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第 01 讲 实数
目 录
2
题型01 实数的分类 2
题型02 用数轴上的点表示有理数 2
题型03 数轴上两点之间的距离 3
题型04 求一个数的相反数 5
题型05 多重符号化简 5
题型06 求一个数的绝对值 6
题型07 乘方的应用 7
题型08 用科学记数法表示数 8
题型09 比较实数大小 9
题型10 求一个数的算术平方根 10
题型11 求一个数的平方根 11
题型12 求一个数的立方根 11
12
19
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题型 01 实数的分类
1．（2022·贵州铜仁·中考真题）在实数 ， ， ， 中，有理数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据有理数的定义进行求解即可．
【详解】解：在实数 ， ， ， 中，有理数为 ，其他都是无理数，
故选C．
【点睛】本题主要考查了实数的分类，熟知有理数和无理数的定义是解题的关键．
2．（2023·山东聊城·一模）在实数：3.14159， ，1.010 010 001， ， ， 中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数
与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】解： ，
∴在实数：3.14159， ，1.010010001…，π， 中，无理数有1.010010001…，π，共2个．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了无理数的定义，掌握无理数的定义是解题的关键，其中初中范围内学习的无理数
有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
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题型 02 用数轴上的点表示有理数
1．（2021·青海·中考真题）若 ，则实数 在数轴上对应的点的位置是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】首先根据a的值确定a的范围，再根据a的范围确定a在数轴上的位置．
【详解】解：∵
∴ ，
∴ ，
∴点A在数轴上的可能位置是：
，
故选：A．
【点睛】本题考查有理数与数轴，解题关键是确定负数的大致范围．
2．（2021·湖南怀化·中考真题）数轴上表示数5的点和原点的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据数轴上点的表示及几何意义可直接进行排除选项．
【详解】解：数轴上表示数5的点和原点的距离是 ；
故选B．
【点睛】本题主要考查数轴上点的表示及几何意义，熟练掌握数轴上点的表示及几何意义是解题的关键．
题型 03 数轴上两点之间的距离
1．（2023·陕西安康·二模）如图，点A、B在数轴上对应的数分别是 和3，则 的长为（ ）
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A．1 B．5 C．2 D．3
【答案】B
【提示】根据数轴上两点间的距离公式计算解题．
【详解】解： ，
故选B．
【点睛】本题考查数轴上两点间的距离，熟记距离公式是解题的关键．
2．（2023·山东临沂·一模）如图，点A，B，C在数轴上，且点A是BC的中点．点A，B表示的数分别
为-1， ，则点C表示的数为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【提示】设点C所表示的数为x，根据题意列出方程，即可求出x的值.
【详解】解：设点C所表示的数为x，
根据题意，得 ，
∴ ，
∴点C表示的数为 .
故选：D.
【点睛】本题考查了实数与数轴的知识，根据条件点B，C到点A的距离相等列出方程是解题的关键.
3．（2023·贵州贵阳·三模）若数轴上点A、B分别表示数 ， ，则A、B两点之间的距离可表示为（
）
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A． B． C． D．
【答案】D
【提示】根据数轴上两点间距离的定义进行解答即可．
【详解】解：A、B两点之间的距离可表示为： ，
故选：D．
【点睛】本题考查的是数轴上两点间的距离、数轴等知识，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关
键．
题型 04 求一个数的相反数
1．（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，数轴上点A表示的数的相反数是（ ）
A．﹣2 B．﹣ C．2 D．3
【答案】C
【分析】根据数轴得到点A表示的数为﹣2，再求﹣2的相反数即可．
【详解】解：点A表示的数为﹣2，
﹣2的相反数为2，
故选：C．
【点睛】本题考查了数轴，相反数，掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键．
2．（2023·甘肃兰州·中考真题）－5的相反数是( )
A． B． C．5 D．-5
【答案】C
【分析】根据相反数的定义解答即可．
【详解】-5的相反数是5．
故选C．
【点睛】本题考查了相反数，熟记相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数是关键．
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题型 05 多重符号化简
1．（2023·江西南昌·一模）下列各数，为1的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【提示】根据一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数；和有理数的计算，同号得正，
异号得负即可得到答案．
【详解】解：A、 ，故该选项不符合题意；
B、 ，故该选项不符合题意；
C、 ，故该选项符合题意；
D、 ，故该选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了绝对值和化简有理数多重符号，熟记“同号得正，异号得负”是解题关键．
2．（2023·吉林长春·一模）下列计算结果为2的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【提示】进行多重符号化简和去绝对值计算，进行判断即可．
【详解】解：A、 ，符合题意；
B、 ，不符合题意；
C、 ，不符合题意；
D、 ，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查多重符号化简，求一个数的绝对值．熟练掌握多重符号化简时，负号的个数为奇数个，
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结果为负，负号的个数为偶数个，结果为正，是解题的关键．
题型 06 求一个数的绝对值
1．（2023·辽宁营口·中考真题） 的绝对值是（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值，依据定义即可求解．
【详解】在数轴上，点 到原点的距离是 ，
所以， 的绝对值是 ，
故选：C．
【点睛】本题考查绝对值，掌握绝对值的定义是解题的关键．
2．（2023·福建龙岩·校考一模） 的绝对值是（ ）
A． B． C． D．2021
【答案】C
【提示】根据绝对值的定义选出正确选项．
【详解】解： ∣ ∣= ．
故选：C．
【点睛】本题考查绝对值的求解，解题的关键是掌握绝对值的定义．
题型 07 乘方的应用
1．（2022·河北衡水·校考模拟预测）1米长的小棒，第一次截去 ，第二次截去剩下的 ，如此截下去，
第五次后剩下的小棒的长度是（ ）
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A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
【答案】A
【提示】根据题意可以得到第五次后剩下的小棒的长度，从而可以解答本题．
【详解】解：由题意可得，
第五次后剩下的小棒的长度是：
故选A．
【点睛】本题考查有理数的乘方，解答本题的关键是明确题意，求出第五次后剩下的小棒的长度．
2．（2022·河北衡水·二模）嘉琪在《趣味数学》中学习到远古时期的一种计数方法，即“结绳计数”，类
似现在我们熟悉的“进位制”．如图所示，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，例如，图
1中表示的数为31，可知图2中表示的数为（ ）
A．42 B．46 C．86 D．321
【答案】C
【提示】由题可知，可知图2中的五进制数为321，化为十进制数即可．
【详解】解：根据题意得：
图2中的五进制数为321，
化为十进制数为：321=3×52+2×51+1×50=86．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了进位制，解题的关键是会将五进制转化成十进制．
题型 08 用科学记数法表示数
1．（2023·广东广州·中考真题）2023年5月28日，我国自主研发的C919国产大飞机商业首航取得圆满成
功，C919可储存约186000升燃油，将数据186000用科学记数法表示为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】B
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n为整数．确定n的值时，要看把原
数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，
n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．
【详解】解：将数据186000用科学记数法表示为 ；
故选B
【点睛】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．
2．（2023·天津·中考真题）据 年 月 日《天津日报》报道，在天津举办的第七届世界智能大会通
过“百网同播、万人同屏、亿人同观”，全球网友得以共享高端思想盛宴，总浏览量达到 人次，
将数据 用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据科学记数法的表示方法进行表示即可．
【详解】解： ；
故选B．
【点睛】本题考查科学记数法．熟练掌握科学记数法的表示方法： ， 为整数，是解题
的关键．
3．（2023·山东烟台·中考真题）“北斗系统”是我国自主建设运行的全球卫星导航系统，国内多个导航地
图采用北斗优先定位．目前，北斗定位服务日均使用量已超过3600亿次．3600亿用科学记数法表示为
．
【答案】
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n为整数．确定n的值时，要看把原
数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：3600亿 ，用科学记数法表示为 ．
故答案为： ．
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【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，
n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．
题型 09 比较实数大小
1．（2023·湖南怀化·中考真题）下列四个实数中，最小的数是（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】A
【分析】先根据实数的大小比较法则比较数的大小，再求出最小的数即可．
【详解】
最小的数是：
故选：A．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，能熟记实数的大小比较法则是解此题的关键．
2．（2023·山东潍坊·中考真题）在实数1，－1，0， 中，最大的数是（ ）
A．1 B．－1 C．0 D．
【答案】D
【分析】正数大于0，负数小于0，两个正数；较大数的算术平方根大于较小数的算术平方根．
【详解】解： ，∴
∴
故选：D．
【点睛】本题考查实数的大小比较，二次根式的化简，掌握二次根式的性质公式是解题的关键．
3．（2022·陕西·中考真题）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则a ．（填“>”“=”或
“<”）
【答案】<
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【分析】根据在数轴上右边的数据大于左边的数据即可得出答案．
【详解】解：如图所示：-4＜b＜-3，1＜a＜2，
∴ ，
∴ ．
故答案为：＜．
【点睛】此题主要考查了实数与数轴，正确掌握数轴上数据大小关系是解题关键．
题型 10 求一个数的算术平方根
1．（2022·四川泸州·中考真题） （ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】根据算术平方根的定义可求．
【详解】解： -2，
故选A．
【点睛】本题考查了算术平方根的定义，要注意正确区分平方根与算术平方根，解题的关键是掌握算术平
方根的定义．
2．（2023·山东德州·二模）16的算术平方根是 ．
【答案】4
【详解】解：∵
∴16的平方根为4和-4，
∴16的算术平方根为4，
故答案为：4
题型 11 求一个数的平方根
1．（2023·山东淄博·中考真题）25的平方根是 ．
【答案】±5
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【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的一个平方根．
【详解】∵（±5）2=25，
∴25的平方根是±5．
【点睛】本题主要考查了平方根的意义，正确利用平方根的定义解答是解题的关键．
2．（2023·河北衡水·校联考模拟预测）3的平方根是（ ）
A．± B．±3 C．3 D．
【答案】A
【提示】根据平方根的定义计算即可得到答案；
【详解】解：根据平方根的定义可知：
∵
∴
∴3的平方根是 ，
故选A；
【点睛】本题考查了平方根，掌握并熟练使用相关知识，同时注意解题时需注意的事项是本题的解题关键．
题型 12 求一个数的立方根
1．（2022·江苏淮安·中考真题）27的立方根为 ．
【答案】3
【分析】找到立方等于27的数即可．
【详解】解：∵33=27，
∴27的立方根是3，
故答案为：3．
2．（2023·陕西西安·校考模拟预测）－64的立方根是 ．
【答案】-4
【提示】直接利用立方根的意义，一个数的立方等于a，则a的立方根是这个数进行求解．
【详解】解：根据立方根的意义，一个数的立方等于a，则a的立方根是这个数，
可知-64的立方根为-4．
故答案为：-4．
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【点睛】本题考查了立方根，解题的关键是掌握一个数的立方等于a，则a的立方根是这个数．
3．（2023·甘肃陇南·二模）计算： = ．
【答案】﹣2
【提示】根据立方根的定义，求数a的立方根，也就是求一个数x，使得x3=a，则x就是a的立方根．
【详解】∵（－2）3=－8，
∴ ，
故答案为：-2
1．（2023·浙江杭州·中考真题）已知数轴上的点 分别表示数 ，其中 ， ．若
，数 在数轴上用点 表示，则点 在数轴上的位置可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先由 ， ， ，根据不等式性质得出 ，再分别判定即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴
∵
∴
A、 ，故此选项不符合题意；
B、 ，故此选项符合题意；
C、 ，故此选项不符合题意；
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D、 ，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查用数轴上的点表示数，不等式性质，由 ， ， 得出 是解
题的关键．
2．（2023·河北·中考真题）光年是天文学上的一种距离单位，一光年是指光在一年内走过的路程，约等于
．下列正确的是（ ）
A． B．
C． 是一个12位数 D． 是一个13位数
【答案】D
【分析】根据科学记数法、同底数幂乘法和除法逐项分析即可解答．
【详解】解：A. ，故该选项错误，不符合题意；
B. ，故该选项错误，不符合题意；
C. 是一个13位数，故该选项错误，不符合题意；
D. 是一个13位数,正确，符合题意．
故选D．
【点睛】本题主要考查了科学记数法、同底数幂乘法和除法等知识点，理解相关定义和运算法则是解答本
题的关键．
3．（2023·江苏·中考真题）下列实数中，其相反数比本身大的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据相反数的定义，逐项求出相反数，进行比较即可．
【详解】解：A. 的相反数是 ，则 ，故该选项符合题意；
B. 的相反数是 ，则 ，故该选项不符合题意；
C. 的相反数是 ，则 ，故该选项不符合题意；
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B. 的相反数是 ，则 ，故该选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了相反数，比较有理数的大小，解题的关键是先求出相反数，再进行比较．
4．（2023·湖北宜昌·中考真题）下列运算正确的个数是（ ）．
① ；② ；③ ；④ ．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】根据 ， ， 、 ，进行逐一计算即可．
【详解】解：① ， ，故此项正确；
② ， ，故此项正确；
③ ，此项正确；
④ ，故此项正确；
正确的个数是 个．
故选：A．
【点睛】本题考查了实数的运算，掌握相关的公式是解题的关键．
5．（2023·辽宁营口·中考真题）有下列四个算式① ；② ；③ ；
④ ．其中，正确的有（ ）．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】由有理数的加减运算法则、乘方的运算法则、除法运算法则，分别进行判断，即可得到答案．
【详解】解：① ；故①错误；
② ；故②错误；
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③ ；故③正确；
④ ；故④正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了有理数的加减乘除、乘方的运算法则，解题的关键是正确掌握运算法则进行判断．
6．（2023·吉林长春·中考真题）实数 、 、 、 伍数轴上对应点位置如图所示，这四个数中绝对值最
小的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据绝对值的意义即可判断出绝对值最小的数.
【详解】解：由图可知， ， ， ， ，
比较四个数的绝对值排除 和 ，
根据绝对值的意义观察图形可知， 离原点的距离大于 离原点的距离，
，
这四个数中绝对值最小的是 .
故选：B.
【点睛】本题考查了绝对值的意义，解题的关键在于熟练掌握绝对值的意义，绝对值是指一个数在数轴上
所对应点到原点的距离，离原点越近说明绝对值越小.
7．（2023·江苏南通·中考真题）如图，数轴上 ， ， ， ， 五个点分别表示数1，2，3，4，5，则
表示数 的点应在（ ）
A．线段 上 B．线段 上 C．线段 上 D．线段 上
【答案】C
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【分析】根据 判断即可．
【详解】 ，
，
由于数轴上 ， ， ， ， 五个点分别表示数1，2，3，4，5，
的点应在线段 上，
故选：C．
【点睛】本题考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算的方法是解题的关键．
8．（2022·四川巴中·中考真题）下列各数是负数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先将各选项的数进行化简，再根据负数的定义进行作答即可
【详解】解： ，是正数，故 A 选项不符合题意；
，是正数，故 B 选项不符合题意；
，是正数，故 C 选项不符合题意；
，是负数，故 D 选项符合题意．
【点睛】本题考查了负数的定义，涉及乘方，绝对值的化简，立方根，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
9．（2023·四川内江·中考真题）若a、b互为相反数，c为8的立方根，则 ．
【答案】
【分析】利用相反数，立方根的性质求出 及c的值，代入原式计算即可得到结果．
【详解】解：根据题意得： ，
，
故答案为：
【点睛】此题考查了代数式求值，相反数、立方根的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
10．（2023·陕西·中考真题）如图，在数轴上，点A表示 ，点B与点A位于原点的两侧，且与原点的距
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离相等．则点B表示的数是 ．
【答案】
【分析】由绝对值的定义，再根据原点左边的数是负数即可得出答案．
【详解】解：由题意得：点B表示的数是 ．
故答案为： ．
【点睛】此题考查了数轴，绝对值的意义，掌握绝对值的意义是解本题的关键．
11．（2023·湖南·中考真题）已知实数a，b满足 ，则 ．
【答案】
【分析】由非负数的性质可得 且 ，求解a，b的值，再代入计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ 且 ，
解得： ， ；
∴ ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是绝对值的非负性，偶次方的非负性的应用，负整数指数幂的含义，理解非负数的性
质，熟记负整数指数幂的含义是解本题的关键．
12．（2023·湖南·中考真题）数轴上到原点的距离小于 的点所表示的整数有 ．（写出一个即
可）
【答案】2（答案不唯一）
【分析】根据实数与数轴的对应关系，得出所求数的绝对值小于 ，且为整数，再利用无理数的估算即
可求解．
【详解】解：设所求数为a，由于在数轴上到原点的距离小于 ，则 ，且为整数，
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则 ，
∵ ，即 ，
∴a可以是 或 或0．
故答案为：2（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了实数与数轴，无理数的估算，掌握数轴上的点到原点距离的意义是解题的关键．
13．（2023·海南·中考真题）设 为正整数，若 ，则 的值为 ．
【答案】1
【分析】先估算出 的范围，即可得到答案．
【详解】解： ，
，即 ，
，
，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了无理数的估算，能估算出 的大小是解题的关键．
14．（2023·浙江湖州·中考真题）计算： ．
【答案】
【分析】根据实数的运算顺序进行计算即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查实数的运算，掌握二次根式的性质是解题的关键．
15．（2023·山东·中考真题）计算： ．
【答案】1
【分析】根据先计算绝对值，特殊角的三角函数值，零指数幂，再进行加减计算即可．
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【详解】解：
故答案为：1．
【点睛】本题考查了实数的运算，掌握绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂的运算是解题的关键．
16．（2023·四川泸州·中考真题）计算： ．
【答案】3
【分析】根据负整数指数幂和零指数幂运算法则，特殊角的三角函数值，进行计算即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题主要考查了实数混合运算，解题的关键是熟练掌握负整数指数幂和零指数
1．（2023·内蒙古·中考真题）定义新运算“ ”，规定： ，则 的运算结果为
（ ）
A． B． C．5 D．3
【答案】D
【分析】根据新定义的运算求解即可．
【详解】解： ，
∵
，
∴
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故选：D．
【点睛】题目主要考查新定义的运算，理解题意中的运算法则是解题关键．
2．（2022·贵州黔东南·中考真题）在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如： 的几何
意义是数轴上表示数 的点与表示数 的点的距离， 的几何意义是数轴上表示数 的点与表示数2的
点的距离．当 取得最小值时， 的取值范围是（ ）
A． B． 或 C． D．
【答案】C
【分析】由题意画出数轴，然后根据数轴上的两点距离可进行求解．
【详解】解：如图，由 可得：点 、 、 分别表示数 、2、 ， ．
的几何意义是线段 与 的长度之和，
当点 在线段 上时， ，当点 在点 的左侧或点 的右侧时， ．
取得最小值时， 的取值范围是 ；
故选C．
【点睛】本题主要考查数轴上的两点距离，解题的关键是利用数形结合思想进行求解．
3．（2023·山东潍坊·中考真题）用与教材中相同型号的计算器，依次按键 ，显
示结果为 ．借助显示结果，可以将一元二次方程 的正数解近似表示为
．（精确到 ）
【答案】
【分析】先利用公式法求出一元二次方程的解，再根据精确度的概念即可得．
【详解】解：一元二次方程 中的 ，
则 ，
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所以这个方程的正数解近似表示为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了近似数、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键．
4．（2023·黑龙江大庆·中考真题）已知 ，则x的值为 ．
【答案】 ，1，3
【分析】由已知可分三种情况：当 时， ；当 时， ；当 时， ，此时
，等式成立．
【详解】解：∵ ，
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ，此时 ，等式成立；
故答案为： ，1，3．
【点睛】本题考查有理数的乘方；熟练掌握有理数的乘方的性质，切勿遗漏零指数幂的情况是解题的关键．
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