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热点 01 数与式
中考数学中数与式部分主要考向分为四类：
一、实数与特殊角的三角函数值（每年2~4道，9~16分）
二、整式与因式分解（每年2~4道，7~10分）
三、分式（每年1~3题，3~13分）
四、二次根式（每年1~3题，3~12分）
在数学中考中，数与式部分主要考察实数及其运算、数的开方与二次根式、整式与因式分解、分式及
其运算；而这些考点中，对实数包含的各种概念的运用的考察占了大多数，但是试题难度设置的并不大，
属于中考中的基础“送分题”，题目多以选择题、填空题以及个别计算类简单解答题的形式出现；但是，
由于数学题目出题的多变性，虽然考点相同，并不表示出题方向也相同，所以在复习时，需要考生对这部
分的知识点的原理及变形都达到熟悉掌握，才能在众多的变形中，快速识别问题考点，拿下这部分基础分。
考向一：实数及其运算
【题型1 实数内的基本概念】
满分技巧
实数内的基本概念包括：数轴、相反数、绝对值、倒数、有理数、无理数、科学记数法；
做这种概念类题目时记牢以下4点：①熟悉各概念的基本定义，特别注意各概念中0的特殊存在；②必
须读对题意，问的是什么就想对应的考点；③如果是选择题，确保4个选项都要全看完，再说选哪个选
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项；④做到数轴、绝对值相关的问题，注意需不需要分类讨论。
1．（2023•岳阳）2023的相反数是
A． B． C．2023 D．
2．（2023•泰安） 的倒数是
A． B． C． D．
3．（2023•自贡）如图，数轴上点 表示的数是2023， ，则点 表示的数是
A．2023 B． C． D．
4．（2023•日照）芯片内部有数以亿计的晶体管，为追求更高质量的芯片和更低的电力功耗，需要设计体
积更小的晶体管．目前，某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000014米，
将数据0.000000014用科学记数法表示为
A． B． C． D．
5．（2023•淄博） 的运算结果等于
A．3 B． C． D．
6．（2023•金昌）9的算术平方根是
A． B． C．3 D．
7．（2023•巴中）下列各数为无理数的是
A．0.618 B． C． D．
8．（2023•天津）估计 的值在
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【题型2 实数的比较大小】
满分技巧
实数比较大小的常见方法：①法则法：正数＞0＞负数；②数轴法：数轴上的数，右边的总比左边的
大；③绝对值法：两个负数比较大小，绝对值大的反而小；④平方法：两个正数比较大小，谁的平方
大，谁本身就大，两个负数比较大小，谁的平方大，谁本身反而小；
注意：个别实数的比较大小会结合其他基本概念或计算，这类问题要同时兼顾结合考点的性质再做比较
1．（2023•徐州）如图，数轴上点 、 、 、 分别对应实数 、 、 、 ，下列各式的值最小的是
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A． B． C． D．
2．（2023•扬州）已知 ， ， ，则 、 、 的大小关系是
A． B． C． D．
3．（2023•南京）整数 满足 ，则 的值为
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（2023•甘孜州）比较大小： 2．（填“ ”或“ ”
5．（2023•自贡）请写出一个比 小的整数 ．
6．（2023•德州）实数 ， 在数轴上的对应点的位置如图所示，比较大小： 0．（填“
”“ ”或“ ”
7．（2023•湖州）已知 ， 是两个连续整数， ，则 的值是 ．
【题型3 实数的运算】
满分技巧
实数的运算是实数内各种概念法则运算的结合，一般以简答题为主，个别会出填空题，这也就决定了实
数的运算需要我们注意的三个方面：
①实数的运算必须熟悉的几个法则：零指数幂运算、负指数幂运算、绝对值的化简、根式的化简计算、
特殊角的三角函数值计算等；
②实数的运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的；
③实数的运算，先确定化简的正负，再进行合并计算。
1．（2023•天津） 的值等于
A．1 B． C． D．2
2．（2023•安徽）计算： ．
3．（2023•菏泽）计算： ．
4．（2023•西藏）计算： ．
5．（2023•济南）计算： ．
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考向二：整式与因式分解
【题型4 代数式求值】
满分技巧
代数式求值类问题解题步骤：①根据已知条件转化含字母的整体部分的值；②转化待求式，得上一步整
体表达式的倍数的表达式；③将整体部分的值代入计算。
1．（2023•南通）若 ，则 的值为
A．24 B．20 C．18 D．16
2．（2023•巴中）若 满足 ，则代数式 的值为
A．5 B．7 C．10 D．
3．（2023•淮安）若 ，则 的值是 ．
【题型5 整式的计算与化简求值】
满分技巧
完全拿下这部分分数，首先需要我们完全熟悉整式中的所有计算公式，特别是完全平方公式与平方差公
式，变形也得掌握；其次要掌握整式的混合运算的顺序；最后，整式的化简求值，必须先化简，再带入
数据求值。
1、常见必会计算公式：①am•an＝a m+n（m，n是正整数） ②（am）n＝amn（m，n是正整数）
③（ab）n＝anbn（n是正整数） ④am÷an＝a m﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n） ⑤（a±b）2＝
a2±2ab+b2⑥（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
2、完全平方公式的常见变形：
3、其他技巧：整式的化简计算，其实就是去括号法则与合并同类项法则的联合应用，所以两个法则的
注意事项也是整式化简的注意事项。
1．（2023•张家界）下列运算正确的是
A． B． C． D．
2．下列运算中，结果正确的是
A． B． C． D．
3．（2023•凉山州）已知 是完全平方式，则 的值是 ．
4．（2023•南充）先化简，再求值： ，其中 ．
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5．（2023•内蒙古）先化简，再求值： ，其中 ， ．
【题型6 因式分解】
满分技巧
因式分解的步骤：一提（公因式），二套（乘法公式），三十字（十字相乘法）；注意：第一步就要提
彻底。
1．（2023•济宁）下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是
A． B．
C． D．
2．（2023•杭州）分解因式：
A． B． C． D．
3．（2023•东营）因式分解： ．
考向三：二次根式
【题型7 二次根式有意义的条件】
满分技巧
二次根式有意义的条件：被开方数整体≥0
注意：和分式结合的二次根式，不仅要满足被开方数整体≥0，还要同时满足分母≠0
1．（2023•无锡）若二次根式 有意义，则 的取值范围为
A． B． C． D．
2．（2023•绥化）若式子 有意义，则 的取值范围是 ．
【题型8 二次根式的运算】
满分技巧
①二次根式的加减，先根据二次根式的性质公式化简，再合并同类二次根式；
②二次根式的乘除，按照二次根式的运算公式直接计算；
③二次根式混合运算顺序同实数混合运算顺序一样；
④二次根式的运算结果必须化简成最简二次根式。
1．（2023•西宁）下列运算正确的是
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A． B．
C． D．
2．（2023•泰州）计算 等于
A． B．2 C．4 D．
3．（2023•内蒙古）实数 在数轴上对应点的位置如图所示，化简： ．
4．（2023•陕西）计算： ．
考向四：分式及其运算
【题型9 分式有意义与分式值为零】
满分技巧
分式有意义：分母≠0；分式值为零：分子=0且分母≠0
1．（2023•北京）若代数式 有意义，则实数 的取值范围是 ．
2．（2023•凉山州）分式 的值为0，则 的值是
A．0 B． C．1 D．0或1
3．（2023•衡阳）已知 ，则代数式 的值为 ．
【题型10 分式的计算与化简求值】
满分技巧
①分式的混合运算法则：
先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的，能约分的先约分
②分式的化简求值问题中，一般先化简，再求值，且化简结果应为整式或最简分式。
技巧总结：分式的化简求值问题中，加减通分，乘除约分，结果最简，喜欢的数适当的大，适合的数排
除分母。
1．（2023•绥化）化简： ．
2．（2023•江西）化简 ．下面是甲、乙两同学的部分运算过程：
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（1）甲同学解法的依据是 ，乙同学解法的依据是 ；（填序号）
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律．
（2）请选择一种解法，写出完整的解答过程．
3．（2023•武汉）已知 ，计算 的值是
A．1 B． C．2 D．
4．（2023•眉山）先化简： ，再从 ， ，1，2中选择一个合适的数作为 的值代入
求值．
（建议用时：15分钟）
1．（2023•湘西州） 的相反数是
A． B． C． D．2023
2．（2023•金华）某一天，哈尔滨、北京、杭州、金华四个城市的最低气温分别是 ， ， ，
，其中最低气温是
A． B． C． D．
3．（2023•长春）下列运算正确的是
A． B． C． D．
4．（2023•娄底）2023的倒数是
A．2023 B． C． D．
5．（2023•济宁）下列各式运算正确的是
A． B． C． D．
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6．（2023•攀枝花）我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式．给出以下4组图形及相应的
代数恒等式：
其中，图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2023•淮安）若 在实数范围内有意义，则 的取值范围是 ．
8．（2023•南京）计算 的结果是 ．
9．（2023•常州）9的算术平方根是 ．
10．（2023•乐山）若 、 满足 ，则 ．
11．（2023•福建）已知 ，且 ，则 的值为 ．
12．（2023•金华）计算： ．
13．（2023•无锡）计算：
（1） ； （2） ．
14．（2023•长沙）先化简，再求值： ，其中 ．
15．（2023•北京）已知 ，求代数式 的值．
16．（2023•浙江）观察下面的等式： ， ， ， ，
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（1）写出 的结果；
（2）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含 的等式表示， 为正整数）；
（3）请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的．
（建议用时：20分钟）
1．（2023秋•黄冈期末）下列四个数中，绝对值最大的是
A．2 B． C．0 D．
2．（2024•雁塔区校级一模） 的倒数是
A． B．2024 C． D．
3．（2023•湘西州） 的相反数是
A． B． C． D．2023
4．（2023•李沧区三模）刻蚀机是芯片制造和微观加工最核心的设备之一，中国自主研发的 6纳米刻蚀机
已获成功，6纳米就是0.000000006米．数据0.000000006用科学记数法表示为
A． B． C． D．
5．（2024•周至县一模）计算 的结果是
A． B． C． D．
6．（2023秋•凉山州期末）已知 ，则 的值是
A．6 B． C． D．8
7．（2023秋•海淀区期末）下列运算中，正确的是
A． B． C． D．
8．（2024•大渡口区模拟）估算 的结果
A．在7和8之间 B．在8和9之间 C．在9和10之间 D．在10和11之间
9．（2024•碑林区校级一模）比较大小： 2（填“ ”、“ ”或“ ” ．
10．（2023秋•邗江区期末）4的算术平方根是 ．
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11．（2023•越秀区一模）若 在实数范围内有意义，则 的取值范围是 ．
12．（2023•南宁三模）因式分解： ．
13．（2024•碑林区校级一模）写出一个绝对值小于 的负整数是 （写出符合条件的一个即可）
14．（2024•浙江模拟）定义一种运算 ，计算 ．
15．（2022春•玄武区期末）比较大小： ．（填 ， ，
16．（2023•兴宁区二模）若最简二次根式 与 是同类二次根式，则 ．
17．（2023•武胜县模拟）若 ，则代数式 的值等于 ．
18．（2024•大渡口区模拟）如果一个四位自然数 的各数位上的数字互不相等且均不为 0，满足
，那么称这个四位数为“差中数”．例如：四位数 4129， ， 是“差中
数”；又如：四位数5324， ， 不是“差中数”．若一个“差中数”为 ，则
这个数为 ；如果一个“差中数”能被11整除，则满足条件的数的最大值是 ．
19．（2024•福田区校级自主招生）计算： ．
20．（2024•长沙模拟）计算： ．
21．（2023•南山区二模）计算： ．
22．（2023•东城区一模）已知 ，求代数式 的值．
23．（2023•长安区校级二模）先化简，再求值： ，其中 ，
．
24．（2024•灞桥区校级一模）先化简 ，再从 ，0， 中选取适合的数字求这
个代数式的值．
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25．（2023•台江区模拟）先化简，再求值： ，其中 ．
26．（2023•栾城区校级模拟）某校组织学生外出研学，旅行社报价每人收费300元，当研学人数超过50
人时，旅行社给出两种优惠方案：
方案一：研学团队先交1500元后，每人收费240元；
方案二：5人免费，其余每人收费打九折（九折即原价的
（1）用代数式表示，当参加研学的总人数是 人时，
用方案一共收费 元；
用方案二共收费 元；
（2）当参加旅游的总人数是80人时，采用哪种方案省钱？说说你的理由．
27．（2023•宝应县模拟）如果 ，那么称 为 的劳格数，记为 ，由定义可知： 与
所表示的是 、 两个量之间的同一关系．
（1）根据劳格数的定义，填空： ， ；
（2）劳格数有如下运算性质：
若 、 为正数，则 ， ．
根据运算性质，填空：
为正数），若 （2） ，则 （4） ， （5） ， ；
（3）下表中与数 对应的劳格数 有且只有两个是错误的，请找出错误的劳格数，说明理由并改正．
1.5 3 5 6 8 9 12 27
11
