文档内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
第 2 节 整式与因式分解
回归教材·过基础
【知识体系】
【考点清单】
知识点1 代数式
代数式
定义:用基本运算符号(加、减、乘、除、乘方和开方)把数或表示数的字母连接起来的式子
{
单独的一个数或一个① ❑也是代数式
1 9
{(1)若数字因数是带分数,要化成假分数,如4 x要写成 x
2 2
列代数式 x
(2)当式子中出现除法时,要写成分数的形式,如x÷y要写成
y
(3)当列出的代数式是多项式且后面带有单位时,必须将代数式用括号括起来
知识点2 整式的有关概念
1关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
整式的有关概念
1
{
{定义:表示数与字母乘积的式子,叫作单项式.单独的一个数或字母也是单项式.如 ,-2a2b
5
单项式
系数:单项式中的② ❑
次数:单项式中所有字母的指数的③ ❑
{
定义:几个单项式的④ ❑,叫作多项式
项:多项式中每一个⑤ ❑
多项式
常数项:不含⑥ ❑的项
次数:多项式中次数⑦ ❑的次数
整式:⑧ ❑统称为整式
同类项:所含的⑨ ❑相同,并且相同字母的⑩ ❑也相同的项叫作同类项,常数项都是同类项
知识点3 整式的运算
整式的运算
2关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
知识点4 因式分解
3关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
因式分解
【基础演练】
2x 2x3 y2 2x+ y
1.已知式子:① ;②- ;③ ;④4x2-y2;⑤x2+2x+1.
3x+2 7 7
(1)以上式子中,是整式的有 ,是单项式的有 ,是多项式的有 .(填序号)
2x3 y2
(2)- 的系数是 ,次数是 ;x2+2x+1的次数是 ,项数是 .
7
2x3 y2 2x+ y
(3)计算- · 的结果是 .
7 7
2x+ y
(4)若4x2-y2=6,2x-y=2,则 = .
7
(5)因式分解:x2+2x+1= .
2.某校计划给每个年级配发n套劳动工具,则3个年级共需配发 套劳动工具.
3.先化简,再求值:(2x+y)(2x-y)-(x+1)2+y2,其中x=-2,y=1.
4关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
真题精粹·重变式
考向1 整式的运算 6年5考
1.(2024·福建)下列运算正确的是 ( )
A.a3·a3=a9 B.a4÷a2=a2
C.(a3)2=a5 D.2a2-a2=2
2.(2023·福建)下列计算正确的是 ( )
A.(a2)3=a6 B.a6÷a2=a3
C.a3·a4=a12 D.a2-a=a
3.(2022·福建)化简(3a2)2的结果是 ( )
A.9a2 B.6a2
C.9a4 D.3a4
4.(2021·福建)下列运算正确的是 ( )
A.2a-a=2 B.(a-1)2=a2-1
C.a6÷a3=a2 D.(2a3)2=4a6
5.(2020·福建)下列运算正确的是 ( )
A.3a2-a2=3
B.(a+b)2=a2+b2
C.(-3ab2)2=-6a2b4
D.a·a-1=1(a≠0)
热点训练
6.计算a3÷a得a?,则“?”是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
7.(a2)3可以表示成 ( )
A.3个a2相加 B.5个a相乘
C.2个a3相加 D.3个a2相乘
8.若24×22=2m,则m的值为 ( )
5关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A.8 B.6 C.5 D.2
9.计算:(a+3)(a-2)+(a-a3)÷a.
考向2 化简求值
热点训练
1
10.先化简,再求值:(x+y)(x-y)+(xy2-2xy)÷x,其中x=1,y= .
2
11.已知x2+2x-2=0,求代数式x(x+2)+(x+1)2的值.
核心方法
整式的求值常见的方法
1.化简代入法,即把字母的取值表达式或所求的代数式进行化简,然后代入求值.
2.整体代入法,即当单个字母的值不能或不用求出时,可把已知条件作为一个整体,代入到经
过变形的待求的代数式中去求值.
考向3 因式分解
12.(2024·福建)因式分解:x2+x= .
13.(2019·福建)因式分解:x2-9= .
真题变式
变设问——提取公因式
14.因式分解:x2-9x= .
开放性设问
15.给x2+9添加一个一次项,使其可以应用完全平方公式进行因式分解,则这个一次项可以是
.(写出一个满足条件的项即可)
16.(2023·河北)若k为任意整数,则(2k+3)2-4k2的值总能 ( )
A.被2整除 B.被3整除
C.被5整除 D.被7整除
6关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
热点训练
17.因式分解:(y+2x)2-(x+2y)2.
核心方法
因式分解的方法
1.提取公因式的关键是确定公因式,找公因式的方法:一看系数;二看相同字母或因式;三看相
同字母的次数.
2.运用公式法首先观察项数,若是二项式,应考虑平方差公式;若是三项式,则考虑完全平方公
式.然后观察各项的次数、系数是否符合公式的特征.
3.注意因式分解一定要分解到不能再分解为止.
b c
18.(2024·福建)已知实数a,b,c,m,n满足3m+n= ,mn= .
a a
(1)求证:b2-12ac为非负数.
(2)若a,b,c均为奇数,m,n是否可以都为整数?说明你的理由.
7关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
参考答案
回归教材·过基础
考点清单
①字母 ②数字因数 ③和 ④和 ⑤单项式 ⑥字母
⑦最高项 ⑧单项式和多项式 ⑨字母 ⑩指数 系数 a+b+c a-b-c 相加
am+n 相减
am-n 相乘 amn anbn -4a5b2 ma+mb+mc ma+mb+na+nb a2-b2
a2±2ab+b2 -2xy2 a+b+c 多项式 积 m(a+b+c) (a+b)(a-b) (a±b)2
2ab 4ab
基础演练
2 4x4 y2+2x3y3 3
1.(1)②③④⑤ ② ③④⑤ (2)- 5 2 3 (3)- (4) (5)(x+1)2
7 49 7
2.3n
3.解析:原式=4x2-y2-(x2+2x+1)+y2
=4x2-y2-x2-2x-1+y2
=3x2-2x-1.
当x=-2,y=1时,原式=3×(-2)2-2×(-2)-1=15.
真题精粹·重变式
1.B 2.A 3.C 4.D 5.D 6.C 7.D 8.B
9.解析:原式=a2+a-6+1-a2=a-5.
10.解析:原式=x2-y2+y2-2y=x2-2y.
1 1
当x=1,y= 时,原式=12-2× =0.
2 2
11.解析:x(x+2)+(x+1)2
=x2+2x+x2+2x+1
=2x2+4x+1.
∵x2+2x-2=0,
∴x2+2x=2,
∴当x2+2x=2时,原式=2(x2+2x)+1
=2×2+1
8关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
=4+1
=5.
12.x(x+1) 13.(x+3)(x-3) 14.x(x-9)
15.6x(或-6x) 16.B
17.解析:原式=[(y+2x)+(x+2y)][(y+2x)-(x+2y)]=3(x+y)(x-y).
b c
18.解析:(1)证明:∵3m+n= ,mn=
a a
∴b=a(3m+n),c=amn,
则b2-12ac=[a(3m+n)]2-12a2mn
=a2(9m2+6mn+n2)-12a2mn
=a2(9m2-6mn+n2)
=a2(3m-n)2.
∵a,m,n是实数,
∴a2(3m-n)2≥0,
∴b2-12ac 为非负数.
(2)m,n不可能都为整数.
理由如下:若m,n都为整数,其可能情况有:①m,n都为奇数;②m,n为整数,且其中至少有一个为
偶数.
①当m,n都为奇数时,则3m+n必为偶数,
b
又∵3m+n= ,
a
∴b=a(3m+n).
∵a为奇数,
∴a(3m+n)必为偶数,这与b为奇数矛盾;
②当m,n为整数,且其中至少有一个为偶数时,则mn必为偶数.
c
又∵mn= ,
a
∴c=amn.
∵a为奇数,
∴amn必为偶数,这与c为奇数矛盾.
综上所述,m,n不可能都为整数.
9
