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2025年中考数学一轮复习
第9讲 二元一次方程组
一．选择题（共10小题）
{ x=1
1．若 是方程3x+ay＝5的解，则a的值是（ ）
y=−2
A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣4
{x+m=−4
2．由方程组 可得出x与y之间的关系是（ ）
y−3=m
A．x+y＝1 B．x+y＝﹣1 C．x+y＝7 D．x+y＝﹣7
{3x+4 y=19
3．二元一次方程组 的解是（ ）
x−2y=3
{x=3 {x=1 {x=7 {x=5
A． B． C． D．
y=0 y=4 y=2 y=1
{ x+my=7①
4．已知关于x，y的方程组 ，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一
mx−y=2+m②
个新的方程，当m每取一个值时，就有一个方程，这些方程有一个公共解，这个公共解为（ ）
{ x=4 { x=1 { x=5 {x=−5
A． B． C． D．
y=−1 y=−4 y=−4 y=4
5．我国古代算题：“马四匹，牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹，牛五头，共价三
十八两．问马、牛各价几何？”设马价x两，牛价y两，可列方程组为（ ）
{4x+6 y=48 {4x+3 y=48
A． B．
3x+5 y=38 6x+5 y=38
{6x+4 y=48 {4x+6 y=48
C． D．
5x+3 y=38 5x+3 y=38
6．在“双减”政策下，王老师把班级里43名学生分成若干小组，每组只能是4人或5人，则分组方案有
（ ）
A．4种 B．3种 C．2种 D．1种
7．我国古代数学名著《孙子算经》中有一问题：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车
各几何？”其大意为：现有若干人和车，若每辆车乘坐 3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9
人步行．问人与车各多少？设有x人，y辆车，则所列方程组正确的是（ ）
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x x
{ = y−2 { = y+2
3 3
A． B．
x x−9
−9= y = y
2 2
x x
{ = y+2 { = y−2
3 3
C． D．
x x−9
+9= y = y
2 2
8．我国古典数学文献《增删算法统宗•六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人
暗里参详．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当，二人闲坐恼心肠，画地算
了半响”其大意为：甲，乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊．如果乙给甲 9只羊，那么甲的羊数为乙
的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同．请问甲，乙各有多少只羊？设甲有羊x只，则下列说
法正确的是（ ）
A．列方程：x+9＝2（x﹣18+9）
{ x+9=x−18
B．列方程组为：
x+9=2(x−18+9)
{x+9=2(y−9)
C．设乙有羊y只，列方程组为：
x−9= y+9
D．甲有羊27只，乙有羊18只
9．如图所示的是2024年2月份的月历，其中“U型”、“十字型”两个阴影图形分别覆盖其中五个数字
（“U型”、“十字型”两个阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右移动），设“U型”覆盖的五个数
字之和为S ，“十字型”覆盖的五个数字之和为S ．若S +S ＝176，则S ﹣S 的最大值为（ ）
1 2 1 2 2 1
日 一 二 三 四 五 六
1 2 3
4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17
18 19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29
A．39 B．44 C．65 D．71
10．如下是明代数学家程大位所著的《算法统宗》中的一个问题，其大意为：有一群人分银子，如果每
人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两．设共有银子x两，共有y人，则所列方程（组）
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错误的是（ ）
隔壁听得客分银，
不知人数不知银，
七两分之多四两，
九两分之少半斤．
《算法统宗》注：明代时I斤＝16两，故有“半
斤八两”这个成语
x−4 x+8
A．7y+4＝9y﹣8 B． =
7 9
{7 y=x−4 {7 y=x+4
C． D．
9 y=x+8 9 y−8=x
二．填空题（共5小题）
{2x+3 y=2
11．若x，y满足方程组 ，则x+y＝ ．
3x+2y=3
{x=2 {ax+by=8 1
12．已知 是二元一次方程组 的解，则3a− b的立方根为 ．
y=1 bx−ay=1 2
13．一千官兵一千布，一官四尺无零数，四兵才得布一尺，请问官兵多少数？这首诗的意思是：一千名
官兵分一千尺布，一名军官分四尺，四名士兵分一尺，正好分完，则军官有 名，士兵有
名．
{ x+2y=k
14．已知关于x，y的方程组 ．以下结论：①当k＝0时，方程组的解也是方程x﹣2y＝
2x+3 y=3k−1
﹣4的解；②存在实数k，使得x+y＝0；③不论k取什么实数，x+3y的值始终不变；④若3x+2y＝6，则
k＝1．其中正确的序号是 ．
15．为了方便大家采购水果，各大超市开通了送货到家的便民服务．新世纪百货超市推出了适宜大多数
家庭需求的甲、乙两种水果礼盒供市民直接选购（两种礼盒均由 A、B、C三种水果混合搭配）．其中，
甲种水果礼盒每盒装有1千克A，3千克B，1千克C；乙种水果礼盒每盒装有2千克A，1千克B，2千克
C．甲、乙两种水果礼盒每盒成本价分别为盒中A，B，C三种水果的成本之和．已知B种水果每千克成
本价为4.5元，甲种水果礼盒每盒售价为39元，利润率为30%；乙种水果礼盒的利润率为20%．若这两
种水果礼盒的总销售利润率达到24%，则该超市销售的甲、乙两种水果礼盒的数量之比是 ．
三．解答题（共5小题）
{2x−y=5
16．解方程组： ．
3x+4 y=2
17．近年来教育部要求学校积极开展素质教育，落实“双减”政策，深圳市某中学把足球和篮球列为该
校的特色项目．学校准备从体育用品商店一次性购买若干个篮球和足球，若购买3个篮球和2个足球共
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490元，购买2个篮球和3个足球共460元．
（1）篮球、足球的单价各是多少元？
（2）根据学校实际需要，需一次性购买篮球和足球共100个．购买篮球的数量不少于足球数量的一半，
为使购买的总费用最小，那么应购买篮球、足球各多少个？
18．如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为 30℃，流
速为20mL/s；开水的温度为100℃，流速为15mL/s．整个接水的过程不计热量损失．
物理常识：
开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等
于温水吸收的热量，可以转化为：开水的体积×开水降
低的温度＝温水的体积×温水升高的温度．
（1）甲同学用空杯先接了6s温水，再接4s开水，接完后杯中共有水 mL；
（2）乙同学先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯280mL温度为40℃的水（不计热损失），
求乙同学分别接温水和开水的时间．
19．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校
为提高学生的阅读品味，现决定购买获得第十届茅盾文学奖的A、B两种书籍．若购买2本A种书籍和3
本B种书籍需用160元；若购买6本A种书籍与购买7本B种书籍的费用相同．求每本A种书籍和每本B
种书籍的价格各为多少元．
20．王阿姨去买水果，3千克芒果和2千克香蕉应付40元，可她把两种水果的单价弄反了，以为要付35
元．那么在单价没有弄反的情况下，购买6千克芒果和5千克香蕉应付多少元？
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2025年中考数学一轮复习之二元一次方程组
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
{ x=1
1．若 是方程3x+ay＝5的解，则a的值是（ ）
y=−2
A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣4
【考点】二元一次方程的解．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】把x与y的值代入方程计算即可求出a的值．
{ x=1
【解答】解：把 代入方程得：3﹣2a＝5，
y=−2
解得：a＝﹣1，
故选：B．
【点评】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
{x+m=−4
2．由方程组 可得出x与y之间的关系是（ ）
y−3=m
A．x+y＝1 B．x+y＝﹣1 C．x+y＝7 D．x+y＝﹣7
【考点】解二元一次方程组．
【专题】计算题；一次方程（组）及应用．
【答案】B
【分析】方程组消去m即可得到y与x的关系式．
{x+m=−4①
【解答】解： ，
y−3=m②
把②代入①得：x+y﹣3＝﹣4，
则x+y＝﹣1，
故选：B．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
{3x+4 y=19
3．二元一次方程组 的解是（ ）
x−2y=3
{x=3 {x=1 {x=7 {x=5
A． B． C． D．
y=0 y=4 y=2 y=1
【考点】解二元一次方程组．
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【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】应用加减消元法，求出方程组的解即可．
{3x+4 y=19①
【解答】解： ，
x−2y=3②
①+②×2，可得5x＝25，
解得x＝5，
把x＝5代入②，可得：5﹣2y＝3，解得y＝1，
{x=5
∴原方程组的解是 ．
y=1
故选：D．
【点评】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用是关键．
{ x+my=7①
4．已知关于x，y的方程组 ，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一
mx−y=2+m②
个新的方程，当m每取一个值时，就有一个方程，这些方程有一个公共解，这个公共解为（ ）
{ x=4 { x=1 { x=5 {x=−5
A． B． C． D．
y=−1 y=−4 y=−4 y=4
【考点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】根据题意①+②得x﹣y﹣9+m（x+y﹣1）＝0，然后根据题意列出方程组即可求得公共解．
【解答】解：①+②得，
x+my+mx﹣y＝9+m
x﹣y﹣9+mx+my﹣m＝0
x﹣y﹣9+m（x+y﹣1）＝0
根据题意，这些方程有一个公共解，与m的取值无关，
{x−y−9=0
，
x+ y−1=0
{ x=5
解得 ．
y=−4
故选：C．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解法，二元一次方程组的基本解法有代入消元法和加减消元法．
5．我国古代算题：“马四匹，牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹，牛五头，共价三
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十八两．问马、牛各价几何？”设马价x两，牛价y两，可列方程组为（ ）
{4x+6 y=48 {4x+3 y=48
A． B．
3x+5 y=38 6x+5 y=38
{6x+4 y=48 {4x+6 y=48
C． D．
5x+3 y=38 5x+3 y=38
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】A
【分析】直接利用“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三
十八两”列出方程组即可．
{4x+6 y=48
【解答】解：设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为： ．
3x+5 y=38
故选：A．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等式是解题关键．
6．在“双减”政策下，王老师把班级里43名学生分成若干小组，每组只能是4人或5人，则分组方案有
（ ）
A．4种 B．3种 C．2种 D．1种
【考点】二元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】C
【分析】设可以分成x组4人组，y组5人组，根据各组的人数之和为43人，即可得出关于x，y的二元
一次方程，结合x，y均为自然数，即可得出共有2种分组方案．
【解答】解：设可以分成x组4人组，y组5人组，
依题意得：4x+5y＝43，
43−4x
∴y= ．
5
又∵x，y均为自然数，
{x=2 {x=7
∴ 或 ，
y=7 y=3
∴共有2种分组方案．
故选：C．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
7．我国古代数学名著《孙子算经》中有一问题：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车
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各几何？”其大意为：现有若干人和车，若每辆车乘坐 3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9
人步行．问人与车各多少？设有x人，y辆车，则所列方程组正确的是（ ）
x x
{ = y−2 { = y+2
3 3
A． B．
x x−9
−9= y = y
2 2
x x
{ = y+2 { = y−2
3 3
C． D．
x x−9
+9= y = y
2 2
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组；数学常识．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】D
【分析】根据“若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行”，即可得出关于
x，y的二元一次方程组，此题得解．
x
{ = y−2
3
【解答】解：依题意得 ．
x−9
= y
2
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一
次方程组是解题的关键．
8．我国古典数学文献《增删算法统宗•六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人
暗里参详．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当，二人闲坐恼心肠，画地算
了半响”其大意为：甲，乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊．如果乙给甲 9只羊，那么甲的羊数为乙
的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同．请问甲，乙各有多少只羊？设甲有羊x只，则下列说
法正确的是（ ）
A．列方程：x+9＝2（x﹣18+9）
{ x+9=x−18
B．列方程组为：
x+9=2(x−18+9)
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{x+9=2(y−9)
C．设乙有羊y只，列方程组为：
x−9= y+9
D．甲有羊27只，乙有羊18只
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】C
【分析】根据“如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相
同”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：∵如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍，
∴x+9＝2（y﹣9）；
∵如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同，
∴x﹣9＝y+9．
{x+9=2(y−9)
∴根据题意可列方程组 ．
x−9= y+9
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解
题的关键．
9．如图所示的是2024年2月份的月历，其中“U型”、“十字型”两个阴影图形分别覆盖其中五个数字
（“U型”、“十字型”两个阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右移动），设“U型”覆盖的五个数
字之和为S ，“十字型”覆盖的五个数字之和为S ．若S +S ＝176，则S ﹣S 的最大值为（ ）
1 2 1 2 2 1
日 一 二 三 四 五 六
1 2 3
4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17
18 19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29
A．39 B．44 C．65 D．71
【考点】二元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】B
【分析】设“U型”覆盖的五个数字中最小的数字为a，“十字型”覆盖的五个数字中最小的数字为 b，
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则S ＝5a+26，S ＝5b+35，由S +S ＝176，可列出关于a，b的二元一次方程，化简后可得出a+b＝23，
1 2 1 2
结合b的最大值为15，即可得出此时a的值，进而可求出S ﹣S 的最大值．
2 1
【解答】解：设“U型”覆盖的五个数字中最小的数字为a，“十字型”覆盖的五个数字中最小的数字为
b，则S ＝a+a+7+a+8+a+9+a+2＝5a+26，S ＝b+b+6+b+7+b+8+b+14＝5b+35，
1 2
∵S +S ＝176，
1 2
∴5a+26+5b+35＝176，
∴a+b＝23．
∵b的最大值为15，
∴此时a的值为8，
∴S ﹣S ＝5b+35﹣（5a+26）＝5（b﹣a）+9＝5×（15﹣8）+9＝44，
2 1
∴S ﹣S 的最大值为44．
2 1
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
10．如下是明代数学家程大位所著的《算法统宗》中的一个问题，其大意为：有一群人分银子，如果每
人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两．设共有银子x两，共有y人，则所列方程（组）
错误的是（ ）
隔壁听得客分银，
不知人数不知银，
七两分之多四两，
九两分之少半斤．
《算法统宗》注：明代时I斤＝16两，故有“半
斤八两”这个成语
x−4 x+8
A．7y+4＝9y﹣8 B． =
7 9
{7 y=x−4 {7 y=x+4
C． D．
9 y=x+8 9 y−8=x
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组；数学常识．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】D
【分析】根据“如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两”，即可列出关于x（或
y）的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：∵如果每人分七两，则剩余四两，如果每人分九两，则还差八两，
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x−4 x+8 {7 y=x−4
∴7y+4＝9y﹣8或 = 或 ．
7 9 9 y=x+8
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次
方程是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
{2x+3 y=2
11．若x，y满足方程组 ，则x+y＝ 1 ．
3x+2y=3
【考点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】将方程组中的两个方程相加得到5x+5y＝5，进而得到x+y＝1即可．
{2x+3 y=2①
【解答】解： ，
3x+2y=3②
①+②得，5x+5y＝5，
即x+y＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，理解二元一次方程组解的定义，掌握二元
一次方程组的解法是正确解答的关键．
{x=2 {ax+by=8 1
12．已知 是二元一次方程组 的解，则3a− b的立方根为 2 ．
y=1 bx−ay=1 2
【考点】二元一次方程组的解；立方根．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
{x=2 {ax+by=8
【分析】把 代入二元一次方程组 得关于a，b的方程组，解方程组求出a，b，从而求出
y=1 bx−ay=1
所求代数式的立方根即可．
{x=2 {ax+by=8 {2a+b=8①
【解答】解：把 代入二元一次方程组 得： ，
y=1 bx−ay=1 2b−a=1②
由②得：a＝2b﹣1，
把a＝2b﹣1代入①得：b＝2，
把b＝2代入a＝2b﹣1得：a＝3，
1
∴3a− b
2
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1
=3×3− ×2
2
＝9﹣1
＝8，
1
∴3a− b的立方根为：2，
2
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题关键是熟练掌握二元一次方程组的解是使方程左右
两边相等的未知数的值．
13．一千官兵一千布，一官四尺无零数，四兵才得布一尺，请问官兵多少数？这首诗的意思是：一千名
官兵分一千尺布，一名军官分四尺，四名士兵分一尺，正好分完，则军官有 200 名，士兵有 800
名．
【考点】二元一次方程组的应用；一元一次方程的应用．
【专题】应用题；一次方程（组）及应用；运算能力；应用意识．
【答案】200，800．
【分析】设军官有x名，士兵有y名．由题意列出二元一次方程组，解方程组可得出答案．
【解答】解：设军官有x名，士兵有y名．根据题意得：
{
x+ y=1000
1 ，
4x+ y=1000
4
{x=200
解得 ．
y=800
故答案为：200，800．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关
键．
{ x+2y=k
14．已知关于x，y的方程组 ．以下结论：①当k＝0时，方程组的解也是方程x﹣2y＝
2x+3 y=3k−1
﹣4的解；②存在实数k，使得x+y＝0；③不论k取什么实数，x+3y的值始终不变；④若3x+2y＝6，则
k＝1．其中正确的序号是 ①②③ ．
【考点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组；二元一次方程的解．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】见试题解答内容
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【分析】直接利用二元一次方程组的解法表示出方程组的解进而分别分析得出答案．
{ x+2y=0
【解答】解：①当k＝0时，原方程组可整理得： ，
2x+3 y=−1
{x=−2
解得： ，
y=1
{x=−2
把 代入x﹣2y＝﹣4得：x﹣2y＝﹣2﹣2＝﹣4．
y=1
即①正确；
{ x+2y=k①
② ，
2x+3 y=3k−1②
由②﹣①得：x+y＝2k﹣1，
若x+y＝0，则2k﹣1＝0，
1
解得：k= ，
2
即存在实数k，使得x+y＝0，
即②正确；
{ x+2y=k
③解方程组 ，
2x+3 y=3k−1
{x=3k−2
得 ，
y=1−k
∴x+3y＝3k﹣2+3（1﹣k）＝1，
∴不论k取什么实数，x+3y的值始终不变，
故③正确；
{ x+2y=k
④解方程组 ，
2x+3 y=3k−1
{x=3k−2
得 ，
y=1−k
若3x+2y＝6，
则3（3k﹣2）+2（1﹣k）＝6，
10
∴k= ，
7
故④错误．
所以正确的序号是①②③．
故答案为①②③．
【点评】本题主要考查解二元一次方程组的能力，熟练掌握解二元一次方程组的技能和二元一次方程的
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解的定义．
15．为了方便大家采购水果，各大超市开通了送货到家的便民服务．新世纪百货超市推出了适宜大多数
家庭需求的甲、乙两种水果礼盒供市民直接选购（两种礼盒均由 A、B、C三种水果混合搭配）．其中，
甲种水果礼盒每盒装有1千克A，3千克B，1千克C；乙种水果礼盒每盒装有2千克A，1千克B，2千克
C．甲、乙两种水果礼盒每盒成本价分别为盒中A，B，C三种水果的成本之和．已知B种水果每千克成
本价为4.5元，甲种水果礼盒每盒售价为39元，利润率为30%；乙种水果礼盒的利润率为20%．若这两
种水果礼盒的总销售利润率达到24%，则该超市销售的甲、乙两种水果礼盒的数量之比是 5 ： 6 ．
【考点】二元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】设A种水果每千克成本价为x元，C种水果每千克成本价为y元，根据甲种水果礼盒的售价及利
润率，可列出关于x，y的二元一次方程，解之可得出x+y的值，将其代入2（x+y）+4.5中，可求出乙种
水果礼盒每盒成本价，设该超市销售m盒甲种水果礼盒，n盒乙种水果礼盒，根据这两种水果礼盒的总销
售利润率达到24%，可列出关于m，n的二元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设A种水果每千克成本价为x元，C种水果每千克成本价为y元，
根据题意得：（1+30%）（x+4.5×3+y）＝39，
解得：x+y＝16.5，
∴乙种水果礼盒每盒成本价是2（x+y）+4.5＝2×16.5+4.5＝37.5．
设该超市销售m盒甲种水果礼盒，n盒乙种水果礼盒，
根据题意得：（16.5+4.5×3）×30%m+37.5×20%n＝[（16.5+4.5×3）m+37.5n]×24%，
整理得：1.8m＝1.5n，
解得：m：n＝5：6．
故答案为：5：6．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
{2x−y=5
16．解方程组： ．
3x+4 y=2
【考点】解二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
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{2x−y=5①
【解答】解： ，
3x+4 y=2②
①×4+②得：11x＝22，
解得：x＝2，
把x＝2代入①得：4﹣y＝5，
解得：y＝﹣1，
{ x=2
则方程组的解为 ．
y=−1
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
17．近年来教育部要求学校积极开展素质教育，落实“双减”政策，深圳市某中学把足球和篮球列为该
校的特色项目．学校准备从体育用品商店一次性购买若干个篮球和足球，若购买3个篮球和2个足球共
490元，购买2个篮球和3个足球共460元．
（1）篮球、足球的单价各是多少元？
（2）根据学校实际需要，需一次性购买篮球和足球共100个．购买篮球的数量不少于足球数量的一半，
为使购买的总费用最小，那么应购买篮球、足球各多少个？
【考点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用；一次函数的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；一次函数及其应用；应用意识．
【答案】（1）篮球的单价是110元，足球的单价是80元；
（2）为使购买的总费用最小，那么应购买34个篮球、66个足球．
【分析】（1）设篮球的单价是x元，足球的单价是y元，根据“购买3个篮球和2个足球共490元，购买
2个篮球和3个足球共460元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买m个篮球，则购买（100﹣m）个足球，根据购买篮球的数量不少于足球数量的一半，可列出
关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设购买篮球和足球的总费用为w元，利用总价＝
单价×数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设篮球的单价是x元，足球的单价是y元，
{3x+2y=490
根据题意得： ，
2x+3 y=460
{x=110
解得： ．
y=80
答：篮球的单价是110元，足球的单价是80元；
（2）设购买m个篮球，则购买（100﹣m）个足球，
1
根据题意得：m≥ （100﹣m），
2
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100
解得：m≥ ．
3
设购买篮球和足球的总费用为w元，则w＝110m+80（100﹣m），
即w＝30m+8000，
∵30＞0，
∴w随m的增大而增大，
100
又∵m≥ ，且m为正整数，
3
∴当m＝34时，w取得最小值，此时100﹣m＝100﹣34＝66．
答：为使购买的总费用最小，那么应购买34个篮球、66个足球．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键
是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函
数关系式．
18．如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为 30℃，流
速为20mL/s；开水的温度为100℃，流速为15mL/s．整个接水的过程不计热量损失．
物理常识：
开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等
于温水吸收的热量，可以转化为：开水的体积×开水降
低的温度＝温水的体积×温水升高的温度．
（1）甲同学用空杯先接了6s温水，再接4s开水，接完后杯中共有水 18 0 mL；
（2）乙同学先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯280mL温度为40℃的水（不计热损失），
求乙同学分别接温水和开水的时间．
【考点】二元一次方程组的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）杯子中水的体积＝温水的体积+开水的体积，把相关数值代入整理即可；
（2）设该学生接温水的时间为x s，接开水的时间为y s，由物理常识的公式列出方程组即可．
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【解答】（1）甲同学用空杯先接了6s温水，再接4s开水，接完后杯中共有水：20mL/s×6s+4s×15mL/s＝
180mL；
（2）解：设该学生接温水的时间为x s，接开水的时间为y s．
{ 20x+15 y=280
根据题意可得方程组： ，
15 y×60=20x×10
{x=12
解得： 8 ，
y=
3
8
答：学生接温水的时间为12s，接开水的时间为 s．
3
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用，熟练列出方程组是解答本题的关键．
19．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校
为提高学生的阅读品味，现决定购买获得第十届茅盾文学奖的A、B两种书籍．若购买2本A种书籍和3
本B种书籍需用160元；若购买6本A种书籍与购买7本B种书籍的费用相同．求每本A种书籍和每本B
种书籍的价格各为多少元．
【考点】二元一次方程组的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】每本A种书籍的价格为35元，每本B种书籍的价格为30元．
【分析】设每本A种书籍的价格为x元，每本B种书籍的价格为y元，根据“购买2本A种书籍和3本B
种书籍需用160元；购买6本A种书籍与购买7本B种书籍的费用相同”，可列出关于x，y的二元一次
方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设每本A种书籍的价格为x元，每本B种书籍的价格为y元，
{2x+3 y=160
根据题意得： ，
6x=7 y
{x=35
解得： ．
y=30
答：每本A种书籍的价格为35元，每本B种书籍的价格为30元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
20．王阿姨去买水果，3千克芒果和2千克香蕉应付40元，可她把两种水果的单价弄反了，以为要付35
元．那么在单价没有弄反的情况下，购买6千克芒果和5千克香蕉应付多少元？
【考点】二元一次方程组的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
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【答案】购买6千克芒果和5千克香蕉应付85元．
【分析】设苹果单价为x元/千克，香蕉单价为y元/千克，根据3千克芒果和2千克香蕉应付40元和把两
种水果的单价弄反了，以为要付35元列出方程，求出方程的解即可．
【解答】解：设苹果单价为x元/千克，香蕉单价为y元/千克．
{3x+2y=40
根据题意，得 ，
2x+3 y=35
{x=10
解得 ，
y=5
则 6x+5y＝85（元）．
答：购买6千克芒果和5千克香蕉应付85元．
【点评】此题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找
出合适的等量关系，列出方程组，再求解．本题的等量关系是：苹果的单价×克数+香蕉的单价×克数＝总
钱数．
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考点卡片
1．数学常识
数学常识
此类问题要结合实际问题来解决，生活中的一些数学常识要了解．比如给出一个物体的高度要会选择它
合适的单位长度等等．
平时要注意多观察，留意身边的小知识．
2．立方根
（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，
那么x叫做a的立方根．记作：√3 a．
（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．
（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．
注意：符号√3 a中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一
个立方根．
【规律方法】平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根
是0．
3．一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
利润
（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率= ×100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×
进价
人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要
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求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、
求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
4．二元一次方程的解
（1）定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．
（2）在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以
二元一次方程有无数解．
（3）在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知
数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值．
5．二元一次方程的应用
二元一次方程的应用
（1）找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）挖掘题目中的关系，找出等量关系，列出二元一次方程．
（4）根据未知数的实际意义求其整数解．
6．二元一次方程组的解
（1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．
（2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次
方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求
方程中的字母系数．
7．解二元一次方程组
（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组
中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个
未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的
值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程
组的解．
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（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相
等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两
个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求
得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把
{x=a
所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用 的形式表示．
y=b
8．由实际问题抽象出二元一次方程组
（1）由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系
起来，找出题目中的相等关系．
（2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；
②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符．
（3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法：
①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系．②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，
有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系．③借助表格提供信息的，按横向或纵向去
分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系．
9．二元一次方程组的应用
（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（二）设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设
几个未知数，就要列几个方程．
10．一元一次不等式的应用
（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题
的答案．
（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等
关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：
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①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．
②根据题中的不等关系列出不等式．
③解不等式，求出解集．
④写出符合题意的解．
11．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又
要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条
件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
22
