中考总复习：一次方程及方程组--知识讲解_中考全科复习资料_北京四中绝密资料02中考数学总复习_09总复习：一次方程及方程组

让更多的孩子得到更好的教育 中考总复习：一次方程及方程组--知识讲解 撰稿：张晓新 审稿：杜少波 【考纲要求】 1.了解等式、方程、一元一次方程的概念，会解一元一次方程； 2.了解二元一次方程组的定义，会用代入消元法、加减消元法解二元一次方程组； 3.能根据具体问题中的数量关系列出方程（组），体会方程思想和转化思想. 【知识网络】 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第1页 共8页让更多的孩子得到更好的教育 【考点梳理】 考点一、一元一次方程 1.等式性质 （1）等式的两边都加上(或减去)同一个数（或式子），结果仍是等式. （2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不为零），结果仍是等式. 2.方程的概念 （1）含有未知数的等式叫做方程. （2）使方程两边相等的未知数的值，叫做方程的解(一元方程的解也叫做根). （3）求方程的解的过程，叫做解方程. 3.一元一次方程 （1）只含有一个未知数，且未知数的次数是一次的整式方程叫做一元一次方程. （2）一元一次方程的一般形式: . （3）解一元一次方程的一般步骤： ①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化成1；⑥检验(检验步骤可以不写出来). 要点诠释： 解一元一次方程的一般步骤 步 名 称 方 法 依 据 注 意 事 项 骤 在方程两边同时乘以所有分 母的最小公倍数（即把每个含 1、不含分母的项也要乘以最小公 去分 1 分母的部分和不含分母的部分 等式性质2 倍数；2、分子是多项式的一定要先 母 都乘以所有分母的最小公倍 用括号括起来. 数） 去括 去括号法则（可先分配再去括 注意正确的去掉括号前带负数的 2 乘法分配律 号 号） 括号 把未知项移到方程的一边 3 移项 （左边），常数项移到另一边 等式性质1 移项一定要改变符号 （右边） 合并 1、整式的加减； 分别将未知项的系数相加、 单独的一个未知数的系数为 4 同类 2、有理数的加法法 常数项相加 “±1” 项 则 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第2页 共8页让更多的孩子得到更好的教育 系数 在方程两边同时除以未知数 不要颠倒了被除数和除数（未知数 5 化为 的系数（或方程两边同时乘以 等式性质2 的系数作除数——分母） “1” 未知数系数的倒数） 方法：把x=a分别代入原方程的两边，分别计算出结果. 检根 ① 若 左边＝右边，则x=a是方程的解； *6 x=a ② 若 左边≠右边，则x=a不是方程的解. 注：当题目要求时，此步骤必须表达出来. 说明： （1）上表仅说明了在解一元一次方程时经常用到的几个步骤，但并不是说，解每一个方程都必须经过 六个步骤； （2）解方程时，一定要先认真观察方程的形式，再选择步骤和方法； （3）对于形式较复杂的方程，可依据有效的数学知识将其转化或变形成我们常见的形式，再依照一般 方法解. 考点二、二元一次方程组 1. 二元一次方程组的定义 两个含有两个未知数，且未知数的次数是一次的整式方程组成的一组方程，叫做二元一次方程组. 要点诠释： 判断一个方程组是不是二元一次方程组应从方程组的整体上看，若一个方程组内含有两个未知数， 并且未知数的次数都是1次，这样的方程组都叫做二元一次方程组． 2.二元一次方程组的一般形式 要点诠释： a、a 不同时为0，b、b 不同时为0，a、b 不同时为0，a、b 不同时为0. 1 2 1 2 1 1 2 2 3. 二元一次方程组的解法 (1) 代入消元法； (2) 加减消元法. 要点诠释： （1）二元一次方程组的解有三种情况，即有唯一解、无解、无限多解．教材中主要是研究有唯一解的 情况，对于其他情况，可根据学生的接受能力给予渗透． （2）一元一次方程与一次函数、一元一次不等式之间的关系： 当二元一次方程中的一个未知数的取值确定范围时，可利用一元一次不等式组确定另一个未知数的 取值范围，由于任何二元一次方程都可以转化为一次函数的形式，所以解二元一次方程可以转化为：当y ＝0时，求x的值.从图象上看，这相当于已知纵坐标，确定横坐标的值. 考点三、一次方程（组）的应用 列方程(组)解应用题的一般步骤： 1.审:分析题意，找出已知、未知之间的数量关系和相等关系； 2.设:选择恰当的未知数(直接或间接设元)，注意单位的统一和语言完整； 3.列:根据数量和相等关系，正确列出代数式和方程(组)； 4.解:解所列的方程(组)； 5.验: (有三次检验 ①是否是所列方程(组)的解；②是否使代数式有意义；③是否满足实际意义)； 6.答:注意单位和语言完整. 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第3页 共8页让更多的孩子得到更好的教育 要点诠释： 列方程应注意：（1）方程两边表示同类量；（2）方程两边单位一定要统一；（3）方程两边的数值相等. 【典型例题】 类型一、一元一次方程及其应用 1．如果方程 是关于x的一元一次方程，则n的值为( ). A.2 B.4 C.3 D.1 【思路点拨】未知数x的指数是1即可. 【答案】B； 【解析】由题意可知2n-7=1，∴n=4. 【总结升华】根据一元一次方程的定义求解. 举一反三： 【变式1】已知关于x的方程4x-3m=2的解是x=5，则m的值为 . 【答案】由题意可知4×5-3m＝2，∴m=6. 【高清课程名称：一次方程及方程组 高清ID号：404191 关联的位置名称（播放点名称）：例4】 【变式2】若a，b为定值，关于x的一元一次方程 无论k为何值时，它的解总是1，求 a，b的值． 【答案】a=0,b=11. 2．某道路一侧原有路灯106盏，相邻两盏灯的距离为36米，现计划全部更换为新型的节能灯，且相 邻两盏灯的距离变为70米，则需更换的新型节能灯有（ ） A．54盏 B．55盏 C．56盏 D．57盏 【思路点拨】可设需更换的新型节能灯有x盏，根据等量关系：两种安装路灯方式的道路总长相等，列出方 程求解即可． 【答案】B； 【解析】设需更换的新型节能灯有x盏， 则70（x+1）=36×（106+1），70x=3782，x≈55 则需更换的新型节能灯有55盏．故选B． 【总结升华】注意根据实际问题采取进1的近似数． 举一反三： 【变式】“五一”期间，某电器按成本价提高30%后标价，再打8折（标价的80%）销售，售价为2080元．设 该电器的成本价为x元，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A．x130%80%2080 B． x30%80%2080 C． 208030%80% x D． x30%208080% 【答案】成本价提高30%后标价为 x130%，打8折后的售价为 x130%80% ． 根据题意，列方程得 x130%80%2080 ，故选A． 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第4页 共8页让更多的孩子得到更好的教育 类型二、二元一次方程组及其应用 3x2y 5 ① 3．解方程组 2x y 8 ② 【思路点拨】代入消元法或加减消元法均可. 【答案与解析】 由②，得y=2x-8 ③ 把③代入①，得3x+2(2x-8)=5 3x+4x-16=5 ∴x=3 把x=3代入③，得y=2×3-8=-2 ∴方程组的解为 x=3，y=-2. 【总结升华】解方程组要善于观察方程组的特点，灵活选用适当的方法，提高解题速度. 举一反三： ① 【变式1解方程组 ② 【答案】方程②化为 ，再用加减法解，答案： 【高清课程名称：一次方程及方程组 高清ID号： 404191 关联的位置名称（播放点名称）：例3 】 【变式2】解方程组 【答案】a=9,b=12,c=15. 4．小王购买了一套经济适用房，他准备将地面铺上地砖，地面结构如图所示．根据图中的数据（单位： m），解答下列问题： （1）写出用含x、y的代数式表示的地面总面积； 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第5页 共8页让更多的孩子得到更好的教育 （2）已知客厅面积比卫生间面积多21m2，且地面总面积是卫生间面积的15倍，铺1m2地砖的平均费 用为80元，求铺地砖的总费用为多少元？ 【思路点拨】根据题意找出等量关系式，列出方程或方程组解题. 【答案与解析】 （1）地面总面积为：（6x＋2y＋18）m2； 6x2y21, （2）由题意，得 6x2y18152y. x4, 解之，得  3 y .   2 3 ∴地面总面积为：6x＋2y＋18＝6×4＋2× ＋18＝45（m2）． 2 ∵铺1m2地砖的平均费用为80元， ∴铺地砖的总费用为：45×80＝3600（元） ． 【总结升华】注意不要丢掉题中的单位. 举一反三： 【变式】利用两块长方体木块测量一张桌子的高度．首先按图①方式放置，再交换两木块的位置，按图②方 式放置．测量的数据如图，则桌子的高度是（ ） A．73cm B．74cm C．75cm D．76cm 【答案】设桌子高度为acm，木块竖放为bcm，木块横放为ccm.则abc80 .故选C.  ,解得a=75 acb70 类型三、一次方程（组）的综合运用 5．某县为鼓励失地农民自主创业，在2012年对60位自主创业的失地农民进行奖励，共计划奖励10 万元.奖励标准是：失地农民自主创业连续经营一年以上的给予1000元奖励；自主创业且解决5人以上失 业人员稳定就业一年以上的，再给予2000元奖励.问：该县失地农民中自主创业连续经营一年以上的和 自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的农民分别有多少人？ 【思路点拨】根据失地农民自主创业连续经营一年以上的给予1000元奖励：自主创业且解决5人以上失 业人员稳定就业一年以上的，再给予2000元奖励列方程求解． 【答案与解析】 方法一： 设失地农民中自主创业连续经营一年以上的有x人， 则根据题意列出方程 1000x+(60–x)(1000+2000)=100000， 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第6页 共8页让更多的孩子得到更好的教育 解得：x=40， ∴60-x =60-40=20 答：失地农民中自主创业连续经营一年以上的有40人，自主创业且解决5人以上失业人员稳定就 业一年以上的农民有20人. 方法二： 设失地农民中自主创业连续经营一年以上的和自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以 上的农民有分别有x，y人， 根据题意列出方程组： 解得： 答：失地农民中自主创业连续经营一年以上的有40，自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业 一年以上的农民有20人. 【总结升华】本题考查理解题意的能力，关键是找到人数和钱数作为等量关系. 举一反三： 【变式】某公园的门票价格如下表所示： 购票人数 1～50人 51～100人 100人以上 票价 10元／人 8元／人 5元／人 某校七年级甲、乙两班共100多人去该公园举行联欢活动，其中甲班50多人，乙班不足50人． 如果以班为单位分别买票，两个班一共应付920元；如果两个班联合起来作为一团体购票，一共只要 付515元．问：甲、乙两班分别有多少人？ 【答案】设甲班有x人，乙班有y人，由题意得： 8x10y 920 x55 解得： ．   5(x y)515 y 48 答：甲班有55人，乙班有48人. 6．在社会实践活动中，某校甲、乙、丙三位同学一同调查了高峰时段北京的二环路、三环路、四环路 的车流量（每小时通过观测点的汽车车辆数），三位同学汇报高峰时段的车流量情况如下： 甲同学说：“二环路车流量为每小时10000辆”； 乙同学说：“四环路比三环路车流量每小时多2000辆”； 丙同学说：“三环路车流量的3倍与四环路车流量的差是二环路车流量的2倍”； 请你根据他们所提供的信息，求出高峰时段三环路、四环路的车流量各是多少？ 【思路点拨】根据甲、乙、丙三位同学提供的信息找出等量关系列出方程组求解. 【答案与解析】 设高峰时段三环路的车流量为每小时 辆，四环路的车流量为每小时 辆，根据题意得： 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第7页 共8页让更多的孩子得到更好的教育 解得 答：高峰时段三环路的车流量为每小时11000辆，四环路的车流量为每小时13000辆. 【总结升华】通过甲、乙、丙三位同学调查结果找到车流量的等量关系式是解题的关键. 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第8页 共8页