点燃我的梦想，数学皆有可衡”数学创新设计活动中，“智
多星”小强设计了一个数学探究活动：对依次排列的两个整式m，n按如下规律进行操作：
第1次操作后得到整式串m，n，n−m；
第2次操作后得到整式串m，n，n−m，−m；
第3次操作后…
其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差，小强将这个活动
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命名为“回头差”游戏．
则该“回头差”游戏第2023次操作后得到的整式中各项之和是（ ）
A．m+n B．m C．n−m D．2n
【变式9-1】（2023·四川巴中·统考中考真题）我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算
法》，书中记载的图表给出了 展开式的系数规律．
(a+b) n
1
(a+b) 0=1
1 1
(a+b) 1=a+b
1 2 1
(a+b) 2=a2+2ab+b2
1 3 3 1
(a+b) 3=a3+3a2b+3ab2+b3
当代数式x4−12x3+54x2−108x+81的值为1时，则x的值为（ ）
A．2 B．−4 C．2或4 D．2或−4
【变式9-2】（2023·浙江·统考中考真题）观察下面的等式：32−12=8×1，52−32=8×2，72−52=8×3，
92−72=8×4，…．
(1)尝试：132−112=8×___________．
(2)归纳： ___________（用含n的代数式表示，n为正整数）．
(2n+1) 2−(2n−1) 2=8×
(3)推理：运用所学知识，推理说明你归纳的结论是正确的．
【变式9-3】（2023·甘肃·统考中考真题）观察等式：2+22=23−2；2+22+23=24−2；
2+22+23+24=25−2；…已知按一定规律排列的一组数：2100,2101,2102,⋯,2199,2200，若2100=S，用含S
的式子表示这组数据的和是( )
A．2S2−S B．2S2+S C．2S2−2S D．2S2−2S−2
【题型10 数式中的新定义问题探究】
【例10】（2023·四川成都·统考中考真题）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且
m−n>1，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，16=52−32，16就是一个智慧优数，可以利用
进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是 ；第23个
m2−n2=(m+n)(m−n)
智慧优数是 ．
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【变式10-1】（2023·四川广安·统考中考真题）定义一种新运算：对于两个非零实数a、b，
x y
a※b= + ．若2※(−2)=1，则(−3)※3的值是 ．
a b
【变式10-2】（2023·广西·统考中考真题）定义：形如a+bi的数称为复数（其中a和b为实数，i为虚数单
位，规定i2=−1），a称为复数的实部，b称为复数的虚部．复数可以进行四则运算，运算的结果还是一个
复数．例如 ，因此， 的实部是﹣
(1+3i) 2=12+2×1×3i+(3i) 2=1+6i+9i2=1+6i−9=−8+6i (1+3i) 2
8，虚部是6．已知复数 的虚部是12，则实部是（ ）
(3−mi) 2
A．﹣6 B．6 C．5 D．﹣5
【变式10-3】（2023·四川统考中考真题）阅读以下材料，苏格兰数学家纳皮尔（J．Npler，1550－1617
年）是对数的创始人，他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evler．1707－
1783年）才发现指数与对数之间的联系．
对数的定义：一般地．若ax=N（a>0且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，
记作x=log N，比如指数式24=16可以转化为对数式4=log 16，对数式2=log 9可以转化为指数式
a 2 3
32=9．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：
log (M⋅N)=log M+log N(a>0,a≠1,M>0,N>0)，理由如下：
a a a
设log M=m,log N=n，则M=am,N=an．
a a
∴M⋅N=am ⋅an=am+n．由对数的定义得m+n=log (M⋅N)
a
又∵m+n=log M+log N
a a
∴log (M⋅N)=log M+log N．
a a a
根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题：
（1）填空：①log 32=___________；②log 27=_______，③log l =________；
2 3 7
M
（2）求证：log =log M−log N(a>0,a≠1,M>0,N>0)；
a N a a
（3）拓展运用：计算log 125+log 6−log 30．
5 5 5
8
