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专题 02 整式与因式分解【十大题型】
【题型1 实际问题中的代数式】..............................................................................................................................3
【题型2 求代数式的值】..........................................................................................................................................5
【题型3 整式的加减与幂的运算】..........................................................................................................................6
【题型4 整式的乘除】..............................................................................................................................................8
【题型5 乘法公式的应用】......................................................................................................................................9
【题型6 整式的化简求值】....................................................................................................................................12
【题型7 提公因式法分解因式】............................................................................................................................14
【题型8 运用公式法分解因式】............................................................................................................................15
【题型9 数式规律探究】........................................................................................................................................16
【题型10 数式中的新定义问题探究】....................................................................................................................19
【知识点 整式与因式分解】
1.定义
(1)代数式：用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也
是代数式。
(2)单项式：用数或字母的乘积表示的式子叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。
单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的
次数。
注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示；一个单项式中，所
有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
(3)多项式：几个单项式的和叫做多项式。其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数
项。多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。
单项式与多项式统称整式。
(4)同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。
(5)合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。
合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变。
2.整式的运算
(1)整式的加减：几个整式相加减，如有括号就先去括号，然后再合并同类项。
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去括号法则：同号得正，异号得负。即括号外的因数的符号决定了括号内的符号是否改变：
如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；
如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。
(2)整式的乘除运算
①同底数幂的乘法：am·an=am+n。同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
②幂的乘方：(am)n=amn。幂的乘方，底数不变，指数相乘。
③积的乘方：(ab)n=anbn。积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
④单项式与单项式的乘法：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个
单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
⑤单项式与多项式的乘法：p(a+b+c)=pa+pb+pc。单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每
一项，再把所得的积相加。
⑥多项式与多项式的乘法：(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq。多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一
项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2。两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。这个公式
叫做平方差公式。
完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2。两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加
上(或减去)它们积的2倍。这两个公式叫做完全平方公式。
⑦同底数幂的除法：am÷an=am-n。同底数幂相除，底数不变，指数相减。
任何不等于0的数的0次幂都等于1。
⑧单项式与单项式的除法：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式
里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
⑨多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商
相加。
注：以上公式及法则在分式和二次根式的运算中同样适用。
(3)添括号法则
同号得正，异号得负。即括号前的符号决定了括号内各项的符号是否改变：
如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；
如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。
3.因式分解
定义：把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫
做把这个多项式分解因式。
以上公式都可以用来对多项式进行因式分解，因式分解的常用方法：
①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)；
②公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)；a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2。
③分组分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)
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④十字相乘法：a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q)
因式分解的一般步骤：
（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。
（2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公
式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分
解法分解因式
（3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。
【题型1 实际问题中的代数式】
【例1】（2023·湖南长沙·统考中考真题）为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“书香满
校园”的读书活动．现需购买甲，乙两种读本共100本供学生阅读，其中甲种读本的单价为10元/本，乙
种读本的单价为8元/本，设购买甲种读本x本，则购买乙种读本的费用为（ ）
A．8x元 B．10(100−x)元 C．8(100−x)元 D．(100−8x)元
【答案】C
【分析】根据题意列求得购买乙种读本(100−x)本，根据单价乘以数量即可求解．
【详解】解：设购买甲种读本x本，则购买乙种读本(100−x)本，乙种读本的单价为8元/本，则则购买乙
种读本的费用为8(100−x)元
故选C
【点睛】本题考查了列代数式，理解题意是解题的关键．
【变式1-1】（2023·吉林长春·统考中考真题）2023长春马拉松于5月21日在南岭体育场鸣枪开跑，某同
学参加了7.5公里健康跑项目，他从起点开始以平均每分钟x公里的速度跑了10分钟，此时他离健康跑终
点的路程为 公里．（用含x的代数式表示）
【答案】(7.5−10x)
【分析】根据题意列出代数式即可．
【详解】根据题意可得，
他离健康跑终点的路程为(7.5−10x)．
故答案为：(7.5−10x)．
【点睛】此题考查了列代数式，解题的关键是读懂题意．
【变式1-2】（2023·四川德阳·统考中考真题）在初中数学文化节游园活动中，被称为“数学小王子”的王
小明参加了“智取九宫格”游戏比赛，活动规则是：在九宫格中，除了已经填写的三个数之外的每一个方
格中，填入一个数，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和分别相等，且均为m．王小明
抽取到的题目如图所示，他运用初中所学的数学知识，很快就完成了这个游戏，则m= ．
【3 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
16
7
4
【答案】39
【分析】设第一列中间的数为x，则三个数之和为16+4+x=20+x，再一次把表格的每一个数据填好，从
而可得答案．
【详解】解：如图，设第一列中间的数为x，则三个数之和为16+4+x=20+x，可得：
1
1 3+x
6
x 13 7
4 6+x 10
∴m=16+13+10=39，
故答案为：39
【点睛】本题考查的是列代数式，整式的加减运算的应用，理解题意，设出合适的未知数是解本题的关键．
【变式1-3】（2023·湖北宜昌·统考中考真题）从前，古希腊一位庄园主把一块边长为a米（a>6）的正方
形土地租给租户张老汉．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加6米，相邻的另一边减少6米，
变成矩形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积
会（ ）
A．没有变化 B．变大了 C．变小了 D．无法确定
【答案】C
【分析】分别求出2次的面积，比较大小即可．
【详解】原来的土地面积为a2平方米，第二年的面积为(a+6)(a−6)=a2−36
∵(a2−36)−a2=−36<0
∴ 所以面积变小了，
故选C．
【点睛】本题考查了列代数式，整式的运算，平方差公式，代数式大小的比较，正确理解题意列出代数式
并计算是解题的关键．
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【题型2 求代数式的值】
【规律方法】
求代数式的一般方法：
（1）已知字母或代数式的值，直接代入数式求解。
（2）已知几个字母之间的关系，将代数式配凑成关于那几个字母之间的关系的式子，再整体代换。
（3）当字母的取值不明确时，需将字母的值化简或求解出来，再代入代数式解题。
【例2】（2023·江苏南通·统考中考真题）若a2−4a−12=0，则2a2−8a−8的值为（ ）
A．24 B．20 C．18 D．16
【答案】D
【分析】根据a2−4a−12=0得到a2−4a=12，再将整体代入2a2−8a−8中求值．
【详解】解：a2−4a−12=0，
得a2−4a=12，
2a2−8a−8变形为2(a2−4a)−8，
原式=2×12−8=16．
故选：D．
【点睛】本题考查代数式求值，将2a2−8a−8变形为2(a2−4a)−8是解题的关键．
【变式2-1】（2023·四川乐山·统考中考真题）若m、n满足3m−n−4=0，则8m÷2n= ．
【答案】16
【分析】先将已知3m−n−4=0变形为3m−n=4，再将8m÷2n变形为23m−n，然后整体代入即可．
【详解】解：∵3m−n−4=0
∴3m−n=4
∴8m÷2n=(23) m ÷2n=23m÷2n=23m−n=24=16
故答案为：16．
【点睛】本题考查代数式值，幂的乘方和同底数幂除法，熟练掌握幂的乘方和同底数幂除法法则是解题的
关键．
【变式2-2】（2023·广东深圳·统考中考真题）已知实数a，b，满足a+b=6，ab=7，则a2b+ab2的值为
．
【答案】42
【分析】首先提取公因式，将已知整体代入求出即可．
【详解】a2b+ab2
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=ab(a+b)
=7×6
=42．
故答案为：42．
【点睛】此题考查了求代数式的值，提公因式法因式分解，整体思想的应用，解题的关键是掌握以上知识
点．
【变式2-3】（2023·山东·统考中考真题）已知实数m满足m2−m−1=0，则2m3−3m2−m+9=
．
【答案】8
【分析】由题意易得m2−m=1，然后整体代入求值即可．
【详解】解：∵m2−m−1=0，
∴m2−m=1，
∴2m3−3m2−m+9
=2m(m2−m)−m2−m+9
=2m−m2−m+9
=m−m2+9
=−(m2−m)+9
=−1+9
=8；
故答案为8．
【点睛】本题主要考查因式分解及整体思想，熟练掌握利用整体思维及因式分解求解整式的值．
【题型3 整式的加减与幂的运算】
【例3】（2023·湖北襄阳·统考中考真题）下列各式中，计算结果等于a2的是（ ）
A．a2 ⋅a3 B．a5÷a3 C．a2+a3 D．a5−a0
【答案】B
【分析】分别利用合并同类项法则以及同底数幂的乘法运算法则和幂的乘方运算法则分别计算即可．
【详解】解：a2 ⋅a3=a5，故选项A不符合题意；
a5÷a3=a2，故选项B符合题意；
a2+a3无法合并同类项，故选项C不符合题意；
a5−a0=a5−1，故选项D不符合题意．
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故选B．
【点睛】本题主要考查合并同类项法则以及同底数幂的乘法运算法则和幂的乘方运算法则，熟练掌握运算
法则是解题的关键．
【变式3-1】（2023·湖南永州·统考中考真题）若x，y均为实数，43x=2021，47y=2021，则43xy ⋅47xy=
1 1
❑ x+y； + = ．
x y
【答案】 2021 1
【分析】根据同底数幂乘法、积的乘方、幂的乘方等计算法则进行等量代换即可．
【详解】解：∵43x=2021，47y=2021
∴(43x
)
y=2021y，(47y
)
x=2021x，
43xy ⋅47xy=(43x
)
y×(47y
)
x=2021y×2021x=2021x+y，
故答案为：2021；
∵ 43xy ⋅47xy=(43×47) xy=2021xy，
即2021xy=2021x+y，
∴xy=x+ y，
1 1 x+ y
∴ + = =1，
x y xy
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查同底数幂乘法、积的乘方、幂的乘方等知识点，熟练掌握以上知识点的运算法则是
解决本题的关键．
【变式3-2】（2023·内蒙古包头·中考真题）若一个多项式加上3xy+2y2−8，结果得2xy+3 y2−5，则这
个多项式为 ．
【答案】y2−xy+3
【分析】设这个多项式为A，由题意得：A+(3xy+2y2−8)=2xy+3 y2−5，求解即可．
【详解】设这个多项式为A，由题意得：A+(3xy+2y2−8)=2xy+3 y2−5，
∴A=(2xy+3 y2−5)−(3xy+2y2−8)=2xy+3 y2−5−3xy−2y2+8= y2−xy+3，
故答案为：y2−xy+3．
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【点睛】本题考查了整式的加减，准确理解题意，列出方程是解题的关键．
【变式3-3】（2023·辽宁沈阳·统考中考真题）当a+b=3时，代数式2(a+2b)−(3a+5b)+5的值为
．
【答案】2
【分析】先将原式去括号，然后合并同类项可得−a−b+5，再把前两项提取−1，然后把a+b=3的值代
入可得结果.
【详解】解：2(a+2b)−(3a+5b)+5
=2a+4b−3a−5b+5
=−a−b+5
=−(a+b)+5
当a+b=3时，原式=−3+5=2，
故答案为：2．
【点睛】此题主要是考查了整式的化简求值，能够熟练运用去括号法则，合并同类项法则化简是解题的关
键.
【题型4 整式的乘除】
【例4】（2023·台湾·统考中考真题）计算(2x﹣3)(3x+4)的结果，与下列哪一个式子相同？（ ）
A．−7x+4 B．−7x−12 C．6x2−12 D．6x2−x−12
【答案】D
【分析】由多项式乘法运算法则：两多项式相乘时，用一个多项式的各项去乘另一个多项式的每一项，再
把所得的积相加，合并同类项后所得的式子就是它们的积．
【详解】解：由多项式乘法运算法则得
(2x−3)(3x+4)=6x2+8x−9x−12=6x2−x−12．
故选D．
【点睛】本题考查多项式乘法运算法则，牢记法则，不要漏项是解答本题的关键．
【变式4-1】（2023·江苏·统考中考真题）计算(x+ y)(x2−xy+ y2 )．
【答案】x3+ y3
【分析】根据多项式乘以多项式的法则，可表示为（a＋b）（m＋n）＝am＋an＋bm＋bn，计算即可．
【详解】解：(x+ y)(x2−xy+ y2)
=x3−x2y+x y2+x2y−x y2+ y3
=x3+ y3.
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【点睛】本题主要考查多项式乘以多项式的法则．注意不要漏项，漏字母，有同类项的合并同类项．
【变式4-2】（2023·海南省直辖县级单位·统考一模）已知长方形的面积为18x3y4+9x y2−27x2y2，长
为9xy，则宽为( )
A．2x2y3+ y+3xy B．2x2y2−2y+3xy
C．2x2y3+2y−3xy D．2x2y3+ y−3xy
【答案】D
【分析】根据长方形的宽=长方形的面积÷长方形的长，结合多项式除以单项式法则计算即可．
【详解】由题意得：长方形的宽=(18x3y4+9x y2−27x2y2)÷9xy
=9xy(2x2y3+ y−3xy)÷9xy
=2x2y3+ y−3xy
故选D．
【点睛】本题考查多项式除以单项式的实际应用．掌握多项式除以单项式法则是解题关键．
【变式4-3】（2023·江苏·统考中考真题）若(x+4)(x−2)=x2+px+q，则p、q的值是（ ）
A．2，−8 B．−2，−8 C．−2，8 D．2，8
【答案】A
【分析】首先把(x+4)(x−2)根据多项式乘法法则展开，然后根据多项式的各项系数即可确定p、q的值．
【详解】解：∵(x+4)(x−2)=x2+2x−8，
而(x+4)(x−2)=x2+px+q，
∴p=2，q=−8．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了多项式的乘法法则和多项式各项系数的定义，解题关键就是利用它们确定p、q的
值．
【题型5 乘法公式的应用】
【例5】（2023·四川泸州·统考中考真题）若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程
x2−10x+m=0的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为（ ）
A．√3 B．2√3 C．√14 D．2√14
【答案】C
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，得到a+b=10，根据菱形的面积得到ab=22，利用勾股定理
以及完全平方公式计算可得答案．
【详解】解：设方程x2−10x+m=0的两根分别为a，b，
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∴a+b=10，
∵a，b分别是一个菱形的两条对角线长，已知菱形的面积为11，
1
∴ ab=11，即ab=22，
2
∵菱形对角线垂直且互相平分，
∴该菱形的边长为
√ (a) 2
+
(b) 2
=
1
√a2+b2=
1
√(a+b) 2−2ab
2 2 2 2
1
= √102−2×22=√14，故C正确．
2
故选：C．
【点睛】本题考查了根与系数的关系以及菱形的性质，完全平方公式，利用根与系数的关系得出a+b=10
是解题的关键．
【变式5-1】（2023·湖南·统考中考真题）已知y2−my+1是完全平方式，则m的值是 ．
【答案】±2
【分析】根据(a±b) 2=a2±2ab+b2，计算求解即可．
【详解】解：∵y2−my+1是完全平方式，
∴−m=±2，
解得m=±2，
故答案为：±2．
【点睛】本题考查了完全平方公式．解题的关键在于熟练掌握：(a±b) 2=a2±2ab+b2．
【变式5-2】（2023·江苏宿迁·统考中考真题）若实数m满足(m−2023) 2+(2024−m) 2=2025，则
(m−2023)(2024−m)= ．
【答案】−1012
【分析】根据完全平方公式得
2(m−2023)(2024−m)=[(m−2023)+(2024−m)] 2−[(m−2023) 2+(2024−m) 2 ]，再代值计算即可．
【详解】解：∵ (m−2023) 2+(2024−m) 2=2025
∴2(m−2023)(2024−m)=[(m−2023)+(2024−m)] 2−[(m−2023) 2+(2024−m) 2 ]
【10淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
=1−2025
=−2024
∴(m−2023)(2024−m)=−1012
故答案为：−1012．
【点睛】本题考查完全平方公式的应用，求代数式值，掌握完全平方公式(a±b) 2=a2±2ab+b2及其变式
是解题本题的关键．
【变式5-3】（2023·浙江·统考中考真题）如图，分别以a,b,m,n为边长作正方形，已知m>n且满足
am−bn=2，an+bm=4．
（1）若a=3,b=4，则图1阴影部分的面积是 ；
（2）若图1阴影部分的面积为3，图2四边形ABCD的面积为5，则图2阴影部分的面积是 ．
5
【答案】 25
3
【分析】（1）根据正方形的面积公式进行计算即可求解；
（2）根据题意，解方程组得出¿，根据题意得出m+n=√10，进而得出¿，根据图2阴影部分的面积为mn，
代入进行计算即可求解．
【详解】解：（1） a=3,b=4，图1阴影部分的面积是a2+b2=32+42=25，
故答案为：25．
（2）∵图1阴影部分的面积为3，图2四边形ABCD的面积为5，
1
∴a2+b2=3， (m+n)(m+n)=5，即(m+n) 2=10
2
∴m+n=√10（负值舍去）
∵am−bn=2，an+bm=4．
解得：¿
∵a2+b2=3①
∴¿，
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6a+2b 2
∴m+n= =2a+ b，
3 3
2
∴2a+ b=√10②
3
联立①②解得：¿（b为负数舍去）或¿
√30+3√10 −√30+3√10
∴2a+4b= ，4a−2b=
2 2
1
图2阴影部分的面积是 √2m×√2n=mn
2
(2a+4b)(4a−2b)
mn=
9
√30+3√10 −√30+3√10
×
2 2
=
9
5
=
3
5
故答案为： ．
3
【点睛】本题考查了整式的乘方与图形的面积，正方形的性质，勾股定理，二元一次方程组，解一元二次
方程，正确的计算是解题的关键．
【题型6 整式的化简求值】
1
【例6】（2023·湖南·统考中考真题）先化简，再求值：(2−a)(2+a)−2a(a+3)+3a2，其中a=− ．
3
【答案】4−6a，6
1
【分析】先去括号、再合并同类项将原式进行化简，然后将a=− 代入计算即可解答．
3
【详解】解：(2−a)(2+a)−2a(a+3)+3a2，
=4−a2−2a2−6a+3a2，
=4−6a；
1 ( 1)
当a=− 时，原式=4−6× − =4+2=6．
3 3
【点睛】本题考查了整式的混合运算、化简求值等知识点，正确利用整式混合运算法则化简成为解题的关
键．
【变式6-1】（2023·广西玉林·统考中考真题）已知ab=a+b+1，则（a﹣1）（b﹣1）= ．
【答案】2
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【分析】将（a﹣1）（b﹣1）利用多项式乘多项式法则展开，然后将ab=a+b+1代入合并即可得．
【详解】（a﹣1）（b﹣1）= ab﹣a﹣b+1，
当ab=a+b+1时，
原式=ab﹣a﹣b+1
=a+b+1﹣a﹣b+1
=2，
故答案为2．
【点睛】本题考查了多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式乘多项式的运算法则及整体代入思想的运
用．
【变式6-2】（2023·北京·中考真题）已知x2−4x−1=0，求代数式(2x−3) 2−(x+ y)(x−y)−y2的值．
【答案】12
【分析】将代数式应用完全平方公式和平方差公式展开后合并同类项，将x2−4x=1整体代入求值．
【详解】解：∵x2−4x−1=0，∴x2−4x=1．
∴(2x−3) 2−(x+ y)(x−y)−y2
=4x2−12x+9−x2+ y2−y2
=3x2−12x+9
=3(x2−4x)+9
=3×1+9
=12．
【变式6-3】（2023·湖北随州·统考模拟预测）先化简，再求值：
√6
(a−2b) 2+(a−2b)(2b+a)−2a(2a−b)，其中，a=√2，b= ．
2
【答案】−2a8−2ab,−4−2√3．
【详解】原式利用完全平方公式，平方差公式，以及单项式乘多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，
把a与b的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式=a2−4ab+4b2+a2−4b2−4a2+2ab
=−2a2−2ab，
√6 √6
当a=√2，b= 时，原式=−2×(√2) 2 −2×√2× =−4−2√3．
2 2
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【点睛】此题考查了整式的混合运算−化简求值，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．
【题型7 提公因式法分解因式】
【规律方法】
确定公因式的方法：
（1）若各项系数都是整数，取各项系数的最大公因数作为公因式的系数。
（2）取各项相同的字母（或多项式因式）作为公因式的字母（或多项式因式），相同字母（或多项式因
式）取最低次幂。
【例7】（2023·湖南·中考真题）因式分解：x2+x= ．
【答案】x(x+1)
【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，
之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，直接提取公因
式x即可．
【详解】解：x2+x=x(x+1)
【变式7-1】（2023·湖南永州·统考中考真题）2a2与4ab的公因式为 ．
【答案】2a
【分析】根据确定公因式的确定方法：系数取最大公约数；字母取公共字母；字母指数取最低次的，即可
解答．
【详解】解：根据确定公因式的方法，可得2a2与4ab的公因式为2a，
故答案为：2a．
【点睛】本题考查了公因式的确定，掌握确定公因式的方法是解题的关键．
【变式7-2】（2023·湖北黄石·统考中考真题）因式分解：x(y−1)+4(1−y)= ．
【答案】(y−1)(x−4)
【分析】将整式x(y−1)+4(1−y)变形含有公因式(y−1)，提取即可．
【详解】解：x(y−1)+4(1−y)
=x(y−1)−4(y−1)
=(y−1)(x−4)
故答案为：(y−1)(x−4)．
【点睛】本题考查了整式中的分解因式，提取公因式是常用的分解因式的方法，解题的关键是找到公因式．
【变式7-3】（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）因式分解：x2+xy−xz−yz= ．
【答案】(x+ y)(x−z)
【分析】先分组，然后根据提公因式法，因式分解即可求解．
【详解】解：x2+xy−xz−yz= x(x+ y)−z(x+ y)=(x+ y)(x−z)，
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故答案为：(x+ y)(x−z)．
【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
【题型8 运用公式法分解因式】
【规律方法】
因式分解的三个步骤：
（1）先看有无公因式，有公因式的先提取公因式。
（2）提公因式后再看多项式的项数
①若多项式为两项，则考虑用平方差公式因式分解；
②若多项式为三项，则考虑用完全平方公式因式分解；
③若多项式有四项或四项以上，则考虑综合运用上面的方法；
（3）若上面方法都不能分解，则考虑把多项式重新整理、变形，再按上面步骤进行因式分解。
【例8】（2023·湖南益阳·统考中考真题）下列因式分解正确的是（ ）
A．2a2−4a+2=2(a−1) 2 B．a2+ab+a=a(a+b)
C．4a2−b2=(4a+b)(4a−b) D．a3b−ab3=ab(a−b) 2
【答案】A
【分析】利用提公因式法，公式法对各项进行因式分解，即可求解．
【详解】解：A、2a2−4a+2=2(a2−2a+1)=2(a−1) 2，故本选项正确，符合题意；
B、a2+ab+a=a(a+b+1)，故本选项错误，不符合题意；
C、4a2−b2=(2a+b)(2a−b)，故本选项错误，不符合题意；
D、a3b−ab3=ab(a2−b2)=ab(a+b)(a−b)，故本选项错误，不符合题意；
故选：A
【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、
十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键．
【变式8-1】（2023·浙江宁波·统考一模）分解因式：4+4m+m2= ．
【答案】(2+m) 2
【分析】直接利用完全平方公式即可求解．
【详解】解：4+4m+m2=(2+m) 2．
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故答案为：(2+m) 2．
【点睛】本题考查因式分解．熟练掌握完全平方公式法因式分解，是解题的关键．
【变式8-2】（2023江苏南京·统考中考模拟）因式分解：x(x−2)+1= ．
【答案】(x−1) 2 /(1−x) 2
【分析】利用完全平方公式进行因式分解即可．
【详解】解：x(x−2)+1=x2−2x+1=(x−1) 2；
故答案为：(x−1) 2．
【点睛】本题考查因式分解．熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
【变式8-3】（2023·河北·统考中考真题）若k为任意整数，则(2k+3) 2−4k2的值总能（ ）
A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除
【答案】B
【分析】用平方差公式进行因式分解，得到乘积的形式，然后直接可以找到能被整除的数或式．
【详解】解：(2k+3) 2−4k2
=(2k+3+2k)(2k+3−2k)
=3(4k+3)，
3(4k+3)能被3整除，
∴(2k+3) 2−4k2的值总能被3整除，
故选：B．
【点睛】本题考查了平方差公式的应用，平方差公式为a2−b2=(a−b)(a+b)通过因式分解，可以把多项
式分解成若干个整式乘积的形式．
【题型9 数式规律探究】
【规律方法】
以规律探索为背景，经过逻辑推理求解数学问题，要求具有更高的抽象思维能力和推理能力，对思维的严
谨性要求更高。
【例9】（2023·四川德阳·统考中考真题）在“点燃我的梦想，数学皆有可衡”数学创新设计活动中，“智
多星”小强设计了一个数学探究活动：对依次排列的两个整式m，n按如下规律进行操作：
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第1次操作后得到整式串m，n，n−m；
第2次操作后得到整式串m，n，n−m，−m；
第3次操作后…
其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差，小强将这个活动
命名为“回头差”游戏．
则该“回头差”游戏第2023次操作后得到的整式中各项之和是（ ）
A．m+n B．m C．n−m D．2n
【答案】D
【分析】先逐步分析前面5次操作，可得整式串每四次一循环，再求解第四次操作后所有的整式之和为：
m+n+n−m−m−n−n+m=0，结合2023÷4=505⋅⋅⋅3，从而可得答案．
【详解】解：第1次操作后得到整式串m，n，n−m；
第2次操作后得到整式串m，n，n−m，−m；
第3次操作后得到整式串m，n，n−m，−m，−n；
第4次操作后得到整式串m，n，n−m，−m，−n，−n+m；
第5次操作后得到整式串m，n，n−m，−m，−n，−n+m，m；
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
归纳可得：以上整式串每六次一循环，
∵2023÷6=337⋅⋅⋅1，
∴第2023次操作后得到的整式中各项之和与第1次操作后得到整式串之和相等，
∴这个和为m+n+n−m=2n，
故选D
【点睛】本题考查的是整式的加减运算，代数式的规律探究，掌握探究的方法，并总结概括规律并灵活运
用是解本题的关键．
【变式9-1】（2023·四川巴中·统考中考真题）我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算
法》，书中记载的图表给出了(a+b) n展开式的系数规律．
1 (a+b) 0=1
1 1 (a+b) 1=a+b
1 2 1 (a+b) 2=a2+2ab+b2
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1 3 3 1 (a+b) 3=a3+3a2b+3ab2+b3
当代数式x4−12x3+54x2−108x+81的值为1时，则x的值为（ ）
A．2 B．−4 C．2或4 D．2或−4
【答案】C
【分析】由规律可得：(a+b) 4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，令a=x，b=−3，可得(x−3) 4=1，再解
方程即可．
【详解】解：由规律可得：(a+b) 4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，
令a=x，b=−3，
∴(x−3) 4=x4−12x3+54x2−108x+81，
∵x4−12x3+54x2−108x+81=1，
∴(x−3) 4=1，
∴x−3=±1，
∴x=4或x=2，
故选：C．
【点睛】本题考查的是从题干信息中总结规律，一元二次方程的解法，灵活的应用规律解题是关键．
【变式9-2】（2023·浙江·统考中考真题）观察下面的等式：32−12=8×1，52−32=8×2，72−52=8×3，
92−72=8×4，…．
(1)尝试：132−112=8×___________．
(2)归纳：(2n+1) 2−(2n−1) 2=8×___________（用含n的代数式表示，n为正整数）．
(3)推理：运用所学知识，推理说明你归纳的结论是正确的．
【答案】(1)6
(2)n
(3)见解析
【分析】（1）根据题目中的例子，可以直接得到结果；
（2）根据题目中给出的式子,可以直接得到答案；
（3）将（2）中等号左边用平方差公式计算即可．
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【详解】（1）解：∵32−12=8×1，52−32=8×2，72−52=8×3，92−72=8×4，
∴112−92=8×5，132−112=8×6，
故答案为：6；
（2）由题意得：(2n+1) 2−(2n−1) 2=8n，
故答案为：n；
（3）(2n+1) 2−(2n−1) 2
=(2n+1+2n−1)(2n+1−2n+1)
=4n×2
=8n．
【点睛】此题考查了数字类的变化规律，有理数的混合运算，列代数式，平方差公式，正确理解题意，发
现式子的变化特点是解题的关键．
【变式9-3】（2023·甘肃·统考中考真题）观察等式：2+22=23−2；2+22+23=24−2；
2+22+23+24=25−2；…已知按一定规律排列的一组数：2100,2101,2102,⋯,2199,2200，若2100=S，用含S
的式子表示这组数据的和是( )
A．2S2−S B．2S2+S C．2S2−2S D．2S2−2S−2
【答案】A
【分析】由题意得出2100+2101+2102+⋯+2199+2200=2100 (1+2+⋯+299+2100 )，再利用整体代入思想即
可得出答案．
【详解】解：由题意得：这组数据的和为：
2100+2101+2102+⋯+2199+2200
=2100 (1+2+⋯+299+2100
)
=2100 (1+2101−2)
=2100 (2101−1)
=2100 (2100×2−1)
∵2100=S，
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∴原式=S(S×2−1)=2S2−S,
故选：A．
【点睛】本题考查规律型问题：数字变化，列代数式，整体代入思想，同底数幂的乘法的逆用，解题的关
键是正确找到本题的规律：2+22+23+⋯+2n−1+2n=2n+1−2，学会探究规律，利用规律解决问题，属于
中考填空题中的压轴题．
【题型10 数式中的新定义问题探究】
【例10】（2023·四川成都·统考中考真题）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且
m−n>1，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，16=52−32，16就是一个智慧优数，可以利用
m2−n2=(m+n)(m−n)进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是 ；第23个
智慧优数是 ．
【答案】 15 57
【分析】根据新定义，列举出前几个智慧优数，找到规律，进而即可求解．
【详解】解：依题意， 当m=3，n=1，则第1个一个智慧优数为32−12=8
当m=4，n=2，则第2个智慧优数为42−22=14
当m=4，n=1，则第3个智慧优数为42−12=15，
当m=5，n=3，则第4个智慧优数为52−32=16，
当m=6，n=4，则第5个智慧优数为 62−42=20
当m=5，n=2，则第6个智慧优数为52−22=21
当m=5，n=1，则第7个智慧优数为52−12=24
……
m=6时有4个智慧优数，同理m=7时有5个，m=8时有6个，
列表如下，
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1
2
3 8
4 15 12
【20淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
5 24 21 16
6 35 32 27 20
7 48 45 40 33 24
8 63 60 55 48 39 28
9 80 77 72 65 56 45 32
10 99 96 91 84 75 64 51 36
11 120 117 112 105 96 85 72 57 40
观察表格可知当m=12时，n=10时，智慧数为44，
m=13,n=11时，智慧数为48，
m=14，n=12时，智慧数为52，
m=15，n=13时，智慧数为56，
第1至第10个智慧优数分别为：8，12，15，16，20，21，24，27，28，32，
第11至第20个智慧优数分别为：33，35，36，39，40，44，45，48，51，52，
第21个智慧优数55，第22个智慧优数为56，第23个智慧优数为57
故答案为：15，57．
【点睛】本题考查了新定义，平方差公式的应用，找到规律是解题的关键．
【变式10-1】（2023·四川广安·统考中考真题）定义一种新运算：对于两个非零实数a、b，
x y
a※b= + ．若2※(−2)=1，则(−3)※3的值是 ．
a b
2
【答案】−
3
【分析】先根据2※(−2)=1可得一个关于x,y的等式，再根据新运算的定义代入计算即可得．
【详解】解：∵2※(−2)=1，
x y
∴ + =1，即x−y=2，
2 −2
x y x−y 2
∴(−3)※3= + =− =− ，
−3 3 3 3
2
故答案为：− ．
3
【点睛】本题考查了新定义下的实数运算、代数式求值，理解新运算的定义是解题关键．
【21淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【变式10-2】（2023·广西·统考中考真题）定义：形如a+bi的数称为复数（其中a和b为实数，i为虚数单
位，规定i2=−1），a称为复数的实部，b称为复数的虚部．复数可以进行四则运算，运算的结果还是一个
复数．例如(1+3i) 2=12+2×1×3i+(3i) 2=1+6i+9i2=1+6i−9=−8+6i，因此，(1+3i) 2的实部是﹣
8，虚部是6．已知复数(3−mi) 2的虚部是12，则实部是（ ）
A．﹣6 B．6 C．5 D．﹣5
【答案】C
【分析】先利用完全平方公式得出（3-mi）2=9-6mi+m2i2，再根据新定义得出复数（3-mi）2的实部是9-
m2，虚部是-6m，由（3-mi）2的虚部是12得出m=-2，代入9-m2计算即可．
【详解】解：∵(3−mi) 2=32−2×3×mi+(mi) 2=9−6mi+m2i2=9−m2−6mi
∴复数(3−mi) 2的实部是9−m2，虚部是−6m，
∴−6m=12，
∴m=−2，
∴9−m2=9−(−2) 2=9−4=5．
故选C．
【点睛】本题考查了新定义，完全平方公式，理解新定义是解题的关键．
【变式10-3】（2023·四川统考中考真题）阅读以下材料，苏格兰数学家纳皮尔（J．Npler，1550－1617
年）是对数的创始人，他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evler．1707－
1783年）才发现指数与对数之间的联系．
对数的定义：一般地．若ax=N（a>0且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，
记作x=log N，比如指数式24=16可以转化为对数式4=log 16，对数式2=log 9可以转化为指数式
a 2 3
32=9．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：
log (M⋅N)=log M+log N(a>0,a≠1,M>0,N>0)，理由如下：
a a a
设log M=m,log N=n，则M=am,N=an．
a a
∴M⋅N=am ⋅an=am+n．由对数的定义得m+n=log (M⋅N)
a
又∵m+n=log M+log N
a a
∴log (M⋅N)=log M+log N．
a a a
根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题：
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（1）填空：①log 32=___________；②log 27=_______，③log l =________；
2 3 7
M
（2）求证：log =log M−log N(a>0,a≠1,M>0,N>0)；
a N a a
（3）拓展运用：计算log 125+log 6−log 30．
5 5 5
【答案】（1）5，3，0；（2）见解析；（3）2
【分析】（1）直接根据定义计算即可；
（2）结合题干中的过程，同理根据同底数幂的除法即可证明；
M
（3）根据公式：loga（M•N）=logaM+logaN和loga =logaM-logaN的逆用，将所求式子表示为：
N
125×6
log ，计算可得结论．
5 30
【详解】解：（1）①∵25=32，∴log 32=5，
2
②∵33=27，∴log 27=3，
3
③∵70=1，∴log 1= 0；
7
（2）设logaM=m，logaN=n，
∴am=M，an=N，
M
∴am÷an=am−n=
，
N
M
∴log =m−n，
a N
M
∴log =log M−log N；
a N a a
（3）log 125+log 6−log 30
5 5 5
125×6
=log
5 30
=log 25
5
=2．
【点睛】本题考查整式的混合运算、对数与指数之间的关系与相互转化的关系，解题的关键是明确新定义，
明白指数与对数之间的关系与相互转化关系．
【23淘宝店铺：向阳百分百】
