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热点 01 数与式
中考数学中数与式部分主要考向分为四类：
一、实数与特殊角的三角函数值（每年2~4道，9~16分）
二、整式与因式分解（每年2~4道，7~10分）
三、分式（每年1~3题，3~13分）
四、二次根式（每年1~3题，3~12分）
在数学中考中，数与式部分主要考察实数及其运算、数的开方与二次根式、整式与因式分解、分式及
其运算；而这些考点中，对实数包含的各种概念的运用的考察占了大多数，但是试题难度设置的并不大，
属于中考中的基础“送分题”，题目多以选择题、填空题以及个别计算类简单解答题的形式出现；但是，
由于数学题目出题的多变性，虽然考点相同，并不表示出题方向也相同，所以在复习时，需要考生对这部
分的知识点的原理及变形都达到熟悉掌握，才能在众多的变形中，快速识别问题考点，拿下这部分基础分。
考向一：实数及其运算
【题型1 实数内的基本概念】
实数内的基本概念包括：数轴、相反数、绝对值、倒数、有理数、无理数、科学记数法；
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做这种概念类题目时记牢以下4点：①熟悉各概念的基本定义，特别注意各概念中0的特殊存在；②必
须读对题意，问的是什么就想对应的考点；③如果是选择题，确保4个选项都要全看完，再说选哪个选
项；④做到数轴、绝对值相关的问题，注意需不需要分类讨论。
1．（2024·青海·中考真题）−2024的相反数是（ ）
1 1
A．−2024 B．2024 C．− D．
2024 2024
2．（2024·宁夏·中考真题）下列各数中，无理数是（ ）
1
A．−1 B． C．√4 D．π
3
3．（2024·甘肃兰州·中考真题）−2024的绝对值是（ ）
1 1
A． B．− C．2024 D．−2024
2024 2024
4．（2024·天津·中考真题）估计√10的值在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
5．（2024·山西·中考真题）中国空间站位于距离地面约400km的太空环境中．由于没有大气层保护，在
太阳光线直射下，空间站表面温度可高于零上150℃，其背阳面温度可低于零下100℃．若零上
150℃记作+150℃，则零下100℃记作（ ）
A．+100℃ B．−100℃ C．+50℃ D．−50℃
6．（2024·江苏无锡·中考真题）4的倒数是（ ）
1
A． B．−4 C．2 D．±2
4
【题型2 实数的比较大小】
实数比较大小的常见方法：①法则法：正数＞0＞负数；②数轴法：数轴上的数，右边的总比左边的
大；③绝对值法：两个负数比较大小，绝对值大的反而小；④平方法：两个正数比较大小，谁的平方
大，谁本身就大，两个负数比较大小，谁的平方大，谁本身反而小；
注意：个别实数的比较大小会结合其他基本概念或计算，这类问题要同时兼顾结合考点的性质再做比较
1．（2024·西藏·中考真题）下列实数中最小的是（ ）
1
A．−2 B．0 C． D．1
2
2．（2024·山东德州·中考真题）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所，下列结论正确的是（ ）
A．|a|>|b| B．a+b<0
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C．a+2>b+2 D．|a−1|>|b−1|
3．（2024·四川资阳·中考真题）若√5”、“<”或“=”）．
【题型3 实数的运算】
实数的运算是实数内各种概念法则运算的结合，一般以简答题为主，个别会出填空题，这也就决定了实
数的运算需要我们注意的三个方面：
①实数的运算必须熟悉的几个法则：零指数幂运算、负指数幂运算、绝对值的化简、根式的化简计算、
特殊角的三角函数值计算等；
②实数的运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的；
③实数的运算，先确定化简的正负，再进行合并计算。
1．（2024·山东淄博·中考真题）下列运算结果是正数的是（ ）
A．3−1 B．−32 C．−|−3| D．−√3
2．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，数轴上点A，M，B分别表示数a，a+b，b，那么下列运算结果
一定是正数的是（ ）
A．a+b B．a−b C．ab D．|a|−b
(1) −1
3．（2024·山东青岛·中考真题）计算：√18+ −2sin45°= ．
3
( 1 ) a2−1
4．（2024·宁夏·中考真题）先化简，再求值： 1− ⋅ ，其中a=1−√2．
a+1 a
5．（2024·西藏·中考真题）计算：(−1) 3+2tan60°−√12+(π−2) 0．
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考向二：整式与因式分解
【题型4 代数式求值】
代数式求值类问题解题步骤：①根据已知条件转化含字母的整体部分的值；②转化待求式，得上一步整
体表达式的倍数的表达式；③将整体部分的值代入计算。
1．（2024·西藏·中考真题）若x与y互为相反数，z的倒数是−3，则2x+2y−3z的值为（ ）
A．−9 B．−1 C．9 D．1
2．（2024·山东德州·中考真题）已知a和b是方程x2+2024x−4=0的两个解，则a2+2023a−b的值为
．
3．（2024·江苏徐州·中考真题）若mn=2，m−n=1，则代数式m2n−mn2的值是 ．
4．（2024·广东广州·中考真题）若a2−2a−5=0，则2a2−4a+1= ．
【题型5 整式的计算与化简求值】
完全拿下这部分分数，首先需要我们完全熟悉整式中的所有计算公式，特别是完全平方公式与平方差公
式，变形也得掌握；其次要掌握整式的混合运算的顺序；最后，整式的化简求值，必须先化简，再带入
数据求值。
1、常见必会计算公式：①am•an＝a m+n（m，n是正整数） ②（am）n＝amn（m，n是正整数）
③（ab）n＝anbn（n是正整数） ④am÷an＝a m﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n） ⑤（a±b）2＝
a2±2ab+b2⑥（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
2、完全平方公式的常见变形：
(a+b) 2 −（a2 +b2）
ab=
a2 +b2 =(a+b) 2 −2ab 2
¿ (a−b) 2 +2ab ¿
（a2 +b2）−(a−b) 2
2
2 2
(a+b) +(a−b)
(a+b) 2 −(a−b) 2
¿
2 ¿ 4 (a+b) 2 =(a−b) 2 +4ab
3、其他技巧：整式的化简计算，其实就是去括号法则与合并同类项法则的联合应用，所以两个法则的
注意事项也是整式化简的注意事项。
1．（2024·山东德州·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a2=a4 B．a(a+1)=a2+1
C．a2 ⋅a4=a6 D．(a−1) 2=a2−1
2．（2024·江苏常州·中考真题）先化简，再求值：(x+1) 2−x(x+1)，其中x=√3−1．
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3．（2024·江苏南通·中考真题）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦
图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长
分别为m，n(m>n)．若小正方形面积为5，(m+n) 2=21，则大正方形面积为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
4．（2024·四川德阳·中考真题）若一个多项式加上y2+3xy−4，结果是3xy+2y2−5，则这个多项式为
．
5．（2024·江苏常州·中考真题）先化简，再求值：(x+1) 2−x(x+1)，其中x=√3−1．
【题型6 因式分解】
完全拿下这部分分数，首先需要我们完全熟悉掌握常见的因式分解公式，如平方差、完全平方、立方和
差等；其次要掌握因式分解的顺序，优先提取多项式中的最大公因式；最后，检查是否完全分解。
1、常见必会计算公式：
①平方差公式： a2－b2＝ （a＋b）（a－b）
②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2
a2－2ab＋b2＝（a－b）
③十字相乘法：x² p qx pq （x+p ）（x+q ）
1．（2024·四川自贡·中考真题）分解因式：x2−3x= ．
2．（2024·四川眉山·中考真题）分解因式：3a3−12a= ．
3．（2024·山东淄博·中考真题）若多项式4x2−mxy+9 y2能用完全平方公式因式分解，则m的值是
．
考向三：二次根式
【题型7 二次根式有意义的条件】
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在中考中二次根式有意义的条件主要在选择题或填空题考查，是“送分题”。
1
对于形如 的二次根式，要求a≥0。如果二次根式在分母中，如 ，则要求 a>0(因为分母不能为
√a √a
零)。
1．（2024·江苏徐州·中考真题）若√x+1有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥−1 B．x≤−1 C．x>−1 D．x<−1
√x−3
2．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）在函数y= 中，自变量x的取值范围是 ．
x+2
【题型8 二次根式的运算】
二次根式的运算主要在选择题，填空题或计算题考查，属于基础题，要完全拿下这分数，需要我们熟悉
掌握以下做题步骤：
①化简根式:将根式化为最简形式，如√8=2√2 。
②合并同类项:只有同类二次根式才能直接相加减，如2√3+3√3=5√3。
1 √2
③有理化分母:若分母有根式，乘以共轭根式有理化，如 =
√2 2
④运用公式:熟练运用平方差、完全平方等公式简化运算。
⑤检查结果:运算后检查是否为最简形式避免遗漏。
√1
1．（2024·江苏南通·中考真题）计算√27× 的结果是（ ）
3
A．9 B．3 C．3√3 D．√3
2．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）实数a,b在数轴上的对应位置如图所示，则√(a−b) 2−(b−a−2)
的化简结果是（ ）
A．2 B．2a−2 C．2−2b D．-2
3．（2024·四川乐山·中考真题）已知1−1 B．|b|>2 C．a+b>0 D．ab>0
6．（2024·四川眉山·中考真题）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽
的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为
4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（ ）
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A．24 B．36 C．40 D．44
7.（2024·云南·中考真题）按一定规律排列的代数式：2x，3x2，4x3，5x4，6x5，⋯，第n个代数式是
（ ）
A．2xn B．(n−1)xn C．nxn+1 D．(n+1)xn
8．（2024·重庆·中考真题）已知m=√27−√3，则实数m的范围是（ ）
A．2
