文档内容
2026 年中考数学一轮复习精讲精练
模块四 三角形
专题3 定义、命题与定理
知识梳理
【考点一】 命题
1.命题 表示判断的语句叫做命题特别解读:(1)命题只是对事情进行判断，判断的结果可能是正确的，也可
能是错误的，(2)命题必须是一个完整的句子，不能是一个词语(3)命题必须具有“判断”作用，要对事情进
行肯定或否定的判断，故命题不能是祈使句或疑问句
2.命题的结构 命题由条件和结论两部分组成.条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项
3.命题的种类 (1)真命题:如果条件成立，那么结论一定成立.像这样的命题，叫做真命题(2)假命题:当条件成
立时，不能保证结论总是正确，也就是说结论不成立.像这样的命题，叫做假命题
4.举反例 要判断一个命题是假命题，只要举出一个例子,说明该命题不成立，即只要举出一个符合该命题
条件而不符合该命题结论的例子就可以了.在数学中，这种方法称为“举反例”
5.注意：
（1）命题常可以写成“如果...那么….....”的形式，其中“如果”后接的部分是条件，“那么”后接
的部分是结论。
（2）有些命题的条件和结论不明显，可将它经过适那么......”的形式。当变形，改写成“如果.…，
【考点二】 定义与定理
1.定义 用不同的语句说明名词各自所包含的确切意义，这样的语句叫做这些名词的定义
2.基本事实 经过长期实践后公认为正确的命题,并作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做
基本事实.例如(1)两点确定一条直线;(2)两点之间线段最短(3)同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知
直线垂直，(4)过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行(5)两条直线被第三条直线所截，如果同位角
相等，那么这两条直线平行
3.定理 有些命题可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为
进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理
4.命题、基本事实、定理之间的联系与区别:
（1）联系:基本事实和定理都是命题
（2）区别:基本事实、定理都是真命题，都可以作为判断其他命题真假的依据，只不过基本事实是最原始
的依据:而命题不一定是真命题，因而不一定能作为判断其他命题真假的依据
【考点三】命题证明的一般步骤
1.证明 根据条件、定义及基本事实、定理等，经过演经推理来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明
2.命题证明的一般步骤
第一步:分清命题的条件和结论，若命题与图形有关则根据题意,画出图形，并在图形上标出相关的字母和
符号；第二步:根据条件、结论，结合图形,写出已知、求证；第三步:观察图形，分析证明思路，找出证明
方法；第四步:写出证明的过程，并注明依据
3.推论 由一个定理直接推出的正确结论叫做这个定理的推论.例如“两条平行线被第三条直线所截，同旁
内角互补”是定理“两条平行线被第三条直线所截同位角相等”的推论.推论和定理一样，可以作为进一步
证明的依据
4.注意：
要证明一个命题是真命题，就要证明符合条件的所有情况，得出的结论都成立;要证明一个命题是假命
题，只需要举出一个反例说明命题不成立即可
例题讲解
【题型一】判断是否是命题
◇典例1：
下列语句是命题的有（ ）个．
你喜欢数学吗？ 熊猫没有翅膀； 任何一个三角形一定有直角； 作线段AB=CD； 无论n是怎
①样的自然数，式子n②2−n+11的值都是③质数； 如果两条直线都和第三④条直线平行，那么这两⑤条直线也互
相平行． ⑥
A．3 B．4 C．5 D．6
◆变式训练
1.下列语句是命题的是（ ）
A．作AB∥CD B．若∠1=∠2，∠2=∠3，则∠1=∠3
C．两条直线被第三条直线所截 D．一条铁路的两根铁轨是平行的吗
2.下列选项中不是命题的是（ ）
A．正数大于负数 B．过直线外一点作直线的平行线
C．三角形的任意两边之和大于第三边 D．如果a=b,a=c，那么b=c
【题型二】 写出命题的题设与结论
◇典例2：
“垂线段最短”的题设是 ，结论是 ．
◆变式训练
1.命题“度数之和为90°的两个角互为余角”的条件是（ ）A．90° B．两个角 C．度数之和为90° D．度数之和为90°的两个角
2.如果∠A>∠B,∠B>∠C，那么∠A>∠C，这个命题的条件是 ，结论是 ．
【题型三】判断命题真假
◇典例3：
如图，线段AC,BD相交于点O，连接AD,BC，并延长AD至点E，∠BCA的平分线与∠BDE的平分线
相交于点M．①若∠A=2∠BCM，则AE∥BC；②若∠M=2∠BDM，则AE∥MC；③若
∠A=∠B，则∠EDM+∠BCM=90°；④若∠ADO=∠BCO，则∠M−∠B=90°．以上命题中真命
题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
◆变式训练
1.命题“互为相反数的两个数的绝对值相等”是 命题（真/假）．
2.命题：①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③垂直于同一条直线的两条直线平行；④平行于同一条直
线的两条直线平行．其中是真命题的有 ．（请填写序号）
【题型四】举反例
◇典例4：
能说明命题“两个锐角的和一定是钝角”是假命题的反例是（ ）
A．∠1=82°，∠2=40° B．∠1=89°，∠2=2°
C．∠1=65°，∠2=30° D．∠1=30°，∠2=20°
◆变式训练
1.为说明命题“如果|a|=|b|，那么a=b”是假命题，你举出的一个反例是 ．
2.对于命题“如果∠1+∠2=90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的反例是（ ）
A．∠1=45°,∠2=45° B．∠1=30°,∠2=60°
C．∠1=60°,∠2=60° D．∠1=30°,∠2=40°
【题型五】定理与证明
◇典例5：
请举出一个关于角相等的定理： ．
◆变式训练1.下列语句中，是定义的是（ ）
A．若两角之和为90°，则这两个角互余 B．相等的角是对顶角
C．同角的余角相等 D．延长BC至D使CD=BC
2.定理可以作为证明后续命题的 ，根据 ，可以得到推论：三角形的外角等于与它不相邻的
的和．
【题型六】写出一个命题的已知、求证及证明
◇典例6：
命题：直角三角形的两锐角互余．
(1)将此命题写成“如果…，那么…”：________________________；
(2)请判断此命题的真假．若为假命题，请说明理由；若为真命题，请根据所给图形写出已知、求证和证明
过程．
◆变式训练
1.请将三角形内角和定理的推论补充完整并加以证明．
定理：三角形的外角等于_____________________的和．
已知：
求证：
2.证明：平行于同一条直线的两条直线平行．
已知：____________．
求证：____________．
证明：
【题型七】已知证明过程填写理论依据
◇典例7：
【教材呈现】下面是华师版七年级下册数学教材习题8.1第6题部分内容．
如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D．试找出∠D
与△ABC的内角∠A之间的关系．（1）小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入∠A的度数，即可求∠D的度数．
①当∠A=60°时，∠D=___________度；当∠A=120°时，∠D=___________度；
②于是小明猜想∠D与∠A之间的数量关系为___________；
（2）以下是小明完成猜想证明的部分过程：
证明：∵BD平分∠ABC，
1
∴∠DBC=∠ABD= ∠ABC．
2
∵CD平分∠ACE，
1
∴∠DCE=∠ACD= ∠ACE．
2
证明过程缺失
请你补全缺失的证明过程．
【结论应用】（3）如图，在四边形ABCD中，BF平分∠ABC,CG平分外角∠DCE，连结FG．若
∠A=140°，∠D=90°，则∠F+∠G=___________度．
◆变式训练
1.补全下列推理过程：
如图，EF⊥BC，AD⊥BC，∠1=∠2，试说明DG∥BA．解：∵EF⊥BC，AD⊥BC，（已知），
∴∠BFE=∠BDA=90°（垂直的定义），
∴EF∥AD（____________）．
∴∠2=∠3（____________）．
∵∠1=∠2（已知），
∴____________（等量代换）．
∴DG∥AB（____________）．
2.如图，D是△ABC边BC上的一点，∠B=∠BAD，∠ADC=70°．
(1)求∠B的度数：请在解答过程的空白处填上适当的内容．（理由或数学式）
解：（1）∵∠ADC是△ABD的外角，∠ADC=70°（已知），
∴∠B+______=∠ADC=70°（______）．
又∵∠B=∠BAD（已知），
∴∠B=______°．（等量代换）
(2)若AD平分∠BAC，求∠C的度数．（请写出完整的解答过程）
【题型八】根据给出的论断组命题并证明
◇典例8：
如图，直线a，b，c被直线m，n所截，有下列命题：
①∠BAC=∠BDC；②∠AFE=∠FED；③m∥n．
从①②③中选出两个作为条件，第三个作为结论，写出一个真命题，并说明理由．
◆变式训练
1.如图，现有以下3个论断：①AB∥CD；②∠B＝∠C；③∠E＝∠F．请以其中2个论断为条件，
另一个论断为结论构造命题．(1)请写出所有的真命题；
(2)请选择其中一个命题加以证明．
2.【阅读】在证明命题“如果a>b>0，c<0，那么a2+bc>ab+ac”时，小明的证明方法如下：
证明：∵a>b>0，
∴a2> ． ∴a2+bc> ．
∵a>b，c<0，
∴bc> ． ∴ab+bc> ．
∴a2+bc>ab+ac．
【问题解决】
(1)请将上面的证明过程填写完整；
(2)有以下几个条件：① ，② ，③ ，④ ．请从中选择两个作为已知条件，得出结论
a>b a|b| ．你选择的条件序号是 ，并给出证明过程 ．
真题在线
一、单选题
1．（2023·湖南岳阳·中考真题）下列命题是真命题的是（ ）
A．同位角相等 B．菱形的四条边相等
C．正五边形是中心对称图形 D．单项式 的次数是4
2．（2023·四川达州·中考真题）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．平行四边形是轴对称图形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
D．在 中，若 ，则 是直角三角形
3．（2023·湖南·中考真题）我们可以用以下推理来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”．假设三角形没有一个内角小于或等于 ，即三个内角都大于 ．则三角形的三个内角的和大于
，这与“三角形的内角和等于 ”这个定理矛盾．所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等
于 ．上述推理使用的证明方法是（ ）
A．反证法 B．比较法 C．综合法 D．分析法
4．（2023·江苏无锡·中考真题）下列命题：①各边相等的多边形是正多边形；②正多边形是中心对称图形；
③正六边形的外接圆半径与边长相等；④正n边形共有n条对称轴．其中真命题的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
5．（2024·湖南·中考真题）下列命题中，正确的是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．菱形的对角线相等
C．正五边形的外角和为 D．直角三角形是轴对称图形
6．（2025·四川成都·中考真题）下列命题中，假命题是（ ）
A．矩形的对角线相等 B．菱形的对角线互相垂直
C．正方形的对角线相等且互相垂直 D．平行四边形的对角线相等
7．（2023·内蒙古通辽·中考真题）下列命题：
① ；
② ；
③圆周角等于圆心角的一半；
④将一枚质地均匀的硬币抛掷一次时，正面朝上是必然事件；
⑤在一组数据中，如果每个数据都增加4，那么方差也增加4．
其中真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2023·浙江台州·中考真题）如图，锐角三角形 中， ，点D，E分别在边 ， 上，
连接 ， ．下列命题中，假命题是（ ）．
A．若 ，则 B．若 ，则C．若 ，则 D．若 ，则
二、填空题
9．（2024·江苏宿迁·中考真题）写出定理“两直线平行，同位角相等”的逆定理是 ．
10．（2025·江苏无锡·中考真题）请写出命题“若 ，则 ”的逆命题： ．
11．（2024·江苏无锡·中考真题）命题“若 ，则 ”是 命题．（填“真”或“假”）
12．（2025·北京·中考真题）能说明命题“若 ，则 ”是假命题的一组实数a，b的值为
， ．
三、解答题
13．（2023·江西·中考真题）如图，点A, D, B,E在同一条直线上，且AD=BE, ∠A=∠FDE,则△ABC≌△DEF.判断
这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题请给出一个适当的条件使它成
为真命题，并加以证明.
14．（2025·江苏南通·中考真题）请从下列四个命题中选取两个命题，并判断所选命题是真命题还是假命
题．如果是真命题，给出证明；如果是假命题，举出反例．
(1)若 ，则 ；
(2)对于任意实数 ，一定有 ；
(3)两个连续正奇数的平方差一定是8的倍数；
(4)一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形．
15．（2023·湖南湘潭·中考真题）已知 五个点，抛物线
经过其中的三个点．
(1)求证：C、E两点不可能同时在抛物线 上；(2)点A在抛物线 上吗？为什么？
(3)求a和k的值．
专项练习
一、单选题
1．已知在 中， ，求证： ．若用反证法来证明这个结论，可以假设（ ）
A． B． C． D．
2．下列语句中，属于定义的是（ ）
A．两点确定一条直线 B．同角的余角相等
C．组成三角形的三条线段叫三角形的边 D．对顶角相等
3．用反证法证明“若在同一平面内， ， ，则 ”时，应假设（ ）
A． 与 平行 B． 与 相交
C． D． 与 不平行， 与 不平行
4．下列定理中，没有逆定理的是（ ）
A．两直线平行，同位角相等 B．三个角都相等的三角形是等边三角形
C．全等三角形的对应角相等 D．等角对等边
5．对于命题“若 ，则 ”，若要说明它是假命题，则所举的反例可以是（ ）
A． B． C． D．
6．用反证法证明命题“三角形的内角中最多有一个内角是钝角”时应先假设（ ）
A．没有一个内角是钝角 B．至少有一个内角是钝角
C．至少有两个内角是锐角 D．至少有两个内角是钝角
7．下列命题是真命题的是（ ）
A．同位角相等
B．相等的角是对顶角
C．平行于同一条直线的两条直线平行
D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行
8．下列定理中，没有逆定理的是（ ）
A．等腰三角形的两底角相等
B．全等三角形的对应角相等C．直角三角形的两个锐角互余
D．线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等
9．下列命题中，①半圆是弧；②弦是圆上两点之间的部分；③等弦所对的弧相等；④等弧所对的弦相等；
⑤在同一平面内，到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①④⑤ D．②④⑤
10．下列命题中，是假命题的是（ ）
A．四边形的外角和等于 B．两直线平行，内错角相等
C．若 ，则 D．在实数范围内，负数没有平方根
二、填空题
11．把命题“三角形的内角和等于 ”改写成“如果……，那么……”的形式为
．
12．能说明命题“若 ，则 ”是假命题的一组实数 的值为 ， ．
13．命题“等角的补角相等”的条件是 ．
14．用反证法证明“已知 ， ，则 ”时，应假设： ．
15．“等腰三角形的两个底角相等”这个命题的逆命题是 ．
16．以下结论中：①命题一定有逆命题，②真命题一定是定理，③真命题的逆命题一定是真命题，④假命
题的逆命题一定是假命题．正确的结论共有 个．
三、解答题
17．判断命题“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”的逆命题的真假，并说明理由．
18．指出下列命题中的条件和结论：
(1)如果两个角的和等于 ，那么这两个角互为补角．
(2)绝对值等于5的数一定是5．
(3)两个钝角相等．
(4)如果 ， ,那么 ．
19．小启和小正在学习《一元一次不等式》这一章节的时候，面对这样一个代数命题：“有两个数 和 ．
若 ．则一定有 ”，两人提出了如下问题：
(1)小启说：“这个命题一看就是假命题．”请你帮他们举一个反例说明．
(2)小正说：“这个命题只要加一个条件就正确了，如：有两个数a和b．若 ，则一定有
．”小启说：“这样一改肯定是真命题，可是不太好证明啊．”请你用所学的知识帮助他们证明这个命题．
20．（1）证明：等腰三角形两底角的角平分线相等；（2）写出这个命题的逆命题：__________，它是一个______命题（填“真”或“假”）．
21．《几何原本》是一部集前人思想和欧几里得个人创造性于一体的不朽之作，把人们公认的一些事实列
成定义、公理和公设，用它们来研究各种几何图形的性质，从而建立了一套从定义、公理和公设出发，论
证命题得到定理的几何学论证方法．
小牧在学习过程中产生了一个猜想：“如果三角形一边上的中线的长度等于所在边长度的一半，那么这个
三角形是直角三角形．”
(1)请你用尺规作图，在图中作出线段 的中点D，并连接 ．（保留作图痕迹）
(2)请你结合图形，将小牧猜想的命题写成已知、求证．
已知：______．
求证： 为直角三角形．
(3)补全上述猜想的证明过程．
证明：∵______
∴ ，
又∵
∴
在 中，∵
∴ ，（______）（填推理的依据）
同理，在 中，______．
在 中
∵
∴______
∴ 为直角三角形．
