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2025年中考数学一轮复习学案（全国版）
第三章 函数
3.1 函数初步
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 平面直角坐标系内点的坐 数学中考中，有关函数初步的部分，每年考
☆☆
标特征 查1道题或者渗透在其他问题里，,分值为6
分左右，通常以选择题、 填空题出现。对于
考点2 函数及自变量的取值范围 ☆☆ 这部分知识的复习需要学生熟练掌握函数的
自变量取值范围，函数图像的应用。能根据
考点3 函数图象及其应用 ☆☆ 给出的函数表达式，画出函数的图像。
考点4 函数图象的分析与判断 ☆☆
☆☆☆ 代表必考点，☆☆代表常考点，☆星表示选考点。
夯实基础
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考点1. 平面直角坐标系内点的坐标特征
1.各象限点的坐标特点
①第一象限的点：横坐标___0，纵坐标___0；
②第二象限的点：横坐标__0，纵坐标___0；
③第三象限的点：横坐标___0，纵坐标___0；
④第四象限的点：横坐标___0，纵坐标___0。
2.坐标轴上点的坐标特点
①x轴正半轴上的点：横坐标____0，纵坐标___0；
②x轴负半轴上的点：横坐标___0，纵坐标___0；
③y轴正半轴上的点：横坐标____0，纵坐标___0；
④y轴负半轴上的点：横坐标___0，纵坐标____0；
⑤坐标原点：横坐标____0，纵坐标____0。
3．对称点的坐标特点
①关于x轴对称的两个点，横坐标____，纵坐标_____；
②关于y轴对称的两个点，纵坐标_____，横坐标______；
③关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别_______。
4. 平移前后，点的坐标的变化规律
（1）点(x，y)左移 a 个单位长度后点的坐标为：________；
（2）点(x，y)右移 a 个单位长度后点的坐标为：_________；
（3）点(x，y)上移 a 个单位长度后点的坐标为：_________；
（4）点(x，y)下移 a 个单位长度后点的坐标为：________．
【口诀记忆】正向右负向左，正向上负向下．
考点2. 函数及自变量的取值范围
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1.函数的定义
（1）一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的____，y都有
唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是________，y是x的函数．
（2）对函数定义的理解，主要抓住以下4点：
①有____个变量．
②函数_____数，函数的本质是对应，函数关系就是_____之间的对应关系，且是一种特殊的对应关
系，一个变量的数值随着另一个变量数值的变化而变化．
③函数的定义中包括了对应值的_____性和_____性两重意思，即对自变量的每一个确定的值，函数
有且只有一个值与之对应，对自变量x的不同取值，y的值可以______。
④在某个变化过程中处于主导地位的变量即为自变量，随之变化且对应值有唯一确定性的另一个变
量即为该自变量的函数.
（2）函数取值范围的确定
使函数有意义的自变量的取值的______叫做自变量的取值范围，函数自变量的取值范围的确定必须
考虑两个方面：①不同类型的函数关系式中自变量取值范围的求解方法；②当用函数关系式表示实
际问题时，自变量的取值不但要使_______有意义，而且还必须使_______有意义．
【温馨提醒】求函数自变量的取值范围注意的几点
①整式型：自变量取全体实数；
②分式型：自变量取值要使分母不为 0；
③二次根式型：自变量取值要使被开方数大于等于 0.对于具有实际意义的函数，自变量取值范围
还应使实际问题有意义
2.函数解析式及函数值
（1）函数解析式：用关于自变量的数学式子表示______与_____之间的关系，是描述函数的常用方
法，这种式子叫做函数的解析式．
注意：①函数解析式是等式．②函数解析式中指明了哪个是自变量，哪个是函数，通常等式右边的
代数式中的变量是自变量，等式左边的变量表示函数．③书写函数的解析式是有顺序的．④用数学
式子表示函数的方法叫做解析式法．
（2）函数值：对于自变量x在_____内的某个确定的值a，函数y所对应的值为b，即当x=a，y=b时，
b叫做自变量x的值为a时的函数值．
3.函数的表示方法
函数的表示方法一般有三种：______法、______法和_____法。
表示函数关系时，要根据具体情况选择适当的方法，有时为了全面地认识问题，需要几种方法同时
使用。
考点3. 函数图象及其应用
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1.函数的图象及其画法
一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平
面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．
画函数的图象，可以运用描点法，其一般步骤如下：
①______：表中列举一些自变量的值及其对应的函数值，自变量的取值不应使函数值太大或太小，
以便于描点，点数一般以5到7个为宜．
②_______：在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对
应的各点．描点时，要注意横、纵坐标的符号与点所在的象限（或坐标轴）之间的关系，描出的点
大小要适中，位置要准确．
③______：按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来．
2. 函数的图象的功能
1．函数图象上的任意点（x，y）中的x，y满足函数______。
2．满足函数解析式的任意一对（x，y）的值，所对应的点一定在函数的____上。
3．利用函数图象可以求______的解、______的解集、______的解，还可以预测____的变化趋势。
考点4. 函数图象的分析与判断
类型1. 根据函数性质判断函数图象
(1)若题目中明确给出一个函数的图象，则根据函数图象及函数图象上的点得出函数解析式中未知系
数的值或取值范围，进而可判断出所求函数的大致图象；
（2）若题目中未给出任何一个函数的图象，则要根据题目中给出的交点条件，判断函数图象大致所
在象限，再将交点坐标分别代入题干中的函数解析式中，即可得出函数解析式中未知系数的值或取
值范围，进而可判断出所求函数的大致图象；
类型2. 分析实际问题判断函数图象
1.找起点（明确自变量和因变量）
2.找特殊点（交点或者转折点）
3.判断图象的趋势
4.看是否与坐标轴相交
类型3. 分析几何图形动态问题判断函数图象
此类函数是由分段函数组成，解题的关键是认真分析题意，弄清每一段上的函数值是如何随自
变量变化而变化的，在解决此类问题时，有时需要先求出函数的关系式再进行判断。具体方法：
方法一：趋势判断法. 根据几何图形的构造特点，对动点运动进行分段，并判断每段对应函数图象
的增减变化趋势；
方法二：解析式计算法. 根据题意求出每段的函数解析式，结合解析式对应的函数图象进行判断；
方法三：定点求值法. 结合几何图形特点，在点运动的拐点、垂直点、特殊点处求出函数值，对选
项进行排除；
方法四：范围排除法. 根据动点的运动过程，求出两个变量的变化范围，对选项进行排除．
【易错点提示】动点问题函数的图像
1．动点问题多数情况下会与分类讨论的数学思想及方程、函数思想结合起来进行．
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2．把动点产生的线段长用时间变量t表示出来以后，动点问题就“静态化”处理了．
考点1. 平面直角坐标系内点的坐标特征
【例题1】（2024广西）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P的坐标为 ，则点
Q的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【变式练1】（2024杭州一模）在平面直角坐标系的第二象限内有一点P，点P到x轴的距离为4，
到y轴的距离为5，则点P的坐标是（ ）
A．(4，−5) B．(5,−4) C．(−4，5) D．(−5,4)
【变式练2】（2024济南一模）在平面直角坐标系中，若点A（a，﹣b）在第三象限，则点B（﹣
ab，b）所在的象限
是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式练3】（2024沈阳一模）点P(m，2)在第二象限内，则m的值可以是(写出一个即可)______．
考点2. 函数及自变量的取值范围
【例题2】 （2024甘肃威武）如图1，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士
黄伯思设计．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽
都相等．七张桌面分开可组合成不同的图形．如图2给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼
合方式，若设每张桌面的宽为x尺，长桌的长为y尺，则y与x的关系可以表示为（ ）
A. B. C. D.
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【变式练1】（2024安徽一模）关于变量说法正确的是（ ）
A.在一个变化过程中可以取不同数值的量叫变量；
B.在一个变化过程中只能取同一数值的量叫变量；
C.在一个变化过程中可以取同一数值的量叫变量；
D.在一个变化过程中只能取同一数值的量叫变量。
【变式练2】（2024湖南一模）已知函数y＝ ，若y＝2，则x＝ ．
【变式练3】（2024福建一模）在函数y＝ 中，自变量x的取值范围是 ．
1 1
【变式练4】（2024海南一模）在函数y= + 中，自变量x的取值范围是 ．
√x−1 x−2
考点3. 函数图象及其应用
【例题3】（2024甘肃临夏）如图1，矩形 中， 为其对角线，一动点 从 出发，沿着
的路径行进，过点 作 ，垂足为 ．设点 的运动路程为 ， 为
， 与 的函数图象如图2，则 的长为（ ）
A. B. C. D.
【变式练1】（2024自贡一模）如图1，小亮家、报亭、羽毛球馆在一条直线上．小亮从家跑步到羽
毛球馆打羽毛球，再去报亭看报，最后散步回家．小亮离家距离 y与时间x之间的关系如图2所
示．下列结论错误的是（ ）
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A．小亮从家到羽毛球馆用了7分钟
B．小亮从羽毛球馆到报亭平均每分钟走75米
C．报亭到小亮家的距离是400米
D．小亮打羽毛球的时间是37分钟
【变式练2】（2024北京一模）如图①所示，矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动
至点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，y关于x的函数图象如图②所示．
(1)求矩形ABCD的面积；
(2)求点M、点N的坐标；
(3)如果△ABP的面积为矩形ABCD面积的，求满足条件的x的值．
考点4. 函数图象的分析与判断
【例题4】（2024黑龙江齐齐哈尔）如图，在等腰 中， ， ，动点
E，F同时从点A出发，分别沿射线 和射线 的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止
运动时，点F也随之停止运动，连接 ，以 为边向下做正方形 ，设点E运动的路程为
，正方形 和等腰 重合部分的面积为下列图像能反映y与x之间函
数关系的是（ ）
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A. B. C. D.
【变式练1】（2024大连一模）李强同学去登山，先匀速登上山顶，原地休息一段时间后，又匀速
下山，上山的速度小于下山的速度．在登山过程中，他行走的路程S随时间t的变化规律的大致图
象
是（ ）
A． B．
C． D．
【变式练2】（2024天津一模）为了节能减排，鼓励居民节约用电，某市将出台新的居民用电收费
标准：(1)若每户居民每月用电量不超过100度，则按0.50元/度计算；(2)若每户居民每月用电量
超过100度，则超过部分按0.80元/度计算(未超过部分仍按每度电0.50元计算)．现假设某户居民
某月用电量是x(单位：度)，电费为y(单位：元)，则y与x的函数关系用图象表示正确的是( )
考点1 平面直角坐标系内点的坐标特征（含坐标与图形）
1. 在平面直角坐标系中，点 关于原点的对称点 的坐标是( )
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A. B. C. D.
2. （2024 四川成都市）在平面直角坐标系 中，点 关于原点对称的点的坐标是
（ ）
A. B. C. D.
3. （2024四川凉山）点 关于原点对称的点是 ，则 的值是（ ）
A. B. C. D.
4. （2024湖南长沙）在平面直角坐标系中，将点 向上平移2个单位长度后得到点 的坐标
为（ ）
A. B. C. D.
5. （2024江西省）在平面直角坐标系中，将点 向右平移2个单位长度，再向上平移3个单
位长度得到点B，则点B的坐标为______．
6. （2024湖南省）在平面直角坐标系 中，对于点 ，若x，y均为整数，则称点P为
“整点”．特别地，当 （其中 ）的值为整数时，称“整点”P为“超整点”，已知点
在第二象限，下列说法正确的是（ ）
A. B. 若点P为“整点”，则点P的个数为3个
C. 若点P为“超整点”，则点P的个数为1个 D. 若点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的
距离之和大于10
7. （2024河北省）平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点
称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以 3所得的余数
（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个
单位长度．
例：“和点” 按上述规则连续平移3次后，到达点 ，其平移过程如
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下：
若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点 ，则点Q的坐标为（ ）
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
8. （2024贵州省）为培养青少年的科学态度和科学思维，某校创建了“科技创新”社团．小红将
“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“创”“新”的
坐标分别为 ， ，则“技”所在的象限为（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
9. （2024河北省）在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特
征值”．如图，矩形 位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，则该矩形四个顶点中“特
征值”最小的是（ ）
A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D
10. （2024河南省）如图，在平面直角坐标系中，正方形 的边 在x轴上，点A的坐标
为 ，点E在边 上．将 沿 折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为 ，则点
E的坐标为___________．
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11. （2024甘肃临夏）如图，在 中，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 的坐
标为 ，点 在第一象限（不与点 重合），且 与 全等，点 的坐标是
______．
12. （2024甘肃威武）敦煌文书是华夏民族引以为傲 的艺术瑰宝，其中敦煌《算经》中出现的《田
积表》部分如图1所示，它以表格形式将矩形土地的面积直观展示，可迅速准确地查出边长10步到
60步的矩形田地面积，极大地提高了农田面积的测量效率．如图2是复原的部分《田积表》，表中
对田地的长和宽都用步来表示，A区域表示的是长15步，宽16步的田地面积为一亩，用有序数对记
为 ，那么有序数对记为 对应的田地面积为（ ）
A. 一亩八十步 B. 一亩二十步 C. 半亩七十八步 D. 半亩八十四步
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考点2 函数及自变量的取值范围
1. （2024上海市）函数 的定义域是（ ）
A. B. C. D.
2. （2024江苏扬州）在平面直角坐标系中，函数 的图像与坐标轴的交点个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
3. （2024广西）激光测距仪L发出的激光束以 的速度射向目标M， 后测距仪L收到
M反射回的激光束．则L到M的距离 与时间 的关系式为（ ）
A. B. C. D.
4. （2024黑龙江齐齐哈尔）在函数 中，自变量 的取值范围是______．
考点3 函数图象及其应用
1. （2024河南省）把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线
会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线
中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q与I的函数图
象（如图2）．下列结论中错误的是（ ）
A. 当 时， B. Q随I的增大而增大
C. I每增加1A，Q的增加量相同 D. P越大，插线板电源线产生的热量Q越多
2.（2024广州） 一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征．某数学兴趣小组收集
了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高 和脚长 之间近似存在
一个函数关系，部分数据如下表：
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脚长
… …
身高
… …
（1）在图1中描出表中数据对应的点 ；
（2）根据表中数据，从 和 中选择一个函数模型，使它能近似地反
映身高和脚长的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出 的取值范围）；
（3）如图2，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为 ，请根据（2）中求出的函数解析式，
估计这个人的身高．
考点4 函数图象的分析与判断
1. （2024四川资阳）小王前往距家2000米的公司参会，先以 （米/分）的速度步行一段时间
后，再改骑共享单车直达会议地点，到达时距会议开始还有 14分钟，小王距家的路程S（单位：
米）与距家的时间t（单位：分钟）之间的函数图象如图所示．若小王全程以 （米/分）的速度步
行，则他到达时距会议开始还有________分钟．
2. （2024江西省）将常温中的温度计插入一杯 的热水（恒温）中，温度计的读数 与时
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间 的关系用图象可近似表示为（ ）
A. B. C. D.
3. （2024山东烟台）如图，水平放置的矩形 中， ， ，菱形
的顶点 ， 在同一水平线上，点 与 的中点重合， ， ，现将菱形
以 的速度沿 方向匀速运动，当点 运动到 上时停止，在这个运动过程中，
菱形 与矩形 重叠部分的面积 与运动时间 之间的函数关系图象大致是（
）
A. B.
C. D.
4. （2024甘肃威武）如图1，动点P从菱形 的点A出发，沿边 匀速运动，运动到
点C时停止．设点P的运动路程为x， 的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到
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中点时， 的长为（ ）
A. 2 B. 3 C. D.
5. （2024武汉市）如图，一个圆柱体水槽底部叠放两个底面半径不等的实心圆柱体，向水槽匀速
注水．下列图象能大致反映水槽中水的深度h与注水时间t的函数关系的是（ ）
A. B. C. D.
6. （2024山东威海）同一条公路连接 ， ， 三地， 地在 ， 两地之间．甲、乙两车分别
从 地、 地同时出发前往 地．甲车速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间，继续行驶．下
图表示甲、乙两车之间的距离 （ ）与时间 （ ）的函数关系．下列结论正确的是（ ）
A. 甲车行驶 与乙车相遇 B. ， 两地相距
的
C. 甲车 速度是 D. 乙车中途休息 分钟
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考点1 平面直角坐标系内点的坐标特征（含坐标与图形）
1．在平面直角坐标系中，点A（a，2）与点B（6，b）关于原点对称，则ab=________．
2．在平面直角坐标系中，点（3，2）关于x轴对称的点的坐标为（ ）
A．（﹣3，2） B．（﹣2，3） C．（2，﹣3） D．（3，﹣2）
3. 在平面直角坐标系的第二象限内有一点P，点P到x轴的距离为4，到y轴的距离为5，则点P的
坐标是（ ）
A．(4，−5) B．(5,−4) C．(−4，5) D．(−5,4)
4．点A的坐标是（2，﹣3），将点A向上平移4个单位长度得到点A'，则点A'的坐标为_____．
5．在如图所示的方格纸上建立适当的平面直角坐标系，若点A的坐标为（0，1），点B的坐标为
（2，2），则点C的坐标为 ．
6．如图，△ABC是△ABC向右平移4个单位长度后得到的，且三个顶点坐标分别为A（1，1），B
1 1 1 1 1
（4，2），C（3，4）．（1）请画出△ABC，并写出点A、B、C的坐标；（2）求出△COA的面积．
1 1
考点2 函数及自变量的取值范围
x
1. 在函数y= 中，自变量x的取值范围是 ．
5x+3
2．函数y 的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠5 B．x＞2且x≠5 C．x≥2 D．x≥2且x≠5
考点3 函数图象及其应用
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1. 某超市糯米的价格为5元/千克，端午节推出促销活动：一次购买的数量不超过2千克时，按原
价售出，超过2千克时，超过的部分打8折．若某人付款14元，则他购买了 千克糯米；设
某人的付款金额为x元，购买量为y千克，则购买量y关于付款金额x(x>10)的函数解析式为
．
2．小红星期天从家里出发骑车去舅舅家做客，当她骑了一段路时，想起要买个礼物送给表弟，于是
又折回到刚经过的一家商店，买好礼物后又继续骑车去舅舅家，如图是她本次去舅舅家所用的时间
与小红离家的距离的关系式示意图．根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）小红家到舅舅家的路程是 米，小红在商店停留了 分钟；
（2）在整个去舅舅家的途中哪个时间段小红骑车速度最快？最快的速度是多少米/分？
（3）本次去舅舅家的行程中，小红一共行驶了多少米？
3. 德力格尔草原位于彰武县境内，以草场资源丰富，景色优美著称．今年5月在此举办的“漠上草
原欢乐跑”首届马拉松比赛，吸引了千余名国内外选手参加．甲、乙两名选手同时参加了往返
10km（单程5km）的业余组比赛，如果全程保持匀速，甲、乙之间的距离s（km）与甲所用的时
间（h）之间的函数关系如图所示，那么当甲到达终点时，乙距离终点 km．
考点4 函数图象的分析与判断
1. 下列各曲线中不能表示y是x的函数是（ ）
A． B．
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C． D．
2．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，BC＝20，动点P从A点出发，沿折线A﹣C﹣B以每秒5
个单位长度的速度运动（运动到B点停止），过点P作PD⊥AB于点D，则△APD的面积y与点P运动
的时间x之间的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D，设点P运动的
路程为x，△ADP的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是（ ）
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A B C D
4. 如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，动点M，N同时从A点出发，点M以每秒2个单位长
度沿折线A﹣B﹣C向终点C运动；点N以每秒1个单位长度沿线段AD向终点D运动，当其中一点运
动至终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为x秒，△AMN的面积为y个平方单位，则下列正确
表示y与x函数关系的图象是（ ）
A． B． C． D．
19
