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2025年中考数学一轮复习学案（全国版）
第五章 圆
5.2 与圆有关的位置关系
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 点、直线与圆的位置关系 ☆☆ 与圆有关的位置关系部分，每年考查1道题,
分值为3~10分，常以选择题、解答题的形式
考点2 切线的性质与判定 ☆☆☆ 考查，切线性质与判断以解答题形式出现是常
态,是中考重点也是难点，需要掌握相关概念
及其性质的应用，多训练多总结解题规律方
考点3 三角形的外接圆与内切圆 ☆
法。
☆☆☆ 代表必考点，☆☆代表常考点，☆星表示选考点。
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2
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考点1. 点、直线与圆的位置关系
（一）点和圆的位置关系
P
d
d P
d
r r P
r
设已知圆的半径为r,点p到圆心的距离为d．则
(1)dr⇔点p在⊙O外．
【方法总结】判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可．解决这类问题体现
了数形结合的思想。
【拓展】反证法的定义：先假设命题的结论不成立，然后由此经过推理得出矛盾(常与公理、定理、
定义或已知条件相矛盾)，由矛盾判定假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法．
（二）直线与圆的位置关系
1.用定义判断直线与圆的位置关系
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(1) 相离、相切、相交
（2）圆的切线定义：直线和圆有唯一的公共点时，这条直线叫做圆的切线（如图直线l），这个唯
一的公共点叫做切点（如图点A）.
O
l
A
2.用数量关系判断直线与圆的位置关系
用圆心O到直线的距离d与圆的半径r的关系来区分
r
r r
d
d
d
∟ ∟
（1）直线和圆相交，d< r
（2）直线和圆相切，d= r
（3）直线和圆相离，d> r
体现了数形结合思想。
考点2. 切线的判定与性质
1.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
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OA为⊙O的半径，BC ⊥ OA于A。则BC为⊙O的切线。
注意：在此定理中，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，两个条件缺一不可，否则就不是
圆的切线。
【方法总结】判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：
（1）定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线;
l
（2）数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切；
r
d
l
（3）判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
O
l
A
2.切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．
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O
l
A
直线l是⊙O 的切线，A是切点， 直线l ⊥OA.
说明：利用切线的性质解题时，常需连接辅助线，一般连接圆心与切点，构造直角三角形，再利用
直角三角形的相关性质解题.
考点3. 三角形的外接圆与内切圆
图形 相关概念 圆心的确定 内、外心的性质
经过三角形各顶点
三角形的 的圆叫作三角形的
外心到三角形的三
外接圆,外接圆的圆 三角形三边垂直平
外接圆 个顶点的距离相
心叫作三角形的外 分线的交点
等。
心,这个三角形叫作
圆的内接三角形
与三角形各边都相
三角形的 切的圆叫作三角形 三角形三条角平分 内心到三角形的三
的内切圆,内切圆的
内切圆 圆心叫作三角形的 线的交点 条边的距离相等。
内心
a+b−c
【温馨提示】1.在△ABC中,若∠ACB=90°,AC=b,BC=a,AB=c,则△ABC内切圆的半径r= 。
2
2S
△ABC
2.△ABC的三边长分别为a,b,c,☉O内切于△ABC,且半径为r,则有r= 。
a+b+c
考点1. 点、直线与圆的位置关系
【例题1】（2024广州）如图， 中，弦 的长为 ，点 在 上， ，
． 所在的平面内有一点 ，若 ，则点 与 的位置关系是（ ）
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A. 点 在 上 B. 点 在 内 C. 点 在 外 D. 无法确定
【答案】C
【解析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，点与圆的位置关系，锐角三角函数，掌握圆的相关性
质是解题关键．由垂径定理可得 ，由圆周角定理可得 ，再结合特殊角的正
弦值，求出 的半径，即可得到答案．
如图，令 与 的交点为 ，
为半径， 为弦，且 ，
，
，
在 中， ， ， ，
，
，即 的半径为4，
，
点 在 外，
故选：C．
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【变式练1】（2024陕西一模）已知⊙O的半径是5，点A到圆心O的距离是7，则点A与⊙O的位
置关系是（ ）
A．点A在⊙O上 B．点A在⊙O内 C．点A在⊙O外 D．点A与圆心O重合
【答案】C
【解析】直接根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
∵O的半径是5，点A到圆心O的距离是7，
即点A到圆心O的距离大于圆的半径，
∴点A在⊙O外．
【变式练2】 （2024江西一模）已知⊙O的半径为2，直线l上有一点P满足PO=2，则直线l与⊙O
的位置关系是（ ）
A．相切 B．相离 C．相离或相切 D．相切或相交
【答案】D
【解析】根据直线与圆的位置关系来判定：①相交：d＜r；②相切：d=r；③相离：d＞r（d为直线
与圆的距离，r为圆的半径）．因此，分OP垂直于直线l，OP不垂直直线l两种情况讨论：
当OP垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d=2=r，⊙O与l相切；
当OP不垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d=2＜r，⊙O与直线l相交．
故直线l与⊙O的位置关系是相切或相交．
【变式练3】（2024呼和浩特一模）在同一平面内，已知 O的半径为2，圆心O到直线l的距离为
3，点P为圆上的一个动点，则点P到直线l的最大距离是⊙（ ）
A．2 B．5 C．6 D．8
【答案】B
【解析】如图，由题意得，OA＝2，OB＝3，
当点P在BO的延长线与 O的交点时，点P到直线l的距离最大，
此时，点P到直线l的最大⊙距离是3+2＝5，故选：B．
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考点2. 切线的性质与判定
【例题2】（2024福建省）如图，已知点 在 上， ，直线 与 相切，
切点为 ，且 为 的中点，则 等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本题考查了切线的性质，三角形内角和以及等腰三角形的性质，根据C为 的中点，三
角形内角和可求出 ，再根据切线的性质即可求解．
【详解】∵ ， 为 的中点，
∴
∵
∴
∵直线 与 相切，
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∴ ，
∴ 故选：A．
【变式练1】（2024湖南长沙一模）如图， 是 的直径，点P在 的延长线上，
与 相切于点A，连接 ，若 ，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由切线性质得出 ，根据三角形的内角和是 、对顶角相等求出
，即可得出答案；
PA与⊙O相切于点A，AD是⊙O的直径，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查圆内求角的度数，涉及知识点：切线的性质、对顶角相等、等腰三角形的性质、
三角形的内角和是 ，解题关键根据切线性质推出 ．
【变式练2】（2024河南一模）如图，PA与 O相切于点A，PO交 O于点B，点C在PA上，且
⊙ ⊙
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CB＝CA．若OA＝5，PA＝12，则CA的长为 ．
【答案】 ．
【解析】连接OC，
∵PA与 O相切于点A，
∴∠OA⊙P＝90°，
∵OA＝OB，OC＝OC，CA＝CB，
∴△OAC≌△OBC（SSS），
∴∠OAP＝∠OBC＝90°，
在Rt△OAP中，OA＝5，PA＝12，
∴OP＝ ＝ ＝13，
∵△OAC的面积+△OCP的面积＝△OAP的面积，
∴ OA•AC+ OP•BC＝ OA•AP，
∴OA•AC+OP•BC＝OA•AP，
∴5AC+13BC＝5×12，
∴AC＝BC＝ ，
故答案为：
【变式练3】（2024武汉一模）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，以D为圆心，AD
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为半径的弧恰好与BC相切，切点为E，若 ，则sinC的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】连接DB、DE，设AB＝m，
∵ ＝ ，
∴CD＝3AB＝3m，
∵AD是 D的半径，AD⊥AB，
∴AB是⊙D的切线，
∵ D与⊙BC相切于点E，
∴⊙BC⊥DE，EB＝AB＝m，∠CBD＝∠ABD，
∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB，
∴∠CBD＝∠CDB，
∴CB＝CD＝3m，
∴CE＝CB﹣EB＝3m﹣m＝2m，
∵∠CED＝90°，
∴DE＝ ＝ ＝ m，
∴sinC＝ ＝ ＝ ，故选：B．
考点3. 三角形的外接圆与内切圆
【例题3】（2024江苏苏州）如图， 是 的内接三角形，若 ，则
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______．
【答案】 ##62度
【解析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，连接 ，利用等腰三
角形的性质，三角形内角和定理求出 的度数，然后利用圆周角定理求解即可．
【详解】解：连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【变式练1】（2024大连一模）如图，已知 Rt△ABC 中 ，∠C=90°。若 AC=12cm，BC=5cm，求的
外接圆半径.
【答案】6.5cm.
【解析】设Rt△ABC 的外接圆的外心为O，连接OC，则OA=OB=OC.
∴O是斜边AB 的中点.
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∵∠C=900，AC=12cm，BC=5cm.
∴AB=13cm，OA=6.5cm.
故Rt△ABC 的外接圆半径为6.5cm.
【变式练2】（2024河北一模）点O是△ABC的外心，若∠BOC＝110°，则∠BAC为 ．
【答案】55°或125°．
【解析】由题意可知，需要分两种情况：①△ABC是锐角三角形；②△ABC是钝角三角形，再分别求
解即可．
①△ABC是锐角三角形，如图，
∵∠BOC＝110°，
∴∠BAC＝55°；
②△A′BC是钝角三角形，如图，
∵∠BAC+∠BA′C＝180°，
∴∠BA′C＝125°．
【变式练3】（2024广州深圳一模）已知△ABC的周长为l，其内切圆的面积为 r2，则△ABC的面
积为（ ） π
A． rl B． rl C．rl D． rl
【答案】A π π
【解析】如图，设内切圆O与△ABC相切于点D，点E，点F，连接OA，OB，OC，OE，OF，
OD，
∵AB切 O于E，
∴OE⊥A⊙B，OE＝r，
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∴S△AOB ＝ AB×OE＝ AB×r，
同理：S△BOC ＝ BC×r，
S△AOC ＝ AC×r，
∴S＝S△AOB +S△BOC +S△AOC ＝ AB×r+ BC×r+ AC×r＝ （AB+BC+AC）×r，
∵l＝AB+BC+AC，
∴S＝ lr，故选：A．
考点1. 点、直线与圆的位置关系
1. （2024上海市）在 中， ， ， ，点 在 内，分别以
为圆心画，圆 半径为1，圆 半径为2，圆 半径为3，圆 与圆 内切，圆 与圆
的关系是（ ）
A. 内含 B. 相交 C. 外切 D. 相离
【答案】B
【解析】本题考查圆的位置关系，涉及勾股定理，根据题意，作出图形，数形结合，即可得到答案，
熟记圆的位置关系是解决问题的关键．
【详解】 圆 半径为1，圆 半径为3，圆 与圆 内切，
圆 含在圆 内，即 ，
在以 为圆心、 为半径的圆与 边相交形成的弧上运动，如图所示：
当到 位置时，圆 与圆 圆心距离 最大，为 ，
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，
圆 与圆 相交，故选：B．
2．（2024桂林）在平面直角坐标系中，以点A（4，3）为圆心、以R为半径作圆A与x轴相交，且
原点O在圆A的外部，那么半径R的取值范围是（ ）
A．0＜R＜5 B．3＜R＜4 C．3＜R＜5 D．4＜R＜5
【答案】C
【解析】∵A（4，3），
∴ ，
∵原点O在圆A的外部，
∴R＜OA，即R＜5，
∵圆A与x轴相交，
∴R＞3，
∴3＜R＜5，故选：C．
考点2. 切线的性质与判定
1. （2024江苏盐城）如图，点C在以 为直径的 上，过点C作 的切线l，过点A作
，垂足为D，连接 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的半径．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】【分析】题目主要考查切线的性质，相似三角形的判定和性质及勾股定理解三角形，作出
辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
（ 1 ） 连 接 ， 根 据 题 意 得 ，
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，利用等量代换确定 ，再由相似三角形的判
定即可证明；
（2）先由勾股定理确定 ，然后利用相似三角形的性质求解即可．
【小问1详解】
证明：连接 ，如图所示：
∵ 是 的切线，点C在以 为直径的 上，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
∵ ， ，
∴ ，
由（1）得 ，
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∴ 即 ，
∴ ，
∴ 的半径为 ．
2. （2024贵州省）如图， 为半圆O的直径，点F在半圆上，点P在 的延长线上， 与半
圆相切于点C，与 的延长线相交于点D， 与 相交于点E， ．
（1）写出图中一个与 相等的角：______；
（2）求证： ；
（3）若 ， ，求 的长．
【答案】（1） （答案不唯一） （2） （3）
【解析】【分析】（1）利用等边对等角可得出 ，即可求解；
（2）连接 ，利用切线的性质可得出 ，利用等边对等角和对顶角的性质
可得出 ，等量代换得出 ，然后利用三角形内角和定理求出
，即可得证；
（3）设 ，则可求 ， ， ， ，在
中，利用勾股定理得出 ，求出x的值，利用
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可求出 ，即可求解．
【小问1详解】
解：∵ ，
∴ ，
故答案为： （答案不唯一）；
【小问2详解】
证明：连接 ，
，
∵ 是切线，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【小问3详解】
解：设 ，则 ，
∴ ， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
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解得 ， （舍去）
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，切线的性质，勾股定理，解直角三角形的应用等知识，灵
活运用以上知识是解题的关键．
3.（2024湖北省） 中， ，点 在 上，以 为半径的圆交 于点 ，
交 于点 ．且 ．
（1）求证： 是 的切线．
（2）连接 交 于点 ，若 ，求弧 的长．
【答案】（1）见解析 （2）弧 的长为 ．
【解析】（1）利用 证明 ，推出 ，据此即可证明结论成
立；
（2）设 的半径为 ，在 中，利用勾股定理列式计算求得 ，求得 ，
再求得 ，利用弧长公式求解即可．
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【小问1详解】
证明：连接 ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为 的半径，
∴ 是 的切线；
【小问2详解】
解：∵ ，
∴ ，
设 的半径为 ，
在 中， ，即 ，
解得 ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
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∴弧 的长为 ．
【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理，三角函数的定义，弧长公式．正确引出辅助线解决问
题是解题的关键．
4. （2024江西省）如图， 是半圆O的直径，点D是弦 延长线上一点，连接 ，
．
（1）求证： 是半圆O的切线；
（2）当 时，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，等边三角形的判定和性质，弧长公式，熟
知相关性质和计算公式是解题的关键．
（1）根据直径所对的圆周角为直角结合已知条件，可得 ，即可得 ，进
而可证得结论；
（2）连接 ，证明 为等边三角形，求得 ，利用弧长公式即可解答．
【小问1详解】
证明： 是半圆O的直径，
，
，
，
，
是半圆O的切线；
【小问2详解】
解：如图，连接 ，
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，
为等边三角形，
， ，
，
．
考点3. 三角形的外接圆与内切圆
1. （2024四川眉山）如图， 内接于 ，点 在 上， 平分 交 于 ，
连接 ．若 ， ，则 的长为______．
【答案】
【解析】本题考查了圆周角定理，角平分线的定义全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角
形的判定和性质，延长 ， 交于 ，由圆周角定理可得 ，
，进而可证明 ，得到 ，即得
，利用勾股定理得 ，再证明 ，得到 ，据此即可
求解，正确作出辅助线是解题的关键．
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【详解】解：延长 ， 交于 ，
是 的直径，
， ，
平分 ，
，
又∵ ，
∴ ，
，
，
， ，
，
，
又∵ ，
∴ ，
，
，
，
，
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2. （2024四川宜宾）如图， 内接于 ， 为 的直径， 平分 交 于
．则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本题考查了三角形的外接圆，特殊角的三角函数，圆周角定理，图形的旋转等知识点，合
理作辅助线为解题的关键．
作辅助线如图，先证明 ， ，从而可以得到旋转后的图形，再证明
是等腰直角三角形，利用三角函数即可求得结果．
【详解】解：如图，连接 、 ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
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∴ ，
在四边形 中， ，
∴ ，
∴ 绕 点逆时针旋转 ，则 三点共线，如图所示
∴ ，
∵由旋转可知 ，
∴ ，
∴在等腰直角三角形 中， ，
∴ ．故选：A
3. 【教材呈现】
现行人教版九年级下册数学教材85页“拓广探索”第14题：
14．（2024山东滨州）如图，在锐角 中，探究 ， ， 之间的关
系．（提示：分别作 和 边上的高．）
【得出结论】
．
【基础应用】
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在 中， ， ， ，利用以上结论求 的长；
【推广证明】
进一步研究发现， 不仅在锐角三角形中成立，在任意三角形中均成立，并且还
满足 （R为 外接圆的半径）．
请利用图1证明： ．
【拓展应用】
如图2，四边形 中， ， ， ， ．
求过A，B，D三点的圆的半径．
【答案】教材呈现：见解析；基础应用： ；推广证明：见解析；拓展应用： ．
【解析】【分析】本题考查三角形的外接圆，三角形内角和，圆周角定理，等腰三角形性质，垂径
定理，锐角三角函数．添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．
教材呈现：分别作 ，垂足分别为 ，根据正弦的定义，在4个直角三角形
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中分别表示出 ，进而将等式变形，即可求得 ．
基础应用：利用三角形内角和定理求得 ，利用公式 ，代入数据求解即可；
推广证明：作直径 ，连接 ，利用圆周角定理求得 ， ，推出
，即 ，同理 ， ，据此即可证明结
论成立；
拓展应用：连接 ，作 于点 ，证得四边形 是矩形，利用勾股定理求得 和
，证明 ，利用三角函数的定义求得 ，再根
据 ，据此即可求解．
【详解】解：教材呈现：如图，分别作 ，垂足分别为 ，
在 中， ，
，
在 中， ，
，
，
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，
在 中， ，
，
在 中， ，
，
，
，
．
基础应用：∵ 中， ， ，
∴ ，
由题意得 ，
∴ ，
解得 ；
推广证明：作直径 ，连接 ，
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∵直径 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
同理 ， ，
∴ ；
拓展应用：连接 ，作 于点 ，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
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∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，即 ，
∴ ．
4. （2024山东滨州）刘徽（今山东滨州人）是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数学理论的奠
基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”．刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解，其中最
典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式．如图，
中， ， 的长分别为 ．则可以用含 的式子表示出
的内切圆直径 ，下列表达式错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】【分析】如图，设 为切点，连接 ，则 ，再结
合切线长定理可判定A，再结合三角形的面积可判定B，再由 ，结合完全平方公式与
勾股定理可判断C，通过举反例可得D错误.
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【详解】如图，设 为切点，连接 ，则 ， ，
， ，
由切线长定理得， ， ， ，
∵ ， ，
∴四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故 正确，不合题意；
∵ ，
∴ ，
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∴
∴ ，故 正确，不合题意；
∵ ，
，
∵ ，
，
∵ ，
，故C正确；
令 ， ， ，
，
而 ，
，故D错误；
故选D
【点睛】本题考查的是三角形的内切圆的性质，勾股定理的应用，分解因式的应用，举反例的应用，
切线长定理的应用，掌握基础知识并灵活应用是解本题的关键.
5. （2024四川自贡）在 中， ， 是 的内切圆，切点分别为D，E，
F．
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（1）图1中三组相等的线段分别是 ， ________， ________；若 ，
，则 半径长为________；
（2）如图2，延长 到点M，使 ，过点M作 于点N．
求证： 是 的切线．
【答案】（1） ； ；1 （2）见解析
【解析】【分析】（1）根据切线长定理得到 ， ， ，代入求
解即可得到答案；
（ 2 ） 证 明 ， 推 出 ， ， ， 求 得
， ，根据 ，
列式求得 ，根据切线的判定定理，即可得到 是 的切线．
【小问1详解】
解：连接 ，设 半径为 ，
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∵ 是 的内切圆，切点分别为D，E，F，
∴ ， ， ；
在四边形 中， ，
四边形 为矩形，
又因为 ，
四边形 为正方形．
则 ，则 ， ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，即 ，
解得 ，
故答案为： ； ；1；
【小问2详解】
证明：连接 ， ， ，作 于点 ，
设 半径为 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ， ，
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∵ 是 的内切圆，切点分别为D，E，F，
∴ ，
∴ ，
同理 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是 的切线．
【点睛】本题考查切线的判定，切线长定理，全等三角形的判定和性质，三角形的内切圆及勾股定
理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
考点1. 点、直线与圆的位置关系
1．平面内，已知 O的半径是8cm，线段OP＝7cm，则点P（ ）
A．在 O外 ⊙ B．在 O上 C．在 O内 D．不能确定
【答案⊙】C ⊙ ⊙
【解析】∵平面内，已知 O的半径r是8cm，线段OP＝7cm，
∴r＞OP， ⊙
∴点P在 O内．故选：C．
2．在平面⊙直角坐标系xOy中，以点（﹣3，4）为圆心，4为半径的圆与x轴的位置关系是（ ）
A．相交 B．相离 C．相切 D．无法判断
【答案】C
【解析】∵圆心的坐标为（﹣3，4），
∴圆心与x轴距离为4，等于其半径4，
∴以点（﹣3，4）为圆心，4为半径的圆与x轴的关系为相切．故选：C．
3．已知 O和直线l相交，圆心到直线l的距离为10cm，则 O的半径可能为（ ）
A．11cm⊙ B．10cm C．9cm ⊙ D．8cm
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【答案】A
【解析】∵ O和直线l相交
∴d＜r ⊙
又∵圆心到直线l的距离为10cm
∴r＞10cm 故选：A．
4．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，cosA＝ ，以点B为圆心，r为半径作 B，当r＝3时
B与AC的位置关系是（ ） ⊙
⊙
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
【答案】B
【解析】∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，cosA＝ ，
∴ ＝ ＝ ，
∴AC＝4，
∴BC＝ ＝3，
∵r＝3，
∴BC＝r＝3，
∴ B与AC的位置关系是相切，故选：B．
5．⊙已知平面内有 O和点A，B，若 O半径为2cm，线段OA＝3cm，OB＝2cm，则直线AB与 O
的位置关系为（ ⊙ ） ⊙ ⊙
A．相离 B．相交
C．相切 D．相交或相切
【答案】D
【解析】 O的半径为2cm，线段OA＝3cm，OB＝2cm，
即点A到⊙圆心O的距离大于圆的半径，点B到圆心O的距离等于圆的半径，
∴点A在 O外，点B在 O上，
∴直线AB⊙与 O的位置关⊙系为相交或相切，故选：D．
6．如图，直线⊙a⊥b，垂足为H，点P在直线b上，PH＝4cm，O为直线b上一动点，若以1cm为半
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径的 O与直线a相切，则OP的长为 ．
⊙
【答案】见试题解答内容
【解析】∵直线a⊥b，O为直线b上一动点，
∴ O与直线a相切时，切点为H，
∴⊙OH＝1cm，
当点O在点H的左侧， O与直线a相切时，如图1所示：
⊙
OP＝PH﹣OH＝4﹣1＝3（cm）；
当点O在点H的右侧， O与直线a相切时，如图2所示：
⊙
OP＝PH+OH＝4+1＝5（cm）；
∴ O与直线a相切，OP的长为3cm或5cm，
故⊙答案为：3cm或5cm．
考点2. 切线的性质与判定
1．如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B，若∠P=40°，则∠B的度数为
（ ）
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A．20° B．25° C．40° D．50°
【答案】B
【解析】连接OA，由切线的性质可得∠OAP=90°，继而根据直角三角形两锐角互余可得
∠AOP=50°，再根据圆周角定理即可求得答案.
连接OA，如图：
∵PA是⊙O的切线，切点为A，
∴OA⊥AP，
∴∠OAP=90°，
∵∠P=40°，
∴∠AOP=90°-40°=50°，
∴∠B=1/2∠AOB=25°
2. 如图，在△ABC中，O是AC上（异于点A，C）的一点， O恰好经过点A，B，AD⊥CB于点
D，且AB平分∠CAD． ⊙
（1）判断BC与 O的位置关系，并说明理由．
（2）若AC＝10，⊙DC＝8，求 O的半径长．
⊙
【答案】（1）BC与 O相切，理由见解答；
⊙
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（2） O的半径长为 ．
【解析⊙】（1）BC与 O相切，理由如下：
如图，连接OB， ⊙
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵AB平分∠CAD，
∴∠DAB＝∠CAB，
∴∠DAB＝∠OBA，
∴AD∥OB，
∵AD⊥CB，
∴OB⊥CB，
∵OB是 O的半径，
∴BC与⊙O相切；
（2）∵⊙∠D＝90°，AC＝10，DC＝8，
∴AD＝ ＝6，
∵AD∥OB，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∵OA＝OB，
∴OB＝ ，
∴ O的半径长为 ．
⊙
3.如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P， PE⊥AC于E.
求证:PE是⊙O的切线.
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证明：连接OP.
∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∵OB=OP，∴∠B=∠OPB，
∴∠OBP=∠C.
∴OP∥AC.
∵PE⊥AC，
∴PE⊥OP.
∴PE为⊙O的切线.
4．如图，已知，BE是 O的直径，BC切 O于B，弦DE∥OC，连接CD并延长交BE的延长线于
点A． ⊙ ⊙
（1）证明：CD是 O的切线；
（2）若AD＝2，A⊙E＝1，求CD的长．
【答案】见试题解答内容
【解析】（1）证明：连接OD，
∵ED∥OC，
∴∠COB＝∠DEO，∠COD＝∠EDO，
∵OD＝OE，
∴∠DEO＝∠EDO，
∴∠COB＝∠COD，
在△BCO和△DCO中，
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∴△BCO≌△DCO（SAS），
∴∠CDO＝∠CBO，
∵BC为圆O的切线，
∴BC⊥OB，即∠CBO＝90°，
∴∠CDO＝90°，
又∵OD为圆的半径，
∴CD为圆O的切线；
（2）解：∵CD，BC分别切 O于D，B，
∴CD＝BC， ⊙
∵AD2＝AE•AB，即22＝1•AB，
∴AB＝4，
设CD＝BC＝x，则AC＝2+x，
∵A2C＝AB2+BC2
∴（2+x）2＝42+x2，
解得：x＝3，
∴CD＝3．
考点3. 三角形的外接圆与内切圆
1．如图，PA、PB分别与 O相切于 A、B，∠P＝70°，C 为 O上一点，则∠ACB的度数为
（ ） ⊙ ⊙
A．110° B．120° C．125° D．130°
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【答案】C
【解析】由切线的性质得出∠OAP＝∠OBP＝90°，利用四边形内角和可求∠AOB＝110°，再利用圆
周角定理可求∠ADB＝55°，再根据圆内接四边形对角互补可求∠ACB．
如图所示，连接OA，OB，在优弧AB上取点D，连接AD，BD，
∵AP、BP是 O切线，
∴∠OAP＝∠⊙OBP＝90°，
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣70°＝110°，
∴∠ADB＝ AOB＝55°，
又∵圆内接四边形的对角互补，
∴∠ACB＝180°﹣∠ADB＝180°﹣55°＝125°．
2．已知三角形的周长为12，面积为6，则该三角形内切圆的半径为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【解析】设这个三角形的内切圆半径是r，
∵三角形周长为12，面积为6，
∴ ×12r＝6，
解得r＝1．故选：D．
3．如图是一块直角三角形木料，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，木工师傅要从中裁下一块圆形木料，
则可裁圆形木料的最大半径为 ．
【答案】见解析
【解析】∵∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴BC＝ ＝ ＝5，
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∴圆形木料的最大半径＝ ＝1．
4．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O是内心，若CO＝2，△ABC的周长为16，则△ABC的面
积为（ ）
A． B． C．16 D．32
【答案】B
【解析】过O点作OD⊥AB于D点，OE⊥AC于E点，OF⊥BC于F点，连接OA、OB，如图，
∵ O为△ABC的内切圆，
∴⊙OD＝OE＝OF，OC平分∠ACB，
∴∠OCE＝∠OCF＝ ∠ACB＝45°，
∴OE＝ OC＝ ，
∴OD＝OF＝ ，
∵S△AOB +S△AOC +S△BOC ＝S△ABC ，
∴ × ×AB+ × ×AC+ × ×BC＝ × （AB+AC+BC），
∵AB+AC+BC＝16，
∴△ABC的面积＝ × ×16＝8 ，故选：B．
5．一个等边三角形的边长为2，则这个等边三角形的内切圆半径为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【解析】如图：
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过O点作OD⊥AB，则AD＝ AB＝1，
∵∠OAD＝30°，
∴OD＝tan30°•AD＝ ．故选：C．
6. 如图，在 中， 的内切圆 与 分别相切于点 ， ，
连接 的延长线交 于点 ，则 _________．
【答案】 ## 度
【解析】【分析】如图所示，连接 ，设 交于H，由内切圆的定义结合三角
形内角和定理求出 ，再由切线长定理得到 ，进而推出 是 的垂直平
分线，即 ，则 ．
【详解】如图所示，连接 ，设 交于H，
∵ 是 的内切圆，
∴ 分别是 的角平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
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∴ ，
∴ ，
∵ 与 分别相切于点 ， ，∴ ，
又∵ ，∴ 是 的垂直平分线，
∴ ，即 ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了三角形内切圆，切线长定理，三角形内角和定理，线段垂直平分线的判定，
三角形外角的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
7. 如图，△ABC中，I是内心，∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D.
求证：DI＝DB.
【答案】见解析。
【解析】证明：连接BI.
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∵I是△ABC的内心，
∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI，
∵∠CBD=∠CAD，
∴∠BAD=∠CBD，
∵∠BID=∠BAD+∠ABI，∠IBD=∠CBI+∠CBD，
∴∠BID=∠IBD，
∴BD=ID．
8. 如图， O是△ABC的外接圆，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交 O于点
D，连接B⊙D，BE． ⊙
（1）求证：DB＝DE；
（2）若AE＝3，DF＝4，求DB的长．
【答案】（1）见解析；（2）6．
【解答】（1）证明：∵点E是△ABC的内心，
∴AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴∠BAD＝∠CAD，∠ABE＝∠CBE，
又∵∠CAD与∠CBD所对弧为 ，
∴∠CAD＝∠CBD＝∠BAD．
∵∠BED＝∠ABE+∠BAD，∠DBE＝∠CBE+∠CBD，
∴∠BED＝∠DBE，
故DB＝DE．
（2）解：∵∠D＝∠D，∠DBF＝∠CAD＝∠BAD，
∴△ABD∽△BFD，
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∴ ①，
∵DF＝4，AE＝3，设EF＝x，
由（1）可得DB＝DE＝4+x，
则①式化为 ，
解得：x ＝2，x ＝﹣6（不符题意，舍去），
1 2
则DB＝4+x＝4+2＝6．
48
