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专题 25 与圆有关的计算的核心知识点精讲
1.掌握弧长和扇形面积计算公式；
2.会利用弧长和扇形面积计算公式进弧长和扇形面积的计算
考点1：圆内正多边形的计算
（1）正三角形
在⊙ 中△ 是正三角形，有关计算在 中进行： ；
B C
C
O O
O
A E D B
A
B A
D
（2 ）正四边形
同理，四边形的有关计算在 中进行， ：
（3）正六边形
同理，六边形的有关计算在 中进行， .
考点2：扇形的弧长和面积计算
扇形：（1）弧长公式： ；
（2）扇形面积公式：
：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积
注意：
（1）对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的 ，即 ；
（2）公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；
（3）弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第
三个量.
(4)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的 ，
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即 ；
(5)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就
可以求出第三个量.
考点3：扇形与圆柱、圆锥之间联系
1、圆柱：
（1）圆柱侧面展开图
D
A D1
=
母线长
底面圆周长
B C1
（2）圆柱的体积： C
B1
2、圆锥侧面展开图
（1） =
O
（2）圆锥的体积：
R
注意：圆锥的底周长=扇形的弧长（ ） C
A r B
【题型1：正多边形和圆的有关计算】
【典例1】（2023•福建）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用
圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，
则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率 的近似值
为3.1416．如图， O的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计 O的面积，可
π
⊙ ⊙
得 的估计值为 ，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得 的估计值为（ ）
π π
A． B．2 C．3 D．2
【变式1-1】（2023•临沂）将一个正六边形绕其中心旋转后仍与原图形重合，旋转角的大小不可能是（
）
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A．60° B．90° C．180° D．360°
【变式1-2】（2023•安徽）如图，正五边形ABCDE内接于 O，连接OC，OD，则∠BAE﹣∠COD＝（
）
⊙
A．60° B．54° C．48° D．36°
【变式1-3】（2023•山西）蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面
图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点 P，Q，M均为正六边
形的顶点．若点P，Q的坐标分别为 ，（0，﹣3），则点M的坐标为（ ）
A．（3 ，﹣2） B．（3 ，2） C．（2，﹣3 ） D．（﹣2，﹣3 ）
【变式1-4】（2023•内江）如图，正六边形ABCDEF内接于 O，点P在 上，点Q是 的中点，则
∠CPQ的度数为（ ）
⊙
A．30° B．45° C．36° D．60°
【题型2：弧长和扇形面积的有关计算】
【典例2】（2023•张家界）“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如
图，分别以等边△ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角
形”．若等边△ABC的边长为3，则该“莱洛三角形”的周长等于（ ）
A． B．3 C．2 D．2 ﹣
π π π π
【变式2-1】（2022•广西）如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，∠BAC＝ ，将△ABC绕点A逆时针旋转
α
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2 ，得到△AB′C′，连接B′C并延长交AB于点D，当B′D⊥AB时， 的长是（ ）
α
A． B． C． D．
【变式2-2】（2022•丽水）某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在
π π π π
的圆外接于矩形，如图．已知矩形的宽为2m，高为2 m，则改建后门洞的圆弧长是（ ）
A． m B． m C． m D．（ +2）m
【变式2-3】（2023•锦州）如图，点A，B，C在 O上，∠ABC＝40°，连接OA，OC．若 O的半径为
3，则扇形AOC（阴影部分）的面积为（ ）
⊙ ⊙
A． B． C． D．2
π π π π
【题型3：有圆有关的阴影面积的计算】
【典例3】（2023•广元）如图，半径为 5的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C是 上一点，CD⊥OA，
CE⊥OB，垂足分别为D，E，若CD＝CE，则图中阴影部分面积为（ ）
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A． B． C． D．
【变式3-1】（2023•雅安）如图，某小区要绿化一扇形 OAB空地，准备在小扇形OCD内种花，在其余区
域内（阴影部分）种草，测得∠AOB＝120°，OA＝15m，OC＝10m，则种草区域的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2023•鄂州）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝4，点O为BC的中点，
以O为圆心，OB长为半径作半圆，交AC于点D，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．5 B．5 ﹣4 C．5 ﹣2 D．10 ﹣2
【变式3-3】（2022•凉山州）家具厂利用如图所示直径为1米的圆形材料加工成一种扇形家具部件，已知
π π π π
扇形的圆心角∠BAC＝90°，则扇形部件的面积为（ ）
A． 米2 B． 米2 C． 米2 D． 米2
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【题型4：圆锥的有关计算】
【典例4】（2023•东营）如果圆锥侧面展开图的面积是 15 ，母线长是5，则这个圆锥的底面半径是（
）
π
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式4-1】（2022•牡丹江）圆锥的底面圆半径是1，母线长是3，它的侧面展开图的圆心角是（ ）
A．90° B．100° C．120° D．150°
【变式4-2】（2022•广安）蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成．下图是一个蒙古包的示意图，底面
圆半径DE＝2m，圆锥的高AC＝1.5m，圆柱的高CD＝2.5m，则下列说法错误的是（ ）
A．圆柱的底面积为4 m2
B．圆柱的侧面积为10π m2
C．圆锥的母线AB长为2.25m
π
D．圆锥的侧面积为5 m2
【变式4-3】（2022•赤峰）如图所示，圆锥形烟囱帽的底面半径为12cm，侧面展开图为半圆形，则它的母
π
线长为（ ）
A．10cm B．20cm C．5cm D．24cm
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一．选择题（共10小题）
1．如图，五边形ABCDE是 O的内接正五边形，则正五边形的中心角∠COD的度数是（ ）
⊙
A．72° B．60° C．48° D．36°
2．如图，正六边形ABCDEF内接于 O， O的半径为4，则这个正六边形的边心距OM和 的长分别为
（ ）
⊙ ⊙
A．2， B． ， C．2 ， D．2 ，
3．如图， O的半径为1，点A、Bπ、C都在 O上，∠B＝45°，则 的长为（ ）
⊙ ⊙
A． B． C． D．
4．如图，π AB 是半圆 O 的直径π，C、D 是半圆上两π点，且满足∠ADCπ＝120°，BC＝1，则 的长为
（ ）
A． B． C． D．
5．如图，等边△ABC的边长为4，D、E、F分别为边AB、BC、AC的中点，分别以A、B、C三点为圆心，
以AD长为半径作三条圆弧，则图中三条圆弧的弧长之和是（ ）
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A． B．2 C．4 D．6
6．若扇形的半径是12cm弧长是20 cm，则扇形的面积为（ ）
π π π π
A．120 cm2 B．240 cm2 C．360 cm2 D．60 cm2
π
7．如图，将含60°角的直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转45°后得到△AB'C'，点B经过的路径为弧
π π π π
BB′，若∠BAC＝60°，AC＝3，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．3
8．如图，四边形ABCD为正方形，边长为4，以B为圆心、BC长为半径画π ，E为四边形内部一点，且
BE⊥CE，∠BCE＝30°，连接AE，则阴影部分面积（ ）
A． B．6 C． D．
9．如图，圆锥的母线长为5cm，高是4cm，则圆锥的侧面展开扇形的圆心角是（ ）
π
A．180° B．216° C．240° D．270°
10．已知圆锥的底面半径是4，母线长是5，则圆锥的侧面积是（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
π π π π
二．填空题（共8小题）
11．AB是 O的内接正六边形一边，点P是优弧AB上的一点（点P不与点A，B重合）且BP∥OA，AP
⊙
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与OB交于点C，则∠OCP的度数为 ．
12．已知正六边形的内切圆半径为 ，则它的周长为 ．
13．如图，一条公路（公路的宽度忽略不计）的转弯处是一段圆弧 ，点O是这段弧所在圆的圆心，半径
OA＝90m，圆心角∠AOB＝80°，则这段弯路 的长度为 m．
14．已知扇形的圆心角为120°，面积为27 cm2，则该扇形所在圆的半径为 ．
15．圆锥的侧面积是10 cm2，底面半径是 π2cm，则圆锥的母线长为 cm．
16．如图，用圆心角为120°，半径为6cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽，则这个纸帽的高是
π
cm．
17．如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是
．
18．如图，将边长相等的正六边形和正五边形拼接在一起，则∠ABC的度数为 °．
一．选择题（共7小题）
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1．在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同、天下一家”的主题，
让世界观众感受到中国人的浪漫，如图，将“雪花”图案（边长为4的正六边形ABCDEF）放在平面直
角坐标系中，“雪花”中心与原点重合，C，F在y轴上，则顶点B的坐标为（ ）
A．（4，2） B．（4，4） C． D．
2．如图，正五边形ABCDE内接于 O，点F在弧AE上．若∠CDF＝95°，则∠FCD的大小为（ ）
⊙
A．38° B．42° C．49° D．58°
3．如图，在 O中，点C在优弧 上，将 沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．若 O的半径为5，AB
＝4 ，则⊙ 的长是（ ） ⊙
A． B． C． D．4
4．如图，将直径为4的半圆形分别沿CD，EF折叠使得直径两端点A，B的对应点都与圆心O重合，则图
π
中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C，D分别在OA， 上，连接BC，CD，点D，O关于直线BC
对称， 的长为 ，则图中阴影部分的面积为（ ）
π
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A． B． C． D．
6．如图，点O是半圆圆心，BE是半圆的直径，点A，D在半圆上，且AD∥BO，∠ABO＝60°，AB＝8，
过点D作DC⊥BE于点C，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，一个圆锥的母线长为6，底面圆的直径为8，那么这个圆锥的侧面积是（ ）
A．24 B．40 C．48 D．
二．填空题（共5小题）
π π π
8．如图，已知正方形ABCD的边长为4cm，以AB，AD为直径作两个半圆，分别取弧AB，弧AD的中点
M，N，连结MC，NC，则图中阴影部分的周长为 cm．
9．如图，△ABC是边长为1的等边三角形，曲线CC C C C …是由多段120°的圆心角所对的弧组成的，其
1 2 3 4
中 的圆心为A，半径为AC； 的圆心为B，半径为BC ； 的圆心为C，半径为CC ；
1 2
的圆心为A，半径为AC …… ， ， ， ，…的圆心依次按点A，B，C循环，
3
则 的长是 ．（结果保留 ）
π
10．如图，已知矩形纸片ABCD，AD＝2， ，以A为圆心，AD长为半径画弧交BC于点E，将扇形
AED剪下围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径为 ．
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11．如图，从一块半径为20的圆形纸片上剪出一个圆心角是90°的扇形ABC，如果将剪下来的扇形ABC围
成一个圆锥，则该圆锥的底面半径是 ．
12．如图，AB是圆锥底面的直径，AB＝6cm，母线PB＝9cm，点C为PB的中点，若一只蚂蚁从A点处出
发，沿圆锥的侧面爬行到C点处，则蚂蚁爬行的最短路程为 ．
1．（2023•连云港）如图，矩形ABCD内接于 O，分别以AB、BC、CD、AD为直径向外作半圆．若AB
＝4，BC＝5，则阴影部分的面积是（ ）
⊙
A． ﹣20 B． ﹣20 C．20 D．20
π π π
2．（2023•广安）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2 ，以点A为圆心，AC为半
径画弧，交AB于点E，以点B为圆心，BC为半径画弧，交AB于点F，则图中阴影部分的面积是（
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）
A． ﹣2 B．2 ﹣2 C．2 ﹣4 D．4 ﹣4
3．（2023•上海）如果一个正多边形的中心角是20°，那么这个正多边形的边数为 ．
π π π π
4．（2023•衡阳）如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中 3个正五边形的位置．
要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是 ．
5．（2023•宿迁）若圆锥的底面半径为2cm，侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，则这个圆锥的母线
长是 cm．
6．（2023•徐州）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若母线长l为6cm，扇形的
圆心角 为120°，则圆锥的底面圆的半径r为 cm．
θ
7．（2022•广元）如图，将 O沿弦AB折叠， 恰经过圆心O，若AB＝2 ，则阴影部分的面积为
．
⊙
8．（2023•金华）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6cm，∠BAC＝50°，以AB为直径作半圆，交BC于点
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D，交AC于点E，则弧DE的长为 cm．
9．（2023•温州）图1是4×4方格绘成的七巧板图案，每个小方格的边长为 ，现将它剪拼成一个“房
子”造型（如图2），过左侧的三个端点作圆，并在圆内右侧部分留出矩形CDEF作为题字区域（点
A，E，D，B在圆上，点C，F在AB上），形成一幅装饰画，则圆的半径为 ．若点A，N，M在
同一直线上，AB∥PN，DE＝ EF，则题字区域的面积为 ．
14
