文档内容
2026 年中考数学一轮复习精讲精练
模块四 三角形
专题4 等腰三角形的性质与判定
知识梳理
【考点一】 等腰三角形的性质
1. 定义：有两条边相等的三角形叫作等腰三角形，相等的边叫做腰．
2. 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．
3. 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）．
4. 拓展：
（1）等腰三角形两腰上的中线、高分别相等．
（2）等腰三角形两底角的平分线相等．
（3）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．
（4）当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都
是45°．
【考点二】等腰三角形的判定
1.判定等腰三角形的方法：
（1）定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形；
（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．
数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）．
2.拓展：（1）“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为
在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”和
“腰”．
（2）“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性
质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定．
【考点三】 等边三角形及其性质
1. 等边三角形的概念：三边都相等的三角形是等边三角形．
2. 等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°．
3.拓展：
（1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；
（2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质．【考点四】 等边三角形的判定
1.判定等边三角形的方法：
（1）定义法：三边都相等的三角形是等边三角形．
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形．
（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
例题讲解
【题型一】等腰三角形的定义
◇典例1：
已知两个全等的直角三角形，直角边长分别为3和4，斜边长为5．如果将这两个全等的直角三角形拼成一
个等腰三角形，那么这个等腰三角形的周长为（ ）
A．16 B．18 C．16或18 D．14或16
◆变式训练
1.若方程组¿的解恰为等腰三角形的两边长，则等腰三角形的周长为 ．
2.已知a，b，c是△ABC的三边，且满足(a−b)−c(b−a)=0，则△ABC的形状是 ．
【题型二】等边对等角
◇典例2：
如图，点E, F在BC上，BE=CF,∠BED=∠AFC,∠B=∠C．
(1)求证：△ABF ≌ △DCE；
(2)若∠AFB=42°,∠D=58°, AB=AE，求∠AED的度数．
◆变式训练
1.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转42°得到△ADE，点C恰好落在DE上，则∠BCD的度数为
．2.如图，钢架中，∠A=α，焊上等长的钢条P P ，P P ，P P ，P P …来加固钢架．若P A=P P
1 2 2 3 3 4 4 5 1 1 2
，且恰好用了4根钢条，则α的取值范围是 ．
【题型三】三线合一
◇典例3：
如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F为垂足，则下列结
论：（1）BD=DC；（2）∠BAD=∠CAD；（3）AD⊥BC；（4）DE=DF，其中正确的个数有
（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
◆变式训练
1.如图，∠ACB=70°，CD是OA的垂直平分线，则∠ACD的度数为 ．
2.补全过程或依据：如图，在△ABC中，AB=AC，点D为BC边的中点，E为AD上一点，连接CE，使
得CE=AE．若∠B=55°，求∠ECD的度数．
解：∵在△ABC中，AB=AC，
∴∠ ① =∠B=55°，（等腰三角形两底角相等）∵点D为BC边的中点
∴AD⊥BC（②）
∴∠ADC=90°
∴∠CAD=90°−∠ACB= ③ °
∵AE=CE，
∴∠ACE=∠CAD=35°（④）
∴∠ECD=∠ACB−∠ACE= ⑤ °
【题型四】等角对等边
◇典例4：
如图，△ABC的周长为27，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交
AC于点E，若BC=8，BF=6，CF=4，那么△ADE的周长是（ ）
A．18 B．19 C．21 D．23
◆变式训练
1.如图，△ABC中，∠A=∠BCA，将△ABC沿直线BC平移到△DCE的位置（使点B与点C重合，点
B、C、E在一条直线上），连接BD，求证：BC=CD．
2.如图，AD是△ABC的角平分线，∠B=2∠C，将△ABD沿AD所在直线翻折，点B在AC边上的落点
记为点E，若AC=8，AB=5，则BD的长为 ．
【题型五】 找出图中的等腰三角形
◇典例5：如图，已知△ABC中，AB=3，AC=5，BC=7，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两
个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ）
A．3条 B．4条 C．5条 D．6条
◆变式训练
1.如图所示，共有等腰三角形（ ）
A．2 B．3 C．5 D．4
2.如图，四边形ABCD沿对角线AC对折后重合，连接BD交AC于点E，若AB∥CD，则图中等腰三角形
的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【题型六】格点中画等腰三角形
◇典例6：
如图的正方形网格中，像点A、点B这样网格线的交点称为格点．以AB为边的等腰三角形ABC的三个顶
点都属于格点，这样的等腰三角形的个数（ ）
A．10个 B．8个 C．6个 D．4个
◆变式训练1.如图，在3×3正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知点A、B在格点上，若点P也在格点上，并
使得以点A、B、P为顶点的三角形是等腰直角三角形，符合条件的点P有 个．
2.如图，点M、N是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个4×4方格纸中，找出格点P使
△MNP为等腰三角形，那么满足条件的格点P的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【题型七】直线上已知两点确定第三点构成等腰三角形
◇典例7：
Rt ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，在直线BC上取一点P使得 PAB是等腰三角形，则符合条件的点P
有△ 个． △
◆变式训练
1.如图，在矩形ABCD的边上找到一点P，使得△AEP为等腰三角形，请画出所有的点P．
2.如图，点O在直线l上，点A在直线l外.若直线l上有一点P使得△APO为等腰三角形，则满足条件的点P
位置有 个.
【题型八】求与图形中任两点构成等腰三角形的点
◇典例83：如图，在△ABC中，∠ABC=75°，∠BAC=30°．点P为直线BC上一动点，若点P与△ABC三个顶点
中的两个顶点构造成等腰三角形，那么满足条件的点P的位置有（ ）
A．4个 B．6个 C．8个 D．9个
◆变式训练
1.如图，在△ABC中，∠B=25°,∠A=100°，点P在△ABC的三边上运动，当△PAC成为等腰三角形
时，其顶角的度数是 ．
2.如图，∠AOB=60°，C是OB延长线上一点，若OC=18cm，动点P从点C出发沿CB以2cm/s的速度
移动，动点Q从点O沿OA以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t(s)表示移动的时间，当t=
s时，△POQ是等腰三角形？
【题型九】根据等边三角形的性质求长度
◇典例9：
如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE，若BE=2，AE=8，则
CE的长是（ ）A．4 B．5 C．6 D．7
◆变式训练
1.如图，等边△ABC的边长为2，点D、E分别在边AB、BC上（不与△ABC的顶点重合），将△BDE沿
DE翻折，点B落在点F处，则三个阴影三角形的周长和为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
2.如图，在△ACD中，B为CD边上一点，连接AB，△ABC恰为等边三角形，∠D=∠DAB,AB=7，则
CD的长度为 ．
【题型十】根据等边三角形的性质求角度
◇典例10：
如图，设△ABC和△CDE都是正三角形，且∠EBD=62°，则∠AEB的度数是（ ）
A．124° B．122° C．120° D．118°◆变式训练
1.已知：如图，D、E分别是等边三角形ABC两边AB、AC上的点，连接BE、CD，BE与CD交于点O，
AD=CE，则∠BOD的度数是（ ）
A．50° B．60° C．65° D．70°
2.已知直线AB∥CD，等边△EFG的顶点E刚好落在AB上，FG与CD交于点H．已知∠1=140°，则
∠2=（ ）
A．110° B．120° C．130° D．100°
【题型十一】根据等边三角形的性质证明
◇典例11：
如图，△ABC为等边三角形，点D为BC延长线上一动点，连接AD，将线段AD绕点A顺时针旋转120°得
到AE，直线CE与AB交于点F，过点E作EG∥AC交AB的延长线于点G．
(1)求证：∠D=∠BAE；
(2)求证：BD=2AF．
◆变式训练
1.如图，CD是△ABC的中线，将△ABC沿CD折叠，使点A落在点E处，连接BE．若∠ADC=60°，
AB=8，求BE的长．2.已知：如图，点E是等边三角形ABC内一点，且EA=EB，△ABC外一点D满足BD=AC，BE平分
∠DBC．
(1)求证：△DBE≌△CBE；
(2)求∠BDE的度数．
【题型十二】证明是等边三角形
◇典例12：
在等腰△ABC中，AB=AC，点D是AC上一动点，点E在BD的延长线上，且AB=AE，AF平分∠CAE
交DE于点F，连接FC．
(1)如图1，求证：EF=CF；
(2)如图2，当∠ABC=60°时，在BE上取点M，使BM=EF，连接AM．求证：△AFM是等边三角形．
◆变式训练
1.如图，已知点A、F、E、B在同一条直线上，CE与DF交于点M，AE=BF，AC=BD,CE=DF，若
∠FME=60°，求证：△MFE是等边三角形．2.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，AD⊥BC于D，∠ABC的平分线分别交AD，AC于
点F，E，求证：△AEF是等边三角形．
【题型十三】与等边三角形有关的折叠问题
◇典例13：
如图，将等边△ABC折叠，使得点B恰好落在AC边上的点D处，折痕为EF，O为折痕EF上一动点，若
AD=1，AC=3，△OCD周长的最小值是 ．
◆变式训练
1.如图是一个等边△ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿EF折叠后使点A落在BC边上的点D
位置，若此时∠BFD=80°，则∠≝= °．
2.如图，已知等边△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点B′处，DB′，EB′分别交边AC于点F，G.若∠ADF=80°，则∠GEC的度数为 度．
【题型十四】等边三角形中的动点问题
◇典例14：
如图，等边△ABC的边长为4cm，点Q是AC的中点，若动点P以2cm/秒的速度从点A出发沿
A→B→A方向运动设运动时间为t秒，连接PQ，当△APQ是等腰三角形时，则t的值为 秒．
◆变式训练
1.如图，在△ABC中，∠A=90°,∠B=30°,AC=6厘米，点D从点A开始以1厘米/秒的速度向点C运
动，点E从点C开始以2厘米秒的速度向点B运动，两点同时运动，当运动时间为 秒时，△DEC是
等边三角形．
2.如图，等边三角形ABC的边长为2cm，电子蚂蚁P从点A以1cm/秒的速度沿等边三角形的边顺时针运
动，同时电子蚂蚁Q从点A以5cm/秒的速度沿等边三角形的边逆时针运动，则电子蚂蚁P和Q第2023次相
遇在 ．【题型十五】等边三角形中的多结论问题
◇典例15：
如图，已知等边△ABC，AB=2，点D在AB上，点F在AC的延长线上，BD=CF，DE⊥BC于E，
FG⊥BC于G，DF交BC于点P，则以下结论：①BE=CG；②△EDP≌GFP；③∠EDP=60°；④
EP=1中，一定正确的是（ ）
A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②④
◆变式训练
1.已知，如图，△ABC是等边三角形，AE=CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于点P，下列说法：①
∠APE=∠C，②BQ=AQ，③BP=2PQ，④BA=AE+BD，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
2.如图，对于△ABC，若存在点D, E, F分别在AB, BC, AC上，使得∠1=∠2,∠3=∠4, ∠5=∠6
，则称△≝¿为△ABC的“反射三角形”．下列关于“反射三角形”的说法中，①若△ABC的“反射三角
形”存在，则△ABC必为锐角三角形；②等边三角形的“反射三角形”必为等边三角形；③直角三角形的
“反射三角形”必为直角三角形；④等腰三角形的“反射三角形”必为等腰三角形，正确的是
．真题在线
一、单选题
1．（2025·西藏·中考真题）如图， 为等腰三角形， ，点D是 延长线上的一点，
，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·江苏扬州·中考真题）在如图的房屋人字梁架中， ，点 在 上，下列条件不能说明
的是（ ）
A． B． C． D． 平分
3．（2023·四川绵阳·中考真题）如图，在等边 中， 是 边上的中线，延长 至点E，使
，若 ，则 （ ）A． B．6 C．8 D．
4．（2025·湖北武汉·中考真题）如图，在 中， ， 是边 上的点，将 沿直线
折叠，点 的对应点 恰好落在边 上．若 ，则 的大小是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从 地到 地．
甲： ，路程为 ．
乙： ，路程为 ．
丙： ，路程为 ．
下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，在正五边形 中， 的大小为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·陕西·中考真题）如图，在 中，点 在边 上， ．若 ，则
的周长为（ ）A．8 B．10 C．11 D．12
8．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图， 中， 为BC的中点， 于点
与 相交于点 ，则 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2024·湖南·中考真题）若等腰三角形的一个底角的度数为 ，则它的顶角的度数为 ．
10．（2025·青海西宁·中考真题）等腰三角形的两边长分别为3和7，则第三边长为 ．
11．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）在 中， ，点 在射线 上， ，连接 ，
，则 度．
12．（2025·湖北武汉·中考真题）如图，在 中， ，点 在边 上，
．若点 在边 上，满足 ，则 的长是 ．
三、解答题13．（2024·江苏常州·中考真题）如图，B、E、C、F是直线l上的四点， 相交于点G，
， ， ．
(1)求证： 是等腰三角形；
(2)连接 ，则 与l的位置关系是________．
14．（2025·福建·中考真题）如图， 是等边三角形，D是 的中点， ，垂足为C， 是
由 沿 方向平移得到的．已知 过点A， 交 于点G．
(1)求 的大小；
(2)求证： 是等边三角形．
15．（2025·河北·中考真题）如图．四边形 的对角线 ， 相交于点 ， ，
，点 在 上， ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求证： ．
专项练习
一、单选题
1．下列能判定 为等腰三角形的是（ ）
A． B．C． D． ，周长为13
2．等腰三角形一个角为 ，则顶角的度数可能为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
3．已知等腰三角形 的周长为 ， ， 与 全等，则 的边 （ ）
A．2 B．5或8 C．2或5或8 D．2或7或8
4．如图所示， 是等边三角形，D为AB的中点， ，垂足为E．若 ，则 的边长
为（ ）
A．40 B．30 C．20 D．10
5．如图，在 中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交
于两点M、N；②作直线 交 于点D，连接 ．若 ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，已知 是等边三角形，点D在 上，点E在 的延长线上， ， 交 于点
F， ，若 ，且 ，则BE的长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
7．如果等腰三角形的一边长为2，一边长为5，那么它的周长是（ ）A．14 B．9 C．9或12 D．12
8．如图，在等腰 中， ，将 绕点C逆时针旋转 得到 ，当点A
的对应点D落在 上时，连接 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在 中， 是角平分线 的交点，若 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在 中， , , ，直线 垂直平分线段 ，若点 为边BC的中点，
点 为直线 上一动点，则 周长的最小值为（）
A．9 B．13 C．12 D．14
二、填空题
11．已知等腰三角形的两边长 ，满足 ，这个等腰三角形的周长为 ．
12．如图，在 中， ， ，作 的垂直平分线交 于点 ，交 于点 ，若，则 的长度是 ．
13．在等腰 中， ， ，点 在射线 上，连接 ， ，则
度．
14．等腰 中， ，边 的垂直平分线交边 于点D，连接 ，若 为等腰三角形，
则 的度数为 ．
15．如图，等边三角形 的边长是 ，动点 分别从 两点同时出发，沿 边匀速运动，
的运动速度分别是 ，当点N到达点B时， 两点均停止运动．当 是直角三
角形时，点M的运动时间 的值为 ．
16．如图， 是等腰三角形， 是底边 上任意一点，过 作 于 ，作 于 ，若
， 的面积为 ，则
三、解答题
17．如图，在等边 的 ， 上各取一点 、 ，使 ． ， 相交于点 ，过点 作
直线 的垂线 ，垂足为 ．(1)求证： ；
(2)若 ， ，求线段 的长度．
18．如图，等边 的边长为4，点D、B、C、E在同一直线上， ， ．
(1)求证： ；
(2)直接写出 的长为 ．
19．如图， 为等边三角形，点 为 边上一点，连接 ，在 右侧作 ，且
，分别连接 ．猜想 的形状，并说明理由．
20．如图1，在 中，点 ， 在 上， ，连接 ， ， ．
(1)求证： 是等腰三角形：
(2)如图2，在（1）的条件下， 于点 ， ， ， ， 交于点 ，若 是
的中线，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图2中面积等于 的面积的2倍的所有三角
形．21．如图， 中， ，点D在 边上，以 为边在右侧作等边 ，连接 ．
(1)求证： ；
(2)判断 与 的位置关系，并说明理由．
