文档文本内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
热点 01 数与式
中考数学中数与式部分主要考向分为四类：
一、实数与特殊角的三角函数值（每年2~4道，9~16分）
二、整式与因式分解（每年2~4道，7~10分）
三、分式（每年1~3题，3~13分）
四、二次根式（每年1~3题，3~12分）
在数学中考中，数与式部分主要考察实数及其运算、数的开方与二次根式、整式与因式分解、分式及
其运算；而这些考点中，对实数包含的各种概念的运用的考察占了大多数，但是试题难度设置的并不大，
属于中考中的基础“送分题”，题目多以选择题、填空题以及个别计算类简单解答题的形式出现；但是，
由于数学题目出题的多变性，虽然考点相同，并不表示出题方向也相同，所以在复习时，需要考生对这部
分的知识点的原理及变形都达到熟悉掌握，才能在众多的变形中，快速识别问题考点，拿下这部分基础分。
考向一：实数及其运算
【题型1 实数内的基本概念】
实数内的基本概念包括：数轴、相反数、绝对值、倒数、有理数、无理数、科学记数法；
1关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
做这种概念类题目时记牢以下4点：①熟悉各概念的基本定义，特别注意各概念中0的特殊存在；②必
须读对题意，问的是什么就想对应的考点；③如果是选择题，确保4个选项都要全看完，再说选哪个选
项；④做到数轴、绝对值相关的问题，注意需不需要分类讨论。
1．（2024·青海·中考真题）−2024的相反数是（ ）
1 1
A．−2024 B．2024 C．− D．
2024 2024
2．（2024·宁夏·中考真题）下列各数中，无理数是（ ）
1
A．−1 B． C．√4 D．π
3
3．（2024·甘肃兰州·中考真题）−2024的绝对值是（ ）
1 1
A． B．− C．2024 D．−2024
2024 2024
4．（2024·天津·中考真题）估计√10的值在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
5．（2024·山西·中考真题）中国空间站位于距离地面约400km的太空环境中．由于没有大气层保护，在
太阳光线直射下，空间站表面温度可高于零上150℃，其背阳面温度可低于零下100℃．若零上
150℃记作+150℃，则零下100℃记作（ ）
A．+100℃ B．−100℃ C．+50℃ D．−50℃
6．（2024·江苏无锡·中考真题）4的倒数是（ ）
1
A． B．−4 C．2 D．±2
4
【题型2 实数的比较大小】
实数比较大小的常见方法：①法则法：正数＞0＞负数；②数轴法：数轴上的数，右边的总比左边的
大；③绝对值法：两个负数比较大小，绝对值大的反而小；④平方法：两个正数比较大小，谁的平方
大，谁本身就大，两个负数比较大小，谁的平方大，谁本身反而小；
注意：个别实数的比较大小会结合其他基本概念或计算，这类问题要同时兼顾结合考点的性质再做比较
1．（2024·西藏·中考真题）下列实数中最小的是（ ）
1
A．−2 B．0 C． D．1
2
2．（2024·山东德州·中考真题）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所，下列结论正确的是（ ）
A．|a|>|b| B．a+b<0
2关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
C．a+2>b+2 D．|a−1|>|b−1|
3．（2024·四川资阳·中考真题）若√5<m<√10，则整数m的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（2024·内蒙古包头·中考真题）若2m−1，m，4−m这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排
列，则m的取值范围是（ ）
5
A．m<2 B．m<1 C．1<m<2 D．1<m<
3
5．（2024·山西·中考真题）比较大小：√6 2（填“>”、“<”或“=”）．
【题型3 实数的运算】
实数的运算是实数内各种概念法则运算的结合，一般以简答题为主，个别会出填空题，这也就决定了实
数的运算需要我们注意的三个方面：
①实数的运算必须熟悉的几个法则：零指数幂运算、负指数幂运算、绝对值的化简、根式的化简计算、
特殊角的三角函数值计算等；
②实数的运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的；
③实数的运算，先确定化简的正负，再进行合并计算。
1．（2024·山东淄博·中考真题）下列运算结果是正数的是（ ）
A．3−1 B．−32 C．−|−3| D．−√3
2．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，数轴上点A，M，B分别表示数a，a+b，b，那么下列运算结果
一定是正数的是（ ）
A．a+b B．a−b C．ab D．|a|−b
(1) −1
3．（2024·山东青岛·中考真题）计算：√18+ −2sin45°= ．
3
( 1 ) a2−1
4．（2024·宁夏·中考真题）先化简，再求值： 1− ⋅ ，其中a=1−√2．
a+1 a
5．（2024·西藏·中考真题）计算：(−1) 3+2tan60°−√12+(π−2) 0．
3关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
考向二：整式与因式分解
【题型4 代数式求值】
代数式求值类问题解题步骤：①根据已知条件转化含字母的整体部分的值；②转化待求式，得上一步整
体表达式的倍数的表达式；③将整体部分的值代入计算。
1．（2024·西藏·中考真题）若x与y互为相反数，z的倒数是−3，则2x+2y−3z的值为（ ）
A．−9 B．−1 C．9 D．1
2．（2024·山东德州·中考真题）已知a和b是方程x2+2024x−4=0的两个解，则a2+2023a−b的值为
．
3．（2024·江苏徐州·中考真题）若mn=2，m−n=1，则代数式m2n−mn2的值是 ．
4．（2024·广东广州·中考真题）若a2−2a−5=0，则2a2−4a+1= ．
【题型5 整式的计算与化简求值】
完全拿下这部分分数，首先需要我们完全熟悉整式中的所有计算公式，特别是完全平方公式与平方差公
式，变形也得掌握；其次要掌握整式的混合运算的顺序；最后，整式的化简求值，必须先化简，再带入
数据求值。
1、常见必会计算公式：①am•an＝a m+n（m，n是正整数） ②（am）n＝amn（m，n是正整数）
③（ab）n＝anbn（n是正整数） ④am÷an＝a m﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n） ⑤（a±b）2＝
a2±2ab+b2⑥（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
2、完全平方公式的常见变形：
(a+b) 2 −（a2 +b2）
ab=
a2 +b2 =(a+b) 2 −2ab 2
¿ (a−b) 2 +2ab ¿
（a2 +b2）−(a−b) 2
2
2 2
(a+b) +(a−b)
(a+b) 2 −(a−b) 2
¿
2 ¿ 4 (a+b) 2 =(a−b) 2 +4ab
3、其他技巧：整式的化简计算，其实就是去括号法则与合并同类项法则的联合应用，所以两个法则的
注意事项也是整式化简的注意事项。
1．（2024·山东德州·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a2=a4 B．a(a+1)=a2+1
C．a2 ⋅a4=a6 D．(a−1) 2=a2−1
2．（2024·江苏常州·中考真题）先化简，再求值：(x+1) 2−x(x+1)，其中x=√3−1．
4关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
3．（2024·江苏南通·中考真题）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦
图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长
分别为m，n(m>n)．若小正方形面积为5，(m+n) 2=21，则大正方形面积为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
4．（2024·四川德阳·中考真题）若一个多项式加上y2+3xy−4，结果是3xy+2y2−5，则这个多项式为
．
5．（2024·江苏常州·中考真题）先化简，再求值：(x+1) 2−x(x+1)，其中x=√3−1．
【题型6 因式分解】
完全拿下这部分分数，首先需要我们完全熟悉掌握常见的因式分解公式，如平方差、完全平方、立方和
差等；其次要掌握因式分解的顺序，优先提取多项式中的最大公因式；最后，检查是否完全分解。
1、常见必会计算公式：
①平方差公式： a2－b2＝ （a＋b）（a－b）
②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2
a2－2ab＋b2＝（a－b）
③十字相乘法：x² p qx pq （x+p ）（x+q ）
1．（2024·四川自贡·中考真题）分解因式：x2−3x= ．
2．（2024·四川眉山·中考真题）分解因式：3a3−12a= ．
3．（2024·山东淄博·中考真题）若多项式4x2−mxy+9 y2能用完全平方公式因式分解，则m的值是
．
考向三：二次根式
【题型7 二次根式有意义的条件】
5关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
在中考中二次根式有意义的条件主要在选择题或填空题考查，是“送分题”。
1
对于形如 的二次根式，要求a≥0。如果二次根式在分母中，如 ，则要求 a>0(因为分母不能为
√a √a
零)。
1．（2024·江苏徐州·中考真题）若√x+1有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥−1 B．x≤−1 C．x>−1 D．x<−1
√x−3
2．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）在函数y= 中，自变量x的取值范围是 ．
x+2
【题型8 二次根式的运算】
二次根式的运算主要在选择题，填空题或计算题考查，属于基础题，要完全拿下这分数，需要我们熟悉
掌握以下做题步骤：
①化简根式:将根式化为最简形式，如√8=2√2 。
②合并同类项:只有同类二次根式才能直接相加减，如2√3+3√3=5√3。
1 √2
③有理化分母:若分母有根式，乘以共轭根式有理化，如 =
√2 2
④运用公式:熟练运用平方差、完全平方等公式简化运算。
⑤检查结果:运算后检查是否为最简形式避免遗漏。
√1
1．（2024·江苏南通·中考真题）计算√27× 的结果是（ ）
3
A．9 B．3 C．3√3 D．√3
2．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）实数a,b在数轴上的对应位置如图所示，则√(a−b) 2−(b−a−2)
的化简结果是（ ）
A．2 B．2a−2 C．2−2b D．-2
3．（2024·四川乐山·中考真题）已知1<x<2，化简√(x−1) 2+|x−2|的结果为（ ）
A．−1 B．1 C．2x−3 D．3−2x
6关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
√3
4．（2024·甘肃·中考真题）计算：√18−√12× ．
2
考向四：分式及其运算
【题型9 分式有意义及分式值为0】
这个考点主要在选择题和填空题中考查，做这种提醒需要牢记下面几个注意事项：
分式有意义：分母不为零:解分式时，先确定分母不为零，排除使分母为零的值；
分式值为0：①分子为零:令分子等于零，求出可能的解；②验证解:将求得的解代入分母，确保分母不
为零；③分式化简:复杂分式先化简，再求解。④注意隐藏条件:分母中含根式或绝对值时，需额外考虑
定义域
1
1．（2024·江苏镇江·中考真题）使分式 有意义的x的取值范围是 ．
x−2
【答案】x≠2
【分析】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键．
分式有意义，则分母x−2≠0，由此易求x的取值范围．
1
【详解】解：当分母x−2≠0，即x≠2时，分式 有意义．
x−2
故答案为：x≠2．
【题型10 分式的计算与化简求值】
这中题型在考试中主要以解答题为主，个别也会出现在选择题或填空题，要把这部分的分完全拿下，需
要我们做到一下几点：①熟记公式（平方差，完全平方等）；②先化简后求值；③注意定义域；④检查
结果。
2 1 a+ab
1．（2024·四川雅安·中考真题）已知 + =1(a+b≠0)．则 =（ ）
a b a+b
1
A． B．1 C．2 D．3
2
( 3 ) x2−9
2．（2024·黑龙江大庆·中考真题）先化简，再求值： 1+ ÷ ，其中x=−2．
x−3 x2−6x+9
7关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
( x x ) x2+x
3．（2024·四川达州·中考真题）先化简： − ÷ ，再从−2，−1，0，1，2之中选择一个
x−2 x+2 x2−4
合适的数作为x的值代入求值．
（建议用时：15分钟）
1．（2024·四川达州·中考真题）有理数2024的相反数是（ ）
1 1
A．2024 B．−2024 C． D．−
2024 2024
2．（2024·重庆·中考真题）估计√12(√2+√3)的值应在（ ）
A．8和9之间 B．9和10之间 C．10和11之间 D．11和12之间
3．（2024·宁夏·中考真题）已知|3−a|=a−3，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·四川广元·中考真题）将−1在数轴上对应的点向右平移2个单位，则此时该点对应的数是
（ ）
A．−1 B．1 C．−3 D．3
5．（2024·北京·中考真题）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．b>−1 B．|b|>2 C．a+b>0 D．ab>0
6．（2024·四川眉山·中考真题）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽
的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为
4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（ ）
8关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A．24 B．36 C．40 D．44
7.（2024·云南·中考真题）按一定规律排列的代数式：2x，3x2，4x3，5x4，6x5，⋯，第n个代数式是
（ ）
A．2xn B．(n−1)xn C．nxn+1 D．(n+1)xn
8．（2024·重庆·中考真题）已知m=√27−√3，则实数m的范围是（ ）
A．2<m<3 B．3<m<4 C．4<m<5 D．5<m<6
9．（2024·重庆·中考真题）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，下图是这类物质前四种化合物
的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子，第2种如
图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，……按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型
中氢原子的个数是（ ）
A．20 B．22 C．24 D．26
10．（2024·宁夏·中考真题）地球上水（包括大气水，地表水和地下水）的总体积约为14.2亿km3．请将数
据1420000000用科学记数法表示为 ．
√27−2√3=
11．（2024·山东淄博·中考真题）计算： ．
_
12．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）因式分解：3am2−3a= ．
13．（2024·四川资阳·中考真题）若(a−1) 2+|b−2|=0，则ab= ．
14．（2024·广东广州·中考真题）如图，把R ，R ，R 三个电阻串联起来，线路AB上的电流为I，电压为
1 2 3
U，则U=I R +I R +I R ．当R =20.3，R =31.9，R =47.8，I=2.2时，U的值为 ．
1 2 3 1 2 3
15．（2024·江苏苏州·中考真题）若a=b+2，则(b−a) 2= ．
16．（2024·山东济南·中考真题）计算：√9−(π−3.14) 0+
(1) −1
+|√3|−2cos30°．
4
9关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
( 2 ) a2−2a+1
17．（2024·广东深圳·中考真题）先化简，再求值： 1− ÷ ，其中 a=√2+1
a+1 a+1
18．（2024·广西·中考真题）综合与实践
在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略．
【洗衣过程】
步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干；
步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓
度达到洗衣目标．
假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为0.2%，每次拧干后校服上都残留0.5kg水．
0.5d
浓度关系式：d = 前．其中d 、d 分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；w为单次
后 0.5+w 前 后
漂洗所加清水量（单位：kg）
【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于0.01%
【动手操作】请按要求完成下列任务：
(1)如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为0.01%，需要多少清水？
(2)如果把4kg清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？
(3)比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的想法．
10
