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类型一 与点、直线相关问题的探究
(原创)已知抛物线y=ax2经过点A(2,-1).
(1)求抛物线的解析式.
(2)如图1,直线l过点A且与y轴右侧抛物线交于点B,若△ABO的面积为6,求直线l的解析式.
(3)如图2,直线CD与抛物线交于C,D两点,与y轴交于点(0,e),直线QC,QD与抛物线均只有一个
公共点,若点Q的纵坐标为f,求e与f的数量关系.
解题指南 (1)代入点A即可求a.
(2)求直线解析式一般有两种思路:一种是确定k与b;另一种是已知两点.若用第一种方法,则需想
方设法建立两个方程,求解两个未知量;若用第二种方法,则需想方设法求点B的坐标,此时,“同底
等高”等积法的应用是关键.
(3)重点在设三条直线解析式和点C,D的坐标,再根据韦达定理求点C,D横坐标的关系,根据判别
式Δ=0求参数间的关系,最后可找到e与f的数量关系.
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1.已知二次函数y=-x2+c的图象经过点A(-2,5),点P(x,y),Q(x,y)是此二次函数图象上的两个动
1 1 2 2
点.
(1)求此二次函数的表达式.
(2)如图1,此二次函数的图象与x轴的正半轴交于点B,点P在直线AB的上方,过点P作PC⊥x轴
S
△PDQ
于点C,交AB于点D,连接AC,DQ,PQ. 若x=x+3,求证: 的值为定值.
2 1 S
△ADC
(3)如图2,点P在第二象限,x=-2x,若点M在直线PQ上,且横坐标为x-1,过点M作MN⊥x轴于点
2 1 1
N,求线段MN长度的最大值.
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类型二 与角度相关问题的探究
(原创)已知抛物线y=ax2+bx+c经过点M(0,-2),N(2,6).
(1)求a,b满足的关系式.
(2)若该抛物线关于y轴对称,与x轴交于A,B两点,点P在第三象限的抛物线上.
①当∠APB=90°时,求此时点P的坐标;
②点Q在第一象限的抛物线上,点C(0,-4),连接CP,CQ,PQ.若直线OC平分∠PCQ,求证:P,O,Q三点
共线.
(1)把M、N点的坐标代入解析式
⇨得到方程组⇨消去c⇨得到结果
(2)①由抛物线关于y轴对称⇨可得b的值⇨结合(1)可得解析式⇨建立方程求点P的坐标
②证三点共线的方法:求表示两点的直线⇨验证第三点在该直线上⇨或证明对顶角相等
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2.(原创)已知二次函数y=ax2+1(a<0)图象的顶点A,图象交x轴于B,C两点(点B在点C左侧),且
△ABC为直角三角形,P,Q为该二次函数图象上的两个动点(点P在点Q的左侧),且∠POQ=90°.
(1)求该二次函数的表达式.
1
(2)若点P的横坐标为 ,请求出tan∠PQO的值.
2
(3)是否存在点P,Q,使得△POQ为等腰直角三角形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理
由.
解题指南 (1)由抛物线对称性及c=1,可得点A的坐标为(0,1),代入(1)可求表达式.
(2)由已知条件求点P的坐标,可设tan∠PQO=n,通过构造“一线三等角”可用含n的代数式表示
点Q坐标,最后代入二次函数解析式可求n的值;也可用k·k=-1,求出直线QO的解析式,进而求出
1 2
点Q的坐标,最终通过三角函数定义可求tan∠PQO的值.
(3)继续如(2)的方法,构造“一线三等角”,通过设点P的坐标,可求出点Q的坐标,仍然通过代入抛
物线解析式可求出结果.
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类型三 与多边形相关问题的探究
1
(原创)已知抛物线y= x2+c的顶点为C,与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧),且
2
S =4.
△ABC
(1)求抛物线的解析式.
(2)若点D在y轴上,且△BCD为钝角三角形,求点D的纵坐标的取值范围.
(3)已知▱BCPQ的顶点P在抛物线上,如果▱BCPQ面积为某值时,符合条件的点P有且只有三个,
求点P的坐标.
(1)用含c的式子表示点A,B,C的坐标⇨
由△ABC的面积等于4求c的值
(2)分三种情
况讨论钝角⇨得y 的三
0
个取值范围⇨综合得
到结果
(3)在BC下方存在一个点P,在BC上方
存在两个点P
⇨分别求出过点P且平行于BC的直线解析式
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⇨构造方程或方程组求点P的坐标
3.(原创) 已知直线l:y=kx+b(k<0)交y轴于点A,与y=-2交于点Q,抛物线y=ax2+bx+c的顶点B在
1
y=-2上,与x轴交于E,F两点(点E在点F左侧),已知四边形OBQF为正方形.
(1)求抛物线的解析式.
(2)若直线l:y=ex+f交y轴于点D且与直线l 关于y=-2对称.
2 1
①求证:k=-e;
②已知直线l 与抛物线交于G,H两点,当k为何值时,S =|k|S ?
1 △BGH △AQD
解题指南 (1)根据题意画出大致草图,即可知抛物线关于y轴对称,即解析式为y=ax2+c,再由四
边形OBQF为正方形,可得点B,F的坐标,代入即可得解析式.
(2)①两直线有四个参数,要判断其中两“k”的关系,重点是:a.尽量减少参数——根据已知条件,用
一个参数表示另一个参数;b.根据已知条件建立关于两“k”的方程;其中的a.由两直线均过Q(2,2)
可解决,b.由对称性得AB=DB,建立方程解决.
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②表达两个三角形面积的方法选择很重要,其中表示S 用铅垂高AB乘点H,G的水平距离,同
△BGH
时,设点H,G的坐标,利用韦达定理或求根公式用含k的代数式表示x -x ,最终代入所给的方程求
G H
出k的值.
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类型三 与多边形相关问题的探究
1
(原创)已知抛物线y= x2+c的顶点为C,与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧),且
2
S =4.
△ABC
(1)求抛物线的解析式.
(2)若点D在y轴上,且△BCD为钝角三角形,求点D的纵坐标的取值范围.
(3)已知▱BCPQ的顶点P在抛物线上,如果▱BCPQ面积为某值时,符合条件的点P有且只有三个,
求点P的坐标.
(1)用含c的式子表示点A,B,C的坐标⇨
由△ABC的面积等于4求c的值
(2)分三种情
况讨论钝角⇨得y 的三
0
个取值范围⇨综合得
到结果
(3)在BC下方存在一个点P,在BC上方
存在两个点P
⇨分别求出过点P且平行于BC的直线解析式
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⇨构造方程或方程组求点P的坐标
3.(原创) 已知直线l:y=kx+b(k<0)交y轴于点A,与y=-2交于点Q,抛物线y=ax2+bx+c的顶点B在
1
y=-2上,与x轴交于E,F两点(点E在点F左侧),已知四边形OBQF为正方形.
(1)求抛物线的解析式.
(2)若直线l:y=ex+f交y轴于点D且与直线l 关于y=-2对称.
2 1
①求证:k=-e;
②已知直线l 与抛物线交于G,H两点,当k为何值时,S =|k|S ?
1 △BGH △AQD
解题指南 (1)根据题意画出大致草图,即可知抛物线关于y轴对称,即解析式为y=ax2+c,再由四
边形OBQF为正方形,可得点B,F的坐标,代入即可得解析式.
(2)①两直线有四个参数,要判断其中两“k”的关系,重点是:a.尽量减少参数——根据已知条件,用
一个参数表示另一个参数;b.根据已知条件建立关于两“k”的方程;其中的a.由两直线均过Q(2,2)
可解决,b.由对称性得AB=DB,建立方程解决.
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②表达两个三角形面积的方法选择很重要,其中表示S 用铅垂高AB乘点H,G的水平距离,同
△BGH
时,设点H,G的坐标,利用韦达定理或求根公式用含k的代数式表示x -x ,最终代入所给的方程求
G H
出k的值.
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类型四 与取值范围及最值相关问题的探究
(原创)如图,P(x,y),Q(x,y)是二次函数y=a(x+1)2+2(a<0)图象上位于对称轴异侧的两点,A
1 1 2 2
为抛物线的顶点,且x-x=2.
2 1
(1)当y=y 时,S =1,求此时抛物线的解析式.
1 2 △PQA
(2)二次函数的最大值与最小值的差为2,求a的取值范围.
(1)用含a的式子表示△PQA的面积
⇨△PQA的面积等于1,求a的值
⇨得到解析式
(2)分两种情况:y≥y,y≤y 讨论
1 2 1 2
⇨得a的取值范围⇨综合得到结果
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4.已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A(-1,0),B(3,0).
(1)求抛物线的解析式.
(2)如图1,抛物线与y轴交于点C,P为线段OC上一点(不与端点重合),直线PA,PB分别交抛物线
S
1
于点E,D,设△PAD的面积为S,△PBE的面积为S,求 的值.
1 2 S
2
(3)如图2,K是抛物线的对称轴与x轴的交点,过点K的直线(不与对称轴重合)与抛物线交于点
M,N,过抛物线顶点G作直线l∥x轴,Q是直线l上一动点.求QM+QN的最小值.
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参考答案
例1 解析:∵(1)抛物线y=ax2经过点A(2,-1),
∴-1=4a,
1
解得a=- ,
4
1
∴抛物线的解析式为y=- x2.
4
(2)方法一:如图1,设直线l交x轴于点E,
图1
设直线l的解析式为y=kx+b.
∵点A在直线l上,
∴2k+b=-1,即b=-2k-1,
b
令y=0,则x=- ,
k
b
即OE=- .
k
设点B(x ,y ),
B B
1 b 2k+1
则S =S -S = - (-1-y ) =- (1+y ),
△AOB △OEB △OEA 2 k B 2k B
{
y=kx+b,
1
联立
y=−
1
x2,
得
4
x2+kx+b=0,
4
∴x +x =-4k,即x =-4k-2,
A B B
1
∴y =- x2 =-4k2-4k-1,
B 4 B
2k+1
∴S =- (-4k2-4k)=4k2+6k+2.
△AOB 2k
又∵S =6,即4k2+6k+2=6,
△AOB
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1
解得k=-2,k= (不符合题意,舍去),
1 2 2
∴b=-2k-1=3,
∴直线l的解析式为y=-2x+3.
方法二:∵点 A(2,-1),
1
∴直线OA的解析式为y=- x,
2
如图2,过点B作BE∥OA交y轴于点E,连接AE,则S =S =6,
△AOB △AOE
1
∴ OE×2=6,
2
∴OE=6,∴点E的坐标为(0,-6),
1
则直线BE的解析式为y=- x-6,
2
1
{y=− x−6,
2 {x=−4, { x=6,
解 得 或
1 y=−4 y=−9,
y=− x2,
4
∴B(6,-9),
设直线l的解析式为y=kx+b,
{2k+b=−1, {k=−2,
∴ 解得
6k+b=−9, b=3,
∴直线l的解析式为y=-2x+3.
(3)设直线CD的解析式为y=kx+e,
{
y=kx+e,
由 1
y=− x2,
4
1
得 x2+kx+e=0,
4
设点C,D的坐标分别为(x,y),(x ,y) ,
1 1 2 2
∴x·x=4e.
1 2
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设直线CQ的解析式为y=ax+c,
{
y=ax+c,
1
由
y=−
1
x2,
整理得
4
x2+ax+c=0.
4
∵CQ与抛物线只有一个公共点,
∴Δ=a2-c=0,
∴c=a2,
1
∴ x2+ax+a2=0,解得x=x=-2a,
4 1 2
同理:设直线DQ的解析式为y=bx+d,可得d=b2,x=x=-2b,
3 4
∴-2a·(-2b)=4e,
∴ab=e,
{y=ax+c, {y=ax+a2,
联立 即
y=bx+d, y=bx+b2,
{x=−a−b,
解得
y=−ab,
∴Q(-a-b,-ab).
∵点Q的纵坐标为f,
∴f=-ab=-e.
针对训练 1.解析:(1)∵二次函数y=-x2+c的图象经过点A(-2,5),
∴5=-4+c,∴c=9,
∴y=-x2+9.
(2)证明:当y=0时,0=-x2+9,
∴x=-3,x=3,∴B(3,0).
1 2
设直线AB的解析式为y=kx+b,
{-2k+b=5,
∴
3k+b=0,
{k=−1,
∴
b=3,
∴y=-x+3.
设P(x ,-x2 +9),则Q(x +3,-(x +3)2+9),D(x ,-x+3),
1 1 1 1 1 1
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∴PD=-x2
+9-(-x
+3)=-x2
+x+6=(x +2)(-x +3),CD=-x +3,
1 1 1 1 1 1 1
S (x +2)(−x +3)(x +3−x )
△PDQ 1 1 1 1
∴ = =3,
S (-x +3)(x +2)
△ADC 1 1
S
△PDQ
∴ 的值为定值.
S
△ADC
(3)设P(x ,-x2 +9),则Q(-2x ,-4x2 +9),
1 1 1 1
设直线PQ的解析式为y=mx+n,
{ mx +n=−x2+9,
1 1
∴
-2mx +n=−4x2+9,
1 1
{ m=x ,
1
∴
n=−2x2+9,
1
∴y=xx-2x2
+9,
1 1
当x=x-1时,y=x(x-1)-2x2 +9=- ( x + 1) 2 + 37 ,
1 1 1 1 1 2 4
1 37
∴当x=- 时,线段MN长度的最大值为 .
1 2 4
例2 解析:(1)∵抛物线y=ax2+bx+c经过点M(0,-2),N(2,6),
{ c=−2,①
∴
4a+2b+c=6,②
把①代入②得,2a+b=4.
(2)①∵抛物线关于y轴对称,
b
∴x=- =0,即b=0.
2a
又由(1)知2a+b=4,c=-2,
∴a=2,
∴抛物线的解析式为y=2x2-2,
令y=0,即2x2-2=0,则x=1,x=-1,
1 2
∴A(-1,0),B(1,0),
设点P(m,2m2-2).
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方法一:如图1,过点A作AC⊥PC,过点B作BD⊥PD.
图1
∵∠C=∠D=90°,
且∠APC+∠CAP=90°,
∠APC+∠BPD=90°,
∴∠CAP=∠BPD,
∴△ACP∽△PDB,
AC CP -2m2+2 m+1
∴ = ,则 = ,
PD BD 1−m -2m2+2
2(1−m2) m+1 1
= ,化简得1-m2= ,
1−m 2(1−m2) 4
√3 √3
解得m=- ,m= (舍去),
1 2 2 2
1
此时2m2-2=- ,
2
√3 1
∴P - ,- .
2 2
方法二:如图2,连接PO.
图2
∵O为AB的中点,
1
∴PO= AB,
2
即√m2+(2m2-2)2=1,
整理得4m4-7m2+3=0,
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令n=m2,则4n2-7n+3=0,
3
解得n= ,n=1(舍去),
1 4 2
3
∴m2= ,
4
√3 √3
解得m=- ,m= (舍去),
1 2 2 2
1
此时,2m2-2=- ,
2
√3 1
∴P - ,- .
2 2
②证明:如图3,连接PO,QO,过点P作PE⊥y轴,交y轴于点E,过点Q作QF⊥y轴,交y轴于点
F,
图3
设P(x ,2x2 -2),Q(x ,2x2 -2).
1 1 2 2
∵直线OC平分∠PCQ,
即tan∠PCE=tan∠QCF,
PE QF -x x
1 2
∴ = ,即 = ,
CE CF 2x2+2 2x2+2
1 2
整理,得2(xx+1)(x +x)=0.
1 2 1 2
∵x≠-x,
1 2
1
∴xx+1=0,即x=- .
1 2 1 x
2
方法一:
设直线PO的解析式为y=kx(k≠0),
2
则2x2 -2=kx ,即k=2x- ,
1 1 1 x
1
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2
∴直线PO的解析式为y= 2x- x,
1 x
1
把x=x 代入解析式,
2
2x
2
得y=2xx-
1 2 x
1
2x
1 2
=2 - x- 1
x 2 -
2 x
2
=2x2
-2=y ,
2 2
∴点Q在直线PO上,
即P,O,Q三点共线.
方法二:
2x2+2
CF 2x2+2 2
=
2
= 1
=x2
,
CE 2x2+2 2(− ) 2+2 2
1 x
2
2x2-2
FO 2x2-2 2
=
2
= 1
=x2
,
OE -2x2+2 -2(- ) 2+2 2
1 x
2
CF FO
即 = .
CE OE
PE QF CF QF
∵ = ,即 = ,
CE CF CE PE
QF FO
∴ = .
PE OE
∵∠QFO=∠PEO=90°,
∴△QFO∽△PEO,
即∠QOF=∠POE,
∴P,O,Q三点共线.
针对训练 2.解析:(1)由二次函数表达式y=ax2+1,得对称轴为直线x=0,
∴A(0,1),AB=AC.
∵△ABC为直角三角形,
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∴∠BAC=90°,
即∠ACO=45°.
∵∠AOC=90°,
∴CO=AO=1,
即C(1,0),
代入y=ax2+1,得0=a+1,
∴a=-1.
∴二次函数的表达式为y=-x2+1.
1 3
(2)把x= 代入y=-x2+1,得y= ,
2 4
1 3
即P , ,
2 4
如图1,过P作PE⊥y轴,交y轴于点E,过Q作QF⊥y轴,交y轴于点F.
图1
∵∠POQ=90°,
∴∠POE+∠QOF=90°.
∵∠POE+∠EPO=90°,
∴∠EPO=∠QOF.
∵∠PEO=∠QFO=90°,
∴△PEO∽△OFQ,
PO PE EO
设 =n,则 = =n,
OQ OF FQ
1 3
即OF= ,FQ= ,
2n 4n
3 1
∴Q ,- ,
4n 2n
1 3
把点Q代入y=-x2+1,得- =- 2+1,
2n 4n
即16n2+8n-9=0,
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-1+√10 -1-√10
解得n= ,n= (舍去),
1 4 2 4
-1+√10
∴tan∠PQO= .
4
(3)如图2,过P,Q分别作PG⊥x轴、QH⊥x轴,交点分别为G,H,
图2
如(2)可证△PGO∽△OHQ,
若PO=QO,
则△PGO≌△OHQ,
此时,OH=PG,QH=OG,
设P(n,-n2+1),
则OH=PG=-n2+1,QH=OG=-n,
∴Q(-n2+1,-n),
代入y=-x2+1,得-n=-(-n2+1)2+1,
整理得(n+1)2(n-1)2=n+1,
即(n+1)[(n+1)(n-1)2-1]=0,
∴(n+1)n(n2-n-1)=0,
∴n=-1或n=0或n2-n-1=0,
1+√5 1−√5
即n=-1,n=0,n= ,n= ,
1 2 3 2 4 2
∴存在点P,Q,使得△POQ为等腰直角三角形,
1+√5 -1-√5 1−√5 -1+√5
此时,P(-1,0)或P(0,1)或P , 或P , .
2 2 2 2
例3 解析:(1)令x=0,得y=c,
∴C(0,c),即OC=-c,
1
令y=0,即 x2+c=0,
2
解得x=-√-2c,x=√-2c,
1 2
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即A(-√-2c,0),B(√-2c,0),
∴AB=2√-2c,
1
由S =4,得 ·2√-2c·(-c)=4,
△ABC 2
∴c=-2,
1
即抛物线的解析式为y= x2-2.
2
(2)如图,已知∠BOC=90°,
由(1)知OA=OB=OC=2,
即∠OBC=∠OCB=45°,
①当∠BCD为钝角时,
则点D在点C下方,即y <-2;
D
②当∠BDC为钝角时,
则点D在点O下方,且在点C上方,即-22.
D
综上所述,点D纵坐标的取值范围为y <-2或-22.
D D D
(3)如图,作直线l∥BC且与抛物线相切于点P,直线l交y轴于点E,作直线m∥BC,交y轴于点
1
F,且直线m到BC的距离等于直线l到BC的距离.
∵BC的解析式为y=x-2,
∴设直线l的解析式为y=x+m,
1
由 x2-2=x+m得
2
x2-2x-4-2m=0.
∵Δ=0,
∴4-4(-4-2m)=0,
5
∴m=- ,
2
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5
∴x2-2x+1=0,y=x- ,
2
3
∴x=1,y=- ,
2
3
∴P 1,- .
1 2
5
∵E 0,- ,C(0,-2),
2
3
∴F 0,- ,
2
3
∴直线m的解析式为y=x- ,
2
1
{y= x2-2,
2
∴
3
y=x− ,
2
{ x =1+√2, { x =1−√2,
1 2
解得 1 1
y =− +√2, y =− -√2,
1 2 2 2
1 1
∴P 1+√2,- +√2 ,P 1-√2,- -√2 ,
2 2 3 2
3 1 1
综上所述,点P 1,- 或P 1+√2,- +√2 或P 1-√2,- -√2 .
2 2 2
针对训练 3.解析:(1)依题意可得如图1所示的函数图象,
可得顶点B的坐标为(0,-2),
图1
∴抛物线的解析式为y=ax2-2.
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又由四边形OBQF为正方形,可得点F(2,0),
1
∴0=4a-2,解得a= ,
2
1
∴抛物线的解析式为y= x2-2.
2
(2)①结合(1)判断可得点Q(2,-2).
∵Q在直线l 上,
1
∴2k+b=-2,即b=-2k-2,
即A(0,-2k-2).
∵l,l 关于y=-2对称,
1 2
∴Q在直线l 上,
2
即2e+f=-2,f=-2e-2,
即D(0,-2e-2).
∵由对称得AB=BD,
∴-2k-2+2=-2+2e+2,
即k=-e.
②如图2,设H(x ,y),G(x ,y).
1 1 2 2
图2
1
∵S = AB·(x -x),
△BGH 2 2 1
1
S = AD·BQ=2·AB,
△AQD 2
若S =|k|S ,
△BGH △AQD
1
则 (x-x)=-k·2,即(x-x)=-4k,
2 2 1 2 1
{ y= 1 x2-2,
联立方程 2
y=kx−2k−2,
得x2-2kx+4k=0,
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{x +x =2k,
1 2
∴
x ·x =4k.
1 2
∵x-x=√(x +x )2-4x x =√4k2-16k=2√k2-4k,
2 1 1 2 1 2
∴2√k2-4k=-4k,即3k2+4k=0,
4
∴k=- ,k=0(舍去),
1 3 2
4
∴当k=- 时,S =|k|S .
3 △BGH △AQD
例4 解析:(1)依题意,得抛物线的对称轴为直线x=-1,顶点A(-1,2).
∵y=y,
1 2
∴P,Q两点关于直线x=-1对称,
即Q(0,a+2),P(-2,a+2),
1
∴S = ×2·[2-(a+2)]=-a.
△PQA 2
又∵S =1,
△PQA
∴a=-1,
∴抛物线的解析式为y=-(x+1)2+2.
(2)∵P,Q在对称轴的异侧,
①当y≥y 时,则0≤x<1,
1 2 2
此时,函数的最大值为2,最小值为y=a(x +1)2+2.
2 2
∵二次函数的最大值与最小值的差为2,
∴2-[a(x +1)2+2]=2,
2
2
∴a=- .
(x +1)2
2
又∵1≤(x+1)2<4,
2
2 1
∴-2≤- <- ,
(x +1)2 2
2
1
∴-2≤a<- .
2
②当y≤y 时,则-30,
根据根与系数的关系可得m+n=2-k,mn=-k-3,
如图,作点N关于直线l的对称点N',连接MN',
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由题意得直线l:y=4,则N'(n,n2-2n+5),
∴QM+QN=QM+QN'≥MN',
过点M作MF⊥NN'于点F,则F(n,-m2+2m+3).
则N' F=|m2+n2-2(m+n)+2|,
FM=|m−n|.
在Rt△MFN'中,
MN'2=MF2+N'F2=(m-n)2+[m2+n2-2(m+n)+2]2
=(m+n)2-4mn+[(m+n)2-2mn-2(m+n)+2]2
=(2-k)2-4(-k-3)+[(2-k)2-2(-k-3)-2(2-k)+2]2
=k4+17k2+80≥80,
即当k=0时,MN'2=80,此时MN'=4√5,
故QM+QN的最小值为4√5.
28
