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第 5 讲 一次方程（组） 答案解析（教师版）
第一部分：知识点梳理
知识点一：等式和方程的有关概念
1.等式的概念
用等号“=”来表示相等关系的式子,叫做等式.
2.等式的性质
（1）等式两边同时加上(或减去)同一个数(或式子),所得结果仍是等式;
（2）等式两边同时乘(或除以)同一个数(除数不能是0),所得结果仍是等式.
3.方程的有关概念
（1）含有未知数的等式叫做方程.
（2）方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解,一元方程的解也叫做它的根.
（3）解方程：求方程的解的过程叫做解方程.
知识点二：一元一次方程及其解法
1.一元一次方程:只含有一个未知数，并且未知数的次数为1，的整式方程叫做一元一次方程．它的一般形
式为 ．
2.解一元一次方程的一般步骤
变形名称 具体做法 依据
去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 等式的性质
乘法分配律、去括号法
去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号
则
把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程
移项 移项法则
的另一边（注意：移项要变号）
合并同类项 把方程化成 的形式 合并同类项法则
在方程两边都除以未知数的系数 a，得到方程的解为
系数化为1 等式的性质
知识点三：二元一次方程（组）的相关概念
1.二元一次方程
含有2个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程．
使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解．一般地,一个二元一次方程有无数
个解.
2.二元一次方程组:由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组．方程组中同一个字母代表同一
个量，其一般形式为
第 1 页 共 47 页3.解二元一次方程组的解法
解二元一次方程组的基本思想是消元，即将二元一次方程组转化为一元一次方程．
（1）代入消元法：将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，
消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．
（2）加减消元法：将方程组中两个方程通过适当变形后相加（或相减）消去其中一个未知数，化二元一
次方程组为一元一次方程．
4.三元一次方程组
方程组含有三个不同的未知数,每个方程中含有未知数的项的次数都是1,并且一共有三个方程,像这样的
方程组叫做三元一次方程组.
知识点四：一次方程（组）的应用
1.列方程（组）解应用题的一般步骤
（1）审题；
（2）设出未知数；
（3）根据等量关系列出方程（注意单位及换算）；
（4）解方程（组）；
（5）检验结果；
（6）作答．
2.一次方程（组）常见的应用题型
（1）销售打折问题：利润 售价-成本价；利润率= ×100％；售价=标价×折扣；销售额=售价×数量．
（2）储蓄利息问题：利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期数)；
贷款利息=贷款额×利率×期数．
（3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间．
（4）行程问题：路程=速度×时间．
（5）相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程．
（6）追及问题（同地不同时出发）：前者走的路程=追者走的路程．
（7）追及问题（同时不同地出发）：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程．
（8）水中航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度．
第 2 页 共 47 页第二部分：考点突破
考点1一元一次方程及相关概念
1．（2022·青海·中考真题）根据等式的性质，下列各式变形正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】C
【分析】本题考查了等式的基本性质，正确掌握等式的性质是解题的关键．等式的基本性质1是等式的
两边都加上（或减去）同一个整式，所得的结果仍是等式；等式的基本性质2是等式的两边都乘以（或
除以）同一个数（除数不能为0），所得的结果仍是等式．根据式的基本性质逐项分析即可．
【详解】解：A．若 ，则 ，故不正确；
B．若 ，当 时，则 ，故不正确；
C．若 ，则 ，正确；
D．若 ，则 ，故不正确；
故选C．
2．（2023·湖南永州·中考真题）关于x的一元一次方程 的解为 ，则m的值为（ ）
A．3 B． C．7 D．
【答案】A
【分析】把 代入 再进行求解即可．
【详解】解：把 代入 得： ，
解得： ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，以及解一元一次方程，解题的关键是掌握使一元一次方程
左右两边相等的未知数的值是一元一次方程的解，以及解一元一次方程的方法和步骤．
3．（2024·贵州·中考真题）小红学习了等式的性质后，在甲、乙两台天平的左右两边分别放入“■”
“●”“▲”三种物体，如图所示，天平都保持平衡．若设“■”与“●”的质量分别为x，y，则下列
关系式正确的是（ ）
第 3 页 共 47 页A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查等式的性质，设“▲”的质量为a，根据题意列出等式 ， ，
然后化简代入即可解题．
【详解】解：设“▲”的质量为a，
由甲图可得 ，即 ，
由乙图可得 ，即 ，
∴ ，
故选C．
4．（2022·山东滨州·中考真题）在物理学中，导体中的电流Ⅰ跟导体两端的电压U，导体的电阻R之间
有以下关系： 去分母得 ，那么其变形的依据是（ ）
A．等式的性质1 B．等式的性质2 C．分式的基本性质 D．不等式的性质2
【答案】B
【分析】根据等式的性质2可得答案．
【详解】解： 去分母得 ，其变形的依据是等式的性质2，
故选：B．
【点睛】本题考查了等式的性质2：等式的两边同时乘以或除以同一个不为零的数，等式仍然成立．
5．（2025·广东深圳·中考真题）若关于 的方程 的解为 ，则 ．
【答案】4
【分析】本题考查了方程的解的定义、一元一次方程的解法，理解方程的解的意义，得到关于a的方程
是解题关键．把 代入关于x的方程，得到关于a的方程，解方程即可求解．
【详解】解：∵关于 的方程 的解为 ，
∴ ，
解得： ，
故答案为：4．
6．（2025·四川遂宁·中考真题）已知 是方程 的解，则 ．
【答案】2
【分析】本题考查了一元一次方程的解，以及解一元一次方程，理解题意，把 代入 ，解
得 ，即可作答．
【详解】解：∵ 是方程 的解，
第 4 页 共 47 页∴把 代入 ，得 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：2
7．（2025·四川成都·中考真题）任意给一个数x，按下列程序进行计算．若输出的结果是15，则x的值为
．
【答案】3
【分析】本题考查了程序框图的计算，一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键．
根据程序框图的运算法则建立一元方程求解即可．
【详解】解：由题意得： ，
解得： ，
故答案为：3．
8．（2025·湖南长沙·中考真题）衣服穿戴整不整齐，系好第一粒扣子很重要．青少年迈开人生第一步就
要走正道，要严格遵守国家法律法规．同样的道理，学习数学首先就必须遵守数学中的基本法则．
例如：下面命题的推理过程所得出的错误结论就是由于不遵守数学的基本法则导致的．
命题：如果a，b，c为实数，且满足 ．那么 ．
推理过程如下：
第一步：根据上述命题条件有 ； ①
第二步：根据七年级学过的整式运算法则有 ； ②
第三步：把②代入①，可得 ； ③
第四步：把③两边利用移项、去括号法则、加法交换律等，变形可得 ； ④
第五步：把④两边同时除以 ，得 ．⑤
请你判断上述推理过程中，第 步是错误的，它违背了数学的基本法则．
【答案】⑤
【分析】本题考查了等式的性质，熟记相关结论即可．
【详解】解：∵等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，或是等式左右两边同时乘方，等式仍然成
立．
∴对于等式 ；
第 5 页 共 47 页当 时，该等式恒成立；
当 ，两边同时除以 ，得 ；
∵ ，
∴
∴上述推理过程中，第⑤步是错误的；
故答案为：⑤．
考点2解一元一次方程
9．（2024·海南·中考真题）若代数式 的值为5，则x等于（ ）
A．8 B． C．2 D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，根据题意可知 ，解方程即可得到答案．
【详解】解：∵代数式 的值为5，
∴ ，
解得 ，
故选：A．
10．（2022·广西·中考真题）方程3x＝2x＋7的解是（ ）
A．x＝4 B．x＝﹣4 C．x＝7 D．x＝﹣7
【答案】C
【分析】先移项再合并同类项即可得结果；
【详解】解：3x＝2x＋7
移项得，3x-2x=7；
合并同类项得，x＝7；
故选：C．
【点睛】本题主要考查解一元一次方程，掌握一元一次方程的求解步骤是解题的关键．
11．（2021·浙江温州·中考真题）解方程 ，以下去括号正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】去括号得法则：括号前面是正因数，去掉括号和正号，括号里的每一项都不变号；括号前面是
负因数，去掉括号和负号，括号里的每一项都变号．
【详解】解：
第 6 页 共 47 页，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为
1，求出解．去括号注意几点：①不要漏乘括号里的每一项；②括号前面是负因数，去掉括号和负号，括
号里的每一项一定都变号．
12．（2021·湖南株洲·中考真题）方程 的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】通过移项、合并同类项、系数化为1三个步骤即可完成求解．
【详解】解： ,
,
；
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，解决本题的关键是牢记解一元一次方程的基本步骤，即“去分母、
去括号、移项、合并同类项、系数化为1”，并能灵活运用；本题较基础，考查了学生的基本功．
13．（2022·贵州黔西·中考真题）小明解方程 的步骤如下：
解：方程两边同乘6，得 ①
去括号，得 ②
移项，得 ③
合并同类项，得 ④
以上解题步骤中，开始出错的一步是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】A
【分析】按照解一元一次方程的一般步骤进行检查，即可得出答案．
【详解】解：方程两边同乘6，得 ①
∴开始出错的一步是①，
故选：A．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤以及注意事项是解决问题的
关键．
第 7 页 共 47 页14．（2024·广东深圳·中考真题）一元二次方程 的一个解为 ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元一次方程，由题意可得 ，解方程即可得解．
【详解】解：∵一元二次方程 的一个解为 ，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．
15．（2024·上海·中考真题）已知 ，则 ．
【答案】1
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
由二次根式被开方数大于0可知 ，则可得出 ，求出x即可．
【详解】解：根据题意可知： ，
，
∴解得： ，
故答案为：1．
16．（2021·重庆·中考真题）若关于x的方程 的解是 ，则a的值为 ．
【答案】3
【分析】将x=2代入已知方程列出关于a的方程，通过解该方程来求a的值即可．
【详解】解：根据题意，知
，
解得a=3．
故答案是：3．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解的定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一
次方程的解．
17．（2020·湖南株洲·中考真题）关于x的方程 的解为 ．
【答案】4
【分析】方程移项、合并同类项、把x系数化为1，即可求出解．
【详解】解：方程 ，
移项,得3x-x=8，
合并同类项，得2x=8，
第 8 页 共 47 页解得x=4．
故答案为：x=4．
【点睛】方程移项，把x系数化为1，即可求出解．
18．（2025·四川眉山·中考真题）（1）计算：
（2）解方程：
【答案】（1） （2）
【分析】本题考查实数的运算，解一元一次方程，熟练掌握相关运算法则，解一元一次方程的步骤，是
解题的关键：
（1）先开方，去绝对值，再进行加减运算即可；
（2）去括号，移项，合并，系数化1，进行计算即可．
【详解】解：（1）原式 ；
（2）去括号，得： ，
移项，得： ，
合并，得： ．
19．（2021·广西桂林·中考真题）解一元一次方程：4x﹣1＝2x+5．
【答案】x =3．
【分析】先把方程化移项，合并同类项，系数化1法即可．
【详解】解：4 x﹣1＝2x+5，
移项得：4 x﹣2x＝5+1
合并同类项得：2 x=6，
∴系数化1得：x =3．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解法移项、合并同类项、系数化1．掌握解一元一次方程常用的方法
要根据方程的特点灵活选用合适的方法
20．（2021·四川广元·中考真题）解方程： ．
【答案】
【分析】根据整式方程的计算过程，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，就可以得到结果．
【详解】解：去分母得： ，
去括号得： ，
移项并合并同类项得： ，
系数化为1得： ，
第 9 页 共 47 页故答案为： ．
【点睛】本题考查整式方程的计算，注意每个步骤的要求是解题的关键．
21．（2023·浙江衢州·中考真题）小红在解方程 时，第一步出现了错误：
解： ，
……
(1)请在相应的方框内用横线划出小红的错误处．
(2)写出你的解答过程．
【答案】(1)见解析；
(2) .
【分析】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求
出解
（1）根据等式的性质，解一元一次方程的步骤即可判断；
（2）首先去分母、然后去括号、移项、合并同类项、次数化成1即可求解．
【详解】（1）
（2）解： ，
去分母，得， ，
移项，得： ，
合并同类页，得： ，
解得： ．
考点3一元一次方程的应用
22．（2025·天津·中考真题）《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有良马日行二百
四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”意思是：跑得快的马每天
走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马 天可以追上慢
马，则可以列出的方程为（ ）
A． B．
第 10 页 共 47 页C． D．
【答案】A
【分析】本题考查一元一次方程的应用，属于行程问题中的追及问题．解题的关键是找到两马路程相等
的等量关系．
设快马用 天追上慢马，快马的总路程为 里，慢马的总路程为 里，根据题意，列出方程
即可．
【详解】解：设快马用 天追上慢马，快马的总路程为 里，慢马的总路程为 里，根据题
意得：
．
故选：A
23．（2025·江苏连云港·中考真题）《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北
海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢?”（凫：野鸭．所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起
飞，经过多少天能够相遇?”）如果设经过 天能够相遇，根据题意，得（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，属于相遇问题，需根据两者相向而行，相遇时路程之和为
全程（即1），再建立方程即可.
【详解】解：设相遇时间为 天，野鸭从南海到北海需7天，故其速度为 （全程/天）；
大雁从北海到南海需9天，故其速度为 （全程/天），
∴方程为 ，
故选：A
24．（2025·四川内江·中考真题）学校准备添置一批课桌椅，原订购60套，每套100元．店方表示：如
果多购，可以优惠．结果校方购了72套，每套减价3元，但商店获得同样多的利润．求每套课桌椅的成
本．设每套课桌椅的成本为x元，则可列方程为（ ）
A． B．
第 11 页 共 47 页C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据利润相等建立方程．原计划利润为 ，实际利
润为 ，两者相等即可求解．
【详解】解：设每套成本为 元．原计划利润为 元；实际购买时利润为 元．
根据题意得： ，
故选B．
25．（2025·山东烟台·中考真题）某商场打折销售一款风扇，若按标价的六折出售，则每台风扇亏损10
元；若按标价的九折出售，则每台风扇盈利95元．这款风扇每台的标价为（ ）
A．350元 B．320元 C．270元 D．220元
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设这款风扇每台的标价为 元，根据按标价的六折出
售，则每台风扇亏损10元可得风扇的进价为 元，根据按标价的九折出售，则每台风扇盈利95
元可得风扇的进价为 元，据此建立方程求解即可．
【详解】解：设这款风扇每台的标价为 元，
由题意得， ，
解得 ，
∴这款风扇每台的标价为350元，
故选：A．
26．（2025·陕西·中考真题）草莓熟了，学校组织同学们参加劳动实践，帮助果农采摘草莓．小康和小悦
采摘的时长相同，采摘结束后，小康采摘的草莓比小悦多 ．已知小康平均每小时采摘 ，小悦平
均每小时采摘 ，小康采摘的时长是 小时．
【答案】
【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据采摘的质量得出等式是解题关键．利用小康采摘的
草莓比小悦多 得出等式求出答案．
【详解】解：设两小组采摘了 小时，
依题意： ，
第 12 页 共 47 页解得： ，
因此，两小组采摘了 小时．
故答案为： ．
27．（2025·吉林·中考真题）《孙子算经》中记载了这样一道题：今有三人共车，二车空：二人共车，九
人步．问车几何？其译文为：有若干人乘车，若每3人同乘一车，最终剩余2辆空车；若每2人同乘一车，
最终剩下9人因无车可乘而步行．问有多少辆车？为解决此问题，设共有x辆车，可列方程为 ．
【答案】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的
关键．
根据人数不变，即可得出关于x的一元一次方程，即可求解．
【详解】解:依题意，得： ，
故答案为： ．
28．（2024·四川攀枝花·中考真题）幻方，中国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”．如图所
示的幻方中，每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等，则a的值为 ．
2 9
5 a
【答案】3
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键．根据题意列方程
， ，即可求解．
【详解】解：设左下角的数为 ，右上角的数为 ，第一列第二行的数为 ，
如图：
2 9
5 a
则由题意得： ，
解得： ，
第 13 页 共 47 页由题意得： ，
解得： ，
故答案为：3．
29．（2025·河北·中考真题）甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为 ， ．如图，将甲纸条的 与乙
纸条的 叠合在一起，形成长为81的纸条，则 ．
【答案】99
【分析】本题主要考查了已知式子的值求代数式的值，一元一次方程的应用，由题意可知：重叠部分为：
，设叠部分的长度为k，则 ， ，根据重叠后的总长度为81为等量关系列出关于k
的一元一次方程，求解即可得出答案．
【详解】解：由题意可知：重叠部分为： ，
设重叠部分的长度为k，则 ， ，
重叠后的总长度为： ，即 ，
代入 ， 得： ，
解得： ，
， ，
∴
，
∴故答案为：99．
30．（2025·四川德阳·中考真题）公元前 世纪，古希腊科学家阿基米德发现：若杠杆上的两物体与支点
的距离与其重量成反比，则杠杆平衡．后来人们把它归纳为“杠杆原理”：阻力 阻力臂 动力 动力臂．
已知阻力和阻力臂分别为 和 ，当动力为 时，动力臂是 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设动力臂是 ，根据“阻力 阻力臂 动力 动力臂”列出方
第 14 页 共 47 页程 ，然后解方程即可，读懂题意，列出方程是解题的关键．
【详解】解：设动力臂是 ，
由题意得： ，
解得： ，
故答案为： ．
31．（2025·辽宁·中考真题）小张计划购进 两种文创产品，在“文化夜市”上进行销售．已知 种文
创产品比 种文创产品每件进价多3元，购进2件 种文创产品和3件 种文创产品共需花费26元．
(1)求 种文创产品每件的进价；
(2)小张决定购进A，B两种文创产品共100件，且总费用不超过550元，那么小张最多可以购进多少件
种文创产品？
【答案】(1) 种文创产品每件的进价为 元
(2)小张最多可以购进50件 种文创产品
【分析】本题考查一元一次方程和一元一次不等式的实际应用，正确的列出方程组和不等式，是解题的
关键：
（1）设 种文创产品每件的进价为 元，根据 种文创产品比 种文创产品每件进价多3元，购进2件
种文创产品和3件 种文创产品共需花费26元，列出一元一次方程进行求解即可；
（2）设小张购进 件 种文创产品，根据总费用不超过550元，列出不等式进行求解即可．
【详解】（1）解：设 种文创产品每件的进价为 元，则： 种文创产品每件的进价为 元，
由题意，得： ，
解得： ，
答： 种文创产品每件的进价为 元；
（2）设小张购进 件 种文创产品，由（1）可知， 种文创产品每件的进价为 元，
由题意，得： ，
解得： ；
答：小张最多可以购进50件 种文创产品．
32．（2025·重庆·中考真题）列方程解下列问题：
某厂生产甲、乙两种文创产品．每天生产甲种文创产品的数量比每天生产乙种文创产品的数量多50个，
3天时间生产的甲种文创产品的数量比4天时间生产的乙种文创产品的数量多100个．
(1)求该厂每天生产的甲、乙文创产品数量分别是多少个？
(2)由于市场需求量增加，该厂对生产流程进行了改进．改进后，每天生产乙种文创产品的数量较改进前
第 15 页 共 47 页每天生产的数量增加同样的数量，且每天生产甲种文创产品的数量较改进前每天增加的数量是乙种文创
产品每天增加数量的2倍．若生产甲、乙两种文创产品各1400个，乙比甲多用10天，求每天生产的乙种
文创产品增加的数量．
【答案】(1)该厂每天生产的甲文创产品数量为 个，乙文创产品数量是 个
(2)每天乙文创产品增加的数量是 个
【分析】本题考查一元一次方程和分式方程的应用，正确理解题意，根据等量关系列方程是解题的关键．
（1）设该厂每天生产的乙文创产品数量是x个，根据题意列一元一次方程解答即可；
（2）设该厂每天乙文创产品增加的数量是 个，根据“生产甲、乙两种文创产品各1400个，乙比甲多用
10天”列分式方程解答即可．
【详解】（1）解：设该厂每天生产的乙文创产品数量是x个，则甲文创产品数量为 个．
，
解得： ，
则甲文创产品数量为 个，
答：该厂每天生产的乙文创产品数量是 个，则甲文创产品数量为 个．
（2）解：设每天乙文创产品增加的数量是 个，则甲文创产品增加的数量是 个．
，
解得： ，
经检验： 是原方程的解，
答：每天乙文创产品增加的数量是 个．
33．（2025·北京·中考真题）北京风筝制作技艺是国家级非物质文化遗产．为制作一只京燕风筝，小明准
备了五根直竹条（如图1）：一根门条、两根等长的膀条和两根等长的尾条．他将门条和膀条分别烤弯后
与尾条一起扎成风筝的骨架（如图2），其头部高、胸腹高与尾部高的比是 ．已知单根膀条长是胸
腹高的5倍，门条比单根膀条短10cm，图1中 的长是门条长的 ， 的长均等于胸腹高．求这
只风筝的骨架的总高．
第 16 页 共 47 页【答案】
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，弄清量之间的关系、列出一元一次方程是解题的关键．
设胸腹高为 ，则单根膀条长为 ，门条 的长度为 ， ，
，头部高为x，尾部高为 ，这只风筝的骨架的总高为 ；由 列方程求
出 ，进而求出风筝的骨架的总高即可．
【详解】解：设胸腹高为 ，则单根膀条长为 ，门条 的长度为 ，
， ，头部高为x，尾部高为 ，这只风筝的骨架的总高为 ，
由 ，可得： ，解得： ；
所以这只风筝的骨架的总高 ．
答：这只风筝的骨架的总高 ．
34．（2025·江苏苏州·中考真题）两个智能机器人在如图所示的 区域工作，
， ，直线 为生产流水线，且 平分 的面积（即D为 中
点）．机器人甲从点A出发，沿 的方向以 的速度匀速运动，其所在位置用点P表示，
机器人乙从点B出发，沿 的方向以 的速度匀速运动，其所在位置用点Q表示．两
个机器人同时出发，设机器人运动的时间为 ，记点P到 的距离（即垂线段 的长）为 ，
点Q到 的距离（即垂线段 的长）为 ．当机器人乙到达终点时，两个机器人立即同时停止运
动，此时 与t的部分对应数值如下表 ：
0 5.5
0 16 16 0
第 17 页 共 47 页(1)机器人乙运动的路线长为________m；
(2)求 的值；
(3)当机器人甲、乙到生产流水线 的距离相等（即 ）时，求t的值．
【答案】(1)55
(2)
(3) 或
【分析】（1）利用勾股定理求解即可；
（2）利用直角三角形斜边中线的性质求得 ，得到 ， ，推
出 ， ，分当点Q在 上和点Q在 上时，两种情况讨论，
分别求得 ， ，据此求解即可；
（3）根据题意求得 ，分当点Q在 上和点Q在 上时两种情况讨论，列式一元一次方程
方程，求解即可．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∵D为 中点，
∴ ，
∵ ，
∴机器人乙运动的路线长为 ，
故答案为：55；
第 18 页 共 47 页（2）解：根据题意，得 ，
∵ 中， ， 为 中点，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
当点Q在 上时， ，
∴ ，解得 ，
当点Q在 上时，作 ，垂足为H（如图），
则 ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ；
（3）解：当 时， ，
此时， ，
∴ ，
第 19 页 共 47 页∴ ，
∴ ，
当点Q在 上时，由 ，得 ，
解得 ．
当点Q在 上时，由 ，得 ，
解得 ．
∴ 或 ．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题
意，找出所求问题需要的条件．
35．（2024·四川攀枝花·中考真题）秋冬季节是流行性感冒的多发季节．针对这一情况，各中小学和幼儿
园都制定了严格的消毒工作机制．据了解，消毒主要使用二氧化氯喷雾消毒溶液．市场上销售的某品牌
的二氧化氯（溶质）消毒片，可直接溶于水（溶剂），制得二氧化氯消毒溶液．如表是二氧化氯消毒片
的相关信息：
产品名称 产品规格 有效成份 用途
二氧化氯消毒 二氧化氯含量
每片质量1克 消毒杀菌
片
已知：溶液浓度 ．请解答下列问题：
(1)消毒人员欲配制3千克浓度为 的二氧化氯溶液用于物品的消毒，刚好需要用该消毒片3片，求a
的值．
(2)教室使用的消毒液浓度要比物品使用的消毒液浓度低，消毒人员用6千克浓度为 的二氧化氯溶
液，可稀释成多少千克浓度为 的消毒溶液？稀释过程中需加水多少千克？
【答案】(1)
(2)可稀释成 千克浓度为 的消毒溶液，稀释过程中需加水 千克
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
（1）根据溶液浓度 ，可列出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设可稀释成x千克浓度为 的消毒溶液，根据溶质的质量不变，可列出关于x的一元一次方程，
第 20 页 共 47 页解之可得出x的值，再将其代入 中，即可求出结论．
【详解】（1）解：由题意得， ，
解得： ，
答：a的值为 ；
（2）解：设可稀释成 千克浓度为 的消毒溶液，
由题意得： ，
解得： ，
∴加水 （千克），
答：可稀释成 千克浓度为 的消毒溶液，稀释过程中需加水 千克．
36．（2025·河北·中考真题）一般固体都具有热胀冷缩的性质，固体受热后其长度的增加称为线膨胀．在
（本题涉及的温度均在此范围内），原长为 的铜棒、铁棒受热后，伸长量 与温度的增加
量 之间的关系均为 ，其中 为常数，称为该金属的线膨胀系数．已知铜的线膨胀系数
（单位： ）；原长为 的铁棒从 加热到 伸长了 ．
(1)原长为 的铜棒受热后升高 ，求该铜棒的伸长量（用科学记数法表示）．
(2)求铁的线膨胀系数 ；若原长为 的铁棒受热后伸长 ，求该铁棒温度的增加量．
(3)将原长相等的铜棒和铁棒从 开始分别加热，当它们的伸长量相同时，若铁棒的温度比铜棒的高
，求该铁棒温度的增加量．
【答案】(1)
(2) ，
(3)
【分析】本题考查了科学记数法，一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键；
（1）根据 ，代入数据进行计算即可求解；
（2）根据定义求得铁的线膨胀系数 ，进而设该铁棒温度的增加量为 ，根据题意列出一元一次方程，
解方程，即可求解；
（3）设该铁棒温度的增加量为 ，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解．
第 21 页 共 47 页【详解】（1）解： ，
答：该铜棒的伸长量 ．
（2）解： ，
解得： ，
设该铁棒温度的增加量为 ，根据题意得，
，
解得： ，
答：铁的线膨胀系数 ，该铁棒温度的增加 ．
（3）解：设该铁棒温度的增加量为 ，根据题意得，
，
解得： ，
答：该铁棒温度的增加量为 ．
37．（2025·黑龙江·中考真题）一条公路上依次有A、B、C三地，一辆轿车从A地出发途经B地接人，
停留一段时间后原速驶往C地；一辆货车从C地出发，送货到达B地后立即原路原速返回C地（卸货时
间忽略不计）．两车同时出发，轿车比货车晚 到达终点，两车均按各自速度匀速行驶．如图是轿车和
货车距各自出发地的距离y（单位： ）与轿车的行驶时间x（单位：h）之间的函数图象，结合图象回
答下列问题：
(1)图中a的值是_______，b的值是_______；
(2)在货车从B地返回C地的过程中，求货车距出发地的距离y（单位： ）与行驶时间x（单位：h）之
第 22 页 共 47 页间的函数解析式；
(3)直接写出轿车出发多长时间与货车相距40 ．
【答案】(1)300，2
(2)
(3) 或 或
【分析】本题考查一次函数的实际应用，从函数图象中有效的获取信息，正确的求出函数解析式，是解
题的关键：
（1）根据货车的图象得到B、C两地的距离为 ，进而求出 的值，求出轿车的速度，求出轿车从
开往 地所需的时间，进而求出 的值；
（2）根据轿车比货车晚 到达终点，求出 点坐标，进而求出 点坐标，待定系数法求出函数解析式
即可；
（3）分轿车到达 地之前，轿车到达 地，货车离 地 ，以及货车到达 地时，三种情况进行讨
论求解即可．
【详解】（1）解：由图象可知，B、C两地的距离为 ，A、B两地的距离为 ，
∴ ，
∵轿车的速度为： ，
∴轿车从 开往 地所需的时间为： ，
∴ ；
故答案为：300，2；
（2）∵轿车比货车晚 到达终点，
∴货车到达 地所用时间为： ，
∴ ，
∵货车从C地出发，送货到达B地后立即原路原速返回C地，
∴ ，
第 23 页 共 47 页设 ，
∴ ，解得： ，
∴ ；
（3）由（2）可知，货车的速度为： ，
∴当轿车到达 地之前， ，解得： ；
当轿车到达 地，货车离 地 时， ，则： 符合题意；
当货车到达 地时，此时轿车离点 的距离为： ，恰好满足题意，此时 ；
综上：轿车出发 或 或 时与货车相距40 ．
考点4二元一次方程组及其应用
38．（2025·黑龙江·中考真题）为促进学生德智体美劳全面发展，某校计划用1200元购买足球和篮球用
于课外活动，其中足球80元/个，篮球120元/个，共有多少种购买方案（ ）
A．6 B．7 C．4 D．5
【答案】A
【分析】本题考查二元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程，并求
出方程的解，注意篮球和足球个数都是非负整数．设购买足球x个，篮球y个，根据题意列出方程
，找出满足x、y为非负整数的解的组数．
【详解】解：设购买足球x个，篮球y个，
根据题意得： ，即 ，
则 ，
∵ 都是非负整数，
解得： 或 或 或 或 或 ，
第 24 页 共 47 页∴共有6种购买方案，
故选：A．
39．（2025·四川南充·中考真题）我国宋代数学家秦九韶发明的“大衍求一术”阐述了多元方程的解法，
大衍问题源于《孙子算经》中“物不知数”问题：“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩
三……，问物几何？”意思是：有一些物体不知个数，每3个一数，剩余2个；每5个一数，剩余3
个……．问这些物体共有多少个？设3个一数共数了x次，5个一数共数了y次，其中x，y为正整数，依
题意可列方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查根据实际问题列二元一次方程，熟练掌握从实际情境中找出等量关系是解题关键．
根据题目中“每 3 个一数，剩余 2 个；每 5 个一数，剩余 3 个”这两个条件，分别找出物体总数与 、
的等式关系，进而列出方程．
【详解】解：∵每 3 个一数，数了 次，剩余 2 个，
∴物体总数可表示为 ．
又∵每 5 个一数，数了 次，剩余 3 个，
∴物体总数也可表示为 ．
由于物体总数是固定的，
∴
故选：A．
40．（2025·四川成都·中考真题）中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有善田一亩，
价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、恶田各几何？其大意是：今有良田1亩价
值300钱；劣田7亩价值500钱．今合买良、劣田1顷（100亩），价值10000钱．问良田、劣田各有多
少亩？设良田为x亩，劣田为y亩，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
第 25 页 共 47 页【分析】本题考查根据实际问题列方程组，根据合买良、劣田1顷（100亩），价值10000钱，列出方程
组即可．
【详解】解：设良田为x亩，劣田为y亩，由题意，得：
；
故选A．
41．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）神舟二十号发射窗口时间恰逢第十个“中国航天日”．为激发青
少年探索浩瀚宇宙的兴趣，学校组织900名师生乘车前往航空科技馆参观，计划租用45座和60座两种客
车（两种客车都要租），若每名学生都有座位且每辆客车都没有空座位，则租车方案有（ ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
【答案】B
【分析】本题考查二元一次方程的解，设租用45座客车x辆，60座客车y辆，根据题意列出方程并求解
正整数解，确定符合条件的方案种数，即可．
【详解】解：设租用45座客车x辆，60座客车y辆，
由题意得： ，
∴ ，
∵x、y均为正整数，
∴当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ．
∴共4种满足条件的正整数解，对应4种租车方案．
故选B．
42．（2025·四川达州·中考真题）《九章算术》中记载了这样一道题：牛5头和羊2只共值10金，牛2头
和羊5只共值8金，问牛和羊各值多少金？设每头牛值x金，每只羊值y金，可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意、找出相等关系是关键；
设每头牛值x金，每只羊值y金，根据：牛5头和羊2只共值10金，牛2头和羊5只共值8金，即可列出
方程组.
第 26 页 共 47 页【详解】解：设每头牛值x金，每只羊值y金，
可列方程组为： ；
故选：D.
43．（2025·四川宜宾·中考真题）我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一道题：“今有牛五、羊
二，直金十两；牛二、羊五、直金八两，问牛、羊各直金几何？”意思是：假设5头牛、2只羊，共值金
10两：2头牛、5只羊，共值金8两，那么每头牛、每只羊各值金多少两？若设每头牛和每只羊分别值金
x两和y两，列出方程组应为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据“5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两”，即可得出关于x，y的二元一
次方程组．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【详解】解：∵5头牛、2只羊，共值金10两，
∴ ；
∵2头牛、5只羊，共值金8两，
∴ ．
∴根据题意可列出方程组
．
故选：A．
44．（2025·四川眉山·中考真题）我国古代算书《四元玉鉴》里有这样一道题：“九百九十九文钱，甜果
苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个？”其大意是：用九百九十九文钱共
买了一千个甜果和苦果，其中十一文钱可以买甜果九个，四文钱可以买苦果七个，问甜果苦果各买几个？
若设买甜果x个，苦果y个，根据题意可列方程组为（ ）
A． B．
第 27 页 共 47 页C． D．
【答案】C
【分析】本题考查根据实际问题列方程组，设买甜果x个，苦果y个，根据用九百九十九文钱共买了一千
个甜果和苦果，其中十一文钱可以买甜果九个，四文钱可以买苦果七个，列出方程组即可．
【详解】解：设甜果x个，苦果y个，
∵用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，故可列方程为：
∵甜果9个11文，苦果7个4文，
∴甜果每个单价为 文，苦果每个单价为 文，
∵总费用为999文，故可列方程为： ；
故可列方程组： ；
故选C．
45．（2025·山东·中考真题）明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意
是：有3个头6只手的哪吒若干，有1个头8只手的夜叉若干，两方交战，共有36个头，108只手．问哪
吒、夜叉各有多少？设哪吒有 个，夜叉有 个，则根据条件所列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了一元二次方程组的应用，审清题意、找准等量关系、列出方程是解题的关键．
设哪吒有 个，夜叉有 个，然后根据等量关系“共有36个头”和“108只手”列出二元一次方程组即
可解答．
【详解】解：设哪吒有 个，夜叉有 个，
然后根据题意可得： ．
故选D．
第 28 页 共 47 页46．（2025·四川广安·中考真题）《九章算术》中有一道题，原文是：“今有共买物，人出八，盈三；人
出七，不足四．问：人数、物价各几何？”译文是：假设共同买东西，如果每人出8钱，盈余3钱；每人
出7钱，不足4钱．问：人数、物价各多少？设人数为x，物价为y，则可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查列二元一次方程组解应用题，抓住等量关系是解题关键．
根据题设人数为x，物价为y，抓住等量关系每人出8钱，盈余3钱；每人出7钱，不足4钱列方程组即可．
【详解】解：设人数为x，物价为y，
由每人出八钱，会多三钱；总钱数 ,
每人出七钱，又差四钱；总钱数 ，
∴联立方程组为 ．
故选：B．
47．（2025·四川自贡·中考真题）某小区人行道地砖铺设图案如图所示．用10块相同的小平行四边形地
砖拼成一个大平行四边形．若大平行四边形短边长 ．则小地砖短边长（ ）
A．7cm B．8 C．9 D．
【答案】B
【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关
键．设每块小平行四边形地砖的长为 ，宽为 ，由图示可得等量关系：①2个长 个长 4个宽，
②一个长 一个宽 ，列出方程组，解方程组即可．
【详解】解：设每块小平行四边形地砖的长为 ，宽为 ，
由题意得： ，
解得： ，
第 29 页 共 47 页则每块小平行四边形地砖的短边长为 ，
故选：B．
48．（2025·四川泸州·中考真题）《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，在“方程”章中记载了
求不定方程（组）解的问题．例如方程 恰有一个正整数解 ．类似地，方程
的正整数解的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查了二元一次方程的解，根据题意写出 的正整数解，即可求解．
【详解】解：∵
∴
正整数解为： ， ； ， ； ， 共3个，
故选：C．
49．（2025·浙江·中考真题）手工社团的同学制作两种手工艺品A和B，需要用到彩色纸和细木条，单个
手工艺品材料用量如下表．
材料
彩色纸（张） 细木条（捆）
类别
手工艺品A 5 3
手工艺品B 2 1
如果一共用了17张彩色纸和10捆细木条，问他们制作的两种手工艺品各有多少个？设手工艺品A有x个，
手工艺品B有y个，则x和y满足的方程组是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查根据实际问题，列二元一次方程，根据题意，建立关于彩色纸和细木条用量的二元一
次方程组．
第 30 页 共 47 页【详解】解：每个手工艺品A用5张，每个B用2张，总用量为17张．因此可列方程为： ；
每个手工艺品A用3捆，每个B用1捆，总用量为10捆．因此可列方程为： ；
故方程组为： ；
故选C．
50．（2025·山西·中考真题）（1）计算：
（2）解方程组：
【答案】（1） ；（2）
【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，解二元一次方程组等知识，正确进行运算是解题的关
键；
（1）依次计算绝对值、乘方与括号，最后计算加减即可；
（2）利用加减消元法，两式相加消去未知数y，求得未知数x的值，再求出y的值即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）解：①+②，得 ，
．
将 代入②，得 ，
．
所以原方程组的解是 ．
51．（2024·江苏常州·中考真题）解方程组和不等式组：
第 31 页 共 47 页(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查解方程组和一元一次不等式组：
（1）加减法解方程组即可；
（2）先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集．
【详解】（1）解：
，得： ，解得： ；
把 代入①，得： ，解得： ；
∴方程组的解为： ．
（2）解： ，
由①，得： ；
由②，得： ；
∴不等式组的解集为： ．
52．（2025·湖南长沙·中考真题）为落实科技兴农政策，某乡办食品企业应用新科技推动农产品由粗加工
向精加工转变．根据市场需求，该食品企业将收购的农产品加工成A，B两种等级的农产品对外销售，已
知销售6千克A等级农产品和4千克B等级农产品共收入 元，销售4千克A等级农产品和2千克B等
级农产品共收入 元．（不考虑加工损耗）
(1)求每千克A等级农产品和每千克B等级农产品的销售单价分别为多少元？
(2)若该食品企业以每千克8元购进 千克农产品，全部加工后对外销售，要求总利润不低于 元，
第 32 页 共 47 页则至少需加工A等级农产品多少千克？
【答案】(1)A等级农产品每千克销售单价为 元，B等级农产品每千克销售单价为 元
(2)要求总利润不低于 元，则至少需加工A等级农产品 千克
【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式在实际问题中的应用，正确理解题意即可．
（1）设A等级农产品每千克销售单价为 元，B等级农产品每千克销售单价为 元，由题意得
即可求解；
（2）设需加工A等级农产品 千克，则需加工B等级农产品 千克，由题意得
．即可求解；
【详解】（1）解：设A等级农产品每千克销售单价为 元，B等级农产品每千克销售单价为 元，
由题意得 解得
答：A等级农产品每千克销售单价为 元，B等级农产品每千克销售单价为 元．
（2）解：设需加工A等级农产品 千克，则需加工B等级农产品 千克，
由题意得 ．
解得 ，
答：要求总利润不低于 元，则至少需加工A等级农产品 千克．
53．（2025·河南·中考真题）为助力乡村振兴，支持惠农富农，某合作社销售我省西部山区出产的甲、乙
两种苹果．已知2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价
之和为800元．
(1)求甲、乙两种苹果每箱的售价．
(2)某公司计划从该合作社购买甲、乙两种苹果共12箱，且乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数．求该
第 33 页 共 47 页公司最少需花费多少元．
【答案】(1)甲、乙两种苹果每箱的售价分别为 元、 元；
(2)该公司最少需花费 元．
【分析】本题考查了二元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意正确列
式是解题关键．
（1）设甲、乙两种苹果每箱的售价分别为 元、 元，根据“2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和
为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800元”，列二元一次方程组求解即可；
（2）设购买甲种苹果 箱，根据“乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数”列不等式，求出 的取值范
围，设该公司需花费 元，得到 关于 的一次函数，求出最值即可．
【详解】（1）解：设甲、乙两种苹果每箱的售价分别为 元、 元，
则 ，
解得： ，
答：甲、乙两种苹果每箱的售价分别为 元、 元；
（2）解：设购买甲种苹果 箱，则购买乙种苹果 箱，
则 ，
解得： ，
设该公司需花费 元，
则 ，
，
随 的增大而增大，
当 时， 有最小值为 ，
即该公司最少需花费 元．
54．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种
硬纸片，且长方形的宽与正方形的边长相等．
第 34 页 共 47 页(1)现用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片，恰好能制作甲、乙两种纸盒各多少个?
(2)如果需要制作100个长方体纸盒，要求乙种纸盒数量不低于甲种纸盒数量的一半，那么至少需要多少
张正方形硬纸片?
【答案】(1)恰好能制作甲种纸盒40个，乙种纸盒80个
(2)至少需要134张正方形硬纸片
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，正确掌握相关
性质内容是解题的关键．
（1）先设恰好能制作甲种纸盒x个，乙种纸盒y个．结合题意列出方程组，再解得 ，即可作答．
（2）先设制作乙种纸盒m个，需要w张正方形硬纸片．根据题意列出 ，结合 ，
得 ，其中最小整数解为34．运用一次函数的图象性质进行分析作答即可．
【详解】（1）解：制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，甲种需要1个正方形，4个长方形，乙种需要2
个正方形，3个长方形，
设恰好能制作甲种纸盒x个，乙种纸盒y个．
根据题意，得 ，
得 ，
答：恰好能制作甲种纸盒40个，乙种纸盒80个．
（2）解：设制作乙种纸盒m个，需要w张正方形硬纸片．
则 ．
由 ，知w随m的增大而增大，
∴当m最小时，w有最小值．
第 35 页 共 47 页根据题意，得 ，
解得 ，
其中最小整数解为34．
即当 时， ．
答：至少需要134张正方形硬纸片．
55．（2025·吉林·中考真题）吉林省长白山盛产人参．为促进我省特色经济的发展，某公司现将人参加工
成甲、乙两种盒装的商品出售，甲、乙两种商品的售价分别为每盒25元和20元．某游客购买了甲、乙两
种商品共10盒，花费230元．求该游客购买甲种商品和乙种商品的盒数．
【答案】游客购买甲种商品6盒，购买乙种商品4盒
【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
设游客购买甲种商品x盒，购买乙种商品y盒，根据“游客购买了甲、乙两种商品共10盒，花费230
元”建立方程组求解即可．
【详解】解：设游客购买甲种商品x盒，购买乙种商品y盒，
由题意得： ，
解得： ，
答：游客购买甲种商品6盒，购买乙种商品4盒．
56．（2025·黑龙江·中考真题）2024年8月6日，第十二届世界运动会口号“运动无限，气象万千”在京
发布，吉祥物“蜀宝”和“锦仔”亮相．第一中学为鼓励学生积极参加体育活动，准备购买“蜀宝”和
“锦仔”奖励在活动中表现优秀的学生．已知购买3个“蜀宝”和1个“锦仔”共需花费332元，购买2
个“蜀宝”和3个“锦仔”共需380元．
(1)购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要多少元？
(2)若学校计划购买这两种吉祥物共30个，投入资金不少于2160元又不多于2200元，有哪几种购买方案？
(3)设学校投入资金W元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？
【答案】(1)购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要 元和 元
(2)方案一：购买“蜀宝” 个，购买“锦仔” 个；方案二：购买“蜀宝” 个，购买“锦仔” 个；
方案三：购买“蜀宝” 个，购买“锦仔” 个；
(3)方案一需要的资金最少，最少资金是2160元
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，一次函数的实际应用，
第 36 页 共 47 页正确的列出方程组，不等式组和一次函数的解析式，是解题的关键：
（1）设购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要 元和 元，根据购买3个“蜀宝”和1个“锦仔”
共需花费332元，购买2个“蜀宝”和3个“锦仔”共需380元，列出方程组进行求解即可；
（2）设购买“蜀宝” 个，根据投入资金不少于2160元又不多于2200元，列出不等式组，进行求解即
可；
（3）根据投入资金等于两种吉祥物的费用之和，列出函数关系式，利用一次函数的性质，进行求解即可．
【详解】（1）解：设购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要 元和 元，由题意，得：
，解得： ；
答：购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要 元和 元；
（2）解：设购买“蜀宝” 个，则：购买“锦仔” 个；
∴ ，
解得： ，
∴ ，
；
∴共有3种方案：
方案一：购买“蜀宝” 个，购买“锦仔” 个；
方案二：购买“蜀宝” 个，购买“锦仔” 个；
方案三：购买“蜀宝” 个，购买“锦仔” 个；
（3）解：由题意，得： ，
∴ 随着 的增大而增大，
∴当 时，即方案一需要的资金最少，最少资金是 （元）；
答：方案一需要的资金最少，最少资金是2160元．
57．（2025·广西·中考真题）自2025年5月9日起至2025年12月31日，周末自驾游广西的外省籍小客
车，可享受高速公路车辆通行费（以下简称高速费）优惠．小悦一家5月中旬从湖南自驾到广西探亲游
玩，此次全程所产生的高速费享受的优惠如下：
湖南境内路
广西境内特定路段 广西境内其他路段
段
周一至周四 9.5折
周五至周日 9.5折 全免 5折
第 37 页 共 47 页(1)周六小悦一家从湖南Z市到广西A市，所经湖南境内路段、广西境内特定路段和其他路段的高速费原
价分别为a元、b元和c元．求此行程的高速费实付多少元？
(2)周日他们从A市到K市（全程在广西境内），高速费实付27.55元；周一从K市原路返回到A市，高
速费实付95.95元．求此行程中A市与K市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是多少
元．
【答案】(1)
(2)特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是 元和 元
【分析】本题考查了代数式、二元一次方程组：
（1）根据题意列出代数式即可；
（2）根据题意列出方程组求解即可．
【详解】（1）此次行程高速费原价总共为： 元
实际支付高速费用： 元
（2）解：设特定路段和其他路段的单程高速费原价分别 元和 元
解得：
故此行程中 市与 市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是 元和 元．
58．（2025·广东深圳·中考真题）某学校采购体育用品，需要购买三种球类．已知某体育用品商店排球的
单价为30元/个，篮球，足球的价格如下表：
①篮球、足球、排球各买一个的价格为140元
②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元
③购买5个篮球与购买6个足球花费相同
(1)请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价；
(2)若该学校要购买篮球，足球共10个，且足球的个数不超过篮球个数的2倍，请问购买多少个篮球时，
花费最少，最少费用是多少？
【答案】(1)每个篮球60元，每个足球50元
(2)当购买篮球4个的时候，所花费用最少
【分析】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式，一次函数的实际应用，正确的列出方程组，不等
第 38 页 共 47 页式和一次函数解析式，是解题的关键：
（1）设每个篮球 元，每个足球 元，根据表格信息，列出二元一次方程组进行求解即可；
（2）设蓝球有 个，购买的总费用是 元，根据题意，列出不等式求出 的范围，列出一次函数解析式，
根据一次函数的性质，求最值即可．
【详解】（1）解：设每个篮球 元，每个足球 元，由题意，得：
或 或 ，（三个方程组任选一个即可）
解得： ；
答：每个篮球60元，每个足球50元．
（2）设蓝球有 个，则足球有 个
，
解得： ，
设购买的总费用是 元，
，
，
随着 的减小而减小；
∵ 且 为整数，
当 最小值为4时， 最小值为540元；
答：当购买篮球4个的时候，所花费用最少．
59．（2025·湖北·中考真题）某商店销售A，B两种水果．A水果标价14元／千克，B水果标价18元／千
克．
(1)小明陪妈妈在这家商店按标价买了A，B两种水果共3千克，合计付款46元．这两种水果各买了多少
千克？
(2)妈妈让小明再到这家商店买 两种水果，要求B水果比A水果多买1千克，合计付款不超过50元．
设小明买A水果 千克．
①若这两种水果按标价出售，求 的取值范围；
②小明到这家商店后，发现 两种水果正在进行优惠活动：A水果打七五折；一次购买B水果不超过1
第 39 页 共 47 页千克不优惠，超过1千克后，超过1千克的部分打七五折．（注：“打七五折”指按标价的 出
售．）若小明合计付款48元，求 的值．
【答案】(1)购买A种水果2千克，B种水果1千克
(2)① ；②
【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用；
（1）设购买A种水果x千克，B种水果y千克，根据在这家商店按标价买了A，B两种水果共3千克，合
计付款46元．再建立方程组解题即可；
（2）①设小明买A水果 千克，则B种水果购买了 千克，根据要求B水果比A水果多买1千克，
合计付款不超过50元，再建立不等式求解即可；②设小明买A水果 千克，则B种水果购买了 千
克，根据不同的优惠方式可得 ，再解方程即可.
【详解】（1）解：设购买A种水果x千克，B种水果y千克，
依题意得： ，
解得： ．
答：购买A种水果2千克，B种水果1千克．
（2）解：①设小明买A水果 千克，则B种水果购买了 千克，
∴ ，
解得： ，
∴结合实际可得： ；
②设小明买A水果 千克，则B种水果购买了 千克，
∴ ，
解得： .
60．（2025·湖南·中考真题）同学们准备在劳动课上制作艾草香包，需购买 ， 两种香料．已知 种材
料的单价比 种材料的单价多3元，且购买4件 种材料与购买6件 种材料的费用相等．
(1)求 种材料和 种材料的单价；
(2)若需购买 种材料和 种材料共50件，且总费用不超过360元，则最多能购买 种材料多少件？
【答案】(1)A种材料的单价为9元，B种材料的单价为6元；
第 40 页 共 47 页(2)最多能购买 种材料20件．
【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用．
（1）设A种材料的单价为x元，B种材料的单价为y元，根据题意列出二元一次方程组求解即可；
（2）设最多可以购买 种材料m件，则购买 种材料 件，根据题意列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：设A种材料的单价为x元，B种材料的单价为y元，
依题意 ，
解得 ，
答：A种材料的单价为9元，B种材料的单价为6元；
（2）解：设最多可以购买 种材料m件，则购买 种材料 件，
依题意得： ．
解得 ．
∴m的最大值为20．
答：最多能购买 种材料20件．
61．（2025·山东烟台·中考真题）2025年6月5日是第54个“世界环境日”，为打造绿色低碳社区，某
社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统．已知购买1盏甲种
路灯和2盏乙种路灯共需220元，购买3盏甲种路灯比4盏乙种路灯的费用少140元．
(1)求甲、乙两种路灯的单价；
(2)该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的 ，请通过计算设
计一种购买方案，使所需费用最少．
【答案】(1)甲、乙两种路灯的单价分别为 元， 元
(2)购买甲种路灯 盏，购买乙种路灯 盏，费用最少
【分析】本题考查了二元一次方程组以及一元一次不等式、一次函数的应用，根据题意列出方程组，不
等式以及一次函数关系式是解题的关键；
（1）设甲、乙两种路灯的单价分别为 元，根据题意列出方程组，即可求解；
（2）设购买甲种路灯 盏，则购买乙种路灯 盏，列出不等式，求得 ，设购买费用为 元，
得出 ，进而根据一次函数的性质，即可求解．
第 41 页 共 47 页【详解】（1）解：设甲、乙两种路灯的单价分别为 元，根据题意得，
解得：
答：甲、乙两种路灯的单价分别为 ， 元
（2）解：设购买甲种路灯 盏，则购买乙种路灯 盏，根据题意得，
解得：
设购买费用为 元，根据题意得，
∵
∴当 取得最大值时， 取得最小值，
∴ 时， （盏） ，
即购买甲种路灯 盏，购买乙种路灯 盏，费用最少，
答：购买甲种路灯 盏，购买乙种路灯 盏，费用最少．
62．（2025·四川德阳·中考真题）中江挂面以“细如发丝、清如白玉、耐煮不糊、入口绵软”闻名遐迩，
其独特的空心技艺传承千年，从揉面、开条、上筷到拉扯成型，需经十余道古法工序．数学兴趣小组走
进某老字号挂面厂进行调研，已知购买2袋A型与2袋B型挂面共需费用100元，购买3袋A型与2袋B
型挂面共需费用120元．
(1)A型、B型挂面的单价分别是多少元？
(2)为进一步推广此非遗美食，兴趣小组决定购买A、B两种型号挂面共40袋．在单价不变，总费用不超
过950元，且B型挂面不少于10袋的条件下，共有几种购买方案？其中最低花费多少元？
【答案】(1)A型挂面每袋20元，B型挂面每袋30元
(2)共有6种购买方案，最低费用为900元
【分析】本题考查了运用二元一次方程组解应用题，以及综合运用一次函数和一元一次不等式设计方案
问题．根据题意列出方程组，不等式组以及一次函数的关系式是解题的关键．
（1）设A型挂面每袋x元，B型挂面每袋y元．根据题意列二元一次方程组求解即可；
（2）设A型挂面每袋x元，B型挂面每袋y元．先根据题意列不等式组求出a的范围为 ，再根
据题意列出w与a的函数关系式为 ，根据一次函数的增减性可得 时，w有最小值，据
第 42 页 共 47 页此求解即可．
【详解】（1）解：设A型挂面每袋x元，B型挂面每袋y元．
则 ，
得 ．
答：A型挂面每袋20元，B型挂面每袋30元．
（2）解：设购买B型挂面a袋，则购买A型挂面的数量为 袋，总费用为w元．
则 ，
解得 ，
又 a为正整数，
，11，12，13，14，15．
由题意得 ．
，
w随a的增大而增大，
时，w有最小值，最小值为 （元）．
答：共有6种购买方案，最低费用为900元．
63．（2025·四川眉山·中考真题）国家卫健委在全民健康调查中发现，近年来的肥胖人群快速增长，为加
强对健康饮食的重视，特发布各地区四季健康饮食食谱．现有A、B两种食品，每份食品的质量为 ，
其核心营养素如下：
食品类 能量（单位： 蛋白质（单位： 脂肪（单位： 碳水化合物（单
别 ） ） ） 位： ）
A 240 12 7.5 29.8
B 280 13 9 27.6
(1)若要从这两种食品中摄入 能量和 蛋白质，应选用A、B两种食品各多少份？
(2)若每份午餐选用这两种食品共 ，从A、B两种食品中摄入的蛋白质总量不低于 ，且能量最低，
第 43 页 共 47 页应选用A、B两种食品各多少份？
【答案】(1)选用A、B两种食品分别为 份和2份；
(2)应选用A、B两种食品分别为2份和 份；
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，正确掌握相关
性质内容是解题的关键．
（1）先设选用A、B两种食品分别为 份和 份，结合选用A、B两种食品分别为 份和 份，列出方程
组，进行计算，即可作答．
（2）结合每份食品的质量为 ，每份午餐选用这两种食品共 ，则选用B种食品 份，再列出
不等式，得 ，然后设能量为 ，则 ，运用一次函数的性质进行作答即可．
【详解】（1）解：设选用A、B两种食品分别为 份和 份，
∵这两种食品中摄入 能量和 蛋白质，
∴ ，
∴ ，
∴选用A、B两种食品分别为 份和2份；
（2）解：设选用A种食品 份，
依题意， ，
即选用B种食品 份，
则
，
解得 ，
设能量为 ，
则
∵ ，
∴ 随 的增大而减小，
∴当 时能量最低，
即 ，
∴应选用A、B两种食品分别为2份和 份．
第 44 页 共 47 页64．（2025·黑龙江绥化·中考真题）自主研发和创新让我国的科技快速发展，“中国智造”正引领世界潮
流．某科技公司计划投入一笔资金用来购买 、 两种型号的芯片．已知购买 颗 型芯片和2颗 型芯
片共需要 元，购买 颗 型芯片和 颗 型芯片共得要 元．
(1)求购买 颗 型芯片和 颗 型芯片各需要多少元．
(2)若该公司计划购买 、 两种型号的芯片共 频，其中购买 型芯片的数量不少于 型芯片数量的
倍．当购买 型芯片多少颗时，所需资金最少，最少资金是多少元．
(3)该公司用甲、乙两辆芯片运输车，先后从 地出发，沿着同一条公路匀速行驶，前往目的地 ，两车
到达 地后均停止行驶．如图， 、 分别是甲、乙两车离 地的距离与甲车行驶的时间
之间的函数关系．请根据图象信息解答下列问题：
①甲车的速度是________ ．
②当甲、乙两车相距 时，直接写出 的值________．
【答案】(1)购买 颗 型芯片和 颗 型芯片分别需要 元和 元
(2)当该公司购买 型芯片 颗，所需资金最少，最少资金是 元
(3)① ；② 或 或
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数最优化问题：
（1）根据题意列方程组求解即可；
（2）结合不等式约束条件，将问题转化为求函数最小值即可；
（3） 求出解析式代入计算即可； 求出甲乙两车的函数解析式，分类讨论即可．
【详解】（1）设：购买 颗 型芯片和 颗 型芯片分别需要 元和 元
由题意得
第 45 页 共 47 页解得
答：购买 颗 型芯片和 颗 型芯片分别需要 元和 元
（2）设购买 型芯片 颗，则购买 型芯片 颗，所需资金为 元
由题意得：
随 的增大而减小
购买 型芯片的数量不少于 型芯片数量的3倍，
解得
取正整数
当 时， 取最小值， （元）
此时
答：当该公司购买 型芯片 颗，所需资金最少，最少资金是 元
（3）①设 的解析式为
将点 ， 代入
得
解得
所以， 的解析式为 ，
当 时，
所以，甲车的速度为
② 的解析式为
将点 代入
得 ，解得
第 46 页 共 47 页所以 的解析式为
当函数 的图象在函数 上方时
可列方程
解得
当函数 的图象在函数 下方时
可列方程
解得
当甲车到达 地，乙离目的地 时，
可列方程
解得
综上所述， 的值为： 或 或 ．
第 47 页 共 47 页
