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热点 01 数与式
中考数学中数与式部分主要考向分为四类：
一、实数与特殊角的三角函数值（每年2~4道，9~16分）
二、整式与因式分解（每年2~4道，7~10分）
三、分式（每年1~3题，3~13分）
四、二次根式（每年1~3题，3~12分）
在数学中考中，数与式部分主要考察实数及其运算、数的开方与二次根式、整式与因式分解、分式及
其运算；而这些考点中，对实数包含的各种概念的运用的考察占了大多数，但是试题难度设置的并不大，
属于中考中的基础“送分题”，题目多以选择题、填空题以及个别计算类简单解答题的形式出现；但是，
由于数学题目出题的多变性，虽然考点相同，并不表示出题方向也相同，所以在复习时，需要考生对这部
分的知识点的原理及变形都达到熟悉掌握，才能在众多的变形中，快速识别问题考点，拿下这部分基础分。
考向一：实数及其运算
【题型1 实数内的基本概念】
满分技巧
实数内的基本概念包括：数轴、相反数、绝对值、倒数、有理数、无理数、科学记数法；
做这种概念类题目时记牢以下4点：①熟悉各概念的基本定义，特别注意各概念中0的特殊存在；②必
须读对题意，问的是什么就想对应的考点；③如果是选择题，确保4个选项都要全看完，再说选哪个选
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项；④做到数轴、绝对值相关的问题，注意需不需要分类讨论。
1．（2023•岳阳）2023的相反数是
A． B． C．2023 D．
【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
【解答】解：2023的相反数是 ．
故选： ．
2．（2023•泰安） 的倒数是
A． B． C． D．
【分析】根据倒数的定义直接进行解答即可．
【解答】解：根据倒数的定义得：
的倒数是 ；
故选： ．
3．（2023•自贡）如图，数轴上点 表示的数是2023， ，则点 表示的数是
A．2023 B． C． D．
【分析】结合已知条件，根据实数与数轴的对应关系即可求得答案．
【解答】解： ，点 表示的数是2023，
，
点 在 点左侧，
点 表示的数为： ，
故选： ．
4．（2023•日照）芯片内部有数以亿计的晶体管，为追求更高质量的芯片和更低的电力功耗，需要设计体
积更小的晶体管．目前，某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000014米，
将数据0.000000014用科学记数法表示为
A． B． C． D．
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ， 为整数．确定 的值时，要看把原数
变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值 时， 是正整
数；当原数的绝对值 时， 是负整数．
【解答】解： ．
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故选： ．
5．（2023•淄博） 的运算结果等于
A．3 B． C． D．
【分析】利用绝对值的性质可得出答案．
【解答】解： ，
故选： ．
6．（2023•金昌）9的算术平方根是
A． B． C．3 D．
【分析】根据算术平方根的定义即可求出答案．
【解答】解：9的算术平方根是3，
故选： ．
7．（2023•巴中）下列各数为无理数的是
A．0.618 B． C． D．
【分析】明确无理数是无限不循环小数；有理数分为整数和分数．
【解答】解： ，
； ； 均为有理数， 是无理数．
故选： ．
8．（2023•天津）估计 的值在
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【分析】一个正数越大，其算术平方根越大，据此即可求得答案．
【解答】解： ，
，
即 ，
那么 在2和3之间，
故选： ．
【题型2 实数的比较大小】
满分技巧
实数比较大小的常见方法：①法则法：正数＞0＞负数；②数轴法：数轴上的数，右边的总比左边的
大；③绝对值法：两个负数比较大小，绝对值大的反而小；④平方法：两个正数比较大小，谁的平方
大，谁本身就大，两个负数比较大小，谁的平方大，谁本身反而小；
注意：个别实数的比较大小会结合其他基本概念或计算，这类问题要同时兼顾结合考点的性质再做比较
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1．（2023•徐州）如图，数轴上点 、 、 、 分别对应实数 、 、 、 ，下列各式的值最小的是
A． B． C． D．
【分析】结合数轴得出 ， ， ， 四个数的绝对值大小进行判断即可．
【解答】解：由数轴可得点 离原点距离最远，其次是 点，再次是 点， 点离原点距离最近，
则 ，
其中值最小的是 ，
故选： ．
2．（2023•扬州）已知 ， ， ，则 、 、 的大小关系是
A． B． C． D．
【分析】一个正数越大，其算术平方根越大，据此进行判断即可．
【解答】解： ，
，
即 ，
则 ，
故选： ．
3．（2023•南京）整数 满足 ，则 的值为
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据夹逼法估算无理数的大小即可求出 的值．
【解答】解： ，
即 ，
整数 ，
故选： ．
4．（2023•甘孜州）比较大小： 2．（填“ ”或“ ”
【分析】先把2写成 ，然后根据被开方数大的算术平方根也大即可得出比较结果．
【解答】解： ，
又 ，
，
故答案为： ．
5．（2023•自贡）请写出一个比 小的整数 4 （答案不唯一） ．
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【分析】根据算术平方根的定义估算无理数 的大小即可．
【解答】解： ， ，而 ，
，
比 小的整数有4（答案不唯一），
故答案为：4（答案不唯一）．
6．（2023•德州）实数 ， 在数轴上的对应点的位置如图所示，比较大小： 0．（填“
”“ ”或“ ”
【分析】由数轴可得 ，则 ， ，从而求得答案．
【解答】解：由数轴可得 ，
则 ， ，
那么 ，
故答案为： ．
7．（2023•湖州）已知 ， 是两个连续整数， ，则 的值是 9 ．
【分析】 与 为整数，且 ，故可以得到 与 的值．
【解答】解：由题可知，
，
， ，
故 ．
故答案为：9．
【题型3 实数的运算】
满分技巧
实数的运算是实数内各种概念法则运算的结合，一般以简答题为主，个别会出填空题，这也就决定了实
数的运算需要我们注意的三个方面：
①实数的运算必须熟悉的几个法则：零指数幂运算、负指数幂运算、绝对值的化简、根式的化简计算、
特殊角的三角函数值计算等；
②实数的运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的；
③实数的运算，先确定化简的正负，再进行合并计算。
1．（2023•天津） 的值等于
A．1 B． C． D．2
【分析】根据特殊锐角的三角函数值及二次根式的加法法则计算即可．
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【解答】解：原式
，
故选： ．
2．（2023•安徽）计算： 3 ．
【分析】直接利用立方根的性质化简，进而得出答案．
【解答】解：原式
．
故答案为：3．
3．（2023•菏泽）计算： 1 ．
【分析】首先计算零指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求
出算式的值即可．
【解答】解：
．
故答案为：1．
4．（2023•西藏）计算： ．
【分析】利用负整数指数幂，特殊锐角的三角函数值，零指数幂，立方根的定义进行计算即可．
【解答】解：原式
．
5．（2023•济南）计算： ．
【分析】先根据绝对值、负整数指数幂、零指数幂和特殊角的三角函数值对原式进行化简，然后再合并即
可．
【解答】解：
．
考向二：整式与因式分解
【题型4 代数式求值】
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满分技巧
代数式求值类问题解题步骤：①根据已知条件转化含字母的整体部分的值；②转化待求式，得上一步整
体表达式的倍数的表达式；③将整体部分的值代入计算。
1．（2023•南通）若 ，则 的值为
A．24 B．20 C．18 D．16
【分析】由已知条件可得 ，然后将 变形后代入数值计算即可．
【解答】解： ，
，
，
故选： ．
2．（2023•巴中）若 满足 ，则代数式 的值为
A．5 B．7 C．10 D．
【分析】首先将已知条件转化为 ，再利用提取公因式将 转化为 ，然后
整体代入即可得出答案．
【解答】解： ，
，
．
故选： ．
3．（2023•淮安）若 ，则 的值是 3 ．
【分析】将代数式适当变形后，利用整体代入的方法解答即可．
【解答】解： ，
，
原式
．
故答案为：3．
【题型5 整式的计算与化简求值】
满分技巧
完全拿下这部分分数，首先需要我们完全熟悉整式中的所有计算公式，特别是完全平方公式与平方差公
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式，变形也得掌握；其次要掌握整式的混合运算的顺序；最后，整式的化简求值，必须先化简，再带入
数据求值。
1、常见必会计算公式：①am•an＝a m+n（m，n是正整数） ②（am）n＝amn（m，n是正整数）
③（ab）n＝anbn（n是正整数） ④am÷an＝a m﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n） ⑤（a±b）2＝
a2±2ab+b2⑥（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
2、完全平方公式的常见变形：
3、其他技巧：整式的化简计算，其实就是去括号法则与合并同类项法则的联合应用，所以两个法则的
注意事项也是整式化简的注意事项。
1．（2023•张家界）下列运算正确的是
A． B． C． D．
【分析】根据完全平方公式，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方以及合并同类项法则，逐项分析判断
即可求解．
【解答】解： ． ，故该选项不符合题意；
． ，故该选项不符合题意；
． ，故该选项符合题意；
． ，故该选项不符合题意；
故选： ．
2．下列运算中，结果正确的是
A． B． C． D．
【分析】根据整式的运算法则将各项计算后进行判断即可．
【解答】解： ，则 不符合题意；
，则 不符合题意；
，则 符合题意；
，则 不符合题意；
故选： ．
3．（2023•凉山州）已知 是完全平方式，则 的值是 ．
【分析】利用完全平方式的意义解答即可．
【解答】解： 是完全平方式， ， ，
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或 ，
．
故答案为： ．
4．（2023•南充）先化简，再求值： ，其中 ．
【分析】原式第一项利用平方差公式就是，第二项利用完全平方公式展开，去括号合并得到最简结果，将
的值代入计算即可求出值．
【解答】解：
，
当 时，原式 ．
5．（2023•内蒙古）先化简，再求值： ，其中 ， ．
【分析】根据完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式的运算法则以及合并同类项法则把原式化简，
把 、 的值代入计算即可．
【解答】解：原式
，
当 ， 时，原式 ．
【题型6 因式分解】
满分技巧
因式分解的步骤：一提（公因式），二套（乘法公式），三十字（十字相乘法）；注意：第一步就要提
彻底。
1．（2023•济宁）下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是
A． B．
C． D．
【分析】本题考查因式分解 十字相乘，提公因式等相关知识．
【解答】解： 是完全平方公式，不是因式分解的形式，故选项 错误，
，故选项 错误，
，故选项 正确，
，故选项 错误．
故答案为： ．
2．（2023•杭州）分解因式：
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A． B． C． D．
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：
．
故选： ．
3．（2023•东营）因式分解： ．
【分析】先提取公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可．
【解答】解：
，
故答案为： ．
考向三：二次根式
【题型7 二次根式有意义的条件】
满分技巧
二次根式有意义的条件：被开方数整体≥0
注意：和分式结合的二次根式，不仅要满足被开方数整体≥0，还要同时满足分母≠0
1．（2023•无锡）若二次根式 有意义，则 的取值范围为
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得 ，再解不等式即可．
【解答】解：由题意得： ，
解得： ．
故选： ．
2．（2023•绥化）若式子 有意义，则 的取值范围是 且 ．
【分析】根据分式的分母不为0和二次根式的被开平方数大于等于0进行求解．
【解答】解：由题意得 且 ，
解得 且 ，
故答案为： 且 ．
【题型8 二次根式的运算】
满分技巧
①二次根式的加减，先根据二次根式的性质公式化简，再合并同类二次根式；
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②二次根式的乘除，按照二次根式的运算公式直接计算；
③二次根式混合运算顺序同实数混合运算顺序一样；
④二次根式的运算结果必须化简成最简二次根式。
1．（2023•西宁）下列运算正确的是
A． B．
C． D．
【分析】直接利用二次根式的混合运算法则分别计算，进而判断得出答案．
【解答】解： ． 无法合并，故此选项不合题意；
． ，故此选项不合题意；
． ，故此选项符合题意；
． ，故此选项不合题意．
故选： ．
2．（2023•泰州）计算 等于
A． B．2 C．4 D．
【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．
【解答】解： ．
故选： ．
3．（2023•内蒙古）实数 在数轴上对应点的位置如图所示，化简： ．
【分析】根据二次根式的非负性进行化简去绝对值即可．
【解答】解：由数轴可知： ，
，
．
故答案为： ．
4．（2023•陕西）计算： ．
【分析】利用有理数的乘法法则，二次根式的运算法则，零指数幂进行计算即可．
【解答】解：原式
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．
考向四：分式及其运算
【题型9 分式有意义与分式值为零】
满分技巧
分式有意义：分母≠0；分式值为零：分子=0且分母≠0
1．（2023•北京）若代数式 有意义，则实数 的取值范围是 ．
【分析】根据分式的分母不为零列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得： ，
解得： ，
故答案为： ．
2．（2023•凉山州）分式 的值为0，则 的值是
A．0 B． C．1 D．0或1
【分析】根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列式计算．
【解答】解： 分式 的值为0，
且 ，
解得： ，
故选： ．
3．（2023•衡阳）已知 ，则代数式 的值为 ．
【分析】根据分式的减法法则把原式化简，把 的值代入计算即可．
【解答】解：原式
，
当 时，原式 ，
故答案为： ．
【题型10 分式的计算与化简求值】
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满分技巧
①分式的混合运算法则：
先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的，能约分的先约分
②分式的化简求值问题中，一般先化简，再求值，且化简结果应为整式或最简分式。
技巧总结：分式的化简求值问题中，加减通分，乘除约分，结果最简，喜欢的数适当的大，适合的数排
除分母。
1．（2023•绥化）化简： ．
【分析】先通分计算括号里的分式加减，再计算除法．
【解答】解：
，
故答案为： ．
2．（2023•江西）化简 ．下面是甲、乙两同学的部分运算过程：
（1）甲同学解法的依据是 ② ，乙同学解法的依据是 ；（填序号）
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律．
（2）请选择一种解法，写出完整的解答过程．
【分析】（1）甲同学的解法两个分式先通分依据是分式的基本性质，乙同学根据乘法分配律先算乘法，
后算加法，这样简化运算，更简便了．
（2）选择乙同学的解法，先因式分解，再约分，最后进行加法运算即可．
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【解答】解：（1）甲同学的解法是：先把括号内两个分式通分后相加，再进行乘法运算，
通分的依据是分式的基本性质，
故答案为：②．
乙同学的解法是：根据乘法的分配律，去掉括号后，先算分式的乘法，再算加法，
故答案为：③．
（2）选择乙同学的解法．
．
3．（2023•武汉）已知 ，计算 的值是
A．1 B． C．2 D．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由已知等式得出 ，继而可得答案．
【解答】解：原式
，
，
，
原式 ．
故选： ．
4．（2023•眉山）先化简： ，再从 ， ，1，2中选择一个合适的数作为 的值代入
求值．
【分析】先把括号里进行通分，再计算除法，最后代入求解．
【解答】解：
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，
且 ，
当 时，原式 ．
（建议用时：15分钟）
1．（2023•湘西州） 的相反数是
A． B． C． D．2023
【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
【解答】解： 的相反数为2023．
故选： ．
2．（2023•金华）某一天，哈尔滨、北京、杭州、金华四个城市的最低气温分别是 ， ， ，
，其中最低气温是
A． B． C． D．
【分析】明确在实数中负数小于0小于正数，且负数之间比较大小绝对值越大负数越小．
【解答】解：由题可知： ，
所以最低气温是 ．
故选： ．
3．（2023•长春）下列运算正确的是
A． B． C． D．
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则、合并同类项法则分别判断得出答案．
【解答】解： ． ，无法合并，故此选项不合题意；
． ，故此选项符合题意；
． ，故此选项不合题意；
． ，故此选项不合题意．
故选： ．
4．（2023•娄底）2023的倒数是
A．2023 B． C． D．
【分析】乘积是1的两数互为倒数，由此即可得到答案．
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【解答】解：2023的倒数是 ．
故选： ．
5．（2023•济宁）下列各式运算正确的是
A． B． C． D．
【分析】本题考查整式的乘法，同底数幂的乘除法，幂的乘方，积的乘方和完全平方公式等知识．
【解答】解： ，故选项 错误，
，故选项 错误，
，故选项 错误，
．
故选： ．
6．（2023•攀枝花）我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式．给出以下4组图形及相应的
代数恒等式：
其中，图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】观察各个图形及相应的代数恒等式即可得到答案．
【解答】解：图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有①②③④，
故选： ．
7．（2023•淮安）若 在实数范围内有意义，则 的取值范围是 ．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得： ，
解得： ，
故答案为： ．
8．（2023•南京）计算 的结果是 ．
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【分析】先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答．
【解答】解：
，
故答案为： ．
9．（2023•常州）9的算术平方根是 3 ．
【分析】根据算术平方根的定义计算即可．
【解答】解： ，
的算术平方根是3，
故答案为：3．
10．（2023•乐山）若 、 满足 ，则 1 6 ．
【分析】直接利用幂的乘方运算法则将原式变形，进而计算得出答案．
【解答】解： ，
，
．
故答案为：16．
11．（2023•福建）已知 ，且 ，则 的值为 1 ．
【分析】根据 ，可得 ，再代入 即可求出答案．
【解答】解： ，
，
，
．
故答案为：1．
12．（2023•金华）计算： ．
【分析】先计算零次幂、化简二次根式，再代入特殊值的函数值算乘法并化简绝对值，最后算加减得结论．
【解答】解：
．
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13．（2023•无锡）计算：
（1） ；
（2） ．
【分析】（1）先算开方，负整数指数幂，绝对值，再算加减即可；
（2）先算括号里的运算，再把除法转为乘法，最后约分即可．
【解答】解：（1）
；
（2）
．
14．（2023•长沙）先化简，再求值： ，其中 ．
【分析】先去括号，再合并同类项，然后把 的值代入化简后的式子，进行计算即可解答．
【解答】解：
，
当 时，原式
．
15．（2023•北京）已知 ，求代数式 的值．
【分析】根据已知可得 ，然后利用分式的基本性质化简分式，再把 代入化简后的式子
进行计算即可解答．
【解答】解： ，
，
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，
的值为2．
16．（2023•浙江）观察下面的等式： ， ， ， ，
（1）写出 的结果；
（2）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含 的等式表示， 为正整数）；
（3）请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的．
【分析】（1）根据题目中的例子，可以写出 的结果；
（2）根据题目中给出的式子，可以得到 ；
（3）将（2）中等号左边的式子利用平方差公式计算即可．
【解答】解：（1） ，
；
（2）由题意可得，
；
（3）
，
正确．
（建议用时：20分钟）
1．（2023秋•黄冈期末）下列四个数中，绝对值最大的是
A．2 B． C．0 D．
【分析】分别计算出四个选项的绝对值，然后再进行比较，找出绝对值最大的选项．
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【解答】解： 、 ； 、 ； 、 ； 、 ；
，
四个数中绝对值最大的是 ．
故选： ．
2．（2024•雁塔区校级一模） 的倒数是
A． B．2024 C． D．
【分析】根据题意利用倒数定义即可得出本题答案．
【解答】解： ，
故选： ．
3．（2023•湘西州） 的相反数是
A． B． C． D．2023
【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
【解答】解： 的相反数为2023．
故选： ．
4．（2023•李沧区三模）刻蚀机是芯片制造和微观加工最核心的设备之一，中国自主研发的 6纳米刻蚀机
已获成功，6纳米就是0.000000006米．数据0.000000006用科学记数法表示为
A． B． C． D．
【分析】将一个数表示成 的形式，其中 ， 为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此
即可求得答案．
【解答】解： ，
故选： ．
5．（2024•周至县一模）计算 的结果是
A． B． C． D．
【分析】根据单项式乘单项式的法则计算即可．
【解答】解：
，
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故选： ．
6．（2023秋•凉山州期末）已知 ，则 的值是
A．6 B． C． D．8
【分析】根据同底数幂的乘法求解即可．
【解答】解： ，
，
，
故选： ．
7．（2023秋•海淀区期末）下列运算中，正确的是
A． B． C． D．
【分析】根据幂的乘方法则，积的乘方法则，同底数幂的乘法和除法法则逐项计算，即可判断．
【解答】解： ，故 计算错误，不符合题意；
，故 计算错误，不符合题意；
，故 计算正确，符合题意；
，故 计算错误，不符合题意．
故选： ．
8．（2024•大渡口区模拟）估算 的结果
A．在7和8之间 B．在8和9之间 C．在9和10之间 D．在10和11之间
【分析】先根据二次根式乘除法的计算方法将原式化简后，再根据算术平方根的定义估算无理数 的大
小即可．
【解答】解：原式 ，
，
，
即 ，
故选： ．
9．（2024•碑林区校级一模）比较大小： 2（填“ ”、“ ”或“ ” ．
【分析】根据 ，所以 即可．
【解答】解： ，
，
．
故答案为： ．
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10．（2023秋•邗江区期末）4的算术平方根是 2 ．
【分析】根据算术平方根的定义进行计算即可．
【解答】解： ，
的算术平方根是 ，
故答案为：2．
11．（2023•越秀区一模）若 在实数范围内有意义，则 的取值范围是 ．
【分析】根据分式的分母不等于0即可得出答案．
【解答】解：由题意，得 ，
解得 ．
故答案为： ．
12．（2023•南宁三模）因式分解： ．
【分析】先提公因式 ，分解成 ，而 可利用平方差公式分解．
【解答】解： ．
故答案为： ．
13．（2024•碑林区校级一模）写出一个绝对值小于 的负整数是 （答案不唯一） （写出符合
条件的一个即可）
【分析】运用算术平方根和绝对值的知识进行求解．
【解答】解： ，
，
是绝对值小于 的负整数，
故答案为： （答案不唯一）．
14．（2024•浙江模拟）定义一种运算 ，计算 ．
【分析】根据 ，用 与 的积减去2与 的积，求出 的值即可．
【解答】解： ，
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．
故答案为： ．
15．（2022春•玄武区期末）比较大小： ．（填 ， ，
【分析】首先比较出 和 的平方的大小关系，然后根据：哪个数的平方大，则哪个数也大，判断
出它们的大小关系即可．
【解答】解： ， ，
，
，
，
，
故答案为： ．
16．（2023•兴宁区二模）若最简二次根式 与 是同类二次根式，则 2 ．
【分析】根据二次根式的性质把 化简，再根据同类二次根式的概念列式计算即可．
【解答】解： ，
则 ，
解得： ，
故答案为：2．
17．（2023•武胜县模拟）若 ，则代数式 的值等于 4 9 ．
【分析】根据 ，得出 ，两边平方移项即可得出 的值．
【解答】解： ，
，
，
，
故答案为：49．
18．（2024•大渡口区模拟）如果一个四位自然数 的各数位上的数字互不相等且均不为 0，满足
，那么称这个四位数为“差中数”．例如：四位数 4129， ， 是“差中
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数”；又如：四位数5324， ， 不是“差中数”．若一个“差中数”为 ，则
这个数为 513 8 ；如果一个“差中数”能被11整除，则满足条件的数的最大值是 ．
【分析】①根据定义列出方程即可求出 ；
②先根据数的特征设千位为9，再根据“差中 根据各数数”的特征求出 位上的数字互不
相等且均不为0，解不定方程的整数解求出各数，再判断是否能被11整除即可．
【解答】解：① 为”差中数“，
，
，
这个数为5138；
②设满足条件的四位自然数是 ，
又 是差中数，
，即 ，
故 或 ，
各数位上的数字互不相等且均不为0，
， ， ， ， ，
当 时，这个”差中数“是9817，不能被11整除，
当 时，这个”差中数“是9725，不能被11整除，
当 时，这个”差中数“是9541，不能被11整除，
当 时，这个”差中数“是9358，不能被11整除，
当 时，这个”差中数“是9174，能被11整除，
一个”差中数“能被11整除，则满足条件的数的最大值是9174，
故答案为：5138，9174．
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19．（2024•福田区校级自主招生）计算： ．
【分析】根据化简绝对值，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零指数幂进行计算即可求解．
【解答】解：原式
．
20．（2024•长沙模拟）计算： ．
【分析】原式第一项利用特殊角的三角函数值计算，第二项利用负整数指数幂法则计算，第三项利用绝对
值的代数意义化简，最后一项利用立方根定义计算即可得到结果．
【解答】解：原式
．
21．（2023•南山区二模）计算： ．
【分析】原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用乘方的意义计算，第三项利用特殊角的三角函数
值计算，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式
．
22．（2023•东城区一模）已知 ，求代数式 的值．
【分析】利用多项式乘多项式、多项式乘单项式进行计算，然后再合并同类项，化简后，再代入求值即可．
【解答】解：原式
，
，
，
原式
．
23．（2023•长安区校级二模）先化简，再求值： ，其中 ，
．
【分析】原式中括号中第一项利用平方差公式化简，第二项利用完全平方公式展开，合并后利用多项式除
以单项式法则计算得到最简结果，然后将 与 的值代入计算即可求出值．
【解答】解：
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，
当 ， 时，原式 ．
24．（2024•灞桥区校级一模）先化简 ，再从 ，0， 中选取适合的数字求这
个代数式的值．
【分析】先通分括号内的式子，同时将括号外的除法转化为乘法，再从 ，0， 中选取一个使得原分
式有意义的值代入化简后的式子计算即可．
【解答】解：
，
， ，
，0，
，
当 时，原式 ．
25．（2023•台江区模拟）先化简，再求值： ，其中 ．
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把 的值代入计算，得到答案．
【解答】解：原式
，
当 时，原式 ．
26．（2023•栾城区校级模拟）某校组织学生外出研学，旅行社报价每人收费300元，当研学人数超过50
人时，旅行社给出两种优惠方案：
方案一：研学团队先交1500元后，每人收费240元；
方案二：5人免费，其余每人收费打九折（九折即原价的
（1）用代数式表示，当参加研学的总人数是 人时，
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用方案一共收费 元；
用方案二共收费 元；
（2）当参加旅游的总人数是80人时，采用哪种方案省钱？说说你的理由．
【分析】（1）方案一的收费为： 元，方案二收费为： 元；
（2）把 代入两个代数式，进而比较即可．
【 解 答 】 解 ： （ 1 ） 方 案 一 的 收 费 为 ： 元 ， 方 案 二 收 费 为 ：
元；
（2）把 代入 （元 ，
把 代入 （元 ，
，
方案二省钱；
故答案为：（1） ； ．
27．（2023•宝应县模拟）如果 ，那么称 为 的劳格数，记为 ，由定义可知： 与
所表示的是 、 两个量之间的同一关系．
（1）根据劳格数的定义，填空： 1 ， ；
（2）劳格数有如下运算性质：
若 、 为正数，则 ， ．
根据运算性质，填空：
为正数），若 （2） ，则 （4） ， （5） ， ；
（3）下表中与数 对应的劳格数 有且只有两个是错误的，请找出错误的劳格数，说明理由并改正．
1.5 3 5 6 8 9 12 27
【分析】（1）根据定义可知， 和 就是指10的指数，据此即可求解；
（2）根据 （a） （a） （a）即可求得 的值；
（3）通过 ， ，可以判断 （3）是否正确，同理以依据 ，假设 （5）正确，可以求
得 （2）的值，即可通过 （8）， 作出判断．
【解答】解：（1） ， ；
故答案为：1， ；
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（2） ；
因为 （2）
故 （4） （2） （2） ，
（5） （2） ，
（2） ；
故答案为：3；0.6020；0.6990； ．
（3）若 （3） ，则 （9） （3） ，
（3） ，
从而表中有三个劳格数是错误的，与题设矛盾，
（3） ，
若 （5） ，则 （2） （5） ，
（8） （2） ，
（6） （3） （2） ，
表中也有三个劳格数是错误的，与题设矛盾．
（5） ．
表中只有 和 的值是错误的，应纠正为：
（3） （5） ，
（3） （2） ．
28
