文档内容
2026 年中考数学一轮复习精讲精练
模块一 数与式
专题8 分式及其运算
知识梳理
【考点一】分式的定义
分式：一般地，整式A除以整式B，可以表示成 的形式，如果除式B中含有字母，那么称 为分式．
分式 中，A叫做分子，B叫做分母．
注：①分式可以理解为两个整式相除的商，分母是除数，分子是被除数，分数线是除号。②整式B作为分
母，则整式B¿0. ③只要最终能转化为 形式即可.④B中若无字母，则变成系数乘A，为整式.
【考点二】分式的相关概念
1）分式 有意义的条件：分母不为0，即B 0
¿
2）分式的值为0的条件：分子为0，且分母不为0，即A=0且B¿0
3）分式为正的条件：分子与分母的积为正，即AB>0
4）分式为负的条件：分子与分母的积为负，即AB<0
【考点三】分式的基本性质
1）分数的性质（特点）如下：
①分母不能为零;②分数分子分母同乘除不为零的数，分数的大小不变;③分数的通分与约分（短除法）.
2）分式是分数的拓展延伸，分式有与分数类似的性质（特点）：
①分式分母也不能为零
②分式分子分母同乘除一个不为零的整式，分式大小不变。即：
用式子表示为 或 ，其中A，B，C均为整式．
③分式的通分与约分在知识点4中详细讲解.【考点四】分式的约分和通分
1）分式的约分：与分数的约分类似，约去分式分子、分母中的公因式（最大公约数）.
注：有时，分式分子、分母需进行一定的转换才有公因式。
2）最简分式：分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式．
注：约分一般是将一个分式化为最简分式，分式约分所得的结果有时可能成为整式．
3）分式的通分：利用分式的性质，将分式的分母变成最小公倍数，分子根据分母扩大的倍数相应扩大，
不改变分式的值。
步骤：①通过短除法，求出分式分母的最小公倍数；②分母变为最小公倍数的值，确定原式分母扩大的倍
数;③分子对应扩大相同倍数.
4）最简公分母：几个分式通分时，通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为
公分母，这样的分母叫做最简公分母．
【考点五】分式的混合运算
分式是分数的扩展，因此分式的运算法则与分数的运算法则类似：
1）分式的加减
①同分母的分式相加减法则：分母不变，分子相加减．用式子表示为： ．
②异分母的分式相加减法则：先通分，变为同分母的分式，然后再加减．
用式子表示为： ．
2）分式的乘法
乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．用式子表示为：
．
3）分式的除法
除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘．
用式子表示为： ．
4）分式的乘方乘方法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方．用式子表示为： 为正整数， ．
5）分式的混合运算
含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫做分式的混合运算．
混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减．有括号的，先算括号里的．
注：上述所有计算中，结果中分子、分母可约分的，需进行约分化为最简分式
例题讲解
【题型1】 分式有意义、无意义及分式值为0的条件
◇典例1：
1
函数 y=2√2−x+ 中自变量x的取值范围是 ．
x−1
【答案】x≤2且x≠1
【分析】本题考查了函数自变量的范围，根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可．
【详解】解：由题可得¿，
解得x≤2且x≠1，
故答案为：x≤2且x≠1．
◆变式训练
x2−9x
1.当x= 时，分式 的值为0．
x−3
【答案】0或9/9或0
【分析】本题考查分式值为零的条件，解题关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
注意：“分母不为零”这个条件不能少．
根据分式的值为零的条件可得x2−9x=0，且x−3≠0，再解即可．
【详解】解：由题意得：x2−9x=0，且x−3≠0，
解得：x=0或9，
故答案为0或9．
1
2.当x=3时，分式 无意义，则□所表示的代数式可以是（ ）
□
A．x−3 B．x+3 C．x D．3x
【答案】A
【分析】本题考查了分式的值无意义的条件，根据分母为零无意义计算即可．
【详解】解：当x=3时，x−3=0，x+3=6≠0，3x=9≠0，根据分式无意义则分母为零，可知□所表示的代数式可以是x−3，
故选：A．
【题型2】 分式的基本性质
◇典例2：
下列约分正确的是（ ）
m m x+ y y
A． =1+ B． =1−
m+3 3 x−2 2
9b 3b x(a−b) x
C． = D． =
6a+3 2a+1 y(b−a) y
【答案】C
【分析】根据分式的基本性质进行解答即可得．
m m
【详解】解：A、 ≠1+ ，故本选项错误；
m+3 3
x+ y y
B、 ≠1− ，故本选项错误；
x−2 2
9b 3×3b 3b
C、 = = ，故本选项正确；
6a+3 3(2a+1) 2a+1
x(a−b) x
D、 =− ，故本选项错误；
y(b−a) y
故选：C．
【点睛】本题主要考查了分式的性质，注意约分是约去分子、分母的公因式，并且分子与分母相同时约分
结果应是1，而不是0．
◆变式训练
m2−n2
1.若将分式 中的m和n都变为原来的2倍，则分式的值（ ）．
m+n
A．变为原来的2倍 B．变为原来的4倍
1
C．变为原来的 D．不变
2
【答案】A
【分析】本题考查了分式的基本性质，将m和n替换为2m和2n，重新计算分式的值，比较即可得解，熟
练掌握分式的基本性质是解此题的关键．
(2m) 2−(2n) 2 4m2−4n2 4(m2−n2) m2−n2
【详解】解： = = =2× ，
2m+2n 2(m+n) 2(m+n) m+n
故分式的值变为原来的2倍，故选：A．
a a□2
2.若a≠b≠0，且 = ，“□”是运算符号，则“□”里可以填 ．（写出一种情况即可）
b b□2
【答案】×或÷/÷或×
【分析】本题主要考查了分式的基本性质，掌握分式的分子或分母同乘以或除以一个非零的代数式分式的
结果不变成为解题的关键．
根据分式的基本性质即可解答．
【详解】解：由分式的基本性质可知：“□”里可以填×或÷．
故答案为：×或÷．
【题型3】 分式的加减运算
2x−2 2
◇典例3：计算 + 的结果等于（ ）
x−2 2−x
2x−4 2x
A． B． C．2 D．−2
x−2 x−2
【答案】C
【分析】本题考查通分母的分式加法．先整理，再根据同分母的分式加法运算法则求解即可．
2x−2 2
【详解】解： +
x−2 2−x
2x−2 2
= −
x−2 x−2
2x−2−2
=
x−2
2(x−2)
=
x−2
=2，
故选：C．
◆变式训练
3 4m−2n
1.计算 − 的结果等于（ ）
2m−n (2m−n) 2
1 1 1 1
A．− B． C． D．
2m−n (2m−n) 2 2m−n 2m+n
【答案】C
【分析】题目主要考查异分母分式的加减法运算，熟练掌握运算法则是解题关键先通分，然后计算加减法即可
3 4m−2n
【详解】解： −
2m−n (2m−n) 2
3(2m−n) 4m−2n
= −
(2m−n) 2 (2m−n) 2
6m−3n−(4m−2n)
=
(2m−n) 2
6m−3n−4m+2n
=
(2m−n) 2
2m−n
=
(2m−n) 2
1
= ，
2m−n
故选：C
1
2.计算a+1+ 的结果是（ ）
a−1
a2 a
A． B． C．a−1 D．a2
a−1 a−1
【答案】A
【分析】本题考查整式与分式的加减法，先通分化为同分母分式加减法计算即可 ．
(a+1)(a−1) 1
【详解】原式= +
a−1 a−1
a2−1 1
= +
a−1 a−1
a2
=
a−1
故答案为：A．
【题型4】 分式的乘除运算
◇典例4：
a+b 10a2b
计算 ⋅ 的结果为（ ）
5ab a2−b22 a b 2a
A． B． C． D．
a−b a−b a−b a−b
【答案】D
【分析】先利用平方差公式变形，再约分即可得出答案．
a+b 10a2b 2a
【详解】解：原式= ⋅ = ．
5ab (a+b)(a−b) a−b
故选D．
【点睛】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
◆变式训练
x2+4x+4 x2+2x
1.化简 ÷ 的结果是（ ）
x2−4 x−2
x 1 1 1
A． B． C． D．
x+2 x x+2 x−2
【答案】B
【分析】先把除法化为乘法，再进行约分，进而即可求解．
(x−2) 2 x(x+2)
【详解】解：原式= ÷
(x+2)(x−2) x−2
(x+2) 2 x−2
= ⋅
(x+2)(x−2) x(x+2)
1
= ，
x
故选B．
【点睛】本题主要考查分式的除法运算，掌握分式的约分，是解题的关键．
y
2.计算(2x) 2 ⋅ 的结果为（ ）
4x2
y
A．xy B．2y C．y D．
x
【答案】C
【分析】本题考查了积的乘方和分式乘法，解题的关键是正确运用法则进行化简和计算．直接利用积的乘
方运算法则化简，再利用分式乘法运算法则即可得到答案．
y y
【详解】解：(2x) 2 ⋅ =4x2 ⋅ = y，
4x2 4x2故选：C．
【题型5】 分式的混合运算
◇典例5：
( 1 ) x
计算 −1 • 的结果是（ ）
x2 3x+3
1−x 1−x 1+x 1+x
A． B．− C． D．−
3x 3x 3x 3x
【答案】A
【分析】先计算括号内的运算，然后根据分式乘法的运算法则进行计算，即可得到答案．
( 1 ) x
【详解】解： −1 •
x2 3x+3
(1−x2 ) x
= •
x2 3x+3
(1+x)(1−x) x
= •
x2 3(x+1)
1−x
= ；
3x
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的化简，以及分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行计算．
◆变式训练
M N
1.已知M、N表示整式，且 + =x+2，则下列说法正确的是（ ）
x−2 2−x
A．M表示−x2，N表示4 B．M表示x2，N表示4
C．M表示x2，N表示−4 D．M表示−x2，N表示−4
【答案】B
【分析】利用分式的混合运算可求出M−N=(x+2)(x−2)=x2−4，进一步可知M表示x2，N表示4．
M N M−N
【详解】解：∵ + = =x+2，
x−2 2−x x−2
∴M−N=(x+2)(x−2)=x2−4，
∴M表示x2，N表示4．故选：B
【点睛】本题考查分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式混合运算的法则，求出
M−N=(x+2)(x−2)=x2−4．
( 3 ) a2+4a+4
2.计算： −a−1 ÷
a−1 a−1
2−a
【答案】
a+2
【分析】本题考查了分式的运算，熟练掌握各运算法则是解题关键．先计算括号内的分式减法，再计算分
式的除法即可得．
( 3 ) a2+4a+4
【详解】解： −a−1 ÷
a−1 a−1
[ 3 (a+1)(a−1)] (a+2) 2
= − ÷
a−1 a−1 a−1
( 3 a2−1) (a+2) 2
= − ÷
a−1 a−1 a−1
(4−a2 ) a−1
= ×
a−1 (a+2) 2
(2−a)(2+a) a−1
= ×
a−1 (a+2) 2
2−a
= ．
a+2
真题在线
一、单选题
1．（2025·山东淄博·中考真题）若分式 有意义，则 的取值范围是（ ）
A． 且 B． 且
C． 且 D． 且 且
【答案】D【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件，据此求解即可．
【详解】解：∵分式 有意义，
∴ ，
解得 且 且 ，
故选：D．
2．（2025·贵州·中考真题）若分式 的值为0，则实数 的值为（ ）
A．2 B．0 C． D．-3
【答案】A
【分析】本题考查分式的值为0的条件，根据分式的值为0的条件是分子为0且分母不为0，进行求解即
可．
【详解】解：由题意，得： 且 ，
解得： ；
故选A．
3．（2025·青海西宁·中考真题）当 时，下列代数式在实数范围内有意义的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查代数式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，分式有意义的
条件：分式的分母不为零，逐一进行判断即可．
【详解】解：当 时， ， ，故 、 和 没有意义，不符合题意，
有意义，符合题意；
故选B．
4．（2010·江苏苏州·中考真题）化简 的结果是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了分式的除法运算等知识点，根据分式的除法运算法则即可求出答案，解题的关键
是熟练运用分式的除法运算法则．
【详解】
，
故选：A ．
5．（2025·四川南充·中考真题）已知 ，则 的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】D
【分析】本题主要考查了比例的性质，分式的化简．根据 ，可得
，从而得到 ，然后代入化简即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：D
6．（2025·河南·中考真题）化简 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了分式的减法，掌握异分母分式加减法的运算法则是解题关键．先将分母变为相同，再进行减法，然后利用平方差公式约分化简即可．
【详解】解：
，
故选：A．
7．（2024·河北·中考真题）已知A为整式，若计算 的结果为 ，则 （ ）
A．x B．y C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了分式的加减运算，分式的通分，平方差公式，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的
关键．
由题意得 ，对 进行通分化简即可．
【详解】解：∵ 的结果为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
8．（2024·四川雅安·中考真题）已知 ．则 （ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】本题考查的是条件分式的求值，由条件可得 ，再整体代入求值即可；【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴
；
故选C
二、填空题
9．（2024·甘肃甘南·中考真题）若分式 的值为0，则x的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了分式的值为零的条件，解题的关键是掌握分式值为零的条件．已知分式的值为零，可
得分子为零，分母不为零，即可求解．
【详解】解： 分式 的值为 ，
，
解得： ，
故答案为： ．
10．（2021·湖南怀化·中考真题）函数 中，自变量 的取值范围是 ．
【答案】 且
【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围，根据分式有意义的条件与二次根式有意义的条件得出不等
式组，解不等式组即可求解，掌握分式有意义的条件与二次根式有意义的条件是解题的关键．
【详解】解：由 得 ，
解得： 且 ，故答案为： 且 ．
11．（2024·黑龙江大庆·中考真题）若 ，则 ．
【答案】3
【分析】本题考查了分式的化简求值和完全平方公式，将原式根据完全平方公式变形，再将值代入计算即
可得出答案．
【详解】解∶∵ ，
∴
，
故答案为∶3．
12．（2025·山东东营·中考真题）化简 ．
【答案】
【分析】本题考查了分式的混合运算．
先对括号内的表达式进行通分相加，然后将除法运算转化为乘法运算，利用平方差公式分解因式并约分即
可．
【详解】解：．
故答案为： ．
三、解答题
13．（2025·江苏淮安·中考真题）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【分析】本题考查分式的化简求值，二次根式的混合运算，先通分计算括号内，除法变乘法，约分化简后，
代值计算即可，熟练掌握分式的混合运算法则，二次根式的运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式
；
当 时，
原式 ．
14．（2025·宁夏·中考真题）化简求值： ，其中 ．
【答案】 ；
【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是先通过通分、因式分解等方法化简分式，再代入数值
计算．
先对括号内的分式进行通分，计算减法；将除法转化为乘法，并对分子分母进行因式分解；约分后得到最
简分式；最后将 代入最简分式，求出结果．【详解】
当 时，原式 ．
15．（2025·山东滨州·中考真题）已知 ， ， ．
(1)若 ，求C的值；
(2)当 ，且 为整数时，求x的整数值．
【答案】(1)
(2) 或4
【分析】本题考查分式的化简，分式的混合运算，熟练掌握分式的基本性质，分式的混合运算法则，是解
题的关键：
（1）化简 ，得到 ，根据混合运算法则求出 ，即可得出结果；
（2）根据 ，结合 ，得到 ，进而得到 ，根据 为整数得到 ，
且 ，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ．．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
（2）由（1），得： ，
∴ ，
当 时， ．
∵ 与 均为整数，
∴ 或 ．
∴ ，
又∵ 且 ，
∴ 且 ．
∴ 或4．
专项练习
一、单选题
1．在 ， ， ， ， 中，分式的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题主要考查分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键．
根据分式的定义（分母中含有字母的式子），判断每个表达式是否为分式即可．
【详解】解：∵分式是分母中含有字母的式子，
∴ 分母含字母 ，是分式；分母是常数 ，不含字母，不是分式；
分母是常数 ，不含字母，不是分式；
分母是常数 ，不含字母，不是分式；
分母含字母 和 ，是分式．
∴分式有 个．
故选B．
2．下列说法正确的是（ ）
A．当 时，分式 有意义
B．分式 与 的最简公分母是
C．当分式 时，
D．无论x为何值， 的值总为正数
【答案】D
【分析】本题考查了分式有意义的条件、最简公分母的确定、分式值为零的条件及分式值的正负判断，解
题的关键是熟练掌握分式的相关概念与性质．
判断分式有意义需分母不为零；确定最简公分母取系数最小公倍数与字母因式最高次幂的积；分式值为零
需分子为零且分母不为零；判断分式值的正负需分析分母的取值范围．
【详解】解：A、分式 有意义的条件是 ，并非 ，此选项不符合题意；
B、分式 与 的最简公分母是 ，并非 ，此选项不符合题意；
C、当 时，由 得 ，但 即 ，故 ，此选项不符合题意；
D、因 ，故 ，此选项符合题意；
故选：D．3．若代数式 有意义，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D． 且
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式，分式有意义的条件，根据代数式 有意义，则 ，然后求解即
可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵代数式 有意义，
∴ ，
∴ 且 ，
故选： ．
4．若 ，下列分式化简后等于 的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是明确分式的分子分母需同时乘（或除以）同一个不为
0的整式，分式的值才不变．
【详解】解：A、分式的分子分母同时加2，不符合分式基本性质，此选项不符合题意；
B、分式的分子分母同时减3，不符合分式基本性质，此选项不符合题意；
C、当 、 时， （因 ），此选项不符合题意；
D、分式的分子分母同时除以 （ ），得 ，此选项符合题意．
故选：D．
5．要使式子 从左到右变形成立， 应满足的条件是（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】本题考查分式的基本性质，根据分式的基本性质，分子和分母同时乘以同一个不为零的整式，分
式的值不变．变形中乘以了 ，因此需满足 ．
【详解】解：∵左边分式 变形为右边分式 是通过分子和分母同时乘以 得到的，
∴根据分式的基本性质，必须保证 ，即 ，
故选：D．
6．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查指数运算法则，包括同底数幂的除法和幂的乘方，以及负指数的处理，熟练掌握其运算
法则是解题的关键．
根据同底数幂的除法和幂的乘方逐一判断即可求解．
【详解】解：A：∵ ，∴ A计算错误，不符合题意．
B：∵ ，∴ B计算错误，不符合题意．
C：∵ ，∴ C计算正确，符合题意．
D：∵ ，∴ D计算错误，不符合题意．
故选C．
7．若 ，则下列式子中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了比例的基本性质，如果 或 ，那么 ，即比例的内项之积与外项
之积相等；反之，如果 ，那么 或 （ ）．根据比例的基本性质逐项分析即可．
【详解】解：选项A：由 得 ，故错误；
选项B：由 得 ，整理得 ，故错误；
选项C：由 得 ，整理得 ，故错误；
选项D∵由 得 ，故正确．
故选：D．
8．若 ，则 的值是（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【分析】本题考查了分式的化简求值，把 变形得 ，然后代入表达式 中计
算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
故选：D．
9．化简： 的结果是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了异分母分式的加法运算．通过通分将两个分式合并，利用平方差公式分解分母，然后
相加化简，即可作答．
【详解】解：依题意， ，
故选：B
10．化简 的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查分式的混合运算，先通分计算括号内的减法，再利用除法的性质转换为乘法，约分后化
简即可．
【详解】解：原式
；
故选：C．
二、填空题
11．若 分式的值为零，则x的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查分式的相关计算，掌握分式有意义且值为零的条件是解题的关键．
分式的值为零的条件是分子为零且分母不为零，据此求解即可．
【详解】解：∵分式 的值为零，∴ 且 ，
由 得 ，
解得 或 ，
又∵ ，即 ，
∴ ．
故答案为： ．
12．函数 中的自变量的取值范围是 ．
【答案】
且
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，根据分母不能为零，且二次根式的
被开方数必须非负，得到关于 的不等式，解不等式求出自变量的取值范围．
【详解】解： 函数 有意义，
可得： ，
解得： 且 ；
故答案为： 且 ．
13．若 ，则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查比例的性质，分式的化简，掌握相关知识是解决问题的关键．由比例式设参数 ，用
表示 、 、 ，代入所求分式化简即可．
【详解】解：设 ，则 ， ， ，．
故答案为： ．
14．分式 、 、 的最简公分母是 ．
【答案】
【分析】本题考查了最简公分母的确定，根据确定最简公分母的方法：（1）取各分母系数的最小公倍数；
（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的
因式的积就是最简公分母，求解即可．
【详解】解：分母分解因式： ， ， ；系数最小
公倍数为12，字母a最高次幂为 ，字母b最高次幂为b，因式 最高次幂为 ，
故最简公分母为 ．
故答案为： ．
15．已知 ，则 ．
【答案】0
【分析】本题考查了代数式的求值，掌握整体代入的方法是解题的关键．
由已知方程 得出 ，进而得到 ，代入分子表达式，化简后为零，分母
不为零，因此分式值为零．
【详解】解：由 ，得 ，
，代入分子，得 ，
又 ，
．
故答案为：0．
16．若 ，则代数式 的值为
【答案】2025
【分析】本题考查了代数式求值，平方差公式的运用，掌握整式，分式的混合运算，平方差公式是关键．
根据题意得到 ，根据整式，分式的混合运算将原式变形得到 ，由此即可
求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵
，
∴原式 ，
故答案为： ．
三、解答题
17．计算：(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了分式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键．
（1）运用分式的性质，分式的乘除法则计算即可；
（2）运用分式的性质，分式混合运算法则计算即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
18．先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，5
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先计算单项式乘以多项式，再把小括号内的式子通分，接着把
除法变成乘法后约分化简，进一步合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案．【详解】解：
，
当 时，
原式 ．
19．先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【分析】本题考查分式的化简求值，根据分式的混合运算法则，进行计算，化简后，代值计算即可．
【详解】解：原式
；
当 时，原式 ．
20．已知线段a、b、c，且 ．
(1)求 的值；
(2)若线段a、b、c满足 ，求a的值．【答案】(1)6
(2)9
【分析】此题主要考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题关键．
（1）设 ，则 ，代入即可求出的值；
（2）根据 ， ，得出 ，求出k的值，即可得出答案．
【详解】（1）解：设 ，则 ，
∴ ， ，
．
（2）解： ， ，
，
，
．
21．小军爸爸和小慧爸爸每天的白天、夜间都要到同一加油站各加一次油．白天和夜间的油价不同，有时
白天高，有时夜间高，但不管价格如何变化，他们两人采用固定的加油方式：小军爸爸不论是白天还是夜
间每次总是加60升油，小慧爸爸则不论是白天还是夜间每次总是花300元钱加油．假设某天白天油的价格
为每升a元，夜间油的价格为每升b元 ．
(1)用含a、b的代数式表示（请填化简后的结果）：
小军爸爸一天加2次油共花费 元，小慧爸爸一天加2次油共花费 元；小军爸爸这天加油的平均单价为
元/升，小慧爸爸这天加油的平均单价为 元/升．
(2)判断谁的加油方式更合算，并通过数学运算说明理由．
【答案】(1)， ， ，
(2)
小慧的爸爸的加油方式比较合算．
【分析】本题考查分式的实际应用，熟练掌握并利用题意列出代数式以及利用作差法进行分析比较是解题
的关键；
（1）由题意根据条件用代数式分别表示出小军的爸爸和小慧的爸爸在这天加油的平均单价即可；
（2）根据题意利用作差法进行分析比较即可．
【详解】（1）解：小军爸爸白天加油花费 元，夜间加油花费 ，
∴小军爸爸一天加2次油共花费 元，
小慧爸爸一天加2次油共花费 元，
小军的爸爸在这天加油的平均单价是： （元/升），
小慧的爸爸在这天加油的平均单价是： （元/升）．
故答案为： ， ， ， ．
（2）解： ，
而 ， ， ，所以
从而 ，即 ．
因此，小慧的爸爸的加油方式比较合算．
