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2025年中考数学一轮复习
第7讲 分式
一．选择题（共10小题）
a 3
1．化简 − 的结果为（ ）
a−3 a−3
1 1
A．1 B．﹣1 C． D．−
3 3
2．下列四个数中，是负数的为（ ）
1 −1
A．|﹣5| B．30 C．( ) D．（﹣2）5
4
m2−1 1
3．化简 ⋅ 的结果为（ ）
m m+1
m m−1 m−1 m+1
A． B． C． D．
m+1 m+1 m m
4 a2
4．如果a2﹣2a﹣1＝0，那么代数式( −a)⋅ 的值是（ ）
a a+2
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
□ x
5．若 ÷ 运算的结果为整式，则“□”中的式子可能是（ ）
x+ y y2−x2
1
A．y﹣x B．y+x C．2x D．
x
6．下列数中，绝对值等于2的数是（ ）
1
A．﹣2﹣1 B．(± ) −2 C．|±2| D．（﹣2）﹣1
2
7．下列运算正确的是（ ）
a8
A．a﹣2b2•（a2b﹣2）﹣3=
b8
B．（﹣a）3m÷am＝（﹣1）ma2m
C．﹣3x2n﹣6xn＝﹣3xn（x2+2）
a2+1 2a
D． −（a+1）=
a−1 a−1
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x2+2x+1 x
8．关于式子 ÷ ，下列说法正确的是（ ）
x2−1 x−1
A．当x＝1时，其值为2
B．当x＝﹣1时，其值为0
C．当﹣1＜x＜0时，其值为正数
D．当x＜﹣1时，其值为正数
x a2−1
9．计算 ⋅ 的结果正确的是（ ）
a+1 2x
a−1 a+1 a−1 a+1
A． B． C． D．
2 2 2x 2a+2
10．在复习分式的化简运算时，老师把甲、乙两位同学的解答过程分别展示如下．则（ ）
a−1 a 乙：
甲：( +1)÷
a+1 a+1
a−1 a
( +1)÷
a−1+1 a a+1 a+1
= ÷ ⋯⋯①
a+1 a+1 a−1 a+1 a+1
= × + ⋯⋯①
a a a+1 a a
= ÷ ⋯⋯②
a+1 a+1 a−1 a+1
= + ⋯⋯②
a a+1 a a
= ⋅ ⋯⋯③
a+1 a 2a
= ⋯⋯③
＝1……④ 2a
＝1……④
A．甲、乙都错 B．甲、乙都对 C．甲对，乙错 D．甲错，乙对
二．填空题（共5小题）
x
11．若代数式 有意义，则实数x的取值范围是 ．
x−2
|x|−1
12．若分式 的值为零，则x的值为 ．
x−1
x2−4
13．当x＝ 时，分式 的值为零．
x+2
14．请写出一个关于 x 的分式，无论 x 取何值该分式都有意义且当 x＝1 时分式的值为 2：
．
a−2 2
15．计算： + = ．
a a
三．解答题（共5小题）
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16．先化简，再求值：先化简 2 x2−1 ，再从不等式组{ −2x＜4 的整数解中选一个合
(1+ )÷
x−3 x2−6x+9 3x＜2x+4
适的x的值代入求值．
{4(x+2)＜3x+7
17．先化简，再求值： 1 1 x−2 ，其中x是不等式组 的整数解．
( + )÷ x x+1
x2−9 x+3 2x+6 +2≥−
2 5
1 m2−6m+9
18．先化简，再求值：(1− )÷ ，然后从1，2，3中选一个合适的数代入求值．
m−2 m−2
19．先化简，再求值： m2 3 ，其中 ．
÷(1+ ) m=√3−3
m2−9 m−3
x−2 5
20．先化简，再求代数式 ÷( −3+x)的值，其中x＝8cos30°﹣2tan45°．
x+3 x+3
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2025年中考数学一轮复习之分式
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
a 3
1．化简 − 的结果为（ ）
a−3 a−3
1 1
A．1 B．﹣1 C． D．−
3 3
【考点】分式的加减法．
【专题】分式；运算能力．
【答案】A
a 3
【分析】根据同分母分式加减法法则，求出化简 − 的结果即可．
a−3 a−3
a 3 a−3
【解答】解： − = = 1．
a−3 a−3 a−3
故选：A．
【点评】此题主要考查了分式加减法的运算方法，解答此题的关键是要明确同分母、异分母分式加减法
法则．
2．下列四个数中，是负数的为（ ）
1 −1
A．|﹣5| B．30 C．( ) D．（﹣2）5
4
【考点】负整数指数幂；正数和负数；绝对值；有理数的乘方；零指数幂．
【专题】实数；运算能力．
【答案】D
【分析】先化简各式，即可解答．
【解答】解：A、|﹣5|＝5＞0，故A不符合题意；
B、30＝1＞0，故B不符合题意；
1
C、（ ）﹣1＝4＞0，故C不符合题意；
4
D、（﹣2）5＝﹣32＜0，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了负整数指数幂，正数和负数，绝对值，有理数的乘方，零指数幂，准确熟练地进行
计算是解题的关键．
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m2−1 1
3．化简 ⋅ 的结果为（ ）
m m+1
m m−1 m−1 m+1
A． B． C． D．
m+1 m+1 m m
【考点】分式的乘除法．
【专题】分式；运算能力．
【答案】C
【分析】先进行因式分解，再运用分式的基本性质进行约分、化简．
m2−1 1
【解答】解： ⋅
m m+1
(m+1)(m−1) 1
= ⋅
m m+1
m−1
= ，
m
故选：C．
【点评】此题考查了对分式进行约分化简的能力，关键是能准确理解并运用因式分解和分式基本性质进
行求解．
4 a2
4．如果a2﹣2a﹣1＝0，那么代数式( −a)⋅ 的值是（ ）
a a+2
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
【考点】分式的化简求值．
【专题】分式；运算能力．
【答案】B
【分析】先化简所求的式子，再根据a2﹣2a﹣1＝0，可以得到2a﹣a2＝﹣1，然后代入化简后的式子即可．
4 a2
【解答】解：( −a)⋅
a a+2
4−a2 a2
= •
a a+2
(2+a)(2−a) a2
= •
a a+2
＝a（2﹣a）
＝2a﹣a2，
∵a2﹣2a﹣1＝0，
∴2a﹣a2＝﹣1，
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∴原式＝﹣1，
故选：B．
【点评】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
□ x
5．若 ÷ 运算的结果为整式，则“□”中的式子可能是（ ）
x+ y y2−x2
1
A．y﹣x B．y+x C．2x D．
x
【考点】分式的乘除法；整式．
【专题】分式；运算能力．
【答案】C
【分析】根据分式的除法的法则进行整理，再由运算的结果为整式进行分析即可求解．
□ x 口 −(x−y)(x+ y)
【解答】解： ÷ = ⋅ ，
x+ y y2−x2 x+ y x
∵运算的结果为整式，
∴“□”中的式子可能是含x的单项式，
故选：C．
【点评】本题主要考查分式的除法，解答的关键是明确运算结果为整式，得到“□”中的式子可能是含x
的单项式．
6．下列数中，绝对值等于2的数是（ ）
1
A．﹣2﹣1 B．(± ) −2 C．|±2| D．（﹣2）﹣1
2
【考点】负整数指数幂；绝对值．
【专题】实数；运算能力．
【答案】C
【分析】分别利用负整数指数幂与绝对值的性质解答判断即可．
1 1
【解答】解：A、|﹣2﹣1|＝|− | = ，不合题意；
2 2
1 1
1
B、|（±
2
）﹣2|＝|
(±
1
)
2|＝|1|＝4，不合题意；
2 4
C、|±2|＝2，符合题意；
1 1
D、|（﹣2）﹣1|＝| | = ，不合题意；
−2 2
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故选：C．
【点评】此题考查的是负整数指数幂、绝对值，掌握其运算法则是解决此题的关键．
7．下列运算正确的是（ ）
a8
A．a﹣2b2•（a2b﹣2）﹣3=
b8
B．（﹣a）3m÷am＝（﹣1）ma2m
C．﹣3x2n﹣6xn＝﹣3xn（x2+2）
a2+1 2a
D． −（a+1）=
a−1 a−1
【考点】分式的混合运算；负整数指数幂；幂的乘方与积的乘方；单项式乘单项式；单项式乘多项式；
因式分解﹣提公因式法．
【专题】整式；分式；运算能力．
【答案】B
【分析】利用单项式乘单项式的法则，分式的乘法与除法的法则，因式分解的方法，幂的乘方与积的乘
方的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、a﹣2b2•（a2b﹣2）﹣3
＝a﹣2b2•（a﹣6b6）
＝a﹣8b8
b8
= ，故A不符合题意；
a8
B、（﹣a）3m÷am＝（﹣1）ma2m，故B符合题意；
C、﹣3x2n﹣6xn＝﹣3xn（xn+2），故C不符合题意；
a2+1
D、 −(a+1)
a−1
a2+1 a2−1
= −
a−1 a−1
2
= ，故D不符合题意；
a−1
故选：B．
【点评】本题主要考查分式的混合运算，单项式乘单项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
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x2+2x+1 x
8．关于式子 ÷ ，下列说法正确的是（ ）
x2−1 x−1
A．当x＝1时，其值为2
B．当x＝﹣1时，其值为0
C．当﹣1＜x＜0时，其值为正数
D．当x＜﹣1时，其值为正数
【考点】分式的乘除法．
【专题】分式；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据分式的乘除法的法则对分式进行化简，再根据分式的性质对各项进行分析即可．
x2+2x+1 x
【解答】解： ÷
x2−1 x−1
(x+1) 2 x−1
= ⋅
(x−1)(x+1) x
x+1
= ，
x
∵x2﹣1≠0，则x≠1或x≠﹣1，
x≠0，
∴A、x≠1，故A说法错误，不符合题意；
B、x≠﹣1，故B说法错误，不符合题意；
x+1
C、当﹣1＜x＜0时， ＜0，故C说法错误，不符合题意；
x
x+1
D、当x＜﹣1时， ＞0，故D说法正确，符合题意，
x
故选：D．
【点评】本题主要考查分式的乘除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．
x a2−1
9．计算 ⋅ 的结果正确的是（ ）
a+1 2x
a−1 a+1 a−1 a+1
A． B． C． D．
2 2 2x 2a+2
【考点】分式的乘除法．
【专题】分式；运算能力．
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【答案】A
【分析】根据分式的乘法法则解决此题．
x a2−1
【解答】解： ⋅
a+1 2x
x (a+1)(a−1)
= ⋅
a+1 2x
a−1
= ．
2
故选：A．
【点评】本题主要考查分式的基本性质、分式的乘法，熟练掌握分式的基本性质、分式的乘法法则是解
决本题的关键．
10．在复习分式的化简运算时，老师把甲、乙两位同学的解答过程分别展示如下．则（ ）
a−1 a 乙：
甲：( +1)÷
a+1 a+1
a−1 a
( +1)÷
a−1+1 a a+1 a+1
= ÷ ⋯⋯①
a+1 a+1 a−1 a+1 a+1
= × + ⋯⋯①
a a a+1 a a
= ÷ ⋯⋯②
a+1 a+1 a−1 a+1
= + ⋯⋯②
a a+1 a a
= ⋅ ⋯⋯③
a+1 a 2a
= ⋯⋯③
＝1……④ 2a
＝1……④
A．甲、乙都错 B．甲、乙都对 C．甲对，乙错 D．甲错，乙对
【考点】分式的混合运算．
【专题】分式；运算能力．
【答案】A
【分析】根据分式的运算法则，分析甲、乙两位同学的解答过程即可判断．
【解答】解：甲同学的计算错误，
错误原因：第一步计算中，没有通分；
乙同学计算错误，
错误原因：第三步计算中，同分母分式相加，分母应保持不变；
正确的解答如下：
a−1 a
( +1)÷
a+1 a+1
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a−1 a+1 a+1
=( + )⋅
a+1 a+1 a
2a a+1
= ⋅
a+1 a
＝2，
∴甲、乙都错，
故选：A．
【点评】本题主要考查分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算法则是解题关键．
二．填空题（共5小题）
x
11．若代数式 有意义，则实数x的取值范围是 x ≠ 2 ．
x−2
【考点】分式有意义的条件．
【专题】分式．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用分式的定义进而分析得出答案．
x
【解答】解：∵代数式 有意义，
x−2
∴实数x的取值范围是：x≠2．
故答案为：x≠2．
【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键．
|x|−1
12．若分式 的值为零，则x的值为 ﹣ 1 ．
x−1
【考点】分式的值为零的条件．
【答案】见试题解答内容
【分析】分式的值为0时：分子等于0，且分母不等于0．
【解答】解：根据题意，得
|x|﹣1＝0，且x﹣1≠0，
解得x＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；
（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
x2−4
13．当x＝ 2 时，分式 的值为零．
x+2
【考点】分式的值为零的条件．
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【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】要使分式的值为0，必须分式分子的值为0并且分母的值不为0．
【解答】解：由分子x2﹣4＝0 x＝±2；
由分母x+2≠0 x≠﹣2； ⇒
所以x＝2． ⇒
故答案为：2．
【点评】要注意分母的值一定不能为0，分母的值是0时分式没有意义．
4
14．请写出一个关于x的分式，无论x取何值该分式都有意义且当x＝1时分式的值为2： （答案
x2+1
不唯一） ．
【考点】分式的值；分式的定义；分式有意义的条件．
【专题】计算题；运算能力．
4
【答案】 （答案不唯一）．
x2+1
【分析】结合分式的定义和分式有意义的条件，再根据题意列举出符合题意的分式即可．
【解答】解：∵x2≥0，
∴x2+1＞0，即无论x取何值该分式都有意义，
∵当x＝1时，分式的值为2，
4
∴可以列出符合题意得关于x的分式为： （答案不唯一），
x2+1
4
故答案为： （答案不唯一）．
x2+1
【点评】本题考查的是分式的值，分式的定义和分式有意义的条件，熟练掌握上述知识点是解题的关键．
a−2 2
15．计算： + = 1 ．
a a
【考点】分式的加减法．
【专题】分式；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用同分母分式相加减的运算法则计算即可．
a−2 2
【解答】解： +
a a
a−2+2
=
a
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a
=
a
＝1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了分式的加法运算，熟练掌握其运算法则是解决此题的关键．
三．解答题（共5小题）
2 x2−1 { −2x＜4
16．先化简，再求值：先化简(1+ )÷ ，再从不等式组 的整数解中选一个合
x−3 x2−6x+9 3x＜2x+4
适的x的值代入求值．
【考点】分式的化简求值；一元一次不等式组的整数解．
【专题】分式；运算能力．
x−3 1
【答案】 ，当x＝0时，原式＝﹣3；当x＝2时，原式=− ．
x+1 3
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出不等式组的解集，在其取值范围内找出符
合条件的x的值代入进行计算即可．
x−3+2 (x−3) 2
【解答】解：原式= •
x−3 (x+1)(x−1)
x−1 (x−3) 2
= •
x−3 (x+1)(x−1)
x−3
= ，
x+1
{ −2x＜4①
解不等式组 得，﹣2＜x＜4，
3x＜2x+4②
∴其整数解为﹣1，0，1，2，3，
∵要使原分式有意义，
∴x可取0，2．
∴当x＝0时，原式＝﹣3；
1
当x＝2时，原式=− ．
3
【点评】本题考查的是分式的化简求值，一元一次不等式组的整数解，熟知分式混合运算的法则是解题
的关键．
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{4(x+2)＜3x+7
1 1 x−2
17．先化简，再求值：( + )÷ ，其中x是不等式组 x x+1 的整数解．
x2−9 x+3 2x+6 +2≥−
2 5
【考点】分式的化简求值；一元一次不等式组的整数解．
【专题】分式；运算能力．
2 2
【答案】 ，原式=− ．
x−3 5
【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简后的式子进行计
算，即可解答．
1 1 x−2
【解答】解：( + )÷
x2−9 x+3 2x+6
1+x−3 2(x+3)
= •
(x+3)(x−3) x−2
x−2 2(x+3)
= •
(x+3)(x−3) x−2
2
= ，
x−3
{4(x+2)＜3x+7
∵ x x+1 ，
+2≥−
2 5
22
∴− ≤x＜﹣1，
7
∴该不等式组的整数解为：﹣3，﹣2，
∵x2﹣9≠0，x﹣2≠0，
∴x≠±3，x≠2，
2 2
∴当x＝﹣2时，原式= =− ．
−2−3 5
【点评】本题考查了分式的化简求值，一元一次不等式组的整数解，准确熟练地进行计算是解题的关键．
1 m2−6m+9
18．先化简，再求值：(1− )÷ ，然后从1，2，3中选一个合适的数代入求值．
m−2 m−2
【考点】分式的化简求值．
【专题】分式；运算能力．
1 1
【答案】 ，− ．
m−3 2
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【分析】根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定x的值，代入计算即可．
m−2 1 m−2
【解答】解：原式＝（ − ）•
m−2 m−2 (m−3) 2
m−3 m−2
= •
m−2 (m−3) 2
1
= ，
m−3
由题意得：m﹣2≠0，m﹣3≠0，
∴m≠2，m≠3，
1 1
当m＝1时，原式= =− ．
1−3 2
【点评】本题考查的是分式的化简求值、分式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
m2 3
19．先化简，再求值： ÷(1+ )，其中m=√3−3．
m2−9 m−3
【考点】分式的化简求值．
【专题】分式；运算能力．
m
【答案】 ，1−√3．
m+3
【分析】先将括号内的式子通分，然后计算括号外的除法即可将题目中的式子化简，然后将 m的值代入
化简后的式子计算即可．
m2 m
【解答】解：原式= ÷
m2−9 m−3
m2 m−3
= ×
m2−9 m
m
= ，
m+3
√3−3
当m=√3−3时，原式= =1−√3．
√3
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式混合运算的运算法则．
x−2 5
20．先化简，再求代数式 ÷( −3+x)的值，其中x＝8cos30°﹣2tan45°．
x+3 x+3
【考点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值．
【专题】分式；运算能力．
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1 √3
【答案】 ， ．
x+2 12
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
x−2 5
【解答】解： ÷( −3+x)
x+3 x+3
x−2 5 (3−x)(x+3)
= ÷[ − ]
x+3 x+3 x+3
x−2 5−9+x2
= ÷
x+3 x+3
x−2 x+3
= ⋅
x+3 (x+2)(x−2)
1
= ，
x+2
√3 1 √3
当x＝8cos30°﹣2tan45°＝8× −2×1＝4√3−2时，原式= = ．
2 4√3−2+2 12
【点评】本题考查分式的化简求值、特殊角的三角函数值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
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考点卡片
1．正数和负数
1、在以前学过的 0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”
“﹣”号叫做它的符号．
2、0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数．
3、用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，
一是它们的意义相反，二是它们都是数量．
2．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
3．有理数的乘方
（1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．
乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的
结果时，也可以读作a的n次幂．）
（2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正
整数次幂都是0．
（3）方法指引：
①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值；
②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加
减．
4．整式
（1）概念：单项式和多项式统称为整式．
他们都有次数，但是多项式没有系数，多项式的每一项是一个单项式，含有字母的项都有系数．
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（2）规律方法总结：
①对整式概念的认识，凡分母中含有字母的代数式都不属于整式，在整式范围内用“+”或“﹣”将单项
式连起来的就是多项式，不含“+”或“﹣”的整式绝对不是多项式，而单项式注重一个“积”字．
②对于“数”或“形”的排列规律问题，用先从开始的几个简单特例入手，对比、分析其中保持不变的
部分及发展变化的部分，以及变化的规律，尤其变化时与序数几的关系，归纳出一般性的结论．
5．幂的乘方与积的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n＝amn（m，n是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，
这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n＝anbn（n是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，
计算出最后的结果．
6．单项式乘单项式
运算性质：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字
母，则连同它的指数作为积的一个因式．
注意：①在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；②注意按顺序运算；③不要
丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；④此性质对于多个单项式相乘仍然成立．
7．单项式乘多项式
（1）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把
所得的积相加．
（2）单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题：
①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能
漏乘；③注意确定积的符号．
8．因式分解-提公因式法
1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因
式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
2、具体方法：
（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而
且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．
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（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数．
提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号．
3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．
4、提公因式法基本步骤：
（1）找出公因式；
（2）提公因式并确定另一个因式：
①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；
②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即
是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；
③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同．
9．分式的定义
A
（1）分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 叫做分式．
B
（2）因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0．
（3）分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括
号的作用．
A
（4）分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是 的形式，从
B
本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简．
1 A
（5）分式是一种表达形式，如x+ +2是分式，如果形式都不是 的形式，那就不能算是分式了，如：
x B
（x+1）÷（x+2），它只表示一种除法运算，而不能称之为分式，但如果用负指数次幂表示的某些代数式
1
如（a+b）﹣2，y﹣1，则为分式，因为y﹣1= 仅是一种数学上的规定，而非一种运算形式．
y
10．分式有意义的条件
（1）分式有意义的条件是分母不等于零．
（2）分式无意义的条件是分母等于零．
（3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号．
（4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号．
11．分式的值为零的条件
分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
注意：“分母不为零”这个条件不能少．
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12．分式的值
分式求值历来是各级考试中出现频率较高的题型，而条件分式求值是较难的一种题型，在解答时应从已
知条件和所求问题的特点出发，通过适当的变形、转化，才能发现解题的捷径．
13．分式的乘除法
（1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母．
（2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．
（3）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方．
（4）分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，
即“先乘方，再乘除”．
（5）规律方法总结：
①分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再
约分．
②整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式．
③做分式乘除混合运算时，要注意运算顺序，乘除法是同级运算，要严格按照由左到右的顺序进行运算，
切不可打乱这个运算顺序．
14．分式的加减法
（1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．
（2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异
分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．
说明：
①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要
把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘．
②通分是和约分是相反的一种变换．约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；
通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的
形式．约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分式来说的．
15．分式的混合运算
（1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，
有括号的先算括号里面的．
（2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
（3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活
运算．
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【规律方法】分式的混合运算顺序及注意问题
1．注意运算顺序：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
2．注意化简结果：运算的结果要化成最简分式或整式．分子、分母中有公因式的要进行约分化为最简分
式或整式．
3．注意运算律的应用：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法
的运算律运算，会简化运算过程．
16．分式的化简求值
先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结
果要化成最简分式或整式．
【规律方法】分式化简求值时需注意的问题
1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，
代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”．
2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．
当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．
17．零指数幂
零指数幂：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
18．负整数指数幂
1
负整数指数幂：a﹣p=
（a≠0，p为正整数）
ap
注意：①a≠0；
②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）
的错误．
③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．
19．一元一次不等式组的整数解
（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．
解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下
一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
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（2）已知解集（整数解）求字母的取值．
一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对
结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．
20．特殊角的三角函数值
（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．
1 √3 √3
sin30°= ； cos30°= ；tan30°= ；
2 2 3
√2 √2
sin45°= ；cos45°= ；tan45°＝1；
2 2
√3 1
sin60°= ；cos60°= ； tan60°=√3；
2 2
（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正
切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角
三角形中应用较多．
21
