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专题 04 一元一次方程与二元一次方程组
考点 1 一元一次方程与二元一次方程组
一、单选题
1．（2021·辽宁锦州·统考中考真题）二元一次方程组 的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】方程组利用代入消元法求出解即可．
【详解】解： ，
把②代入①得：4y＋y＝10，
解得：y＝2，
把y＝2代入②得：x＝4，
则方程组的解为 ．
故选：C．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
2．（2023年辽宁省营口市中考数学真题）2台大收割机和5台小收割机同时工作2小时共收割小麦3.6公
顷，3台大收割机和2台小收割机同时工作5小时共收割小麦8公顷．1台大收割机和1台小收割机每小时
各收割小麦多少公顷？设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x公顷和y公顷，根据题意，可
列方程组为（ ）
A． B．
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C． D．
【答案】C
【分析】根据” 2台大收割机和5台小收割机同时工作2小时共收割小麦3.6公顷，3台大收割机和2台小
收割机同时工作5小时共收割小麦8公顷”列方程组即可．
【详解】解：设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x公顷和y公顷，
根据2台大收割机和5台小收割机同时工作2小时共收割小麦3.6公顷，得
根据3台大收割机和2台小收割机同时工作5小时共收割小麦8公顷，得 ，
可列
故选：C．
【点睛】此题考查了列二元一次方程组，正确理解题意是解题的关键．
3．（2020·重庆·统考中考真题）解一元一次方程 时，去分母正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据等式的基本性质将方程两边都乘以6可得答案．
【详解】解：方程两边都乘以6，得：
3（x+1）＝6﹣2x，
故选：D．
【点睛】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的步骤和等式的基本性质．
4．（2021·江苏淮安·统考中考真题）《九章算术》是古代中国第一部自成体系的数学专著，其中《卷第八
方程》记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱
各几何？”译文是：今有甲、乙两人持钱不知道各有多少，甲若得到乙所有钱的 ，则甲有50钱，乙若得
到甲所有钱的 ，则乙也有50钱．问甲、乙各持钱多少？设甲持钱数为x钱，乙持钱数为y钱，列出关于
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x、y的二元一次方程组是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设甲、乙的持钱数分别为x，y，根据“甲若得到乙所有钱的 ，则甲有50钱，乙若得到甲所有
钱的 ，则乙也有50钱”，列出二元一次方程组解答即可．
【详解】解：设甲、乙的持钱数分别为x，y，
根据题意可得： ，
故选B．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键在于能够准确找到等量关系列出方程.
5．（2021·四川德阳·统考中考真题）关于x，y的方程组 的解为 ，若点P（a，b）总
在直线y＝x上方，那么k的取值范围是（ ）
A．k＞1 B．k＞﹣1 C．k＜1 D．k＜﹣1
【答案】B
【分析】将k看作常数，解方程组得到x，y的值，根据P在直线上方可得到b＞a，列出不等式求解即可．
【详解】解：解方程组 可得，
，
∵点P（a，b）总在直线y=x上方，
∴b＞a，
∴ ，
解得k＞-1，
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故选：B．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，一次函数上点的坐标特征，解本题的关键是将k看作常数，根据
点在一次函数上方列出不等式求解．
6．（2022年辽宁省营口市中考数学真题）我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》一书是中国较早的数学著
作之一，书中记载一道问题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马
几何追及之？”题意是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，试问快马几天可以追上
慢马？若设快马x天可以追上慢马，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设快马x天可以追上慢马，根据路程=速度×时间，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【详解】解：设快马x天可以追上慢马，
依题意，得： 240x-150x=150×12．
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关
键．
7．（2023年浙江省温州市中考数学真题）一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的1.5倍，碳
水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g．设蛋白质、脂肪的含量分别为 ， ，可列出方程为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g列方程．
【详解】解：设蛋白质、脂肪的含量分别为 ， ，则碳水化合物含量为 ，
则： ，即 ，
故选A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关
系，列方程．
8．（2023年浙江省宁波市中考数学真题）茶叶作为浙江省农业十大主导产业之一，是助力乡村振兴的民
生产业．某村有土地60公顷，计划将其中 的土地种植蔬菜，其余的土地开辟为茶园和种植粮食，已
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知茶园的面积比种粮食面积的2倍少3公顷，问茶园和种粮食的面积各多少公顷？设茶园的面积为x公顷，
种粮食的面积为y公顷，可列方程组为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据某村有土地60公顷，计划将其中 的土地种植蔬菜，得到种植茶园和种植粮食的面积为
，结合茶园的面积比种粮食面积的2倍少3公顷，列出方程组即可．
【详解】解：设茶园的面积为x公顷，种粮食的面积为y公顷，
由题意，得： ，
即：
故选B．
【点睛】本题考查根据实际问题列方程组．找准等量关系，正确的列出方程组，是解题的关键．
9．（2023年江苏省无锡市中考数学真题）下列4组数中，不是二元一次方程 的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将选项中的 的值分别代入方程的左边，进而即可求解．
【详解】解：A、当 时， ，则 是二元一次方程 的解，不合题意；
B、当 时， ，则 是二元一次方程 的解 ，不合题意；
C、 当 时， ，则 是二元一次方程 的解，不合题意；
D、当 时， ，则 不是二元一次方程 的解，符合题意；
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故选：D．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解的定义，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键．
10．（2019·吉林长春·统考中考真题）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：
今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出
九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为 ，买鸡的钱数
为 ，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】直接利用每人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱，分别得出方程求出答案．
【详解】解：设人数为 ，买鸡的钱数为 ，可列方程组为：
故选D
【点睛】考核知识点：二元一次方程组应用.理解题意列出方程是关键.
11．（2021·广东深圳·统考中考真题）《九章算术》中有问题：1亩好田是300元，7亩坏田是500元，一
人买了好田坏田一共是100亩，花费了10000元，问他买了多少亩好田和坏田？设一亩好田为x元，一亩
坏田为y元，根据题意列方程组得（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设一亩好田为x元，一亩坏田为y元，根据7亩坏田是500元可得每亩坏田的价格，根据好田坏
田一共是100亩，花费了10000元列方程组即可得答案．
【详解】设一亩好田为x元，一亩坏田为y元，
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∵7亩坏田是500元，
∴每亩坏田 元，
∵买了好田坏田一共是100亩，花费了10000元，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，读懂题意，找出等量关系是解题关键．
二、填空题
12．（2021·浙江金华·统考中考真题）已知 是方程 的一个解，则m的值是 ．
【答案】2
【分析】把解代入方程,得6+2m=10，转化为关于m的一元一次方程，求解即可．
【详解】∵ 是方程 的一个解，
∴6+2m=10，
解得m=2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，一元一次方程的解法，灵活运用方程的解的定义，转化为一元一
次方程求解是解题的关键．
13．（2021·四川甘孜·统考中考真题）我国古代数学著作 孙子算经 中有“鸡兔同笼”问题，“今有鸡兔
同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”若设鸡有 只，兔有 只，则列出的方程组为
（列出方程组即可，不求解）．
【答案】
【分析】一只鸡有一个头和二条腿，一只兔有一个头和四条腿，根据上有三十五头，下有九十四足，即可
列出方程组．
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【详解】解：由题意，可列出的方程组为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是仔细审题，正确找出等量关系，
难度一般．
14．（2019·辽宁铁岭·统考中考真题）若x，y满足方程组 ，则 ．
【答案】7
【分析】方程组利用加减消元法求出解得到x与y的值，代入原式计算即可求出值．
【详解】解： ，
得： ，
解得： ，
把 代入②得： ，
则 ，
故答案为7
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元的方法是解本题的关键．
15．（2019·四川眉山·统考中考真题）已知关于x、y的方程组 的解满足x+y=5，则k的值为
．
【答案】2
【分析】把两个方程相加，得x+y=2k+1，结合x+y=5，即可求解．
【详解】解： ，
①+②，得x+y=2k+1，
又∵x+y=5，
∴2k+1=5，
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解得：k=2，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查解含参数的二元一次方程组，掌握加减消元法是解题的关键．
16．（2021·贵州遵义·统考中考真题）已知x，y满足的方程组是 ，则x+y的值为 ．
【答案】5．
【分析】将方程组中的两个方程直接相减即可求解．
【详解】解：
用②﹣①得：x+y＝5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解法，通过观察方程组中两个方程的
特点，灵活计算是解题的关键．
17．（2021·贵州黔西·中考真题）有大小两种货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货 ，5辆大货
车与6辆小货车一次可以运货 ，则3辆大货车与2辆小货车一次可以运货 ．
【答案】17
【分析】设每辆大货车一次可以运货x吨，每辆小货车一次可以运货y吨，由题意：2辆大货车与3辆小货
车一次可以运货15.5t，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货35t，列出方程组，解方程组，即可求解．
【详解】解：设每辆大货车一次可以运货 吨，每辆小货车一次可以运货 吨，
由题意，得： ，
解得： ，
则 ，
即3辆大货车与2辆小货车一次可以运货 ，
故答案为：17．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键．
18．（2022·浙江绍兴·统考中考真题）元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“良马日行二百四十里，驽
马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之．” 其题意为：“良马每天行 里，劣马每
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天行 里，劣马先行 天，良马要几天追上劣马？”答：良马追上劣马需要的天数是 ．
【答案】20
【分析】设良马x天追上劣马，根据良马追上劣马所走路程相同可得：240x＝150（x＋12），即可解得良
马20天追上劣马．
【详解】解：设良马x天追上劣马，
根据题意得：240x＝150（x＋12），
解得x＝20，
答：良马20天追上劣马；
故答案为：20．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程．
19．（2023年河南省中考数学真题）方程组 的解为 ．
【答案】
【分析】利用加减消元法求解即可．
【详解】解：
由 得， ，解得 ，
把 代入①中得 ，解得 ，
故原方程组的解是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的常用解法：代入消元法和加减消元
法，观察题目选择合适的方法是解题关键．
20．（2019·上海·中考真题）《九章算术》中有一道题的条件是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小
器五容二斛．”大致意思是：有大小两种盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛
米，依据该条件，1大桶加1小桶共盛＝ 斛米.（注：斛是古代一种容量单位）
【答案】
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【分析】设一个大桶盛酒x斛，一个小桶盛酒y斛，根据“5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶
加上5个小桶可以盛酒2斛”即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y值，将其相加即
可得出结论．
【详解】设一个大桶盛酒x斛，一个小桶盛酒y斛，
根据题意得： ，
解得： .
∴x+y= .
故答案为
【点睛】此题考查二元一次方程组的应用，解题关键在于列出方程
21．（2019·山东泰安·统考中考真题）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今
有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：
甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相同，
两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各种多少两？设黄
金重 两，每枚白银重 两，根据题意可列方程组为 .
【答案】
【分析】根据题意甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相
同），称重两袋相同.故可得 ，再根据两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两，可得
,因此可得二元一次方程组.
【详解】根据题意可得甲袋中的黄金9枚和乙袋中的白银11枚质量相等，可得 ，
再根据两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两.故可得 .
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因此
所以答案为
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，关键在于理解题意，这是中考的必考题,必须熟练掌握.
22．（2019·四川内江·统考中考真题）若 为实数，且 ，则代数式 的最大值
是 ．
【答案】26．
【分析】先利用加减消元法求出y,x的值，再把x,y代入代数式 ，求出z的值，即可解答
【详解】 ，
(1）﹣（2）得， ，
把 代入（1）得， ，
则 ，
当 时， 的最大值是26，
故答案为26．
【点睛】此题考查解三元一次方程，解题关键在于掌握运算法则
三、解答题
23．（2020·辽宁大连·中考真题）某化肥厂第一次运输360吨化肥，装载了6节火车车厢和15辆汽车；第
二次运输440吨化肥，装载了8节火车车厢和10辆汽车．每节火车车厢与每辆汽车平均各装多少吨化肥？
【答案】每节火车车厢平均装50吨化肥，每辆汽车平均装4吨化肥．
【分析】设每节火车车厢平均装x吨化肥，每辆汽车平均装y吨化肥，根据运输360吨化肥，装载了6节
火车车厢和15辆汽车；运输440吨化肥，装载了8节火车车厢和10辆汽车，列方程组求解．
【详解】解：设每节火车车厢平均装x吨化肥，每辆汽车平均装y吨化肥， 由题意得，
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，
整理得：
解得： ．
答：每节火车车厢平均装50吨化肥，每辆汽车平均装4吨化肥．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量
关系，列方程组求解．
24．（2021·广西桂林·统考中考真题）解一元一次方程：4x﹣1＝2x+5．
【答案】x =3．
【分析】先把方程化移项，合并同类项，系数化1法即可．
【详解】解：4 x﹣1＝2x+5，
移项得：4 x﹣2x＝5+1
合并同类项得：2 x=6，
∴系数化1得：x =3．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解法移项、合并同类项、系数化1．掌握解一元一次方程常用的方法
要根据方程的特点灵活选用合适的方法
25．（2020·黑龙江鹤岗·统考中考真题）某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，
某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克 元，售价每千克16元；乙种
蔬菜进价每千克 元，售价每千克18元．
（1）该超市购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜5千克需要170元；购进甲种蔬菜6千克和乙种蔬菜10千克
需要200元．求 ， 的值．
（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购
买甲种蔬菜 千克，求有哪几种购买方案．
（3）在（2）的条件下，超市在获得的利润取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出 元，乙种蔬
菜每千克捐出 元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于20%，求 的最大值．
【答案】（1） 的值为10， 的值为14；（2）有3种购买方案，方案1：购买甲种蔬菜58千克，乙种蔬
菜42千克；方案2：购买甲种蔬菜59千克，乙种蔬菜41千克；方案3：购买甲种蔬菜60千克，乙种蔬菜
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40千克；（3） 的最大值为1.8．
【分析】（1）根据“购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种
蔬菜8千克需要212元”，即可得出关于m、n的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据总价＝单价×数量结合投入资金不多于1168元且甲种蔬菜不多于60千克，即可得出关于x的一
元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再结合x为正整数即可得出各购买方案；
（3）求出（2）中各购买方案的总利润，比较后可得出获得最大利润时售出甲、乙两种蔬菜的重量，再根
据总利润＝每千克利润×销售数量结合捐款后的利润率不低于20%，即可得出关于a的一元一次不等式，
解之取其中的最大值即可得出结论．
【详解】（1）依题意，得： ，
解得： .
答： 的值为10， 的值为14.
（2）设购买甲种蔬菜 千克，则购买乙种蔬菜 千克，
依题意，得： ，
解得： .
∵ 为正整数，
∴ ，
∴有3种购买方案，
方案1：购买甲种蔬菜58千克，乙种蔬菜42千克；
方案2：购买甲种蔬菜59千克，乙种蔬菜41千克；
方案3：购买甲种蔬菜60千克，乙种蔬菜40千克.
（3）设超市获得的利润为 元，
则 .
∵ ，
∴ 随 的增大而增大，
∴当 时， 取得最大值，最大值为 .
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依题意，得： ，
解得： .
答： 的最大值为1.8．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一元一次不等式的应用，解题
的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元
一次不等式组；（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
26．（2020·广西·中考真题）解二元一次方程组： ．
【答案】
【分析】利用加减消元法对二元一次方程组进行求解即可．
【详解】解：①+②得：6x＝6，
解得：x＝1，
把x＝1代入①得： ，
则方程组的解为 ．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握加减消元法是解决本题的关键．
27．（2020·四川广安·中考真题）某小区为了绿化环境，计划分两次购进A，B两种树苗，第一次购进A
种树苗30棵，B种树苗15棵，共花费1350元；第二次购进A种树苗24棵，B种树苗10棵，共花费1060
元．（两次购进的A，B两种树苗各自的单价均不变）
（1）A，B两种树苗每棵的价格分别是多少元？
（2）若购买A，B两种树苗共42棵，总费用为W元，购买A种树苗t棵，B种树苗的数量不超过A种树
苗数量的2倍．求W与t的函数关系式．请设计出最省钱的购买方案，并求出此方案的总费用．
【答案】（1）A种树苗每棵的价格为40元，B种树苗每棵的价格为10元；（2）W= 30t＋420，当购买A
种树苗14棵，B种树苗28棵时，总费用最少，最少为840元
【分析】（1）设A种树苗每棵的价格为x元，B种树苗每棵的价格为y元，根据题意，列出二元一次方程
组即可求出结论；
（2）根据题意，即可求出W与t的函数关系式，然后根据题意，求出t的取值范围，利用一次函数的增减
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性即可求出结论．
【详解】解：（1）设A种树苗每棵的价格为x元，B种树苗每棵的价格为y元，
由题意可得：
解得：
答：A种树苗每棵的价格为40元，B种树苗每棵的价格为10元．
（2）由题意可得：W=40t＋10（42－t）=30t＋420
解得：14≤t＜42
∵W= 30t＋420中，30＞0
∴W随t的增大而增大
∴当t=14时，W最小，最小值为30×14＋420=840
此时B种树苗42－14=28棵
答：当购买A种树苗14棵，B种树苗28棵时，总费用最少，最少为840元．
【点睛】此题考查的是二元一次方程组的应用和一次函数的应用，掌握实际问题中的等量关系和利用一次
函数的增减性求最值是解题关键．
28．（2022·辽宁朝阳·统考中考真题）某中学要为体育社团购买一些篮球和排球，若购买3个篮球和2个
排球，共需560元；若购买2个篮球和4个排球，共需640元．
(1)求每个篮球和每个排球的价格分别是多少元；
(2)该中学决定购买篮球和排球共10个，总费用不超过1100元，那么最多可以购买多少个篮球？
【答案】(1)每个篮球的价格是120元，每个排球的价格是100元
(2)5
【分析】（1）设每个篮球的价格是x元，每个排球的价格是y元，根据“购买3个篮球和2个排球，共需
560元；若购买2个篮球和4个排球，共需640元．”列出方程组，即可求解；
（2）设购买m个篮球，则购买排球（10-m）根据“总费用不超过1100元，”列出不等式，即可求解．
【详解】（1）解：设每个篮球的价格是x元，每个排球的价格是y元，根据题意得：
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，解得： ，
答：每个篮球的价格是120元，每个排球的价格是100元；
（2）解：设购买m个篮球，则购买排球（10-m）根据题意得：
120m+100（10-m）≤1100，
解得m≤5，
答：最多可以购买5个篮球．
【点睛】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解题的关键是读憧题意，列出方程组和不等
式．
29．（2022·江苏淮安·统考中考真题）端午节前夕，某超市从厂家分两次购进 、 两种品牌的粽子，两
次进货时，两种品牌粽子的进价不变．第一次购进 品牌粽子100袋和 品牌粽子150袋，总费用为7000
元；第二次购进 品牌粽子180袋和 品牌粽子120袋，总费用为8100元．
(1)求 、 两种品牌粽子每袋的进价各是多少元；
(2)当 品牌粽子销售价为每袋54元时，每天可售出20袋，为了促销，该超市决定对 品牌粽子进行降价
销售．经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋．当 品牌粽子每袋的销售
价降低多少元时，每天售出 品牌粽子所获得的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1) 种品牌粽子每袋的进价是25元， 种品牌粽子每袋的进价是30元
(2)当 品牌粽子每袋的销售价降低10元时，每天售出 品牌粽子所获得的利润最大，最大利润是980元
【分析】（1）根据已知数量关系列二元一次方程组，即可求解；
（2）设 品牌粽子每袋的销售价降低 元，利润为 元，列出 关于 的函数关系式，求出函数的最值即
可．
【详解】（1）解：设 种品牌粽子每袋的进价是 元， 种品牌粽子每袋的进价是 元，
根据题意得， ，
解得 ，
故 种品牌粽子每袋的进价是25元， 种品牌粽子每袋的进价是30元；
（2）解：设 品牌粽子每袋的销售价降低 元，利润为 元，
根据题意得，
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，
∵ ，
∴当 品牌粽子每袋的销售价降低10元时，每天售出 品牌粽子所获得的利润最大，最大利润是980元．
【点睛】本题考查二次函数和二元一次方程的实际应用，根据已知数量关系列出函数解析式和二元一次方
程组是解题的关键．
30．（2019·四川绵阳·统考中考真题）辰星旅游度假村有甲种风格客房15间，乙种风格客房20间．按现
有定价：若全部入住，一天营业额为8500元；若甲、乙两种风格客房均有10间入住，一天营业额为5000
元．
(1)求甲、乙两种客房每间现有定价分别是多少元？
(2)度假村以乙种风格客房为例，市场情况调研发现：若每个房间每天按现有定价，房间会全部住满；当每
个房间每天的定价每增加20元时，就会有两个房间空闲．如果游客居住房间，度假村需对每个房间每天支
出80元的各种费用．当每间房间定价为多少元时，乙种风格客房每天的利润 最大，最大利润是多少元？
【答案】(1)甲、乙两种客房每间现有定价分别是300元、200元；(2)每间房间定价为240元时，乙种风格
客房每天的利润 最大，最大利润是2560元．
【分析】(1)根据题意“若全部入住，一天营业额为8500元；若甲、乙两种风格客房均有10间入住，一天
营业额为5000元”设未知数列出相应的二元一次方程组，解方程组即可解答本题；
(2)根据题意列出 关于乙种房价的函数关系式，然后根据二次函数的性质即可解答本题．
【详解】解：设甲、乙两种客房每间现有定价分别是 元、 元，
根据题意，得： ，
解得 ，
答：甲、乙两种客房每间现有定价分别是300元、200元；
(2)设每天的定价增加了 个20元，则有 个房间空闲，
根据题意得： ，
∵ ，
∴当 时， 取得最大值，最大值为2560，此时房间的定价为 元．
答：当每间房间定价为240元时，乙种风格客房每天的利润 最大，最大利润是2560元．
【点睛】本题考查了二次函数的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，正确列出方
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程组和二次函数关系式，利用二次函数的性质解答．
31．（2020·福建·统考中考真题）某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价
为10.5万元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种
特产的销售量之和是100吨，且甲特产的销售量都不超过20吨．
（1）若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各
多少吨？
（2）求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润．
【答案】（1）甲特产15吨，乙特产85吨；（2）26万元．
【分析】（1）设这个月该公司销售甲特产 吨，则销售乙特产 吨，根据题意列方程解答；
（2）设一个月销售甲特产 吨，则销售乙特产 吨，且 ，根据题意列函数关系式
，再根据函数的性质解答.
【详解】解：（1）设这个月该公司销售甲特产 吨，则销售乙特产 吨，
依题意，得 ，
解得 ，则 ，
经检验 符合题意，
所以，这个月该公司销售甲特产15吨，乙特产85吨；
（2）设一个月销售甲特产 吨，则销售乙特产 吨，且 ，
公司获得的总利润 ，
因为 ，所以 随着 的增大而增大，
又因为 ，
所以当 时，公司获得的总利润的最大值为26万元，
故该公司一个月销售这两种特产能获得的最大总利润为26万元.
【点睛】此题考查一元一次方程的实际应用、一次函数的性质等基础知识，考查运算能力、应用意识，考
查函数与方程思想，正确理解题意，根据问题列方程或是函数关系式解答问题.
32．（2020·广西玉林·统考中考真题）解方程组：
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【答案】 ．
【分析】利用加减消元法解二元一次方程组即可．
【详解】
① ② 得
解得
将 代入②得
解得
则方程组的解为 ．
【点睛】本题考查了利用加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题关键．
33．（2021·广西桂林·统考中考真题）为了美化环境，建设生态桂林，某社区需要进行绿化改造，现有甲、
乙两个绿化工程队可供选择，已知甲队每天能完成的绿化改造面积比乙队多200平方米，甲队与乙队合作
一天能完成800平方米的绿化改造面积．
（1）甲、乙两工程队每天各能完成多少平方米的绿化改造面积？
（2）该社区需要进行绿化改造的区域共有12000平方米，甲队每天的施工费用为600元，乙队每天的施工
费用为400元，比较以下三种方案：①甲队单独完成；②乙队单独完成；③甲、乙两队全程合作完成．哪
一种方案的施工费用最少？
【答案】（1）甲队每天能完成绿化的面积是500平方米，乙队每天能完成绿化的面积是300平方米；
（2）选择方案①完成施工费用最少
【分析】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是x平方米，根据甲队与乙队合作一天能完成800平方米
的绿化改造面积，列出方程，求解即可；
（2）利用施工费用=每天的施工费用×施工时间，即可求出选择各方案所需施工费用,再比较后即可得出结
论．
【详解】解：（1）设乙队每天能完成绿化的面积是x平方米，则甲队每天能完成绿化的面积是（x+200）
米，
依题意得：x+x+200=800
解得：x=300，
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x+200=500
∴甲队每天能完成绿化的面积是500平方米，乙队每天能完成绿化的面积是300平方米．
（2）选择方案①甲队单独完成所需费用= （元）；
选择方案②乙队单独完成所需费用= （元）；
选择方案③甲、乙两队全程合作完成所需费用= （元）；
∴选择方案①完成施工费用最少．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出方程；（2）利
用总费用=每天支出的费用×工作时间，分别求出选择各方案所需费用．
34．（2021·西藏·统考中考真题）列方程（组）解应用题
为振兴农村经济，某县决定购买A，B两种药材幼苗发给农民栽种，已知购买2棵A种药材幼苗和3棵B
种药材幼苗共需41元．购买8棵A种药材幼苗和9棵B种药材幼苗共需137元．问每棵A种药材幼苗和每
棵B种药材幼苗的价格分别是多少元？
【答案】每棵A种药材幼苗的价格是7元，每棵B种药材幼苗的价格是9元．
【分析】设每棵A种药材幼苗的价格是x元，每棵B种药材幼苗的价格是y元，根据“购买2棵A种药材
幼苗和3棵B种药材幼苗共需41元．购买8棵A种药材幼苗和9棵B种药材幼苗共需137元”，即可得出
关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设每棵A种药材幼苗的价格是x元，每棵B种药材幼苗的价格是y元，
依题意得： ，
解得： ，
答：每棵A种药材幼苗的价格是7元，每棵B种药材幼苗的价格是9元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
35．（2022·湖南常德·统考中考真题）小强的爸爸平常开车从家中到小强奶奶家，匀速行驶需要4小时，
某天，他们以平常的速度行驶了 的路程时遇到了暴雨，立即将车速减少了20千米／小时，到达奶奶家时
共用了5小时，问小强家到他奶奶家的距离是多少千米？
【答案】240千米
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【分析】平常速度行驶了 的路程用时为2小时，后续减速后用了3小时，用遇到暴雨前行驶路程加上遇
到暴雨后行驶路程等于总路程这个等量关系列出方程求解即可．
【详解】解：设小强家到他奶奶家的距离是 千米，则平时每小时行驶 千米，减速后每小时行驶
千米，由题可知：遇到暴雨前用时2小时，遇到暴雨后用时5-2=3小时，
则可得： ，
解得： ，
答：小强家到他奶奶家的距离是240千米．
【点睛】本题考查了一元一次方程应用中的行程问题，直接设未知数法，找到准确的等量关系，列出方程
正确求解是解题的关键．
36．（2022·四川泸州·统考中考真题）某经销商计划购进 ， 两种农产品．已知购进 种农产品2件，
种农产品3件，共需690元；购进 种农产品1件， 种农产品4件，共需720元．
(1) ， 两种农产品每件的价格分别是多少元？
(2)该经销商计划用不超过5400元购进 ， 两种农产品共40件，且 种农产品的件数不超过B种农产品
件数的3倍．如果该经销商将购进的农产品按照 种每件160元， 种每件200元的价格全部售出，那么
购进 ， 两种农产品各多少件时获利最多？
【答案】(1)A每件进价120元，B每件进价150元；
(2)A农产品进20件，B农产品进20件，最大利润是1800元．
【分析】（1）根据“购进 种农产品2件， 种农产品3件，共需690元；购进 种农产品1件， 种农
产品4件，共需720元”可以列出相应的方程组，从而可以求得A、B两种农产品每件的价格分别是多少
元；
（2）根据题意可以得到利润与购买甲种商品的函数关系式，从而可以解答本题．
【详解】（1）设A每件进价x元，B每件进价y元，
由题意得 ，
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解得： ，
答：A每件进价120元，B每件进价150元；
（2）设A农产品进a件，B农产品（40-a）件，由题意得，
解得 ，
设利润为y元，则 ，
∵y随a的增大而减小，
∴当a=20时，y最大， 最大值y=2000-10×20=1800，
答：A农产品进20件，B农产品进20件，最大利润是1800元．
【点睛】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是
明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
37．（2022·浙江绍兴·统考中考真题）计算
(1)计算：6tan30°+（ +1）0- .
(2)解方程组
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）根据特殊角的三角函数值，零指数幂，二次根式的性质化简，然后进行计算即可；
（2）利用加减消元法解二元一次方程组即可．
【详解】（1）解：原式 ＝ ；
（2） ，
①＋②得3x＝6，
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∴x＝2，
把x＝2代入②，得y＝0，
∴原方程组的解是 ．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，零指数幂，二次根式的性质，解二元一次方程组，解决本题的
关键是掌握以上知识熟练运算．
38．（2022·辽宁·统考中考真题）多功能家庭早餐机可以制作多种口味的美食，深受消费者的喜爱，在新
品上市促销活动中，已知8台A型早餐机和3台B型早餐机需要1000元，6台A型早餐机和1台B型早餐
机需要600元．
(1)每台A型早餐机和每台B型早餐机的价格分别是多少元？
(2)某商家欲购进A，B两种型号早餐机共20台，但总费用不超过2200元，那么至少要购进A型早餐机多
少台？
【答案】(1)每台A型早餐机80元，每台B型早餐机120元；
(2)至少要购进A型早餐机5台．
【分析】（1）设A型早餐机每台x元，B型早餐机每台y元，根据等量关系列方程组求解即可；
（2）设购进A型早餐机n台，根据总费用不超过2200元列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：设A型早餐机每台x元，B型早餐机每台y元，依题意得：
，
解得： ，
答：每台A型早餐机80元，每台B型早餐机120元；
（2）解：设购进A型早餐机n台，依题意得：
80n+120（20﹣n）≤2200，
解得：n≥5，
答：至少要购进A型早餐机5台．
【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，解题的关键的是理解题意找
出等量关系列出方程，以及根据条件列出不等式求解．
39．（2022·山东德州·统考中考真题）如图，某小区矩形绿地的长宽分别为35m，15m．现计划对其进行扩
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充，将绿地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地．
(1)若扩充后的矩形绿地面积为 ，求新的矩形绿地的长与宽；
(2)扩充后，实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为 ．求新的矩形绿地面积．
【答案】(1)新的矩形绿地的长为 ，宽为
(2)新的矩形绿地面积为 ．
【分析】（1）设将绿地的长、宽增加 ，则新的矩形绿地的长为 ，宽为 ，根据扩充后
的矩形绿地面积为 ，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，将其正值分别代入
及 中，即可得出结论；
（2）设将绿地的长、宽增加 ，则新的矩形绿地的长为 ，宽为 ，根据实地测量发现
新的矩形绿地的长宽之比为5：3，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出y值，再利用矩形的面
积计算公式，即可求出新的矩形绿地面积．
【详解】（1）解：（1）设将绿地的长、宽增加 ，则新的矩形绿地的长为 ，宽为 ，
根据题意得： ，
整理得： ，
解得： （不符合题意，舍去），
．
答：新的矩形绿地的长为40m，宽为20m．
（2）设将绿地的长、宽增加 ，则新的矩形绿地的长为 ，宽为 ，
根据题意得： ，
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即 ，
解得： ，
．
答：新的矩形绿地面积为 ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确
列出一元二次方程与一元一次方程．
40．（2023年江苏省徐州市中考数学真题）（1）解方程组
（2）解不等式组
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）利用代入法解二元一次方程组即可；
（2）求出每个不等式的解集，取每个不等式解集的公共部分即可．
【详解】解：（1）
把①代入②得， ，
解得 ，
把 代入①得， ，
∴ ；
（2）
解不等式①得， ，
解不等式②得， ，
∴不等式组的解集是 ．
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【点睛】此题考查了二元一次方程组的解法和一元一次不等式组的解法，熟练掌握相关解法是解题的关键．
41．（2023·广东广州·统考一模）《九章算术》中有一道题的条件是：“今有大器五小器一容三斛，大器
一小器五容二斛．”大致意思是：有大小两种盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛
2斛米，依据该条件，求1个大桶和1个小桶分别可以盛多少斛米？设1个大桶盛 斛米，1个小桶盛 斛
米．可列方程组（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设1个大桶可以盛米x斛，1个小桶可以盛米y斛，根据“5个大桶加上1个小桶可以盛米3斛，1
个大桶加上5个小桶可以盛米2斛”即可得出关于x、y的二元一次方程组．
【详解】解：设1个大桶可以盛米x斛，1个小桶可以盛米y斛，
根据题意得： ，
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据数量关系列出关于x、y的二元一次方程组是
解题的关键．
42．（2023·河南郑州·郑州外国语中学校考三模） 九章算术 是中国古代的一本重要数学著作，其中有一
道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重 两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕
的重量各为多少？”解：设雀每只 两，燕每只 两，则可列出方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设雀每只 两，燕每只 两，根据“五只雀、六只燕，共重 两，雀重燕轻．互换其中一只，恰
好一样重”可列出方程组，从而可得答案．
【详解】设雀每只 两，燕每只 两，则可列出方程组为：
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．
故选：B．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，确定相等关系列方程组是解本题的关键．
43．（2023·浙江杭州·校考三模）若方程组 的解也是方程 的解，则 的值是（
）
A．6 B．10 C．9 D．
【答案】D
【分析】先解二元一次方程组，再将二元一次方程组的解代入 ，求解即可得到答案．
【详解】解： ，
② ① 得： ，
，
将 代入①得： ，
，
方程组的解为 ，
将 代入 得： ，
，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组及二元一次方程组的解，熟练掌握解二元一次方程组的解法是
解题的关键．
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44．（2023·广东江门·校考二模）已知实数x，y满足方程组 ，则 ．
【答案】2
【分析】代数式9x2−4y2因式分解得到(3x+2y)(3x-2y)，再整体代入即可求解．
【详解】解：∵实数x，y满足方程组 ，
∴3x+2y=2，3x-2y=1，
∴9x2−4y2=(3x+2y)(3x-2y)
=2×1
=2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解、代数式的求值和因式分解的应用，熟练掌握因式分解以及整体
代入法是解决本题的关键
45．（2023·重庆大渡口·统考模拟预测）为进一步改善生态环境，村委会决定在甲、乙、丙三座山上种植
香樟和红枫．在实际购买时，香樟的价格比预算低 ，红枫的价格比预算高 ，香樟购买数量减少了
，红枫购买数量与预算保持不变，结果所花费用恰好与预算费用相等，则实际购买香樟的总费用与
实际购买红枫的总费用之比为 ．
【答案】 /
【分析】设预算购买香樟量为 ，单价为 ；红枫量为 ，单价为 ，根据题意列出等式得出 ，即
可求解．
【详解】解：设预算购买香樟量为 ，单价为 ；红枫量为 ，单价为 ，
由题意得： ，
整理得： ，
，
实际购买香樟的总费用为 ，实际购买红枫的总费用为 ，
，
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故答案为： ．
【点睛】本题考查了用字母表示数，根据相等关系列方程进行化简等知识，解决问题的关键是设需要的量，
列出关系式，进行数据处理．
46．（2023·广东广州·统考一模）坚定文化自信，为乡村振兴塑形铸魂．为发展旅游经济，某乡村企业制
作一批“美丽乡村”主题文化衫进行销售．第一批文化衫的制作成本是3000元，面市后文化衫供不应求，
又用6600元制作了第二批同款文化衫，制作的数量是第一批数量的2倍，但由于原材料涨价，第二批文化
衫每件的成本增加了3元．
(1)该企业制作的第一批文化衫每件的成本是多少元？
(2)两批文化衫标价相同，在季末清仓时，最后30件按6折全部售出．问每件文化衫标价为多少元时，才
能使两批文化衫的销售盈利率等于 ？
注：盈利率＝（销售金额－成本）÷成本
【答案】(1)第一批文化衫每件的成本是30元
(2)每件文化衫标价为50元
【分析】（1）设第一批文化衫每件的成本是x元，则第二批文化衫每件的成本是 元，根据所给数量
关系列分式方程，即可求解；
（2）设每件文化衫标价为y元，根据盈利率 （销售金额－成本） 成本，列一元一次方程，解方程即可．
【详解】（1）解：设第一批文化衫每件的成本是x元，
由题意知， ，
化为整式方程为： ，
解得 ，
经检验， 是所列分式方程的解，
因此第一批文化衫每件的成本是30元；
（2）解：设每件文化衫标价为y元，
由题意知 ，
解得 ，
即每件文化衫标价为50元时，才能使两批文化衫的销售盈利率等于 ．
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【点睛】本题考查分式方程、一元一次方程的实际应用，解题的关键是根据所给等量关系正确列出方程．
47．（2022·山东德州·统考中考真题）（1）化简： ；
（2）解方程组： ．
【答案】（1） ；（2）方程组的解为
【分析】（1）根据分式混合运算法则进行计算即可；
（2）用加减消元法解二元一次方程组即可．
【详解】解：（1）
；
（2） ，
得 ，
解得 ，
将 代入①得 ，
解得 ，
∴方程组的解为 ．
【点睛】本题主要考查了分式混合运算，解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则和
解二元一次方程的方法，准确计算．
48．（2023·广东广州·广州大学附属中学校考一模）解方程组：
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【答案】
【分析】根据加减消元法可求解方程组．
【详解】解：
得： ，
把 代入①得： ，
解得： ，
∴原方程组的解为 ．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
49．（2023·浙江·一模）（1）计算： ．
（2）解方程组
【答案】（1）1；（2）
【分析】（1）先根据特殊角的三角函数值，算术平方根，零指数幂进行计算，再算乘法，最后算加减即
可；
（2）② ①得出 ，求出 ，再把 代入①求出 即可．
【详解】解：（1）
；
（2） ，
② ①，得 ，
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解得： ，
把 代入①，得 ，
解得： ，
所以方程组的解 ．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，零指数幂，实数的混合运算，解二元一次方程组等知识点，能
正确根据实数的运算法则进行计算是解（1）的关键，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解（2）
的关键．
50．（2023·湖北孝感·校考三模）在“抗击疫情”期间，某学校工会号召广大教师积极开展了“献爱心捐
款”活动，学校拟用这笔捐款购买A、B两种防疫物品．如果购买A种物品30件，B种物品20件，共需
680元；如果购买A种物品50件，B种物品40件，共需1240元．
(1)求A、B两种防疫物品每件各多少元；
(2)现要购买A、B两种防疫物品共300件，总费用不超过4000元，那么A种防疫物品最少购买多少件？
【答案】(1)A种防疫物品每件12元，B种防疫物品每件16元
(2)A种防疫物品最少购买200件
【分析】（1）设A种防疫物品每件x元，B种防疫物品每件y元，根据“如果购买A种物品30件，B种物
品20件，共需680元；如果购买A种物品50件，B种物品40件，共需1240元”，即可得出关于x、y的
二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买A种防疫物品m件，则购买B种防疫物品 件，根据总价、单价、数量的关系，结合
总费用不超过4000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中最小的整数即可得出结论．
【详解】（1）解：设A种防疫物品每件x元，B种防疫物品每件y元，
依题意，得 ，
解得 ．
答：A种防疫物品每件12元，B种防疫物品每件16元；
（2）解：设购买A种防疫物品m件，则购买B种防疫物品 件，
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依题意，得： ，
解得： ，
∴m的最小值为200．
答：A种防疫物品最少购买200件．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量
关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量间的关系，列出关于m的一元一次不等式．
51．（2023·广东河源·校联考一模）开学前夕，某书店计划购进 A、B 两种笔记本共 350 本．已知 A 种
笔记本的进价为 12 元/本，B 种笔记本的进价为 15 元/本，共计 4800 元．
(1)请问购进了A种笔记本多少本？
(2)在销售过程中，A、B两种笔记本的标价分别为20元/本、25元/本．受疫情影响，两种笔记本按标价各
卖出m本以后，该店进行促销活动，剩余的A种笔记本按标价的七折全部售出，剩余的B种笔记本按成本
价清货，若两种笔记本的总利润不少于2348元，请求出m的最小值．
【答案】(1)购进了A种笔记本150本；
(2)m的最小值128．
【分析】（1）设购进了A种笔记本x本，则B种笔记本 本，根据题意列方程求解即可；
（2）由（1）可得，购进了B种笔记本 本，根据题意，列出不等式，然后求解即可．
【详解】（1）解：设购进了A种笔记本x本，则B种笔记本 本，
由题意可得：
解得 ，
答：购进了A种笔记本150本；
（2）解：由（1）可得，购进了B种笔记本 本，
由题意可得： ，
解得 ，
答：m的最小值128．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意，设出未知数，
找到等量关系和不等量关系，正确列出方程和不等式．
52．（2023·广东广州·统考一模）“桃之夭夭，灼灼其华”，每年 月份，我区某湿地公园内的桃花陆
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续绽放，引来众多市民前往踏青观赏，纷纷拍照留念，记录生活美好时光，小王抓住这一商机，计划从市
场购进 、 两种型号的手机自拍杆进行销售，据调查，购进 件 型号和 件 型号自拍杆共需 元，其
中 件 型号自拍杆价格是 件 型号自拍杆价格的 倍．
(1)求 件 型号和 件 型号自拍杆的进价各是多少元？
(2)若小王计划购进 、 两种型号自拍杆共 件，并将这两款手机自拍杆分别以 元， 元的价钱进行
售卖，为了保证全部售卖完后的总利润不低于 元，求最多购进 型号自拍杆多少件？
【答案】(1) 件 型号自拍杆的进价为 元， 件 型号自拍杆的进价为 元
(2)最多购进 型号自拍杆 件
【分析】（1） 件 型号自拍杆的进价为 元， 件 型号自拍杆的进价为 元，根据题意列出二元一次方
程组，解方程组即可求解；
（2）设购进 型号自拍杆 件，则购进 型号自拍杆 件，根据题意列出不等式，解不等式，求最
大整数解即可求解．
【详解】（1）解： 件 型号自拍杆的进价为 元， 件 型号自拍杆的进价为 元，根据题意得，
解得：
答： 件 型号自拍杆的进价为 元， 件 型号自拍杆的进价为 元
（2）解：设购进 型号自拍杆 件，则购进 型号自拍杆 件，根据题意得，
解得： ，
取最大整数解 ，
答：最多购进 型号自拍杆 件．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程组和不等式是解
题的关键．
53．（2023·广东佛山·统考一模）我国古代数学著作《九章算术》中记载有这样一个问题：“今有甲、乙
二人，持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲大半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”题目大意是：
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今有甲、乙二人，各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的
，那么乙也共有钱50，问甲、乙二人各带了多少钱？
(1)求甲、乙两人各带的钱数；
(2)若小明、小颖去文具店购买作业本，两人带的钱数（单位：元）恰好等于甲、乙两人各带的钱数，已知
作业本的单价为2.5元/本．由于开学之际，文具店搞促销活动，凡消费50元可以打八折，那么他们合起来
购买可以比单独购买多多少本作业本？
【答案】(1)甲带钱 ，乙持钱
(2)他们合起来购买可以比单独购买多6本作业本
【分析】（1）设甲带钱x，乙持钱y，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）分别计算出分开买和合起来买的数量，再比较即可作答．
【详解】（1）解：设甲带钱x，乙持钱y，
根据题意得：
，
解得： ，
答：甲带钱 ，乙持钱 ；
（2）分开买： （本）；
合起来买： （本），
即： （本），
即：他们合起来购买可以比单独购买多6本作业本．
【点睛】本题主要考查了使用二元一次方程组解答古代问题的知识，明确题意，列出方程组是解答本题的
关键．
54．（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考三模）八年级学生到距学校150km的景区游览．景区提供了快车和
慢车两种车型前往学校接学生到景区，所有车辆均沿同一路线往返．
(1)由于快车有其他接送任务，八年级（1）班学生乘慢车从学校出发时，快车才从景区出发前往学校接八
年级（2）班学生，1.2小时后快车在前往学校的途中与慢车相遇．若快车每小时比慢车多行驶25km，求
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慢车的平均速度；
(2)有四名学生负责准备活动道具，在八年级（2）班学生乘快车出发0.5小时后，他们四人才完成准备工作，
学校立即安排一辆小车送他们前往景区．为安全起见，快车接上学生返回景区时速度减慢，结果和小车同
时抵达景区，若小车速度是快车返回景区的速度的1.25倍，求快车返回景区的平均速度．
【答案】(1)慢车的平均速度为
(2)快车返回景区的平均速度为
【分析】（1）设慢车的平均速度为 ，则快车的平均速度为 ，然后可列方程进行求解；
（2）设快车返回景区的平均速度为 ，则小车的速度为 ，然后根据题意可列方程进行求
解．
【详解】（1）解：设慢车的平均速度为 ，则快车的平均速度为 ，由题意得：
，
解得： ；
答：慢车的平均速度为 ；
（2）解：设快车返回景区的平均速度为 ，则小车的速度为 ，由题意得：
，
解得： ，
经检验： 是原方程的解；
答：快车返回景区的平均速度为 ．
【点睛】本题主要考查一元一次方程及分式方程的应用，解题的关键是理解题意，找出等量关系式．
55．（2023·黑龙江哈尔滨·统考一模）海华商店为庆祝开业要购入一批花篮，若购入2个A型花篮和1个B
型花篮需要680元；若购入1个A型花篮和3个B型花篮需要840元．
(1)求每个A型花篮和每个B型花篮各需多少元；
(2)该商店计划购入两种花篮共20个，总费用不超过4400元，那么至少购进B型花篮多少个？
【答案】(1)240元；200元
(2)10
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【分析】（1）设每个A型花篮x元，每个B型花篮y元，根据题意列二元一次方程组求解即可；
（2）设至少购进B型花篮a个，则购进A型花篮 个，根据题意列不等式求解即可．
【详解】（1）解：设每个A型花篮x元，每个B型花篮y元，由题意可得：
，解得： ，
∴每个A型花篮240元，每个B型花篮200元，
答：每个A型花篮240元，每个B型花篮200元．
（2）解：设至少购进B型花篮a个，则购进A型花篮 个，由题意得：
，
解得： ，
∴a的最小值为：10，
答：至少购进B型花篮10个．
【点睛】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的实际应用，明确题意列方程组和不等式是解题的关
键．
56．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）（1）解方程组： ；
（2）解不等式：
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）用加减消元法解方程组即可；
（2）按照去分母、去括号、移项合并、化系数为1的步骤解不等式即可；
【详解】（1）解： ，
，得 ，
解得：
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把 代入①，得
所以原方程组的解是：
（2）解不等式：
解：去分母得： ，
去括号得： ，
移项、合并得： ，
系数化为1得： ．
【点睛】本题考查了加减消元法解二元一次方程组、求一元一次不等式的解集；解题的关键是熟练掌握解
题方法、正确求解．
57．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）为了丰富学生课后服务活动，某中学准备购买足球、排球两种体育用
品，已知购买1个足球和4个排球的费用为190元，购买3个足球和2个排球的费用为220元．
(1)求每个足球和每个排球各多少元？
(2)该学校若购买足球和排球共60个，且支出不超过2600元，那么足球最多能买多少个？
【答案】(1)一个足球50元，一个排球35元
(2)33个
【分析】（1）设一个足球 元，一个排球 元．根据题意，列出方程组求解即可．
（2）设购买足球 个，根据题意，列出不等式，求整数解即可．
【详解】（1）解：设一个足球 元，一个排球 元．根据题意，得：
解得：
答：一个足球50元，一个排球35元．
（2）设购买足球 个，根据题意，得：
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解得：
∵ 是整数
∴ 的最大值是33，
答：足球最多购买33个．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，不等式的应用，根据数量关系列出方程组和不等式是解题的关
键．
58．（2023·广东广州·统考一模）解方程组：
【答案】
【分析】利用加减消元法解二元一次方程组即可.
【详解】 ，
①+②得：
3x=6，
x=2，
把x=2代入①得：
2﹣y=1，
y=1．
则原方程组的解为： ．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，灵活选取二元一次方程组的解法是解题的关键.
59．（2023·河南驻马店·校联考二模）2022年北京冬奥会点燃了人们对冰雪运动的热情，各种有关冬奥会
的纪念品也一度脱销．某实体店购进了甲、乙两种纪念品各20个，共花费720元．已知乙种纪念品每个进
价比甲种纪念品贵4元．
(1)甲、乙两种纪念品每个进价各是多少元？
(2)这批纪念品上架之后很快售罄．该实体店计划按原进价再次购进这两种纪念品共100件，销售官网要求
新购进甲种纪念品数量不低于乙种纪念品数量的 （不计其他成本）．已知甲、乙纪念品售价分别为24
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元/个，30元/个．请问实体店应怎样安排此次进货方案，才能使销售完这批纪念品获得的利润最大？
【答案】(1)甲种纪念品每件进价是16元，乙种纪念品每件进价为20元
(2)购进甲种纪念品25件，乙种纪念品75件时利润最大
【分析】（1）设甲种纪念品每件进价是 元，乙种纪念品每件进价为 元，找出等量关系，根据题意列出
方程组即可求解；
（2）设新购甲种纪念品 件，则乙种纪念品为 件，设销售完这批纪念品获得的利润为 元，根
据题意即可得到 与 之间的函数关系式；再根据 的取值与一次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：设甲种纪念品每件进价是 元，乙种纪念品每件进价为 元，
由题意得 ，
解得 ．
答：甲种纪念品每件进价是16元，乙种纪念品每件进价为20元．
（2）解：设新购甲种纪念品 件，则乙种纪念品为 件，设销售完这批纪念品获得的利润为 元，
由题意可得： ，
解得 ，
，
，
，
随 的增大而减小，且 ，
当 时， 有最大值，此时 ．
答：购进甲种纪念品25件，乙种纪念品75件时利润最大．
【点睛】本题主要考查了列方程组解决实际问题、一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键
是找到数量关系列出方程组或函数关系式．
60．（2023·湖北黄石·校考模拟预测）如果方程 有两个实数根 ， ，那么 ，
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，请根据以上结论，解决下列问题：
(1)已知 ， 是方程 的二根，则
(2)已知 、 、 满足 ， ，求正数 的最小值．
(3)结合二元一次方程组的相关知识，解决问题：已知 和 是关于 ， 的方程组
的两个不相等的实数解．问：是否存在实数 ，使得 ？若存在，求出的
值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，
【分析】（1）根据 ， 是方程 的二根，求出 ， 的值，即可求出 的值；
（2）根据 ， ，得出 ， ， 、 是方程 的解，再根据
，即可求出 的最小值；
（3）运用根与系数的关系求出 ， ，再解 ，即可求出 的值．
【详解】（1）解：∵ ， 是方程 的二根，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）∵ ， ，
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∴ ， ，
∴ 、 是方程 的解，
∴ ，
∴ ，
∵ 是正数，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴正数 的最小值是 ；
（3）存在，当 时， ．理由如下：
∵ ，
由①得： ，
由②得： ，
∴ ，即 ，
由题意思可知， ， 是方程 的两个不相等的实数根，
∴ ，
则 ，
∵ 和 是关于 ， 的方程组 的两个不相等的实数解，
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∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
整理得： ，
解得： ， （舍去），
∴ 的值为 ．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系：若 ， 是一元二次方程 的两根，
则 ， ，将根与系数的关系与代数式变形相结合是解题的关键．也考查了一元二次方程
根的判别式，不等式、二元一次方程组及一元二次方程的解法．
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