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专题 02 整式、乘法公式、因式分解
【中考考向导航】
目录
【直击中考】.....................................................................................................................................................1
【考向一 整式的有关概念】............................................................................................................................1
【考向二 整式的运算】....................................................................................................................................4
【考向三 与乘法公式有关的运算】................................................................................................................7
【考向四 因式分解】......................................................................................................................................11
【直击中考】
【考向一 整式的有关概念】
例题：（2022·青海·统考中考真题）木材加工厂将一批木料按如图所示的规律依次摆放，则第 个图中共有
木料______根.
【答案】
【分析】第一个图形有1根木料，第二个图形有 根木料，第三个图形有
根木料，第四个图形有 根木料，以此类推，得到第 个图形有 根木料．
【详解】解：∵第一个图形有 根木料，
第二个图形有 根木料，
第三个图形有 根木料，
第四个图形有 木料，
∴第 个图形有 根木料，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了图形的变化类问题，仔细观察，分析，归纳并发现其中的规律是解本题的关键．【变式训练】
1．（2022·四川攀枝花·统考中考真题）下列各式不是单项式的为（ ）
A．3 B．a C． D．
【答案】C
【分析】数或字母的积组成的式子叫做单项式，根据单项式的定义进行判断即可．
【详解】解：A、3是单项式，故本选项不符合题意；
B、a是单项式，故本选项不符合题意；
C、 不是单项式，故本选项符合题意；
D、 是单项式，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题考查了单项式，熟练掌握单项式的定义是解题的关键．
2．（2022·云南·中考真题）按一定规律排列的单项式：x，3x2，5x3，7x4，9x5，……，第n个单项式是（
）
A．(2n-1) B．(2n+1) C．(n-1) D．(n+1)
【答案】A
【分析】系数的绝对值均为奇数，可用(2n-1)表示；字母和字母的指数可用xn表示．
【详解】解：依题意，得第n项为（2n-1）xn，
故选：A．
【点睛】本题考查的是单项式，根据题意找出规律是解答此题的关键．
3．（2022·江西·统考中考真题）将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中
字母“H”的个数是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【分析】列举每个图形中H的个数，找到规律即可得出答案．
【详解】解：第1个图中H的个数为4，
第2个图中H的个数为4+2，
第3个图中H的个数为4+2×2，
第4个图中H的个数为4+2×3=10，故选：B．
【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，通过列举每个图形中H的个数，找到规律：每个图形比上一
个图形多2个H是解题的关键．
4．（2022·广东·统考中考真题）单项式 的系数为___________．
【答案】3
【分析】单项式中数字因数叫做单项式的系数，从而可得出答案．
【详解】 的系数是3，
故答案为：3．
【点睛】此题考查了单项式的知识，解答本题的关键是掌握单项式系数的定义．
5．（2022·江苏宿迁·统考中考真题）按规律排列的单项式： ， ， ， ， ，…，则第20个单项
式是_____．
【答案】
【分析】观察一列单项式发现偶数个单项式的系数为： 奇数个单项式的系数为： 而单项式的指数是奇
数，从而可得答案．
【详解】解： ， ， ， ， ，…，
由偶数个单项式的系数为： 所以第20个单项式的系数为
第1个指数为：
第2个指数为：
第3个指数为：
指数为
所以第20个单项式是：
故答案为：
【点睛】本题考查的是单项式的系数与次数的含义，数字的规律探究，掌握“从具体到一般的探究方法”
是解本题的关键．
6．（2022·湖北恩施·统考中考真题）观察下列一组数：2， ， ，…，它们按一定规律排列，第n个数记
为 ，且满足 ．则 ________， ________．
【答案】
【分析】由题意推导可得an= ，即可求解．
【详解】解：由题意可得：a=2= ，a= ，a= ，
1 2 3∵ ，
∴2+ =7，
∴a= ，
4
∵ ，
∴a= ，
5
同理可求a= ，
6
∴an= ，
∴a = ，
2022
故答案为： ， ．
【点睛】本题考查了数字的变化类，找出数字的变化规律是解题的关键．
【考向二 整式的运算】
例题1．（2022·湖南永州·统考中考真题）若单项式 的与 是同类项，则 ______．
【答案】6
【分析】由题意直接根据同类项的概念，进行分析求解即可．
【详解】解：∵单项式 与 是同类项，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查同类项的定义，解答本题的关键是掌握同类项定义中的两个“相同”即相同字母的
指数相同．
例题2．（2022·青海西宁·统考中考真题） =_________
【答案】
【分析】根据积的乘方法则计算即可．
【详解】解： = ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了积的乘方，解题的关键是掌握运算法则．【变式训练】
1．（2022·贵州黔西·统考中考真题）计算 正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先算积的乘方，再算同底数幂的乘法，即可得．
【详解】 =
故选：C．
【点睛】本题考查了单项式乘单项式，积的乘方，同底数幂的乘法，能灵活运用法则进行计算是解题的关
键．
2．（2022·西藏·统考中考真题）下列计算正确的是（ ）
A．2ab﹣ab＝ab B．2ab+ab＝2a2b2
C．4a3b2﹣2a＝2a2b D．﹣2ab2﹣a2b＝﹣3a2b2
【答案】A
【详解】A、2ab﹣ab＝（2﹣1）ab＝ab，选项正确，符合题意；
B、2ab+ab＝（2+1）ab＝3ab，选项不正确，不符合题意；
C、4a3b2与﹣2a不是同类项，不能合并，选项不正确，不符合题意；
D、﹣2ab2与﹣a2b不是同类项，不能合并，选项不正确，不符合题意．
故选A．
【点睛】本题考查整式的加减．在计算的过程中，把同类项进行合并，不能合并的直接写在结果中即可．
3．（2022·青海·统考中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据合并同类项，完全平方公式，平方差公式，因式分解计算即可．
【详解】A.选项，3x2与4x3不是同类项，不能合并，故该选项计算错误，不符合题意；
B.选项，原式= ，故该选项计算错误，不符合题意；
C.选项，原式= ，故该选项计算错误，不符合题意；
D.选项，原式= ，故该选项计算正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了合并同类项，完全平方公式，平方差公式，因式分解，注意完全平方公式展开有三项
是解题的易错点．
4．（2022·甘肃武威·统考中考真题）计算： _____________．
【答案】【分析】根据单项式的乘法直接计算即可求解．
【详解】解：原式＝ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了单项式的乘法，正确的计算是解题的关键．
5．（2022·内蒙古包头·中考真题）若一个多项式加上 ，结果得 ，则这个多项式为
___________．
【答案】
【分析】设这个多项式为A，由题意得： ，求解即可．
【详解】设这个多项式为A，由题意得： ，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了整式的加减，准确理解题意，列出方程是解题的关键．
6．（2022·山东威海·统考中考真题）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用
今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图1），将9个数填在3×3（三行三列）的方格中，如
果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图2的
方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则mn＝_____．
【答案】1
【分析】由第二行方格的数字，字母，可以得出第二行的数字之和为m，然后以此得出可知第三行左边的
数字为4，第一行中间的数字为m-n+4，第三行中间数字为n-6，第三行右边数字为，再根据对角线上的三
个数字之和相等且都等于m可得关于m，n方程组，解出即可．
【详解】如图，根据题意，可得
第二行的数字之和为：m+2+(-2)=m
可知第三行左边的数字为：m-(-4)-m=4
第一行中间的数字为：m-n-(-4)=m-n+4
第三行中间数字为m-2-(m-n+4)=n-6第三行右边数字为：m-n-(-2)=m-n+2
再根据对角线上的三个数字之和相等且都等于m可得方程组为：
解得
∴
故答案为：1
【点睛】本题考查了有理数加法，列代数式，以及二元一次方程组，解题的关键是根据表格，利用每行，
每列，每条对角线上的三个数之和相等列方程．
7．（2022·湖北黄冈·统考中考真题）先化简，再求值：4xy－2xy－（－3xy），其中x＝2，y＝－1．
【答案】 ，
【分析】根据整式的加减运算化简，然后将字母的值代入即可求解．
【详解】解：原式＝4xy－2xy+3xy
＝
＝5xy；
当x＝2，y＝－1时，
原式＝ ．
【点睛】本题考查了整式加减的化简求值，正确的计算是解题的关键．
8．（2022·四川南充·中考真题）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ；
【分析】利用多项式乘以多项式及单项式乘以多项式运算法则进行化简，然后代入求值即可．
【详解】解：原式=
= ；
当x= 时，
原式=
=3+1-
=- ．
【点睛】题目主要考查整式的乘法及加减化简求值及二次根式混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
【考向三 与乘法公式有关的运算】
例题：（2022·江苏盐城·统考中考真题）先化简，再求值： ，其中 ．【答案】 ，-9
【分析】根据平方差公式和完全平方公式可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解
答本题．
【详解】解：原式
．
，
，
原式
【点睛】本题考查整式的混合运算-化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值的方法．
【变式训练】
1．（2022·甘肃兰州·统考中考真题）计算： （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据完全平方公式展开即可．
【详解】解：原式=
故选：A．
【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
2．（2022·上海·统考中考真题）下列运算正确的是……（ ）
A．a²+a³=a6 B．（ab）2 =ab2 C．（a+b）²=a²+b² D．（a+b）（a-b）=a² -b2
【答案】D
【分析】根据整式加法判定A；运用积的乘方计算关判定B；运用完全平方公式计算并判定C；运用平方
差公式计算并判定D．
【详解】解：A.a²+a³没有同类项不能合并，故此选项不符合题意；
B.（ab）2 =a2b2，故此选项不符合题意；
C.（a+b）²=a²+2ab+b²，故此选项不符合题意
D.（a+b）（a-b）=a² -b2，故此选项符合题意
故选：D．
【点睛】本题考查整理式加法，积的乘方，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握积的乘方运算法则、完
全平方公式、平方差公式是解题的关键．
3．（2022·江苏南通·统考中考真题）已知实数m，n满足 ，则
的最大值为（ ）
A．24 B． C． D．
【答案】B【分析】先将所求式子化简为 ，然后根据 及 求出
，进而可得答案．
【详解】解：
；
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最大值为 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了完全平方公式、平方差公式的应用，不等式的性质，正确对所求式子化简并求出
的取值范围是解题的关键．
4．（2022·湖南益阳·统考中考真题）已知m，n同时满足2m+n＝3与2m﹣n＝1，则4m2﹣n2的值是 _____．
【答案】3
【分析】观察已知和所求可知， ，将代数式的值代入即可得出结论．
【详解】解：∵2m+n＝3，2m﹣n＝1，
∴ ，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查代数式求值，平方差公式的应用，熟知平方差公式的结构是解题关键．
5．（2022·四川广安·统考中考真题）已知a+b=1，则代数式a2﹣b2 +2b+9的值为________．
【答案】10
【分析】根据平方差公式，把原式化为 ，可得 ，即可求解．
【详解】解：a2﹣b2 +2b+9故答案为：10
【点睛】本题主要考查了平方差公式的应用，利用整体代入思想解答是解题的关键．
6．（2022·黑龙江大庆·统考中考真题）已知代数式 是一个完全平方式，则实数t的值为
____________．
【答案】 或
【分析】直接利用完全平方公式求解．
【详解】解：∵代数式 是一个完全平方式，
∴ ，
∴ ，
解得 或 ，
故答案为： 或
【点睛】本题考查了完全平方公式的运用，熟记完全平方公式的特点是解题的关键．
7．（2022·湖北襄阳·统考中考真题）先化简，再求值：（a+2b）2+（a+2b）（a-2b）+2a（b-a），其中a＝
- ，b＝ + ．
【答案】
【分析】直接利用完全平方公式、平方差公式化简，进而合并同类项，再把已知数据代入得出答案．
【详解】解：原式＝
；
a＝ - ，b＝ + ，
∴原式
【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算与整式的混合运算——化简求值，正确掌握整式的混合运算
法则是解题关键．
8．（2022·广东广州·统考中考真题）已知T=
(1)化简T；
(2)若关于 的方程 有两个相等的实数根，求T的值．
【答案】(1) ；
(2)T=
【分析】(1)根据整式的四则运算法则化简即可；(2)由方程有两个相等的实数根得到判别式△=4a²-4(-ab+1)=0即可得到 ，整体代入即可求解．
（1）
解：T=
= ；
（2）
解：∵方程 有两个相等的实数根，
∴ ，
∴ ，
则T= ．
【点睛】本题考查了整式的四则运算法则、一元二次方程的实数根的判别、整体思想，属于基础题，熟练
掌握运算法则及一元二次方程的根的判别式是解题的关键．
【考向四 因式分解】
例题：（2022·贵州黔东南·统考中考真题）分解因式： _______．
【答案】 ##
【分析】先提公因式，然后再根据完全平方公式可进行因式分解．
【详解】解：原式= ；
故答案为 ．
【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·山东济宁·统考中考真题）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据因式分解的定义对选项逐一分析即可．
【详解】把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变形叫做因式分解．
A、右边不是整式积的形式，故不是因式分解，不符合题意；
B、形式上符合因式分解，但等号左右不是恒等变形，等号不成立，不符合题意；
C、符合因式分解的形式，符合题意；
D、从左到右是整式的乘法，从右到左是因式分解，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查因式分解，解决本题的关键是充分理解并应用因式分解的定义．2．（2022·广西柳州·统考中考真题）把多项式a2+2a分解因式得（ ）
A．a（a+2） B．a（a﹣2） C．（a+2）2 D．（a+2）（a﹣2）
【答案】A
【分析】运用提公因式法进行因式分解即可．
【详解】
故选A
【点睛】本题主要考查了因式分解知识点，掌握提公因式法是解题的关键．
3．（2022·广西河池·统考中考真题）多项式 因式分解的结果是( )
A．x（x﹣4）+4 B．（x+2）（x﹣2） C．（x+2）2 D．（x﹣2）2
【答案】D
【分析】根据完全平方公式进行因式分解即可．
【详解】解： ．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了公式法分解因式，理解完全平方公式是解答关键．
4．（2022·江苏扬州·统考中考真题）分解因式： _____．
【答案】 ##
【分析】先提取公因式，再用平方差公式即可求解．
【详解】
，
故答案： ．
【点睛】本题考查了用提公因式法和平方差公式分解因式的知识．把一个多项式化为几个整式的积的形式，
这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．因式分解是恒等变形．因式分解必须分解到每一
个因式都不能再分解为止．
5．（2022·四川绵阳·统考中考真题）因式分解： _________．
【答案】
【分析】先提取公因式 ，然后根据平方差公式因式分解即可求解．
【详解】解：原式＝ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了因式分解，正确的计算是解题的关键．
6．（2022·广东广州·统考中考真题）分解因式： ________
【答案】【分析】直接提取公因式3a即可得到结果．
【详解】解： ．
故答案为：
【点睛】本题考查因式分解，解本题的关键是熟练掌握因式分解时有公因式要先提取公因式，再考虑是否
可以用公式法．
7．（2022·山东济南·统考中考真题）因式分解： ______．
【答案】
【分析】原式利用完全平方公式分解即可．
【详解】解： ．
故答案为： ．
【点睛】此题考查了公式法的运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
8．（2022·湖北恩施·统考中考真题）因式分解： ______．
【答案】
【分析】先提公因式 ，再利用完全平方公式进行因式分解即可．
【详解】解：原式 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查提公因式法、公式法分解因式，解题的关键是掌握完全平方公式的结构特征．
9．（2022·贵州黔西·统考中考真题）已知 ， ，则 的值为_____．
【答案】6
【分析】将 因式分解，然后代入已知条件即可求值．
【详解】解：
．
故答案为：6
【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
10．（2022·青海西宁·统考中考真题）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
将 因式分解．
【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：
解法一：原式
解法二：原式
【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方
程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）
【类比】
(1)请用分组分解法将 因式分解；
【挑战】
(2)请用分组分解法将 因式分解；
【应用】
(3)“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等
的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和
，斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将 因式分解，
再求值．
【答案】(1)
(2)
(3) ，9
【分析】（1）直接将前两项和后两项组合，利用平方差公式再提取公因式，进而分解因式即可；
（2）先分组，利用完全平方公式再提取公因式，进而分解因式即可；
（3）分组，先提取公因式，利用完全平方公式分解因式，再由勾股定理以及面积得到 ，
，整体代入得出答案即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；（3）解：
，
∴根据题意得 ， ，
∴原式 ．
【点睛】此题主要考查了分组分解法以及、提取公因式法、公式法分解因式以及勾股定理的应用，正确分
组再运用公式法分解因式是解题关键．
