文档内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
2025年中考数学一轮复习
第8讲 一元一次方程
一．选择题（共10小题）
1．今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？（选自《孙子算经》）现假设有 x辆
车，则有方程（ ）
A．3（x﹣2）＝2x+9 B．3x﹣2＝2x+9
C．3x﹣2＝2（x+9） D．3（x﹣2）＝2（x+9）
2．智能手机是现代人必备的通信工具，手机软件种类繁多，实验课上为了测试手机应用不同软件的耗电
量，进行了如下实验，当用一款智能手机刷短视频 90分钟和微信聊天30分钟消耗了电量的30%，经
1
试验发现，将刷短视频时间缩短 ，微信聊天时间变成3倍后消耗电量和之前一样，已知微信聊天10
3
分钟耗电量约70毫安，则下列说法不正确的是（ ）
A．该手机电池容量4900毫安
1
B．设刷短视频10分钟耗电x毫安，可列方程：9x+3×70=9(1− )x+3×3×70
3
C．刷短视频10分钟耗电量约为160毫安
D．相同时间内刷短视频的耗电量是微信聊天的2倍
3．关于x的代数式ax+b，当x分别取值﹣1，0，1，2时，对应的代数式的值如下表：
x ﹣1 0 1 2
ax+b 3 1 ﹣1 ﹣3
若ax+b＝5，则x的值是（ ）
A．﹣2 B．3 C．﹣4 D．5
4．定义aⓧb＝2a+b，则方程3ⓧx＝4ⓧ2的解为（ ）
A．x＝4 B．x＝﹣4 C．x＝2 D．x＝﹣2
5．《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期．如图，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，
水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺刻度计算时间．
已知在箭尺有一定读数的情况下，供水2小时，箭尺读数为18cm；供水6小时，箭尺读数为42cm．若
设箭尺每小时上升x cm，则可列方程（ ）
1关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A．18﹣2x＝42﹣6x B．2x+6x＝42+18
2 6
C．18− =42− D．2x+18＝6x+42
x x
6．若方程3x+1＝4和方程2x+a＝0的解相同，则a＝（ ）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
7．如图，量得一个纸杯的高为11cm，6个叠放在一起的纸杯高度为13.5cm，则10个纸杯叠放在一起的
高度是（ ）
A．15cm B．15.5cm C．16cm D．16.5cm
8．能运用等式的性质说明如图事实的是（ ）
A．如果a+c＝b+c，那么a＝b（a，b，c均不为0）
B．如果a＝b，那么a+c＝b+c（a，b，c均不为0）
C．如果a﹣c＝b﹣c，那么a＝b（a，b，c均不为0）
D．如果a＝b，那么ac＝bc（a，b，c均不为0）
2 1
9．设a，b，c为互不相等的实数，且 a+ c＝b，则下列结论正确的是（ ）
3 3
A．a＞b＞c B．c＞b＞a
C．a﹣b＝2（b﹣c） D．a﹣c＝3（a﹣b）
10．《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽．
2关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
问：城中家几何？大意为：今有 100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每 3家共取一头，
恰好取完．问：城中有多少户人家？（ ）
A．55 B．65 C．75 D．85
二．填空题（共5小题）
11．用“△”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a△b＝a2b+a﹣b，如：1△3＝12×3+1﹣3＝
1，若2△x＝x+6（其中x为有理数），则x的值为 ．
12．《九章算术》中记载了一道数学问题，“今有人共买羊，人出五，不足四十五；人出七，缺 3钱．
问有几人．”其译文为：有人合伙买羊，每人出5钱，还缺45钱；每人出7钱，还缺3钱．则合伙人
数是 ．
13．在数学文化节游园活动中，“智取九宫格”活动规则是：在九宫格的每一个方格中填入一个数，使
每一横行、每一竖列以及每条对角线上的 3个数之和都相等．小明抽取到的题目如图所示，则 a＝
.
14．运动心率（次/分）是指人体在运动时保持的心率状态，保持最佳运动心率对于运动效果和运动安全
都很重要，对于一般人来说，最佳运动心率控制区域计算法如下：（220﹣年龄）×0.8＝最大运动心率，
（220﹣年龄）×0.6＝最小运动心率．健身教练给一位正常成年男性制定的运动方案中，最大运动心率
与最小运动心率之差为33次/分，则这位男性的年龄是 岁．
15．小亮在实验室做实验时，没有找到天平称取实验所需药品的质量，于是利用杠杆原理制作天平称取
药品的质量（杠杆原理：动力×动力臂＝阻力×阻力臂）．如图1，当天平左盘放置质量为60克的物品
时，右盘中放置20克砝码天平平衡；如图2，将待称的药品放在右盘后，左盘放置15克砝码，才可使
天平再次平衡，则该药品的质量是 克．
3关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
三．解答题（共5小题）
16．已知关于x的方程4x+2m＝3x+1的解比方程3x+2m＝6x+1的解大5，求这两个方程的解．
17．如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．利用图中信息解决下列
问题：
物理常识
开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等
于温水吸收的热量，可以转化为“开水的体积×开水降
低的温度＝温水的体积×温水升高的温度“．
（1）王老师拿空水杯先接了14s的温水，又接了8s的开水，刚好接满，且水杯中的水温为 t℃．
①王老师的水杯容量为 ml；
②用含t的代数式表示接入水杯的温水吸收的热量，并用列方程的方法求t的值（不计热损失）；
（2）嘉琪同学拿空水杯先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯 210ml，温度为 40°℃的水
（不计热损失），求嘉琪同学的接水时间．
18．随着科技的发展，人工智能已经席卷多个行业．某商场销售甲、乙两种不同型号的智能扫地机器人，
甲型号智能扫地机器人每台的实际售价比进价高 20%，乙型号智能扫地机器人每台的实际售价比进价
高30%，甲型号智能扫地机器人每台的进价比乙型号智能扫地机器人每台的进价高100元，甲型号智
能扫地机器人每台的实际售价比乙型号智能扫地机器人每台的实际售价高 70元．分别求甲型号智能扫
地机器人和乙型号智能扫地机器人每台的进价．
4关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
19．我国古代名著《增删算法统宗》中有一题：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，
每人八竿恰齐足．其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴的玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，
多14竿；每人8竿，恰好用完．”请用列方程的方法求出这个问题中的牧童人数．
20．某服装厂生产一种西装和领带，西装每套定价 400元，领带每条定价80元．厂方在开展促销活动期
间，向客户提供两种优惠方案：①买一套西装送一条领带；②西装和领带都按定价的90%付款．现
某客户要到该服装厂购买西装20套，领带x条（x＞20）．
（1）若该客户按方案①购买，需付款 元（用含x的代数式表示）；若该客户按方
案②购买，需付款 元（用含x的代数式表示）．
（2）若x＝30，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？
（3）x为何值时，两种优惠方案所需付款相同？
5关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
2025年中考数学一轮复习之一元一次方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？（选自《孙子算经》）现假设有 x辆
车，则有方程（ ）
A．3（x﹣2）＝2x+9 B．3x﹣2＝2x+9
C．3x﹣2＝2（x+9） D．3（x﹣2）＝2（x+9）
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】A
【分析】设有x辆车，根据每三人共乘一辆车，则剩余两辆车是空的，可知共有3（x﹣2）人，根据每
两人共乘一辆车，则剩余九个人无车可乘，可知共有（2x+9）人，据此列出方程即可．
【解答】解：由题意得，
3（x﹣2）＝2x+9，
故选：A．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，
2．智能手机是现代人必备的通信工具，手机软件种类繁多，实验课上为了测试手机应用不同软件的耗电
量，进行了如下实验，当用一款智能手机刷短视频 90分钟和微信聊天30分钟消耗了电量的30%，经
1
试验发现，将刷短视频时间缩短 ，微信聊天时间变成3倍后消耗电量和之前一样，已知微信聊天10
3
分钟耗电量约70毫安，则下列说法不正确的是（ ）
A．该手机电池容量4900毫安
1
B．设刷短视频10分钟耗电x毫安，可列方程：9x+3×70=9(1− )x+3×3×70
3
C．刷短视频10分钟耗电量约为160毫安
D．相同时间内刷短视频的耗电量是微信聊天的2倍
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】D．由“刷短视频90分钟和微信聊天30分钟消耗了电量的30%，经试验发现，将刷短视频时
6关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
1
间缩短 ，微信聊天时间变成3倍后消耗电量和之前一样”，可得出刷短视频30分钟消耗的电量＝微
3
信聊天60分钟消耗的电量，进而可得出相同时间内刷短视频的耗电量是微信聊天的2倍；
C．由微信聊天10分钟耗电量约70毫安，可得出刷短视频10分钟耗电量约为140毫安；
B．设刷短视频10分钟耗电x毫安，根据“刷短视频90分钟和微信聊天30分钟消耗了电量的30%，
1
经试验发现，将刷短视频时间缩短 ，微信聊天时间变成3倍后消耗电量和之前一样”，可列出关于x
3
的一元一次方程；
A．利用该手机电池容量＝刷短视频90分钟和微信聊天30分钟消耗了电量÷30%，即可求出该手机电
池容量为4900毫安．
【解答】解：D．∵刷短视频90分钟和微信聊天30分钟消耗了电量的30%，经试验发现，将刷短视频
1
时间缩短 ，微信聊天时间变成3倍后消耗电量和之前一样，
3
1
∴刷短视频90× =30（分钟）消耗的电量＝微信聊天30×（3﹣1）＝60（分钟）消耗的电量，
3
∴相同时间内刷短视频的耗电量是微信聊天的2倍，选项D不符合题意；
C．∵微信聊天10分钟耗电量约70毫安，
∴刷短视频10分钟耗电量约为70×2＝140（毫安），选项C符合题意；
B．设刷短视频10分钟耗电x毫安，
1
根据题意得：9x+3×70＝9（1− ）x+3×3×70，选项B不符合题意；
3
A．∵刷短视频90分钟和微信聊天30分钟消耗了电量的30%，
∴该手机电池容量为（140×9+70×3）÷30%＝4900（毫安），选项A不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．
3．关于x的代数式ax+b，当x分别取值﹣1，0，1，2时，对应的代数式的值如下表：
x ﹣1 0 1 2
ax+b 3 1 ﹣1 ﹣3
若ax+b＝5，则x的值是（ ）
A．﹣2 B．3 C．﹣4 D．5
【考点】解一元一次方程；代数式求值．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
7关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】A
【分析】在表格任意选取两组数据代入ax+b中，即可确定a、b的值，进而求解．
【解答】解：当x＝0时，ax+b＝1，
∴b＝1，
当x＝1时，ax+b＝﹣1，
∴a+1＝﹣1，
∴a＝﹣2，
∴﹣2x+1＝5，
﹣2x＝4，
x＝﹣2．
故选：A．
【点评】本题考查代数式求值以及解一元一次方程，掌握代数式求值的方法是解题的关键．
4．定义aⓧb＝2a+b，则方程3ⓧx＝4ⓧ2的解为（ ）
A．x＝4 B．x＝﹣4 C．x＝2 D．x＝﹣2
【考点】解一元一次方程；有理数的混合运算．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】利用题中的新定义化简已知等式，求出解即可得到x的值．
【解答】解：根据题中的新定义得：
∵3ⓧx＝2×3+x，
4ⓧ2＝2×4+2，
∵3ⓧx＝4ⓧ2，
∴2×3+x＝2×4+2，
解得：x＝4．
故选：A．
【点评】本题考查了解一元一次方程，弄清题中的新定义是解题的关键．
5．《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期．如图，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，
水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺刻度计算时间．
已知在箭尺有一定读数的情况下，供水2小时，箭尺读数为18cm；供水6小时，箭尺读数为42cm．若
设箭尺每小时上升x cm，则可列方程（ ）
8关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A．18﹣2x＝42﹣6x B．2x+6x＝42+18
2 6
C．18− =42− D．2x+18＝6x+42
x x
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程；数学常识．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】A
【分析】根据供水2小时，箭尺读数为18cm；供水6小时，箭尺读数为42cm．箭尺每小时上升x
cm，即可列出方程．
【解答】解：根据题意得18﹣2x＝42﹣6x．
故选：A．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，读懂题意，正确找出等量关系是解决问题的关键．
6．若方程3x+1＝4和方程2x+a＝0的解相同，则a＝（ ）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
【考点】同解方程．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】先求出3x+1＝4的解，再代入到2x+a＝0得到关于a的一元一次方程，即可求解．
【解答】解：解3x+1＝4得x＝1，
将x＝1代入2x+a＝0，
得2+a＝0，
解得a＝﹣2．
故选：D．
【点评】本题考查了解一元一次方程与一元一次方程的解，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
7．如图，量得一个纸杯的高为11cm，6个叠放在一起的纸杯高度为13.5cm，则10个纸杯叠放在一起的
高度是（ ）
9关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A．15cm B．15.5cm C．16cm D．16.5cm
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】B
【分析】设每增加一个纸杯，高度增加x cm，根据6个叠放在一起的纸杯高度为13.5cm，列一元一次
方程，求出x的值，进一步可得10个纸杯叠放在一起的高度．
【解答】解：设每增加一个纸杯，高度增加x cm，
根据题意，得11+5x＝13.5，
解得x＝0.5，
∴10个纸杯叠放在一起的高度为11+9×0.5＝15.5（cm），
故选：B．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．
8．能运用等式的性质说明如图事实的是（ ）
A．如果a+c＝b+c，那么a＝b（a，b，c均不为0）
B．如果a＝b，那么a+c＝b+c（a，b，c均不为0）
C．如果a﹣c＝b﹣c，那么a＝b（a，b，c均不为0）
D．如果a＝b，那么ac＝bc（a，b，c均不为0）
【考点】等式的性质．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】根据等式的性质解答即可．
【解答】解：观察图形，是等式a+c＝b+c的两边都减去c（a，b，c均不为0），利用等式性质1，得
到a＝b，
10关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
即如果a+c＝b+c，那么a＝b（a，b，c均不为0）．
故选：A．
【点评】本题考查了等式的性质，掌握等式两边加或减去同一个数（或式子）结果仍得等式；等式两
边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式是解题的关键．
2 1
9．设a，b，c为互不相等的实数，且 a+ c＝b，则下列结论正确的是（ ）
3 3
A．a＞b＞c B．c＞b＞a
C．a﹣b＝2（b﹣c） D．a﹣c＝3（a﹣b）
【考点】等式的性质．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】利用等式的性质，把已知的等式进行变形，即可解答．
2 1
【解答】解：∵ a+ c＝b，
3 3
∴2a+c＝3b，
在等式两边同时减去3a，可得：
2a+c﹣3a＝3b﹣3a，
∴c﹣a＝3（b﹣a），
在等式两边同时乘﹣1，可得：
a﹣c＝3（a﹣b），
故选：D．
【点评】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键．
10．《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽．
问：城中家几何？大意为：今有 100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每 3家共取一头，
恰好取完．问：城中有多少户人家？（ ）
A．55 B．65 C．75 D．85
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】C
【分析】设城中有x户人家，根据“今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每 3家
共取一头，恰好取完”，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设城中有x户人家，
11关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
1
依题意，得：x+ x＝100，
3
解得：x＝75．
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．用“△”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a△b＝a2b+a﹣b，如：1△3＝12×3+1﹣3＝
1，若2△x＝x+6（其中x为有理数），则x的值为 2 ．
【考点】解一元一次方程；有理数的混合运算．
【专题】新定义；一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】2．
【分析】先根据已知条件中的新定义，列出关于x的一元一次方程，解方程求出x即可．
【解答】解：∵a△b＝a2b+a﹣b，
∴2△x＝x+6，
22x+2﹣x＝x+6，
4x﹣x﹣x＝6﹣2，
2x＝4，
x＝2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了解一元一次方程和新定义，解题关键是熟练掌握解一元一次方程的一般步骤．
12．《九章算术》中记载了一道数学问题，“今有人共买羊，人出五，不足四十五；人出七，缺 3钱．
问有几人．”其译文为：有人合伙买羊，每人出5钱，还缺45钱；每人出7钱，还缺3钱．则合伙人
数是 2 1 ．
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】21．
【分析】先设合伙的有x人，然后根据有人合伙买羊，每人出5钱，还缺45钱；每人出7钱，还缺3
钱，可以列出方程5x+45＝7x+3，再求解即可．
【解答】解：设合伙的有x人，
由题意可得：5x+45＝7x+3，
解得x＝21，
故答案为：21．
12关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
13．在数学文化节游园活动中，“智取九宫格”活动规则是：在九宫格的每一个方格中填入一个数，使
每一横行、每一竖列以及每条对角线上的3个数之和都相等．小明抽取到的题目如图所示，则a＝ 6
.
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】6．
【分析】设第二行第一个数为x，根据每一横行、每一竖列以及每条对角线上的3个数之和都相等，可
列出关于a的一元一次方程（x可以消去），解之即可得出a的值．
【解答】解：设第二行第一个数为x，
根据题意得：5+x+4＝x+a+3，
即5+4＝a+3，
解得：a＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
14．运动心率（次/分）是指人体在运动时保持的心率状态，保持最佳运动心率对于运动效果和运动安全
都很重要，对于一般人来说，最佳运动心率控制区域计算法如下：（220﹣年龄）×0.8＝最大运动心率，
（220﹣年龄）×0.6＝最小运动心率．健身教练给一位正常成年男性制定的运动方案中，最大运动心率
与最小运动心率之差为33次/分，则这位男性的年龄是 5 5 岁．
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】55．
【分析】先设这位男性的年龄是x岁，然后根据题意和题目中的数据，可以列出方程（220﹣x）×0.8﹣
（220﹣x）×0.6＝33，再求解即可．
【解答】解：设这位男性的年龄是x岁，
13关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
由题意可得：（220﹣x）×0.8﹣（220﹣x）×0.6＝33，
解得x＝55，
答：这位男性的年龄是55岁，
故答案为：55．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
15．小亮在实验室做实验时，没有找到天平称取实验所需药品的质量，于是利用杠杆原理制作天平称取
药品的质量（杠杆原理：动力×动力臂＝阻力×阻力臂）．如图1，当天平左盘放置质量为60克的物品
时，右盘中放置20克砝码天平平衡；如图2，将待称的药品放在右盘后，左盘放置15克砝码，才可使
天平再次平衡，则该药品的质量是 5 克．
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】5．
动力 阻力臂
【分析】设该药品质量为x克，根据“动力×动力臂＝阻力×阻力臂”得“ = ”，根据题
阻力 动力臂
20 x
意列出方程 = ，即可求解．
60 15
【解答】解：设该药品质量为x克，
20 x
由题意可得： = ，
60 15
解得x＝5．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查一元一次的应用，理解题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
16．已知关于x的方程4x+2m＝3x+1的解比方程3x+2m＝6x+1的解大5，求这两个方程的解．
【考点】一元一次方程的解．
14关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先由方程4x+2m＝3x+1，用m表示x，然后由第二个方程，再用m表示x，此时两个x的值
相差5，可得方程求出m的值，进而即可求得方程的解．
【解答】解：由题意得：4x+2m＝3x+1，
解得：x＝﹣2m+1．
由3x+2m＝6x+1，
1
解得：x= （2m﹣1），
3
∵关于x的方程4x+2m＝3x+1的解比方程3x+2m＝6x+1的解大5，
1
∴（﹣2m+1）− （2m﹣1）＝5，
3
11
解得 m=− ，
8
15
∴﹣2m+1= ，
4
1 5
（2m﹣1）=− ，
3 4
15 5
∴这两个方程的解为 和− ．
4 4
【点评】本题考查了一元一次方程的解的定义．理解方程的解的定义，就是能够使方程左右两边相等
的未知数的值．
17．如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．利用图中信息解决下列
问题：
物理常识
开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等
于温水吸收的热量，可以转化为“开水的体积×开水降
低的温度＝温水的体积×温水升高的温度“．
（1）王老师拿空水杯先接了14s的温水，又接了8s的开水，刚好接满，且水杯中的水温为 t℃．
①王老师的水杯容量为 40 0 ml；
②用含t的代数式表示接入水杯的温水吸收的热量，并用列方程的方法求t的值（不计热损失）；
（2）嘉琪同学拿空水杯先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯 210ml，温度为 40°℃的水
（不计热损失），求嘉琪同学的接水时间．
15关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【考点】一元一次方程的应用；二元一次方程组的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】（1）①400；②温水吸收的热量为280t﹣8400，t的值为51°C；
（2）嘉琪同学的接水时间为11s．
【分析】（1）①由14×20+8×15＝280+120＝400（ml），知王老师的水杯容量为400ml；
②接入水杯的温水吸收的热量为：14×20×（t﹣30）＝280t﹣8400；由题意：280t﹣8400＝8×15×（100
﹣t），可解得t的值为51°C；
（ 2 ） 设 嘉 琪 接 温 水 的 时 间 为 x s ， 接 开 水 的 时 间 为 y s ， 根 据 题 意 得 ：
{ 20x+15 y=210
，解出x，y的值，即可得到嘉琪同学的接水时间为11s．
20x×(40−30)=15 y×(100−40)
【解答】解：（1）①∵14×20+8×15＝280+120＝400（ml），
∴王老师的水杯容量为400ml；
故答案为：400；
②接入水杯的温水吸收的热量为：14×20×（t﹣30）＝280t﹣8400；
由题意：280t﹣8400＝8×15×（100﹣t），
解得：t＝51°，
∴温水吸收的热量为280t﹣8400，t的值为51°C；
（2）设嘉琪接温水的时间为x s，接开水的时间为y s，
{ 20x+15 y=210
根据题意得： ，
20x×(40−30)=15 y×(100−40)
{x=9
解得 ，
y=2
∴x+y＝11，
∴嘉琪同学的接水时间为11s．
【点评】本题考查一元一次方程，二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和方程
组．
16关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
18．随着科技的发展，人工智能已经席卷多个行业．某商场销售甲、乙两种不同型号的智能扫地机器人，
甲型号智能扫地机器人每台的实际售价比进价高 20%，乙型号智能扫地机器人每台的实际售价比进价
高30%，甲型号智能扫地机器人每台的进价比乙型号智能扫地机器人每台的进价高100元，甲型号智
能扫地机器人每台的实际售价比乙型号智能扫地机器人每台的实际售价高 70元．分别求甲型号智能扫
地机器人和乙型号智能扫地机器人每台的进价．
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】甲型号智能扫地机器人每台的进价为600元，乙型号智能扫地机器人每台的进价为500元．
【分析】设乙型号智能扫地机器人每台的进价为 x 元，则甲型号智能扫地机器人每台的进价为
（x+100）元，根据甲型号智能扫地机器人每台的实际售价比乙型号智能扫地机器人每台的实际售价高
70元，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即乙型号智能扫地机器人每台的进价），
再将其代入（x+100）中，即可求出甲型号智能扫地机器人每台的进价．
【解答】解：设乙型号智能扫地机器人每台的进价为 x元，则甲型号智能扫地机器人每台的进价为
（x+100）元，
根据题意可得：（1+20% ）（x+100）﹣（1+30% ）x＝70，
解得：x＝500，
∴x+100＝500+100＝600．
答：甲型号智能扫地机器人每台的进价为600元，乙型号智能扫地机器人每台的进价为500元．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
19．我国古代名著《增删算法统宗》中有一题：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，
每人八竿恰齐足．其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴的玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，
多14竿；每人8竿，恰好用完．”请用列方程的方法求出这个问题中的牧童人数．
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】7人．
【分析】设这个问题中的牧童人数为x，根据“每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完”，结合竹
竿的数量不变，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设这个问题中的牧童人数为x，
17关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
根据题意得：6x+14＝8x，
解得：x＝7．
答：这个问题中的牧童人数为7．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
20．某服装厂生产一种西装和领带，西装每套定价 400元，领带每条定价80元．厂方在开展促销活动期
间，向客户提供两种优惠方案：①买一套西装送一条领带；②西装和领带都按定价的90%付款．现
某客户要到该服装厂购买西装20套，领带x条（x＞20）．
（1）若该客户按方案①购买，需付款 （ 8 0 x +6400 ） 元（用含x的代数式表示）；若该客户按方
案②购买，需付款 （ 7 2 x +720 0 ） 元（用含x的代数式表示）．
（2）若x＝30，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？
（3）x为何值时，两种优惠方案所需付款相同？
【考点】一元一次方程的应用；列代数式；代数式求值．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】（1）（80x+6400），（72x+7200）；
（2）选方案①；
（3）x＝100．
【分析】（1）设按方案①付款用y 表示，按方案②付款用y 表示，利用西装和领带的总付款数可用
1 2
x表示出y 和y ，
1 2
（2）把x＝30代入（1）中的代数式中计算对应的y 和y 的值，然后比较它们的大小可判断按哪种方
1 2
案购买较为合算．
（3）由两种优惠方案所需付款相同，列出方程可求解．
【解答】解：（1）设按方案①付款用y 表示，按方案②付款用y 表示，
1 2
y ＝400×20+（x﹣20）×80＝80x+6400，
1
y ＝400×0.9×20+80×0.9×x＝72x+7200；
2
故答案为：（80x+6400），（72x+7200）；
（2）当x＝30时，
因为y ＝80×30+6400＝8800（元），
1
y ＝72×30+7200＝9360（元），
2
所以按方案①购买较为合算．
（3）由题意可得：80x+6400＝72x+7200，
解得：x＝100，
18关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
答：当x＝100时，两种优惠方案所需付款相同．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，代数式求值，找出等量关系是本题的关键．
19关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
考点卡片
1．有理数的混合运算
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计
算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化
为分数进行约分计算．
2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积
为整数的两个数分别结合为一组求解．
3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．
4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．
2．数学常识
数学常识
此类问题要结合实际问题来解决，生活中的一些数学常识要了解．比如给出一个物体的高度要会选择它
合适的单位长度等等．
平时要注意多观察，留意身边的小知识．
3．列代数式
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词
义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．
要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量
关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这
部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略
乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，
书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代
数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．
【规律方法】列代数式应该注意的四个问题
20关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．
2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或
者省略不写．
3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
4．代数式求值
（1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值．
（2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．
题型简单总结以下三种：
①已知条件不化简，所给代数式化简；
②已知条件化简，所给代数式不化简；
③已知条件和所给代数式都要化简．
5．等式的性质
（1）等式的性质
性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；
性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
（2）利用等式的性质解方程
利用等式的性质对方程进行变形，使方程的形式向x＝a的形式转化．
应用时要注意把握两关：
①怎样变形；
②依据哪一条，变形时只有做到步步有据，才能保证是正确的．
6．一元一次方程的解
定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．
7．解一元一次方程
（1）解一元一次方程的一般步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，
灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化．
（2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括
号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号．
（3）在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使
21关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
方程逐渐转化为ax＝b的最简形式体现化归思想．将ax＝b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，
方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负．
8．同解方程
定义：如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程．
（或者说，如果第一个方程的解都是第二个方程的解，并且第二个方程的解也都是第一个方程的解，那
么这两个方程叫做同解方程．）
9．由实际问题抽象出一元一次方程
审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为 x，然后用含x
的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程．
（1）“总量＝各部分量的和”是列方程解应用题中一个基本的关系式，在这一类问题中，表示出各部分
的量和总量，然后利用它们之间的等量关系列方程．
（2）“表示同一个量的不同式子相等”是列方程解应用题中的一个基本相等关系，也是列方程的一种基
本方法．通过对同一个量从不同的角度用不同的式子表示，进而列出方程．
10．一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
利润
（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率= ×100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×
进价
人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要
求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、
求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
22关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
11．二元一次方程组的应用
（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（二）设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设
几个未知数，就要列几个方程．
23
