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2026年中考数学一轮复习 二元一次方程组
一．选择题（共15小题）
{ x+ y=1−a
1．已知方程组 的解x为正数，y为非负数，给出下列结论：
x−y=3a+5
①﹣3＜a≤1；
5
②当a=− 时，x＝y；
3
③当a＝﹣2时，方程组的解也是方程x+y＝5+a的解；
④若x≤1，则y≥2．
其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．②③④
{ x+my=7①
2．已知关于x，y的方程组 ，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得
mx−y=2+m②
到一个新的方程，当m每取一个值时，就有一个方程，这些方程有一个公共解，这个公共解为（
）
{ x=4 { x=1 { x=5 {x=−5
A． B． C． D．
y=−1 y=−4 y=−4 y=4
3．我的家用小轿车配备了一种牌子的轮胎，装在前轮其可使用的距离为40000千米，装在后轮则可
使用60000千米，如果将前后轮交换使用，则用这一组四个轮胎可行驶的最大距离为（ ）
A．44000千米 B．48000千米 C．50000千米 D．52000千米
{x−2y=a+6
4．在关于x，y的二元一次方程组 的下列说法中，正确的是（ ）
3x+ y=2a
①当a＝3时，方程的两根互为相反数；②当且仅当a＝﹣4时，解得x与y相等；③x，y满足
关系式x+5y＝﹣12；④若9x•27y＝81，则a＝10．
A．①③ B．①② C．①②③ D．①②③④
5．甲、乙、丙三家艺术中心为表彰进步学生，准备去文具店采购签字笔、笔记本、钢笔三种文具，
签字笔、笔记本、钢笔单价分别为8元、10元、25元．乙艺术中心采购签字笔数量是甲的6倍，
笔记本数量是甲的12倍，钢笔数量是甲的8倍，丙采购的签字笔数量是甲的3倍，笔记本数量是
甲的9倍，钢笔数量和甲相同．三家艺术中心采购总费用为2850元，丙艺术中心比甲艺术中心总
费用多464元，则甲艺术中心采购总费用为（ ）元
A．237 B．350 C．425 D．901
x+ y−z x−y+z
6．实数x、y、z且x+y+z≠0，x= ，z= ，则下列等式成立的是（ ）
2 2
A．x2﹣y2＝z2 B．xy＝z C．x2+y2＝z2 D．x+y＝z
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{x+2y=5−2a
7．已知关于x，y的方程组 给出下列结论：
x−y=4a−1
①当a＝1时，方程组的解也是x+y＝2a+1的解；
②无论a取何值，x，y的值不可能是互为相反数；
③x，y都为自然数的解有4对；
④若2x+y＝8，则a＝2．
正确的有几个（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
{ m x+n y=7 {x=−1
8 ． 若 关 于 x 、 y 的 二 元 一 次 方 程 组 1 1 的 解 为 ， 则 方 程 组
m x−n y=−5 y=2
2 2
1
{ m x+ n y=7+2m
1 3 1 1
的解是（ ）
1
m x− n y=−5+2m
2 3 2 2
{x=1 {x=1 {x=2 {x=3
A． B． C． D．
y=4 y=6 y=3 y=5
{x+3 y=4−a
9．已知关于x，y的二元一次方程组 ，给出下列结论中正确的是（ ）
x−y=3a
①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，a＝﹣2；
②当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝4+2a的解；
③无论a取什么实数，x+2y的值始终不变；
x 3
④若用x表示y，则y=− + ；
2 2
A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④
10．普通火车从绵阳至成都历时大约2小时，成绵城际快车开通后，时间大大缩短至几十分钟，现
假定普通火车与城际快车两列对开的火车于同一时刻发车，其中普通火车由成都至绵阳，城际快
车由绵阳至成都，这两车在途中相遇之后，各自用了 80分钟和20分钟到达自己的终点绵阳、成
都，则城际快车的平均速度是普通火车平均速度的（ ）倍．
A．2 B．2.5 C．3 D．4
{x+3 y=4−a
11．已知关于x，y的二元一次方程组 ，给出下列结论中正确的是（ ）
x−y=3a
①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，a＝﹣2；
②当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝4+2a的解；
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③无论a取什么实数，x+2y的值始终不变；
x 3
④若用x表示y．则y=− + ；
2 2
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
12．如图，长方形ABCD被分成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形，设长方形ABCD的
9
周长为 l，若图中 3 个正方形和 2 个长方形的周长和为 l，则标号为①的正方形的边长为
4
（ ）
1 1 5 1
A． l B． l C． l D． l
12 16 16 18
{x+3 y=4−a
13．已知关于x，y的方程组 ，其中﹣3≤a≤1，下列命题正确的个数为（ ）
x−y=3a
①当a＝﹣2时，x、y的值互为相反数；
{ x=5
② 是方程组的解；
y=−1
③当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝4﹣a的解；
④若x≤1，则1≤y≤4．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
14．我们知道自行车一般是由后轮驱动，因此，后轮胎的磨损要超过前轮胎，假设前轮行驶5000千
米报废，后轮行驶3000千米报废，如果在自行车行驶若干千米后，将前后轮进行对换，那么这
对轮胎最多可以行驶（ ）
A．4000 千米 B．3750 千米 C．4250 千米 D．3250 千米
{x=2
15．已知 是关于x，y的二元一次方程mx+ny＝7的解，则代数式4m+6n﹣3的值是（ ）
y=3
A．14 B．11 C．7 D．4
二．填空题（共13小题）
{2x+ y=−3m+2 3
16．若关于x、y的二元一次方程组 的解满足x+ y＞− ，则满足条件的m的所
x+2y=4 2
有非负整数值为 ．
17．在长方形ABCD中放入六个完全相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则小长方形的宽CE为
cm．
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18．小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图所示，3个纸杯叠放在一
起高度为9cm，8个纸杯叠放在一起高度为14cm，若小明把20个纸杯整齐叠放在一起时，它的高
度约是 cm．
19．如图是由同一种长方形墙砖粘贴的部分墙面，其中三块横放的墙砖比一块竖放的墙砖高10cm，
两块横放的墙砖比两块竖放的墙砖低40cm，则每块长方形墙砖的周长是 cm．
20．如图，从标注3的圆圈开始，顺时针方向按an+b的规律（n表示前一个圆圈中的数字，a，b是
常数）转换后得到下一个圆圈中的数，例如：从“3→﹣1”得3a+b＝﹣1，则标注“？”的圆圈
中的数是 ．
21．如图，用12块形状和大小均相同的小长方形拼成一个宽是40的大长方形，则每个小长方形的
面积是 ．
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{ x+ y=3k
22 ． 若 关 于 x ， y 的 方 程 组 的 解 ， 也 是 方 程 2x﹣ y ＝ 6 的 解 ， 则 k ＝
x−2y=9k
．
23．王明在看中国清代算书《御制数理精蕴》时有这样一道题：“马四匹、牛六头，共价四十八两
（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两，问马、牛各价几何？”设马每匹m两，
牛每头n两，请你根据题意列出方程组是 ．
24．母亲节到了，小红，小莉，小莹到花店买花送给自己的母亲．小红买了3枝玫瑰，7枝康乃馨，
1枝百合花，付了14元；小莉买了4枝玫瑰，10枝康乃馨，1枝百合花，付了16元；小莹买上面
三种花各2枝，则她应付 元．
25．幻方是一种中国传统游戏，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格，其规则是将
数字填在正方形格子中，使每一行、每一列和两条对角线上的3个数字的和都相等．例如图①就
是一个幻方．
（Ⅰ）图②是一个未完成的幻方，则x+y的结果为 ；
（Ⅱ）图③中的x为 （用含a的式子表示）．
26．《九章算术》记载了这样一个问题：“今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一
顷，价钱一万，问善田几何？“意思是：当下良田 1亩，价值300钱；薄田7亩，价值500钱．
现在共买100亩，价值10000钱．根据条件，良田买了 亩．（注：1顷＝100亩）
27．用8个大小完全相同的长方形在平面直角坐标系中摆成如图所示的图案，已知点A（4，10），
则点B的坐标是 ．
28．我国古典数学文献《增删算法统宗•六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，
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二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当，二人闲坐恼心
肠，画地算了半晌”其大意为：甲、乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊．如果乙给甲9只羊，
那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同，请问甲，乙各有多少只羊？
设甲有羊x只，乙有羊y只，根据题意，可列方程组为 ．
三．解答题（共6小题）
29．解方程组：
{ x−y=3
（1） ；
3x−8 y=14
{3x−2y=4
（2） ．
7x+4 y=18
30．袁隆平爷爷多次说：“中国人要把饭碗牢牢地端在自己的手里!”为扩大粮食生产规模，稻田公
园生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机，已知购进 1件甲种农机和1件乙种农机共需
2万元，购进2件甲种农机和3件乙种农机共需5.5万元．
（1）求购进1件甲种农机和1件乙种农机各需多少万元？
（2）若该粮食生产基地计划购进甲、乙两种农机共10件，且投入资金不少于9.5万元且不超过
12万元，则有哪几种购买方案？哪种购买方案需要的资金最少，最少资金是多少？
31．秋季由于气候干燥，天气转冷，用火用电情况大量增加，起火原因增多，火灾危险性加大．为
了加强秋季防火用电安全，提高同学们的安全防范意识，某学校组织了“用电安全”知识竞赛，
对表现优异的班级进行奖励，学校购买了若干支钢笔和中性笔．购买5支钢笔和10支中性笔共需
110元；购买8支钢笔和6支中性笔共需126元．
（1）求购买1支钢笔和1支中性笔各需多少元；
1
（2）若学校购买钢笔和中性笔共200支，其中钢笔的数量不得少于中性笔数量的 ，且总支出不
3
超过1364元，那学校有哪几种购买方案？
32．为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，某学校组织学生到郊外参加义务植树活动，
并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为50g，营养成分如图所示．
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（1）若要从这两种食品中摄入3900KJ热量和60g蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？
（2）运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多．若要从这两种食品中摄入的蛋白质含量
等于80g，应选用A，B两种食品各多少包（A，B两种食品都选且不能拆分）？
33．如图是中国邮政发行的《数学之美》的邮票，其中一张圆周率邮票面值为80分，莫比乌斯带邮
票面值为1.50元．小宇购买这两种邮票共7张，恰好花了7元，求小宇购买这两种邮票各多少张．
34．“脐橙结硕果，香飘引客来”，赣南脐橙以其“外表光洁美观，肉质脆嫩，风味浓甜芳香”的
特点饮誉中外．现欲将一批脐橙运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满脐橙一次可运
走10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满脐橙一次可运走11吨．现有脐橙31吨，计划同时租用
A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满脐橙．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆A型车和1辆B型车都载满脐橙一次可分别运送多少吨？
（2）请你帮该物流公司设计租车方案；
（3）若1辆A型车需租金100元/次，1辆B型车需租金120元/次．请选出费用最少的租车方案，
并求出最少租车费．
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2026年中考数学一轮复习 二元一次方程组
参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题）
{ x+ y=1−a
1．已知方程组 的解x为正数，y为非负数，给出下列结论：
x−y=3a+5
①﹣3＜a≤1；
5
②当a=− 时，x＝y；
3
③当a＝﹣2时，方程组的解也是方程x+y＝5+a的解；
④若x≤1，则y≥2．
其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．②③④
【答案】B
【分析】用加减法解出方程组，根据方程组的解对各个选项进行判断即可．
{x+ y=1−a①
【解答】解：
x−y=3a+5②
①+②得，x＝3+a，
①﹣②得，y＝﹣2a﹣2，
①由题意得，3+a＞0，a＞﹣3，
﹣2a﹣2≥0，a≤﹣1，
∴﹣3＜a≤﹣1，①不正确；
5
②3+a＝﹣2a﹣2，a=− ，②正确；
3
③a＝﹣2时，x+y＝1﹣a＝3，5+a＝3，③正确；
④x≤1时，﹣3＜a≤﹣2，则4＞﹣2a﹣2≥2，④错．
故选：B．
【点评】本题考查的是二元一次方程组的解法和一元一次不等式的解法，正确解出方程组是解题
的关键，注意方程与不等式的综合运用．
{ x+my=7①
2．已知关于x，y的方程组 ，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得
mx−y=2+m②
到一个新的方程，当m每取一个值时，就有一个方程，这些方程有一个公共解，这个公共解为（
）
{ x=4 { x=1 { x=5 {x=−5
A． B． C． D．
y=−1 y=−4 y=−4 y=4
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【答案】C
【分析】根据题意①+②得x﹣y﹣9+m（x+y﹣1）＝0，然后根据题意列出方程组即可求得公共
解．
【解答】解：①+②得，
x+my+mx﹣y＝9+m
x﹣y﹣9+mx+my﹣m＝0
x﹣y﹣9+m（x+y﹣1）＝0
根据题意，这些方程有一个公共解，与m的取值无关，
{x−y−9=0
x+ y−1=0
{ x=5
解得
y=−4
{ x=5
所以这个公共解为
y=−4
故选：C．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解法，解题关键是利用筛选法解二元一次方程组．
3．我的家用小轿车配备了一种牌子的轮胎，装在前轮其可使用的距离为40000千米，装在后轮则可
使用60000千米，如果将前后轮交换使用，则用这一组四个轮胎可行驶的最大距离为（ ）
A．44000千米 B．48000千米 C．50000千米 D．52000千米
【答案】B
【分析】设每个新轮胎报废时的总磨损量为 k，一组新轮胎交换位置前走了xkm，交换位置后走
了ykm，根据交换前磨损总量和交换后的磨损总量相等，可列出方程组，解方程组即可．
【解答】解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为 k，则安装在前轮的轮胎每行驶 1km磨损量为
k k
，安装在后轮的轮胎每行驶1km的磨损量为 ，
40000 60000
又设一对新轮胎交换位置前走了xkm，交换位置后走了ykm，
分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程，有
kx ky
{ + =k
40000 60000
，
kx ky
+ =k
60000 40000
k(x+ y) k(x+ y)
两式相加，得 + =2k，
40000 60000
则x+y＝48000，即这一组四个轮胎可行驶的最大距离为48000米．
故选：B．
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【点评】本题考查了应用类问题，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再
求解，准确地找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．
{x−2y=a+6
4．在关于x，y的二元一次方程组 的下列说法中，正确的是（ ）
3x+ y=2a
①当a＝3时，方程的两根互为相反数；②当且仅当a＝﹣4时，解得x与y相等；③x，y满足
关系式x+5y＝﹣12；④若9x•27y＝81，则a＝10．
A．①③ B．①② C．①②③ D．①②③④
【答案】D
【分析】用代入消元法先求出方程组的解，①根据互为相反数的两个数的和为0，列出方程，求
出a即可判断；②根据x＝y列出方程，求出a即可判断；③在原方程中，我们消去a，即可得
到x，y的关系；④把底数统一化成a，等式左右两边的底数相同时，指数也相同，得到 x，y的
方程，把方程组的解代入求出a．
{x−2y=a+6，①
【解答】解： ，
3x+ y=2a．②
由①得：x＝2y+a+6③，
−a−18
把③代入②中，得：y= ④，
7
5a+6
把④代入③中，得：x= ，
7
5a+6
{ x=
7
∴原方程组的解为 ．
−a−18
y=
7
①∵方程的两根互为相反数，
∴x+y＝0，
5a+6 −a−18
即 + =0，
7 7
解得：a＝3，
∴①正确；
②当x与y相等时，x＝y，
5a+6 −a−18
即 = ，
7 7
解得：a＝﹣4，
∴②正确；
③在原方程中，我们消去a，得到x，y的关系，
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②﹣①×2得：x+5y＝﹣12，
∴③正确；
④∵9x•27y＝81，
∴（32）x•（33）y＝34，
∴32x•33y＝34，
∴32x+3y＝34，
∴2x+3y＝4，
2(5a+6) 3(−a−18)
将方程组的解代入得： + =4，
7 7
解得：a＝10，
∴④正确．
综上所述，①②③④都正确．
故选：D．
【点评】本题考查二元一次方程组的解法，考核学生的计算能力，解方程组的关键是消元，消元
的常用方法是代入消元法和加减消元法．
5．甲、乙、丙三家艺术中心为表彰进步学生，准备去文具店采购签字笔、笔记本、钢笔三种文具，
签字笔、笔记本、钢笔单价分别为8元、10元、25元．乙艺术中心采购签字笔数量是甲的6倍，
笔记本数量是甲的12倍，钢笔数量是甲的8倍，丙采购的签字笔数量是甲的3倍，笔记本数量是
甲的9倍，钢笔数量和甲相同．三家艺术中心采购总费用为2850元，丙艺术中心比甲艺术中心总
费用多464元，则甲艺术中心采购总费用为（ ）元
A．237 B．350 C．425 D．901
【答案】A
【分析】设甲艺术中心采购签字笔数量为 x，笔记本数量为y，钢笔数量为z．根据题意，通过
“采购费用＝采购数量×文具单价”分别求出三家艺术中心的采购费用，再根据三家艺术中心采
购总费用为2850元，丙艺术中心比甲艺术中心总费用多464元，列方程组，最后结合文具数量为
正整数，求出甲艺术中心的三种文具的数量，进而得出答案．
【解答】解：设甲艺术中心采购签字笔数量为x，笔记本数量为y，钢笔数量为z．则三甲艺术中
心的采购费用分别如下：
甲：8x+10y+25z；
乙：8×6x+12×10y+8×25z＝48x+120y+200z；
丙：3×8x+9×10y+25z＝24x+90y+25z．
三家艺术中心采购费用的总和为：80x+220y+250z．
根据题意建立三元一次方程组，得
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{ 80x+220 y+250z=2850，
(24x+90 y+25z)−(8x+10 y+25z)=464．
化简，得
{8x+22y+25z=285，①．
x+5 y=29．②
①﹣②×8，得25z﹣18y＝53，
整理，得
18 y+53
z= ．
25
∵x，y，z均为正整数，
∴对于②式，y只可能为1、2、3、4、5．
18×4+53
只有y＝4时，z为正整数，故z= =5．
25
∴x＝29﹣5y＝29﹣5×4＝9．
所以甲艺术中心的采购总费用为：8x+10y+25z＝8×9+10×4+25×5＝237元．
故选：A．
【点评】本题考查了三元一次方程组的实际应用．通过方程组得到变量之间的数量关系，再结合
文具数量为正整数的隐含条件求解是本题的关键．
x+ y−z x−y+z
6．实数x、y、z且x+y+z≠0，x= ，z= ，则下列等式成立的是（ ）
2 2
A．x2﹣y2＝z2 B．xy＝z C．x2+y2＝z2 D．x+y＝z
【答案】A
【分析】分别化简这两个等式，得到 y＝x+z和y＝x﹣z，所以x+z＝x﹣z，所以z＝0，代入z
x−y+z
= 中得x＝y，因为x+y+z≠0，所以x＝y≠0，然后分别判断各选项即可．
2
x+ y−z
【解答】解：∵x= ，
2
∴2x＝x+y﹣z，
∴y＝x+z，
x−y+z
∵z= ，
2
∴2z＝x﹣y+z，
∴y＝x﹣z，
∴x+z＝x﹣z，
∴z＝0，
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x−y+z
把z＝0代入z= 中得：x＝y，
2
∵x+y+z≠0，
∴x＝y≠0．
A．x2﹣y2＝x2﹣x2＝0＝z2，所以A选项正确，符合题意；
B．xy≠0，z＝0，所以B选项错误，不符合题意；
C．x2+y2≠0，z2＝0，所以C选项错误，不符合题意；
D．x+y≠0，z＝0，所以D选项错误，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了三元一次方程组的解法，求出z＝0是解题的关键．
{x+2y=5−2a
7．已知关于x，y的方程组 给出下列结论：
x−y=4a−1
①当a＝1时，方程组的解也是x+y＝2a+1的解；
②无论a取何值，x，y的值不可能是互为相反数；
③x，y都为自然数的解有4对；
④若2x+y＝8，则a＝2．
正确的有几个（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】①根据消元法解二元一次方程组，然后将解代入方程x+y＝2a+1即可求解；
②根据消元法解二元一次方程组，用含有字母的式子表示 x、y，再根据互为相反数的两个数相
加为0即可求解；
③根据试值法求二元一次方程x+y＝3的自然数解即可得结论；
④根据整体代入的方法即可求解．
{x+2y=3 {x=3
【解答】解：①将a＝1代入原方程组，得 解得
x−y=3 y=0
将x＝3，y＝0，a＝1代入方程x+y＝2a+1的左右两边，
左边＝3，右边＝3，
当a＝1时，方程组的解也是x+y＝2a+1的解；
{x=2a+1
②解原方程组，得
y=2−2a
∴x+y＝3，
无论a取何值，x，y的值不可能是互为相反数；
③∵x+y＝2a+1+2﹣2a＝3
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{x=0 {x=1 {x=2 {x=3
∴x、y为自然数的解有 ， ， ， ．
y=3 y=2 y=1 y=0
④∵2x+y＝8，∴2（2a+1）+2﹣2a＝8，
解得a＝2．
故选：D．
【点评】本题考查了消元法解二元一次方程组，确定二元一次方程的自然数解，解题关键是用含
字母的式子表示方程组的解．
{ m x+n y=7 {x=−1
8 ． 若 关 于 x 、 y 的 二 元 一 次 方 程 组 1 1 的 解 为 ， 则 方 程 组
m x−n y=−5 y=2
2 2
1
{ m x+ n y=7+2m
1 3 1 1
的解是（ ）
1
m x− n y=−5+2m
2 3 2 2
{x=1 {x=1 {x=2 {x=3
A． B． C． D．
y=4 y=6 y=3 y=5
【答案】B
1 1
{ m x+ n y=7+2m { m (x−2)+ n y=7
1 3 1 1 1 3 1
【分析】将方程组 整理得 ，然后结合条件可
1 1
m x− n y=−5+2m m (x−2)− n y=−5
2 3 2 2 2 3 2
1
得x﹣2＝﹣1， y＝2解方程组即可．
3
1 1
{ m x+ n y=7+2m { m (x−2)+ n y=7
1 3 1 1 1 3 1
【解答】将方程组 整理得 ，
1 1
m x− n y=−5+2m m (x−2)− n y=−5
2 3 2 2 2 3 2
{ m x+n y=7 {x=−1
∵关于x、y的二元一次方程组 1 1 的解为 ，
m x−n y=−5 y=2
2 2
{x−2=−1
∴ 1 ，
y=2
3
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{x=1
∴ ．
y=6
故选：B．
【点评】本题考查二元一次方程组的解，将方程组进行正确的变形是解题的关键．
{x+3 y=4−a
9．已知关于x，y的二元一次方程组 ，给出下列结论中正确的是（ ）
x−y=3a
①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，a＝﹣2；
②当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝4+2a的解；
③无论a取什么实数，x+2y的值始终不变；
x 3
④若用x表示y，则y=− + ；
2 2
A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④
【答案】D
【分析】根据方程组的解法可以得到x+y＝2+a，
①令x+y＝0，即可求出a的值，验证即可，
②由①得x+y＝0，而x+y＝4+2a，求出a的值，再与a＝1比较得出答案，
③解方程组可求出方程组的解，再代入x+2y求值即可，
④用含有x、y的代数式表示a，进而得出x、y的关系，
{ x+3 y=4−a ①
【解答】解：关于x，y的二元一次方程组 ，
x−y=3a ②
①+②得，2x+2y＝4+2a，
即：x+y＝2+a，
（1）①当方程组的解x，y的值互为相反数时，即x+y＝0时，即2+a＝0，
∴a＝﹣2，故①正确，
（2）②原方程组的解满足x+y＝2+a，
当a＝1时，x+y＝3，
而方程x+y＝4+2a的解满足x+y＝6，
因此②不正确，
{ x+3 y=4−a ① {x=2a+1
（3）方程组 ，解得，
x−y=3a ② y=1−a
∴x+2y＝2a+1+2﹣2a＝3，
因此③是正确的，
{ x+3 y=4−a ①
（4）方程组 ，
x−y=3a ②
由方程①得，a＝4﹣x﹣3y代入方程②得，
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x﹣y＝3（4﹣x﹣3y），
x 3
即；y=− +
2 2
因此④是正确的，
故选：D．
【点评】考查二元一次方程组的解法和应用，正确的解出方程组的解是解决问题的关键．
10．普通火车从绵阳至成都历时大约2小时，成绵城际快车开通后，时间大大缩短至几十分钟，现
假定普通火车与城际快车两列对开的火车于同一时刻发车，其中普通火车由成都至绵阳，城际快
车由绵阳至成都，这两车在途中相遇之后，各自用了 80分钟和20分钟到达自己的终点绵阳、成
都，则城际快车的平均速度是普通火车平均速度的（ ）倍．
A．2 B．2.5 C．3 D．4
【答案】A
【分析】普通火车从绵阳至成都历时大约2小时，由速度公式表示出两地的距离；
两车在途中相遇之后，各自用了80分钟和20分钟到达自己的终点绵阳、成都，由速度公式表示
出两地距离．联立两式解题即可．
【解答】解：设普通火车速度为v m/min，城际快车速度为nv m/min，
s
已知普通火车从绵阳至成都历时大约2h＝120min，由v= 可得两地距离：
t
s＝v×120，
普通火车与城际快车两列对开，途中相遇之后，各自用了 80分钟和20分钟到达自己的终点绵阳、
成都，
即：s普+s城 ＝s，
所以：v×80+nv×20＝s，
所以：v×80+nv×20＝v×120，
解得：n＝2．
故选：A．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，速度公式的应用，关键正确表示出两地的距离．
{x+3 y=4−a
11．已知关于x，y的二元一次方程组 ，给出下列结论中正确的是（ ）
x−y=3a
①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，a＝﹣2；
②当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝4+2a的解；
③无论a取什么实数，x+2y的值始终不变；
x 3
④若用x表示y．则y=− + ；
2 2
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A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】C
【分析】根据方程组的解法可以得到x+y＝2+a，
①令x+y＝0，即可求出a的值，验证即可，
②由①得x+y＝0，而x+y＝4+2a，求出a的值，再与a＝1比较得出答案，
③解方程组可求出方程组的解，再代入x+2y求值即可，
④用含有x、y的代数式表示a，进而得出x、y的关系，
{ x+3 y=4−a ①
【解答】解：关于x，y的二元一次方程组 ，
x−y=3a ②
①+②得，
2x+2y＝4+2a，
即x+y＝2+a，
①当方程组的解x，y的值互为相反数时，即x+y＝0时，即2+a＝0，
∴a＝﹣2，故①正确；
②原方程组的解满足x+y＝2+a，
当a＝1时，x+y＝3，
而方程x+y＝4+2a的解满足x+y＝6，
因此②不正确；
{ x+3 y=4−a ①
③方程组 ，
x−y=3a ②
{x=2a+1
解得 ，
y=1−a
∴x+2y＝2a+1+2﹣2a＝3，
因此③是正确的；
{ x+3 y=4−a ①
④方程组 ，
x−y=3a ②
由方程①得，a＝4﹣x﹣3y，
代入方程②得，
x﹣y＝3（4﹣x﹣3y），
x 3
∴y=− + ，
2 2
因此④是正确的．
故选：C．
【点评】此题考查二元一次方程组的解法和应用，正确地解出方程组的解是解决问题的关键．
12．如图，长方形ABCD被分成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形，设长方形ABCD的
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9
周长为 l，若图中 3 个正方形和 2 个长方形的周长和为 l，则标号为①的正方形的边长为
4
（ ）
1 1 5 1
A． l B． l C． l D． l
12 16 16 18
【答案】B
【分析】设两个大正方形边长为x，小正方形的边长为y，由图可知周长和列方程和方程组，解答
即可．
【解答】解：长方形ABCD被分成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形，
∴两个大正方形相同、2个长方形相同．
设两个大正方形边长为y，小正方形的边长为x，
∴小长方形的边长分别为（y﹣x）、（x+y），大长方形边长为（2y﹣x）、（2y+x），
∵大长方形周长＝1，即：2[（2y﹣x）+（2y+x）]＝1，
∴8y＝1，
1
∴y= l
8
9
∵3个正方形和2个长方形的周长和为 l，
4
9
即：2×4 y+4x+2×2×[(x+ y)+(y−x)]= l，
4
9
∴16y+4x= l，
4
1
∴x= l，
16
1
则标号为①的正方形的边长为 l，
16
故选：B．
【点评】此题主要考查了中心对称图形的性质和二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，
要明确中心对称的性质，找出题目中的等量关系，列出方程组．注意各个正方形的边长之间的数
量关系．
{x+3 y=4−a
13．已知关于x，y的方程组 ，其中﹣3≤a≤1，下列命题正确的个数为（ ）
x−y=3a
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①当a＝﹣2时，x、y的值互为相反数；
{ x=5
② 是方程组的解；
y=−1
③当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝4﹣a的解；
④若x≤1，则1≤y≤4．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
{x=1+2a
【分析】①先求出方程组的解 ，把a＝﹣2代入求出x、y即可；
y=1−a
{ x=5 {x=1+2a
②把 代入 ，求出a的值，再根据﹣3≤a≤1判断即可；
y=−1 y=1−a
③求出方程组的解，再代入方程，看看方程左右两边是否相等即可；
④根据x≤1和x＝1+2a求出a≤0，求出﹣3≤a≤0，再求出1﹣a的范围即可．
{x+3 y=4−a {x=1+2a
【解答】解：解方程组 得： ，
x−y=3a y=1−a
①当a＝﹣2时，x＝1+2×（﹣2）＝﹣3，y＝1﹣（﹣2）＝3，
所以x、y互为相反数，故①正确；
{ x=5 {x=1+2a
②把 代入 ，
y=−1 y=1−a
{1+2a=5
得： ，
1−a=−1
解得：a＝2，
∵﹣3≤a≤1，
∴此时a＝2不符合，故②错误；
③当a＝1时，
∵x＝1+2a＝3，y＝1﹣a＝0，
{x=3
∴方程组的解是 ，
y=0
{x=3
把a＝1， 代入方程x+y＝4﹣a得：左边＝右边，
y=0
即当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝4﹣a的解，故③正确；
④∵x≤1，
∴x＝1+2a≤1，
即a≤0，
∴﹣3≤a≤0，
∴3≥﹣a≥0，
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∴4≥1﹣a≥1，
∵y＝1﹣a，
∴1≤y≤4，故④正确；
故选：C．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，一元一次方程的解，解不等式组
等知识点，能求出方程组的解是解此题的关键．
14．我们知道自行车一般是由后轮驱动，因此，后轮胎的磨损要超过前轮胎，假设前轮行驶5000千
米报废，后轮行驶3000千米报废，如果在自行车行驶若干千米后，将前后轮进行对换，那么这
对轮胎最多可以行驶（ ）
A．4000 千米 B．3750 千米 C．4250 千米 D．3250 千米
【答案】B
【分析】设每个新轮胎报废时的总磨损量为 k，一对新轮胎交换位置前走了x km，交换位置后走
了y km，根据交换前磨损总量和交换后的磨损总量相等，可列出方程组，解方程组即可．
【解答】解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为k，
k k
则安装在前轮的轮胎每行驶1km磨损量为 ，安装在后轮的轮胎每行驶1km的磨损量为 ，
5000 3000
又设一对新轮胎交换位置前走了x km，交换位置后走了y km，
分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程，
kx ky
{ + =k
5000 3000
，
ky kx
+ =k
5000 3000
k(x+ y) k(x+ y)
两式相加，得 + =2k，
5000 3000
则 x+y＝3750（千米）．
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条
件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下
题中要给出两个等量关系，准确地找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．
{x=2
15．已知 是关于x，y的二元一次方程mx+ny＝7的解，则代数式4m+6n﹣3的值是（ ）
y=3
A．14 B．11 C．7 D．4
【答案】B
{x=2
【分析】把 代入mx+ny＝7，求出2m+3n的值，再把所求代数式化成含有2m+3n的形式，
y=3
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最后整体代入进行计算即可．
{x=2
【解答】解：把 代入mx+ny＝7得：2m+3n＝7，
y=3
∴4m+6n﹣3
＝2（2m+3n）﹣3
＝2×7﹣3
＝14﹣3
＝11，
故选：B．
【点评】本题主要考查了二元一次方程的解，解题关键是熟练掌握二元一次方程解的定义．
二．填空题（共13小题）
{2x+ y=−3m+2 3
16．若关于x、y的二元一次方程组 的解满足x+ y＞− ，则满足条件的m的所
x+2y=4 2
有非负整数值为 0 ， 1 ， 2 ， 3 ．
【答案】0，1，2，3．
3
【分析】先将两个方程相加，可得3x+3y＝﹣3m+6，即x+y＝﹣m+2，再根据已知x+y＞− ，得
2
3
出不等式−m+2＞− ，解一元一次不等式求出m的范围，进而得出答案．
2
{2x+ y=−3m+2①
【解答】解： ，
x+2y=4②
①+②，得3x+3y＝﹣3m+6，即x+y＝﹣m+2，
3
∵x+ y＞− ，
2
3
∴−m+2＞− ，
2
去分母，得﹣2m+4＞﹣3，
移项、合并同类项，得﹣2m＞﹣7，
7
解得：m＜ ，
2
∴满足条件的m的所有非负整数值为0，1，2，3．
故答案为：0，1，2，3．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，解一元一次不等式，掌握二元一
次方程组解的定义，解二元一次方程组的方法，解一元一次不等式的方法是解题的关键．
17．在长方形ABCD中放入六个完全相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则小长方形的宽CE为
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2 cm．
【答案】见试题解答内容
【分析】设小长方形的长为x cm，宽为y cm，利用长方形的对边相等，可得出关于x，y的二元
一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：设小长方形的长为x cm，宽为y cm，
则AD＝x+3y，AB＝x+y＝5+2y，
即x﹣y＝5，
{x+3 y=13
根据题意，得： ，
x−y=5
{x=7
解得： ，
y=2
即CE＝2cm，
故答案为：2．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的
关键．
18．小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图所示，3个纸杯叠放在一
起高度为9cm，8个纸杯叠放在一起高度为14cm，若小明把20个纸杯整齐叠放在一起时，它的高
度约是 2 6 cm．
【答案】26．
【分析】根据题意设未知数，列方程组求解即可．
【解答】解：设每增加一个纸杯增加的高度为x cm，一个纸杯的高度为y cm，
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{(3−1)x+ y=9
由题意列二元一次方程组得： ，
(8−1)x+ y=14
{x=1
解得 ，
y=7
则20个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是7+（20﹣1）×1＝7+19＝26（cm），
故答案为：26．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找出等量关系正确列方程组是解题关键．
19．如图是由同一种长方形墙砖粘贴的部分墙面，其中三块横放的墙砖比一块竖放的墙砖高10cm，
两块横放的墙砖比两块竖放的墙砖低40cm，则每块长方形墙砖的周长是 10 0 cm．
【答案】100．
{3 y−x=10
【分析】根据图形找到两个等量关系 ，求解即可．
2x−2y=40
【解答】解：设每块墙砖的长为x cm，宽为y cm，
{3 y−x=10
根据题意得： ．
2x−2y=40
{x=35
解得： ，
y=15
∴每块长方形墙砖的周长是：2×（35+15）＝100（cm），
故答案为：100．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用，关键是根据题意找到等量关系式．
20．如图，从标注3的圆圈开始，顺时针方向按an+b的规律（n表示前一个圆圈中的数字，a，b是
常数）转换后得到下一个圆圈中的数，例如：从“3→﹣1”得3a+b＝﹣1，则标注“？”的圆圈
中的数是 2 3 ．
【答案】23．
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{3a+b=−1 {a=−2
【分析】根据题意得 ，解得 ，则顺时针方向按﹣2n+5的规律转换，再把n＝
−a+b=7 b=5
﹣9时代入求解即可．
{3a+b=−1
【解答】解：根据题意得 ，
−a+b=7
{a=−2
解得 ，
b=5
∴顺时针方向按﹣2n+5的规律转换后得到下一个圆圈中的数，
∴当n＝﹣9时，﹣2n+5＝﹣2×（﹣9）+5＝18+5＝23，
所以标注“？”的圆圈中的数是23，
答：标注“？”的圆圈中的数是23，
故答案为：23．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，掌握知识点的应用是解题的关键．
21．如图，用12块形状和大小均相同的小长方形拼成一个宽是40的大长方形，则每个小长方形的
面积是 30 0 ．
【答案】300．
【分析】设每个小长方形的长为x，宽为y，由此列方程组得到长和宽，由面积的公式计算即可．
【解答】解：设每个小长方形的长为x，宽为y，根据题意列方程组得：
{ x+ y=40
，
3x=2x+3 y
{x=30
解得 ，
y=10
∴xy＝30×10＝300，
故答案为：300．
【点评】本题考查了二元一次方程组的运用，理解数量关系，正确列出二元一次方程组求解是关
键．
{ x+ y=3k 1
22．若关于x，y的方程组 的解，也是方程2x﹣y＝6的解，则k＝ ．
x−2y=9k 2
1
【答案】 ．
2
【分析】利用加减消元法解方程组，可得x＝5k，y＝﹣2k，把x＝5k，y＝﹣2k分别代入方程2x﹣
y＝6，得出关于k的一元一次方程，解一元一次方程即可得出答案．
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{ x+ y=3k①
【解答】解： ，
x−2y=9k②
①﹣②，得3y＝﹣6k，
解得：y＝﹣2k，
把y＝﹣2k代入①，得x﹣2k＝3k，
解得：x＝5k，
∵关于x，y的方程组的解，也是方程2x﹣y＝6的解，
∴2×5k+2k＝6，
∴12k＝6，
1
解得：k= ．
2
1
故答案为： ．
2
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，二元一次方程的解，解一元一次
方程，掌握二元一次方程组解的定义，解二元一次方程组的方法，解一元一次方程的方法是解题
的关键．
23．王明在看中国清代算书《御制数理精蕴》时有这样一道题：“马四匹、牛六头，共价四十八两
（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两，问马、牛各价几何？”设马每匹m两，
{4m+6n=48
牛每头n两，请你根据题意列出方程组是 ．
3m+5n=38
{4m+6n=48
【答案】 ．
3m+5n=38
【分析】根据题意，设马每匹m两，牛每头n两，由“马四匹、牛六头，共价四十八两；马三匹、
牛五头，共价三十八两”列出方程组即可得到答案．
{4m+6n=48
【解答】解：设马每匹m两，牛每头n两，由题意可得 ，
3m+5n=38
{4m+6n=48
故答案为： ．
3m+5n=38
【点评】本题考查二元一次方程组解实际应用题，读懂题意，找准等量关系列方程组是解决问题
的关键．
24．母亲节到了，小红，小莉，小莹到花店买花送给自己的母亲．小红买了3枝玫瑰，7枝康乃馨，
1枝百合花，付了14元；小莉买了4枝玫瑰，10枝康乃馨，1枝百合花，付了16元；小莹买上面
三种花各2枝，则她应付 2 0 元．
【答案】见试题解答内容
【分析】如果设玫瑰、康乃馨、百合花的单价分别为 x元，y元，z元，题中有两个等量关系：3
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枝玫瑰的价格+7枝康乃馨的价格+1枝百合花的价格＝14元；4枝玫瑰的价格+10枝康乃馨的价格
+1枝百合花的价格＝16元，据此列出两个方程，得到三元一次方程组．在这个方程组中，把y看
作常数，用含y的代数式分别表示x和z，再代入2（x+y+z），即可求出结果．
【解答】解：设玫瑰、康乃馨、百合花的单价分别为x元，y元，z元，
根 据 已 知 条 件 ， 列 出 方 程 组
{3x+7 y+z=14 #160;① ¿4x+10 y+z=16② #160; #160;，
②﹣①，得x＝2﹣3y．③
将③代入①，得z＝8+2y．④
∴x+y+z＝2﹣3y+y+8+2y＝10，
∴2（x+y+z）＝20．
所以，小莹应付20元．
故答案为20．
【点评】本题考查了三元一次方程组在实际中的运用．解答此题的关键是列出方程组，难点是理
解不必求出每一个未知数的具体值，而只要将方程组变形，能够求出 x+y+z的值即可．为此，将
这个方程组中的其中一个未知数看作常数，用含有这个未知数的代数式分别表示另外两个未知数，
然后代入即可．
25．幻方是一种中国传统游戏，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格，其规则是将
数字填在正方形格子中，使每一行、每一列和两条对角线上的3个数字的和都相等．例如图①就
是一个幻方．
（Ⅰ）图②是一个未完成的幻方，则x+y的结果为 1 2 ；
（Ⅱ）图③中的x为 a ﹣ 1 （用含a的式子表示）．
【答案】（Ⅰ）12；
（Ⅱ）a﹣1．
【分析】（Ⅰ）先求出第1列最上面的数为4，再求出第2行中间的数为x+2或x﹣y+4，第3列
最上面的数为x﹣y+6或24﹣x，然后列出二元一次方程组，解方程组即可；
（Ⅱ）先求出第1行最上面的数为x﹣2，再求出第2列中间的数为2a﹣x﹣3，第1列中间的数为
2x﹣a﹣4，然后由第1列与对角线上的3个数字的和相等，列出代数式即可得出结果．
【解答】解：（Ⅰ）∵第3行的和为：x+6+20＝x+26，
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∴第1列最上面的数为：x+26﹣（x+22）＝4，
∴第2行中间的数为：x+26﹣（4+20）＝x+2或x+26﹣（y+22）＝x﹣y+4，
第3列最上面的数为：x+26﹣（20+y）＝x﹣y+6或x+26﹣（x+2）＝24﹣x，
{ x+2=x−y+4
∴ ，
x−y+6=24−x
{x=10
解得： ，
y=2
∴x+y＝10+2＝12，
故答案为：12；
（Ⅱ）∵第3行的和为：x+a+a﹣5＝x+2a﹣5，
∴第1行最上面的数为：x+2a﹣5﹣（a﹣5+a+2）＝x﹣2，
∴第2列中间的数为：x+2a﹣5﹣（x﹣2+x）＝2a﹣x﹣3，
∴第1列中间的数为：x+2a﹣5﹣（a+2+2a﹣x﹣3）＝2x﹣a﹣4，
∴x+2x﹣a﹣4＝a﹣5+2a﹣x﹣3，
解得：x＝a﹣1，
故答案为：a﹣1．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、列代数式，找准等量关系，正确列出二元一次方程
组和代数式是解题的关键．
26．《九章算术》记载了这样一个问题：“今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一
顷，价钱一万，问善田几何？“意思是：当下良田 1亩，价值300钱；薄田7亩，价值500钱．
现在共买100亩，价值10000钱．根据条件，良田买了 12. 5 亩．（注：1顷＝100亩）
【答案】12.5．
【分析】设良田买了x亩，薄田买了y亩，由“当下良田1亩，价值300钱；薄田7亩，价值500
钱．现在共买100亩，价值10000钱”列出方程组，解方程组即可．
【解答】解：设良田买了x亩，薄田买了y亩，
{
x+ y=100
依题意得： 500 ，
300x+ y=10000
7
{x=12.5
解得： ，
y=87.5
即良田买了12.5亩，
故答案为：12.5．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的
关键．
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27．用8个大小完全相同的长方形在平面直角坐标系中摆成如图所示的图案，已知点A（4，10），
则点B的坐标是 （﹣ 6 ， 8 ） ．
【答案】（﹣6，8）．
【分析】设小长方形纸片的长为x，宽为y，根据点A的坐标列出关于x、y二元一次方程组求得
x、y的值，结合点B所在的位置即可解答．
【解答】解：8个大小完全相同的长方形在平面直角坐标系中摆成如图所示的图案，已知点 A
（4，10），
设小长方形纸片的长为x，宽为y，
{x+2y=10
依题意得： ，
x−y=4
{x=6
解得： ，
y=2
∴x+y＝6+2＝8，
∵点B在第二象限内，
∴点B的坐标是（﹣6，8）．
故答案为：（﹣6，8）．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用、坐标与图形等知识点，设出未知数、找准等量
关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
28．我国古典数学文献《增删算法统宗•六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，
二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当，二人闲坐恼心
肠，画地算了半晌”其大意为：甲、乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊．如果乙给甲9只羊，
那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同，请问甲，乙各有多少只羊？
{x+9=2(y−9)
设甲有羊x只，乙有羊y只，根据题意，可列方程组为 ．
x−9= y+9
{x+9=2(y−9)
【答案】 ．
x−9= y+9
【分析】设甲有羊x只，乙有羊y只，根据“如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如
果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
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【解答】解：设甲有羊x只，乙有羊y只．
∵“如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍”，
∴x+9＝2（y﹣9）；
∵“如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同”，
∴x﹣9＝y+9．
{x+9=2(y−9)
联立两方程组成方程组 ．
x−9= y+9
{x+9=2(y−9)
故答案为： ．
x−9= y+9
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程
组是解题的关键．
三．解答题（共6小题）
29．解方程组：
{ x−y=3
（1） ；
3x−8 y=14
{3x−2y=4
（2） ．
7x+4 y=18
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据解二元一次方程组的方法，理由代入消元法解方程组即可；
（2）根据解二元一次方程组的方法，理由加减消元法解方程组即可．
{ x−y=3①
【解答】解：（1） ，
3x−8 y=14②
由①，得x＝y+3③，
把③代入②，得3（y+3）﹣8y＝14，
去括号，得3y+9﹣8y＝14，
解得：y＝﹣1，
把y＝﹣1代入③，得x＝﹣1+3＝2，
{ x=2
∴方程组的解为 ；
y=−1
{3x−2y=4①
（2） ，
7x+4 y=18②
①×2，得6x﹣4y＝8③，
②+③，得13x＝26，
解得：x＝2，
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把x＝2代入①，得3×2﹣2y＝4，
解得：y＝1，
{x=2
∴方程组的解为 ．
y=1
【点评】本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法：加减消元法和代入消元
法是解题的关键．
30．袁隆平爷爷多次说：“中国人要把饭碗牢牢地端在自己的手里!”为扩大粮食生产规模，稻田公
园生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机，已知购进 1件甲种农机和1件乙种农机共需
2万元，购进2件甲种农机和3件乙种农机共需5.5万元．
（1）求购进1件甲种农机和1件乙种农机各需多少万元？
（2）若该粮食生产基地计划购进甲、乙两种农机共10件，且投入资金不少于9.5万元且不超过
12万元，则有哪几种购买方案？哪种购买方案需要的资金最少，最少资金是多少？
【答案】（1）购进1件甲种农机0.5万元，1件乙种农机1.5万元；
（2）有3种方案：①购进甲种农机3件，购进乙种农机7件；②购进甲种农机4件，购进乙种
农机6件；③购进甲种农机5件，购进乙种农机5件；购买方案需要的资金最少的是购进甲种农
机5件，购进乙种农机5件，最少资金为10万元．
【分析】（1）设购进1件甲种农机m万元，1件乙种农机n万元，根据购进1件甲种农机和1件
{ m+n=2
乙种农机共需2万元，购进2件甲种农机和3件乙种农机共需5.5万元，可得 ，即
2m+3n=5.5
可解得答案；
（2）设购进甲种农机x件，由投入资金不少于9.5万元且不超过12万元，得9.5≤0.5x+1.5（10
﹣x）≤12，解得3≤x≤5.5，故有3种方案：①购进甲种农机3件，购进乙种农机7件；②购进
甲种农机4件，购进乙种农机6件；③购进甲种农机5件，购进乙种农机5件；分别算出各方案
所需资金，可得需要的资金最少的方案．
【解答】解：（1）设购进1件甲种农机m万元，1件乙种农机n万元，
∵购进1件甲种农机和1件乙种农机共需2万元，购进2件甲种农机和3件乙种农机共需5.5万元，
{ m+n=2
∴ ，
2m+3n=5.5
{m=0.5
解得 ，
n=1.5
∴购进1件甲种农机0.5万元，1件乙种农机1.5万元；
（2）设购进甲种农机x件，则购进乙种农机（10﹣x）件，
∵投入资金不少于9.5万元且不超过12万元，
∴9.5≤0.5x+1.5（10﹣x）≤12，
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解得3≤x≤5.5，
∵x为整数，
∴x可取3或4或5，
∴有3种方案：①购进甲种农机3件，购进乙种农机7件，所需资金为3×0.5+7×1.5＝12（万
元）；
②购进甲种农机4件，购进乙种农机6件，所需资金为4×0.5+6×1.5＝11（万元）；
③购进甲种农机5件，购进乙种农机5件，所需资金为5×0.5+5×1.5＝10（万元）；
∴购买方案需要的资金最少的是购进甲种农机5件，购进乙种农机5件，最少资金为10万元．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用和一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，
列出方程组和不等式组．
31．秋季由于气候干燥，天气转冷，用火用电情况大量增加，起火原因增多，火灾危险性加大．为
了加强秋季防火用电安全，提高同学们的安全防范意识，某学校组织了“用电安全”知识竞赛，
对表现优异的班级进行奖励，学校购买了若干支钢笔和中性笔．购买5支钢笔和10支中性笔共需
110元；购买8支钢笔和6支中性笔共需126元．
（1）求购买1支钢笔和1支中性笔各需多少元；
1
（2）若学校购买钢笔和中性笔共200支，其中钢笔的数量不得少于中性笔数量的 ，且总支出不
3
超过1364元，那学校有哪几种购买方案？
【答案】（1）购买1支钢笔需12元，1支中性笔需5元；
（2）学校共有3种购买方案，
方案1：购买50支钢笔，150支中性笔；
方案2：购买51支钢笔，149支中性笔；
方案3：购买52支钢笔，148支中性笔．
【分析】（1）设购买1支钢笔需x元，购买1支中性笔需y元，根据“购买5支钢笔和10支中性
笔共需110元；购买8支钢笔和6支中性笔共需126元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，
解之即可得出结论；
（2）设学校购买m支钢笔，则购买（200﹣m）支中性笔，根据“购买钢笔的数量不得少于中性
1
笔数量的 ，且总支出不超过1364元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出 m的
3
取值范围，再结合m为正整数，即可得出各购买方案．
【解答】解：（1）设购买1支钢笔需x元，购买1支中性笔需y元，
{5x+10 y=110
根据题意得： ，
8x+6 y=126
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{x=12
解得： ．
y=5
答：购买1支钢笔需12元，1支中性笔需5元；
（2）设学校购买m支钢笔，则购买（200﹣m）支中性笔，
{ 1
m≥ (200−m)
根据题意得： 3 ，
12m+5(200−m)≤1364
解得：50≤m≤52，
又∵m为正整数，
∴m可以为50，51，52，
∴学校共有3种购买方案，
方案1：购买50支钢笔，150支中性笔；
方案2：购买51支钢笔，149支中性笔；
方案3：购买52支钢笔，148支中性笔．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：
（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一
次不等式组．
32．为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，某学校组织学生到郊外参加义务植树活动，
并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为50g，营养成分如图所示．
（1）若要从这两种食品中摄入3900KJ热量和60g蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？
（2）运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多．若要从这两种食品中摄入的蛋白质含量
等于80g，应选用A，B两种食品各多少包（A，B两种食品都选且不能拆分）？
【答案】（1）应选用A种食品3包，B种食品2包；
（2）应选用A，B两种食品各5包，2包或2包，4包．
【分析】（1）设应选用A种食品x包，B种食品y包，根据要从这两种食品中摄入3900KJ热量
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和60g蛋白质，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设应选用A种食品m包，B种食品n包，根据要从这两种食品中摄入的蛋白质含量等于
80g，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出结论．
【解答】解：（1）设应选用A种食品x包，B种食品y包，
{700x+900 y=3900
根据题意得： ，
10x+15 y=60
{x=3
解得： ．
y=2
答：应选用A种食品3包，B种食品2包；
（2）设应选用A种食品m包，B种食品n包，
根据题意得：10m+15n＝80，
3
∴m＝8− n，
2
又∵m，n均为正整数，
{m=5 {m=2
∴ 或 ．
n=2 n=4
答：应选用A，B两种食品各5包，2包或2包，4包．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找
准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
33．如图是中国邮政发行的《数学之美》的邮票，其中一张圆周率邮票面值为80分，莫比乌斯带邮
票面值为1.50元．小宇购买这两种邮票共7张，恰好花了7元，求小宇购买这两种邮票各多少张．
【答案】小宇购买圆周率邮票5张，莫比乌斯带邮票2张．
【分析】设小宇购买圆周率邮票x张，莫比乌斯带邮票y张，根据题意，列出二元一次方程组，
求出x与y，即可解答．
【解答】解：设小宇购买圆周率邮票x张，莫比乌斯带邮票y张，依题意得，
{ x+ y=7
，
0.8x+1.50 y=7
{x=5
解得 ．
y=2
即小宇购买圆周率邮票5张，莫比乌斯带邮票2张，
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答：小宇购买圆周率邮票5张，莫比乌斯带邮票2张．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用，找到等量关系是解题的关键．
34．“脐橙结硕果，香飘引客来”，赣南脐橙以其“外表光洁美观，肉质脆嫩，风味浓甜芳香”的
特点饮誉中外．现欲将一批脐橙运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满脐橙一次可运
走10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满脐橙一次可运走11吨．现有脐橙31吨，计划同时租用
A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满脐橙．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆A型车和1辆B型车都载满脐橙一次可分别运送多少吨？
（2）请你帮该物流公司设计租车方案；
（3）若1辆A型车需租金100元/次，1辆B型车需租金120元/次．请选出费用最少的租车方案，
并求出最少租车费．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设1辆A型车载满脐橙一次可运送x吨，1辆B型车载满脐橙一次可运送y吨，根
据“用2辆A型车和1辆B型车载满脐橙一次可运走10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满脐橙
一次可运走11吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据一次运送脐橙31吨，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，即
可得出各租车方案；
（3）根据总租金＝每辆车的租金×租车辆数，分别求出三个租车方案所需租金，比较后即可得出
结论．
【解答】解：（1）设1辆A型车载满脐橙一次可运送x吨，1辆B型车载满脐橙一次可运送y吨，
{2x+ y=10
依题意，得： ，
x+2y=11
{x=3
解得： ．
y=4
答：1辆A型车载满脐橙一次可运送3吨，1辆B型车载满脐橙一次可运送4吨．
（2）依题意，得：3a+4b＝31，
∵a，b均为正整数，
{a=1 {a=5 {a=9
∴ 或 或 ．
b=7 b=4 b=1
∴一共有3种租车方案，方案一：租A型车1辆，B型车7辆；方案二：租A型车5辆，B型车4
辆；方案三：租A型车9辆，B型车1辆．
（3）方案一所需租金为100×1+120×7＝940（元）；
方案二所需租金为100×5+120×4＝980（元）；
方案三所需租金为100×9+120×1＝1020（元）．
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∵940＜980＜1020，
∴最省钱的租车方案是方案一，即租A型车1辆，B型车7辆，最少租车费为940元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找
准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）根
据各数量之间的关系，分别求出三个租车方案所需租金．
35
