文档内容
2026 年中考数学一轮复习精讲精练
模块三 函数
专题3 一次函数的图象和性质
知识梳理
【考点一】一次函数、正比例函数的概念
1．一次函数的定义：一般地，形如y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)的函数叫做x的一次函数.
特别地，当一次函数y=kx+b中的b=0时，y=kx（k是常数，k≠0）．这时， y叫做x的正比例函数．
2．一次函数的一般形式
一次函数的一般形式为y=kx+b，其中k，b为常数，k≠0．
【考点二】正比例函数的图像特征与性质
正比例函数y=kx（k≠0）的图象是经过原点（0，0）的一条直线．
k的符号 函数图象 图象的位置 性质
k>0 图象经过第一、三象限 y随x的增大而增大
k <0 图象经过第二、四象限 y随x的增大而减小
【考点三】一次函数的图象特征与性质
（1）一次函数的图象
一次函数的图象 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是经过点(0，b)和(- ，0)的一条直线
一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到；b>0，
图象关系
向上平移b个单位长度；b<0，向下平移|b|个单位长度
图象确定 两点确定一条直线，可知画一次函数图象时，只要取两点即可
（2）一次函数的性质
函数 字母取值 图象 经过的象限 函数性质
y=kx+b
k>0，b>0 一、二、三 y随x的增大而增大
(k≠0)k>0，b<0 一、三、四
k<0，b>0 一、二、四
y=kx+b
y随x的增大而减小
(k≠0)
k<0，b<0 二、三、四
（3）k，b的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系
在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x=- ，即直线y=kx+b与x轴交于（– ，0）．
①当– >0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴．
②当– =0，即b=0时，直线经过原点．③当– <0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴．
（4）两直线y=kx+b（k≠0）与y=kx+b（k≠0）的位置关系：
1 1 1 2 2 2
①当k=k，b≠b，两直线平行；②当k=k，b=b，两直线重合；
1 2 1 2 1 2 1 2
③当k≠k，b=b，两直线交于y轴上一点；④当k·k=–1时，两直线垂直．
1 2 1 2 1 2
【考点四】一次函数与方程（组）、不等式的关系
1．一次函数与一元一次方程的关系
直线y=kx+b与x轴的交点A的横坐标
x 就是对应方程kx+b=0的解．
A
简记：交点的横坐标就是对应方程的解
2．一次函数与一元一次不等式的关系
任何一个一元一次不等式都能写成（或ax+b<0）（a，b为常数，且a≠0）的形式．
从函数的角度看，解一元一次不等式ax+b>0就是寻求使一次函数y=ax+b（a≠0）的值大于（或小于）0的
自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=ax+b（a≠0）在x轴上（或下）方部分的点
的横坐标满足的条件．
3．一次函数与二元一次方程组的关系
y=kx+b
从数的角度看，解二元一次方程组 1 1相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这
y=kx+b
2 2
两个函数值是何值；y
y=kx+b
2 2
A
x
O A
y=kx+b
1 1
从形的角度看，解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标：
y=kx+b
一般地，一次函数 与 交点的坐标数值上等于对应方程组 1 1的解。
y=kx+b y=kx+b
y=kx+b
1 1 2 2 2 2
牢记：交点的坐标“就是”对应方程组的解
例题讲解
【题型一】求函数解析式或点的坐标
◇典例1：
在等式 中，当 时， ；当 时， ．当 时，求y的值．
【答案】
【知识点】求一次函数自变量或函数值、求一次函数解析式
【分析】本题考查了求一次函数解析式，求一次函数的函数值，正确求出一次函数解析式是解题关键．把
代入解析式，求出 、 的值，得到一次函数解析式，再将 代入计算求值即
可．
【详解】解：把 代入，
得 ，
解得 ，
所以 ，
将 代入得， ．
◆变式训练
1.已知点 在一次函数 的图象上，则 的值为 ．
【答案】【知识点】已知式子的值，求代数式的值、求一次函数自变量或函数值
【分析】本题考查了一次函数图像与性质、代数式的化简与求值等知识点，解题的关键在于利用点在函数
图像上的条件将未知数之间的关系建立起来．根据点在函数图象上，将b用a表示，再代入代数式化简即
可．
【详解】解：将点 坐标代入 得，
，
则 ，
所以 ，
故答案为： ．
2．函数 经过点 ，则 的值是 ．
【答案】3
【知识点】求一次函数自变量或函数值、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项
【分析】本题主要考查了一次函数图象的点，理解一次函数经过某点的含义，是解答本题的关键．
将 代入 ，即可作答．
【详解】解：根据题意，将 代入 ，
有： ，解得： ，
故答案为：3．
【题型二】判断一次函数图象经过的象限
◇典例2：
若点 是一次函数 图象上的点，则点P在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】求一次函数自变量或函数值、根据一次函数解析式判断其经过的象限
【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，先根据题意判断出函数图象所在的象限，进而可得
出结论．
【详解】解：一次函数 中，
， ，
此函数的图象经过第一、二、三象限，点 是一次函数 图象上的点，m与 互为相反数，
点 在第二象限．
故选：B．
◆变式训练
1.若关于x的方程 有两个不相等的实数根，则直线 不经过第 象限．
【答案】三
【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、根据一元二次方程根的情况求参数
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一次函数的图像与性质，解题的关键是掌握一元二次方程
根的判别式，一次函数的图像与性质．先利用一元二次方程根的判别式的意义得到 ，然后根据一次函
数的性质解决问题．
【详解】解： 关于 的方程 有两个不相等的实数根，
，
解得： ，
，
函数 过第一、二、四象限，不经过第三象限
故答案为：三．
2.若 ，则函数 的图像不经过第 象限．
【答案】四
【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限
【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，结合图像走向和与坐标轴交点位置，利用数形结合思想
确定不经过的象限．根据一次函数图象与系数的关系即可得出一次函数 的图象经过第一、二、三
象限即可得出答案．
【详解】解：∵ ， ，
∴一次函数 的图象经过第一、二、三象限，即不经过第四象限．
故答案为：四．【题型三】 函数图象与坐标轴交点问题
◇典例3：
如图，直线 经过点 ，将 绕A点顺时针旋转，旋转角为 ，得到直线 ．
点 在 上，若 ，则n的值可以是 ．（填写一个值即可）
【答案】6（答案不唯一，大于5均可）
【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、根据两条直线的交点求不等式的解集、等边对等角、一次
函数图象与旋转问题
【分析】本题考查一次函数图象的旋转问题，熟练掌握一次函数的相关知识的是解题的关键．根据直线
与坐标轴的交点和旋转角度的范围得出旋转后直线 所处的位置，即可求解．
【详解】解： 直线 经过点 ，
，即
设直线 分别交x轴和y轴与 、 两点，
当 时， ；当 时， ，
即 ， ，
∴ ，
，
过点 分别作直线 轴，直线 轴，交x轴于 ，交y轴于 ，如图，则 轴， ，
∴ ，
∴
∴当 绕A点顺时针旋转，旋转角为 时， 在如图所示位置，
∵点 在 上，
∴当 ，则点 在点 的右上方，此时 ，
故答案为：6（答案不唯一，大于5均可）．
◆变式训练
1.已知直线 与 轴、 轴分别交于点 和点 ， 是 上的一点，若将 沿 折叠，
点 恰好落在 轴上的点 处，则点 坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、勾股定理与折叠问题
【分析】本题考查了一次函数与坐标轴交点问题，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握相关知识点是关键．由解析式求出点 和点 的坐标，再根据勾股定理即可得出 的长，由折叠的性质，可求得 ，
，设 ，在 中，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出 的坐标．
【详解】解： 直线 与 轴、 轴分别交于点 和点 ，
时， ， 时， ，
， ，
．
由折叠的性质得： ， ，
．
设 ，
则 ．
在 中， ，
即 ，
解得： ，
．
故选：B．
2.如图，入射光线 满足的一次函数关系式为 ，遇到平面镜（ 轴）上的点 后，反射光
线 交 轴于点 ，则点 坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题
【分析】本题考查了轴对称问题，一次函数与 轴的交点问题，解题的关键是得出 是关于原点对称的，
求出点 ，即可求出点 坐标．
【详解】解：延长 交 轴于 ，如下图：
由原理知： 是关于原点对称的，
当 ，则 ，解得： ，
，故 ，
故选：B．
【题型四】利用一次函数图象求解不等式
◇典例4：
若函数 的图象如图所示，则关于x的不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集
【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，熟练掌握从图象上获得信息是解题的关键．
由函数图象可知，函数 图象经过点 ，并且函数值随 的增大而增大，得到 ， ，求出 ，推出函数 的并且函数值随 的增大而减小，得到关于x的不等式 的解集
为 ．
【详解】解：由函数图象可知，函数 图象经过点 ，并且函数值随 的增大而增大，
， ，
，
函数 的并且函数值随 的增大而减小，
当 时， ，
关于x的不等式 的解集为 ，
故选：D．
◆变式训练
1.图，直线 与直线 （ 为常数， ）相交于点 ，则关于 的不等式
的解集为 ．
【答案】
【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集
【分析】本题考查了一次函数与不等式，掌握数形结合思想是解题的关键．
根据函数图像解答即可求解．
【详解】解：由函数图像可知，当 时，函数 的图像不在函数 图像的上方，即
，
∴不等式 的解集为 ，
故答案为： ．
2.若函数 的图象如图所示，则关于x的不等式 的解集是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集、一次函数图象平移问题
【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移问题，一次函数与不等式之间的关系，根据函数图象可得函
数 与x轴的交点坐标为 ，且y随x增大而减小，再由函数 是函数函数
向右平移2个单位长度得到的，可得函数 与x轴的交点坐标为 ，且y随x增
大而减小，据此可得答案．
【详解】解：由函数图象可知，函数 与x轴的交点坐标为 ，且y随x增大而减小，
∵函数 是函数函数 向右平移2个单位长度得到的，
∴函数 与x轴的交点坐标为 ，且y随x增大而减小，
∴关于x的不等式 的解集是 ，
故选：C
【题型五】利用一次函数图象解方程（组）
◇典例5：
函数 （ ， 为常数， ）的图象与 的图象交于点 ．
(1)求 ， 的值；
(2)已知一次函数 （ 为常数， ），当 时，总有 ，则 的取值范围是 ．
【答案】(1)
(2)【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解、根据两条直线的交点求不等式的解集、求一次函数解析
式
【分析】本题主要考查了一次函数的交点问题、二元一次方程组的应用、不等式的应用等知识点，掌握边
界问题的求解方法是解题的关键．
（1）直接将 代入函数解析式得到二元一次方程组求解即可；
（2）由（1）易得 ， ，再分 、 两种情况解答，最后综合即可解答．
【详解】（1）解：将点 代入函数 （ ， 为常数， ）的图象与 可得：
，解得： ，
∴ ．
（2）解：∵ ，
∴ ， ，
∵当 时，总有 ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ （当 时恒成立， 取等号边界情况），解得： ；
由 ，即 ，
∴ ，
综上，a的取值范围为 ．
◆变式训练
1.“鹿鸣学堂”数学兴趣小组研究发现∶在平面直角坐标系中，某些点的纵坐标比横坐标的 倍还大 ( 为常数)，则称此点为“ 倍大点”，例如 、 都是“ 倍大点”．
【验证感知】若 时，“ 倍大点”为 ，则一次函数 的图像上的“ 倍大点”的坐标
为
【知识应用】若反比例函数 存在“ 倍大点”，求 的取值范围；
【拓展延伸】若 时，二次函数 在 的范围内，图像上有且只有 个“ 倍大
点”，求 的取值范围．
【答案】[验证感知] ；[知识应用] 或 ；[拓展延伸] 或
【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、其他问题(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的图象与性质、两
直线的交点与二元一次方程组的解
【分析】本题考查了一次函数、反比例函数，二次函数的性质，理解新定义是解题的关键；
[验证感知]根据题意“ 倍大点”在 上，联立直线解析式，即可求解；
[知识应用]联立反比例函数解析式，得出一元二次方程，根据一元二次方程根判别式的意义，即可求解；
[拓展延伸]分两种情况讨论，设 ， ；①抛物线与直线相切；②当 时，
，且当 时， ，此时图像上有且只有 个“ 倍大点”，解不等式，即可求解．
【详解】解：[验证感知]当 ，“ 倍大点”为 ，
则“ 倍大点”在 上，
联立
解得：
∴一次函数 的图像上的“ 倍大点”的坐标为 ；
[知识应用]解：依题意，“ 倍大点”在 上，当反比例函数 存在“ 倍大点”
∴ 有解，
∴
∴
解得： 或
[拓展延伸]∵ ，则“ 倍大点”在 上，
设 ，
∵二次函数 在 的范围内，图像上有且只有 个“ 倍大点”，
①当 时，
即 ，
∴
解得：
②当 时， ，且当 时，
解得：
综上所述， 或
2.直线 和直线 相交于点 ，分别与 轴相交于点 和点 ．求 的面积．
【答案】
【知识点】求直线围成的图形面积
【分析】本题主要考查平面直角坐标系中直线与坐标轴围成的面积，掌握一次函数交点的计算方法，图形
面积的计算方法是解题的关键．根据两条直线相交，可联立方程组求得点 的坐标，根据直线与坐标轴有交点可求得点 的坐标，如图所示，可得 ，过点 作 于点 ，根据三角形的面积公式
即可求解．
【详解】解：根据题意得方程组 ，解得 ，
∴ ，
在直线 中，当 时， ，解得 ，
∴ ，
在直线 中，当 时， ，解得 ，
∴ ，
如图所示，过点 作 于点 ，
∴ ， ，
∴ ．
真题在线
一、单选题
1．（2025·四川·中考真题）函数 的图象为( )
A． B． C． D．【答案】A
【分析】本题考查了一次函数的图象性质（含一次函数与坐标轴交点的求解），解题的关键是通过计算一
次函数与x轴、y轴的交点坐标，与选项中图象的交点进行匹配，确定正确答案．
先明确函数 是一次函数（图象为直线）；分别令 求其与x轴的交点，令 求其与y轴的交
点；再将计算出的交点坐标与各选项图象的交点对比，筛选出匹配的选项．
【详解】解：函数 为一次函数，其图象是一条直线，可通过求与坐标轴的交点判断选项．
令 ，则 ，解得 ，即函数与x轴的交点为 ；
令 ，则 ，即函数与y轴的交点为 ；
观察图像，只有A选项与计算结果匹配．
故选：A．
2．（2023·陕西·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数 和 （ 为常数， ）的图象
可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是正比例函数与一次函数的图象共存的问题，根据正比例函数和一次函数的性质，可
以得到函数 和 的图象经过哪几个象限，从而可得答案．
【详解】解：∵ ，
∴函数 是经过原点的直线，经过第二、四象限，
函数 是经过第一、三、四象限的直线，
故选：D．3．（2025·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，点 均在直线 上，若 ，
则该直线经过的点的坐标还可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键．
根据题意可知 ，即可得出 随 的增大而增大．
【详解】解： ， ，
随 的增大而增大，
，
∴经过一，三象限
∴B符合条件，C，D不符合条件
∵直线 ，
∴直线经过原点
点 在x轴上，直线 经过原点，但不经过 故该选项A不符合，
故选： ．
4．（2025·江苏徐州·中考真题）如图为一次函数 的图象，关于x的不等式 的解集
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数图象的平移，把一次函数 的图象
向右平移3个单位得 的图象，可得函数 与 轴的交点坐标为 ，再结合图象可得答案．
【详解】解：把一次函数 的图象向右平移3个单位得 的图象，
∴ 向右平移3个单位得 ，
∴函数 与 轴的交点坐标为 ，
∵ ，
∴结合图象可得： ，
故选：C．
5．（2025·江苏南通·中考真题）已知直线 经过第一、第二、第三象限，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据一次函数 （ 、 为常数， ）的图象性质，分析 、 取值对直线经过象限的
影响来求解．本题主要考查了一次函数 的图象与系数的关系，熟练掌握不同 、 取值对应直线
经过的象限是解题的关键．
【详解】解：∵一次函数 的图象经过第一、二、三象限，
∴ 时， 时，
故选： ．
6．（2025·广西·中考真题）已知一次函数 的图象经过点 ，则 （ ）
A．3 B．4 C．6 D．7
【答案】D
【分析】本题主要考查了一次函数的图象上点的坐标特征．将点 代入一次函数解析式，解方程即可
求出b的值．
【详解】解：∵ 一次函数 的图象经过点 ，
∴ 将 ， 代入解析式，得：
，解得： ，
故选：D．
7．（2023·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，直线 （m为常数）与x轴交于点A，将该直线
沿x轴向左平移6个单位长度后，与x轴交于点 ．若点 与A关于原点O对称，则m的值为（ ）
A． B．3 C． D．6
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征．根据平移的规律和关于原
点对称的特点求得 ，再利用待定系数法求解即可．
【详解】解：∵将该直线沿x轴向左平移6个单位长度后，与x轴交于点 ，若点 与A关于原点O对称，
∴
∴ ，
∵点 在直线 上，
∴ ，
解得 ，
故选：B．
8．（2025·吉林长春·中考真题）已知点 、 在同一正比例函数 的图象上，则
下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的图象和性质判断即可求解，掌握反比例
函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：∵点 、 在同一正比例函数 的图象上，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，∴正比例函数的图象经过二、四象限，当 时 ，当 时 ，
∵ ，
∴ ， ，
∴选项 正确，选项 错误，
故选： ．
二、填空题
9．（2025·青海西宁·中考真题）在平面直角坐标系 中，点 ，点P在过原点的直线 上，且
，则直线 的解析式是 ．
【答案】 或
【分析】本题考查求一次函数的解析式，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，根据 ，
结合 ，得到 为等边三角形，分点 在 点上方和点 在 点下方两种情况，求出点 的坐标，
待定系数法求出函数解析式即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
过点 作 轴，则： ， ，
∴ 或 ，
设直线 的解析式为 ，
∴当 时， ，解得 ，此时 ；
当 时， ，解得 ，此时 ；
综上： 或 ；故答案为： 或 ．
10．（2025·宁夏·中考真题）如图，直线 与直线 交于点 ，则关于 的方程组
的解是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解题的关键是理解两直线的交点坐标与方程组解
的对应关系．
明确一次函数与二元一次方程组的联系：两条直线的交点坐标同时满足两个直线对应的函数解析式；因此
方程组的解就是两直线交点的坐标；已知直线 与 交于点 ，该点坐标即为方程组的解．
【详解】∵直线 与直线 交于点 ，
∴点A的坐标同时满足两个函数的解析式，即方程组 的解为点A的坐标．
故答案为： ．
11．（2025·四川南充·中考真题）已知直线 与直线 的交点在 轴上，
则 的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查一次函数的交点问题，由直线 与直线 的交点在
轴上可知当 时函数值相等，得到 ，然后代入 化简即可．推导知 时函数值相等是解
题的关键．
【详解】解：当 时， ， ，
∵直线 与直线 的交点在 轴上，
∴ ，
∴ ．
12．（2024·西藏·中考真题）将正比例函数 的图象向上平移3个单位长度后得到函数图象的解析式为
．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数的性质-平移，根据一次函数平移的特点求解即可，掌握一次函数平移的特点
是解题的关键．
【详解】解：正比例函数 的图象向上平移3个单位长度后得到函数图象的解析式为：
，
故答案为： ．
三、解答题13．（2024·江苏南京·中考真题）已知点 与点 关于 轴对称，将点 向左平移3个单位长度得到
点 ．若 两点都在函数 的图象上，求点 的坐标．
【答案】点 的坐标为
【分析】本题考查一次函数图象上点坐标的特征，根据点 与点 关于 轴对称，将点 向左平移3
个单位长度得到点 ，可得 ， 代入 可解得 ，故点 的坐标为 ．
【详解】解：∵点 与点 关于 轴对称，将点 向左平移3个单位长度得到点 ，
∴ ，
∵ 两点都在函数 的图象上，
∴ ，
解得 ，
∴点 的坐标为 ．
14．（2025·北京·中考真题）在平面直角坐标系 中，函数 的图象经过点 和 ．
(1)求k，b的值；
(2)当 时，对于x的每一个值，函数 的值既小于函数 的值，也小于函数
的值，直接写出m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与不等式之间的关系，熟知一次函数的相关知识是解题的关键．
（1）直接利用待定系数法求解即可；
（2）由（1）可得函数 的解析式为 ，函数 的解析式为 ，当
时，则 ，当 时，则 ，根据当 时，两个不等式都成立可得
；当 ， 时， 和 恒成立；当 时，则 且 ，再分当
时，则 ，当 时，则 ，两种情况分别解不等式即可得到答案．
【详解】（1）解：∵在平面直角坐标系 中，函数 的图象经过点 和 ，
∴ ，
解得 ；
（2）解：由（1）可得函数 的解析式为 ，函数 的解析式为 ，
当 时，则 ，
当 时，则 ，
∵当 时，对于x的每一个值，函数 的值既小于函数 的值，也小于函数
的值，
∴ ，且 ，
∴ ，
当 ， 时， 和 恒成立，故 符合题意；
当 时，则 且 ，
当 时，则 ，解不等式 得 ，解不等式 ，
∴ ；
当 时，则 ，
解不等式 得 ，解不等式 得 ，此时不符合题意；
综上所述， ．
15．（2025·山东德州·中考真题）如图， ，点M在线段 上，将 沿直线 折叠，
点B恰好落在点 处．
(1)求a的值；
(2)求直线 的解析式；
(3)若直线 与直线 的交点在直线 的左侧，请直接写出t的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】题目主要考查坐标与图形，勾股定理解三角形，翻折的性质，确定一次函数解析式及一次函数的
性质，理解题意，结合图象求解是解题关键．
（1）根据题意得出 ，再由勾股定理及折叠的性质求解即可；
（2）设 ，根据折叠的性质，得 ， ，根据勾股定理确定点M的坐标，再利
用待定系数法计算解析式即可．
（3）根据题意作出相应草图，结合图象得出 ，代入一次函数解析式即可求解．【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵将 沿直线 折叠，点B恰好落在点 处，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）设 ，
根据折叠的性质，得 ， ，
由（1）得 ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
故 ，
设直线 的解析式为 ，
∴ ，
解得 ，
故直线 的解析式为 ．
（3）由（1）得： ，
∴直线 与直线 的交点在直线 的左侧，
如图所示：当 时， ，
∴ ，
∵直线 与直线 的交点在直线 的左侧，
∴直线 经过点N时恰好是临界点，
∴ ，
解得： ，
∴t的取值范围为 ．
专项练习
一、单选题
1．一次函数 的图象如图所示，当 时，x的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确一次函数的性质，利用
数形结合的思想解答．依据题意，由函数的图象，可以得到该函数 时x的值和该函数的增减性，从而
可以得到当 时，x的取值范围．
【详解】解：根据函数图象可知：当 时， ，
故选：B．2．函数 的图象经过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限
C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限
【答案】D
【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；根据一次
函数图象与系数关系，由斜率k和截距b的符号判断图象所经过象限即可．
【详解】解：由函数 可知： ，
∴图象经过第一、三、四象限；
故选D．
3．如图，直线 与直线 交于点 ，则方程组 的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．两个一次函数图
象的交点坐标即为联立解析式组成方程组的解．
【详解】解：∵直线 与直线 交于点 ，
∴方程组 的解为 ，
即方程组 的解为 ．
故选：A．
4．已知一次函数 不经过第三象限，则 的取值范围为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；一次函数
不经过第三象限需满足一次项系数小于0且常数项不小于0，然后问题可求解．
【详解】解：∵一次函数 不经过第三象限，
∴ 且 ，
即 且 ，
∴ ；
故选D．
5．如图：三个正比例函数的图像分别对应的解析式是① ，② ，③ ，则 、 、 的大小
关系是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查正比例函数的图像．熟悉正比例函数的图像和性质是解题的关键．正比例函数的图像和
性质：对于 ，当 时，函数图像经过第二、四象限， 随 的增大而减小；当 时，函
数图像经过第一、三象限， 随 的增大而增大；并且 越大，函数图像越陡．
【详解】解：∵正比例函数①、②的图像经过一、三象限，正比例函数③的图像经过二、四象限，
∴ ， ， ，
∵ 越大，正比例函数图像越陡，
∴ ．
故选：C．
6．点 在直线 上，且到 轴的距离为1，则点 的坐标是（ ）
A． B． C． 或 D． 或【答案】C
【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；根据点P
到y轴的距离为1，即横坐标绝对值 ，故 或 ，再代入直线方程求纵坐标y即可．
【详解】解：∵点P到y轴的距离为1，
∴ ，
∴ 或 ，
又∵点P在直线 上，
当 时， ；
当 时， ，
∴点P的坐标为 或 ；
故选C．
7．如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数 和 相交于点 ，则关于x，y的方
程组 的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一
对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
【详解】解：∵一次函数 和 相交于点 ，
∴关于x，y的方程组 的解是 ，
∴关于x，y的方程组 的解是 ，
故选：B．
8．关于一次函数 的图象与性质，下列说法中正确的个数是（ ）
① 随 的增大而增大；②当 时，该图象与函数 的图像是两条平行线；③不论 取何值，图象
都经过第一、三象限；④若图象不经过第四象限，则 ．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】本题考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；根据一次函数
的增减性由k的符号决定、两直线平行需k相同且b不同、图象必过象限由k的符号决定、不经过第四象
限需 且 ，由此问题可求解．
【详解】解：∵函数 中， ， ，
①∵ ，∴y随x的增大而增大，正确；
②当 时， ，与 的k相同但b不同，∴图象平行，正确；
③∵ ，∴不论m取何值，图象都经过第一、三象限，正确；
④若图象不经过第四象限，则需 ，即 ，∴ ，但说法为 ，错误；
∴正确说法有3个，
故选B．
9．从 ， ，3，6这四个数中任取两个数，分别记为m，n，那么点 在函数 图象上的概率
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征以及列表或树状图法求概率，通过列表 找出
的概率是解题的关键．
根据正比例函数图象上点的坐标特征可得出 ，列表找出所有 的值， 根据表格中 所占比例
即可得出结论．
【详解】解：∵点 在函数 图象上，
∴ ．
列表如下：
n m
3
6
2
3
6
3
3
3 6
6
6
6 3 2共有12种等可能情况， 的值为 的情况数为1，
∴ 的值为 的概率是 ．
即点 在函数 图象上的概率为 ．
故选：D．
10．以下关于直线 说法正确的是（ ）
A．与 轴相交于点
B．与直线： 平行
C．将直线 向上平移2个单位长度得到直线
D．直线 上有三个点 ，则
【答案】D
【分析】本题主要考查了一次函数图象与几何变换、一次函数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用一
次函数的性质是关键．
依据题意，由直线为 ，则令 ，则 ，可得与x轴相交于点 ，故可判断A；根据
两条直线平行，可得与直线 平行的直线 ，故可判断B；依据题意，将直线 向上平
移2个单位长度得到直线 ，即 ，故可判断C；依据题意，由直线为 ，
，则y随x的增大而增大，结合一次函数的性质即可判断D．
【详解】解：∵直线为 ，
∴令 ，则 ，可得与x轴相交于点 ，故A错误；
根据两条直线平行，可得与直线 平行的直线的 ，故B错误；由题意，将直线 向上平移2个单位长度得到直线 ，即 ，故C错误；
∵直线为 ， ，
∴y随x的增大而增大．
∵点 在 上，且 ，
∴ ，则D正确．
故选：D．
二、填空题
11．直线 的图像向右平移1个单位，所得直线的函数解析式为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查一次函数的平移，熟记平移法则“左加右减，上加下减”来直接得到平移后的解析
式．根据平移的规则“左加右减”即可得出结论．
【详解】解：直线 的图像向右平移1个单位，所得直线的函数解析式为 ，即
．
故答案为： ．
12．如图，一次函数 的图像与 轴的交点坐标为 ，则关于 的方程 的解为 ．
【答案】
【分析】本题考查了已知直线与坐标轴交点求方程的解，根据一次函数 的图像与 轴的交点坐标
为 ，故 的解为 ，即可作答．【详解】解：∵直线 的图象经过 点，
则 ，
∴ 的解为 ．
故答案为： ．
13．已知两条直线 与 的图像的交点坐标为 ，则方程组
的解为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，熟练掌握“两条直线的交点坐标就是对应二
元一次方程组的解”是解题的关键．
根据一次函数与二元一次方程组的关系，直线交点坐标对应方程组的解．
【详解】解：∵两条直线 （ ）与 （ ）的图像的交点坐标为 ，
∴方程组 的解为 ，
故答案为： ．
14．已知一个正比例函数的图象经过点 ，则这个正比例函数的表达式是 ．
【答案】
【分析】本题考查了求正比例函数的解析式，使用待定系数法，设正比例函数为 ，将点
代入求解 ，熟练掌握正比例函数的性质是解此题的关键．
【详解】解：设正比例函数表达式为 ，
将 代入表达式可得 ，解得： ，
∴这个正比例函数的表达式是 ，
故答案为： ．
15．若 与 成正比例，当 时， ，则y与x之间的函数表达式为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查正比例函数以及待定系数法，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键．由题意可
设 ，然后代值求解即可．
【详解】解：由题意可设 ，则有：
当 时， ，
解得： ，
∴ ，即
故答案为 ．
16．当 时，函数 的最大值为 ．
【答案】4
【分析】本题考查了正比例函数的性质，根据 的 ，得出y随x的增大而减小，又结合
，故把 代入进行计算，即可作答．
【详解】解：依题意， 的 ，
∴y随x的增大而减小，
依题意，把 代入 得 ，
故答案为：4．
三、解答题
17．已知 与x成正比例，且当 时， ．(1)求y关于x的函数表达式；
(2)判断点 是否在函数的图像上，并说明理由．
【答案】(1)
(2)不在函数图像上，理由见解析
【分析】本题考查了正比例的性质，求一次函数解析式，求函数值．
（1）根据正比例关系设出函数表达式，利用给定点求比例系数，得到函数解析式；
（2）将 代入（1）中的解析式，即可求解．
【详解】（1）解：∵ 与 成正比例，
∴设 （ 为比例常数），
将 ， ，代入得 ，即 ，
解得 ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：点 不在函数图像上．
理由：由（1）知函数表达式为 ，
当 时， ，
∵ ，
∴点 不在函数图像上．
18．已知： 与 成正比例，且 时， ，
(1)求 与 之间的函数关系式；
(2)若点 在这个函数的图象上，求 的值；
(3)若该函数图象沿 轴向上平移 个单位长度，求平移后图象与 轴的交点坐标．
【答案】(1)
(2)(3)
【分析】本题考查正比例函数的定义，一次函数的图象和性质，一次函数图象的平移，熟练掌握相关知识
点，正确的求出函数解析式是解题的关键：
（1）设 ，待定系数法求出函数解析式即可；
（2）把点 代入（1）中所求解析式，进行求解即可；
（3）根据平移规则求出平移后的解析式，再令 ，进行求解即可．
【详解】（1）解：设 ，
把 代入，得： ，
解得： ，
则 与 的函数关系式是 ，
即 ；
（2）把点 代入 得： ，
解得： ；
（3）由“上加下减”的原则可知，将函数 的图象沿 轴向上平移 个单位长度后所得函数的解
析式为 ，
令 ，则 ，
平移后的图象与 轴的交点的坐标为 ．
19．已知直线 ，求：
(1)若 ，求将该函数图像向下平移2个单位长度后的函数关系式_____．
(2)当m为何值时，函数图像经过原点？
(3)若此函数为一次函数，且图像不经过第二象限，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)(3)
【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，一次函数的平移,解一元一次不等式组，熟练掌握相关知识点
是解题的关键．
（1）代入 得 ，再根据一次函数的平移规律即可求解；
（2）代入 到 ，即可求出m的值；
（3）根据一次函数图像的性质列出关于m的不等式组，即可求解．
【详解】（1）解：当 时， ，
将该函数图像向下平移2个单位长度，得到 ，
∴平移后的函数关系式为 ；
故答案为： ；
（2）解：∵函数图像经过原点，
∴代入 ，得 ，
解得 ；
（3）解：∵函数 为一次函数，且图像不经过第二象限，
∴ ，
解得 ，
∴m的取值范围为 ．
20．如图，直线 是一次函数 的图像．
(1)求直线的函数表达式；
(2)在直线 上取点 ，使 的面积为8，求点 的坐标；(3)将直线 沿 轴向___________平移___________个单位，则平移后的直线经过点 ．
【答案】(1)
(2)点 的坐标为 或
(3)上，
【分析】本题主要考查一次函数的图像与性质，熟练掌握一次函数的图像与性质是解题的关键；
（1）由图像可知点 ，然后根据待定系数法可进行求解；
（2）设点 ，然后根据三角形的面积公式可列方程进行求解；
（3）根据一次函数的平移可进行求解．
【详解】（1）解：由图像可知点 ，则有：
，解得： ，
∴直线 的解析式为 ；
（2）解：由（1）可知：直线 的解析式为 ， ，
设点 ，
∵ 的面积为8，
∴ ，
解得： 或 ，
∴点 的坐标为 或 ；（3）解：设直线 平移后的表达式为 ，
∵平移后的直线经过点 ，
∴ ，解得： ，
∴直线 平移后的表达式为 ，
由直线 的解析式为 ，可知：将直线 沿 轴向上平移 个单位长度；
故答案为上， ．
21．如图在平面直角坐标系 中，直线 与直线 交于点P，直线 与直线 分别与x
轴相交于点A、B．
(1)求点P的坐标；
(2)当 时，x的取值范围为______；
(3)求 的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)4
【分析】本题主要考查了两条直线相交的问题．
（1）依据题意，可得方程组 ，计算即可得解；
（2）依据题意，由当 时， 的函数图象在 上方，结合 ，即可判断得解；
（3）依据题意，分别求出A、B的坐标，再结合 ，进而可以计算得解．【详解】（1）解：∵ ，
解得 ，
∴ ；
（2）解：∵当 时， 的函数图象在 上方，
又∵ ，
∴ ；
（3）解：∵ ，
∴令 ，则 ，
∴ ，
又对于 ，令 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
