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第 05 讲 一次方程（组）及其应用
目 录
一、考情分析
二、知识建构
考点一 等式的基本性质
题型01 利用等式的性质判断变形正误
题型02 利用等式的性质求解
考点二 一元一次方程
题型01 判断一元一次方程
题型02 解一元一次方程
题型03 一元一次方程的特殊解题技巧
【类型一】分母含小数的一元一次方程
技巧1 巧化分母为1
技巧2 巧化同分母
技巧3 巧约分去分母
【类型二】分子、分母为整数的一元一次方程
技巧1 巧用拆分法
技巧2 巧用对消法
技巧3 巧通分
【类型三】含括号的一元一次方程
技巧1 利用倒数关系去括号
技巧2 整体合并去括号
技巧3 整体合并去分母
技巧4 由外向内去括号
技巧5 由内向外去括号
题型04 错看或错解一元一次方程问题
考点三 二元一次方程（组）
题型01 二元一次方程（组）的概念
题型02 解二元一次方程组
题型03 二元一次方程组特殊解法
类型一 引入参数法
类型二 特殊消元法-方程组中两未知数系数之差的绝对值相等
类型三 特殊消元法-方程组中两未知数系数之和的绝对值相等
类型四 换元法
类型五 同解交换法
类型六 主元法
题型04 错看或错解二元一次方程组问题
题型05 构造二元一次方程组求解
题型06 解三元一次方程组
考点四 一次方程（组）的应用
题型01 利用一元一次方程解决实际问题
类型一 配套问题
类型二 工程问题
类型三 增长率问题
类型四 销售利润问题
类型五 比赛积分问题
类型六 方案选择问题
类型七 数字问题
类型八 日历问题
类型九 几何问题
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类型十 和差倍分问题
类型十一 行程问题
题型02 利用二元一次方程解决实际问题
类型一 配套问题
类型二 方案选择问题
类型三 年龄问题
类型四 几何问题
类型五 行程问题
类型六 古代问题
类型七 图表问题
类型八 工程问题
考点要求 新课标要求 命题预测
一元一次方程与二元一次方程
等式的基本性质 理解等式的基本性质 （组）在初中数学中因为未知数的最高
次数都是一次，且都是整式方程,所以
统称为“一次方程”.
中考中，对于这两个方程的解法及
一元一次方程 能解一元一次方程
其应用一直都有考察，其中对于两个方
程的解法以及注意事项是必须掌握的，
而在其应用上也是中考代数部分结合型
二元一次方程 掌握消元法，能解二元一次方程组
较强的一类考点.
（组） 能解简单的三元一次方程组[选学] 预计2024年各地中考还将继续考
查一次方程的解法和应用题，为避免丢
一次方程（组） 分，学生应扎实掌握．
利用一次方程求解实际问题
的应用
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考点一 等式的基本性质
1.利用等式的性质进行变形时，等式两边都要参加运算，而且是同一种运算.
2.运用等式的性质2时，等式两边不能同时除以0，因为0不能作除数或分母.
题型01 利用等式的性质判断变形正误
【例1】（2022青海省中考）下列说法中，正确的是（ ）
A．若ac=bc，则a=b B．若a2=b2，则a=b
a b 1
C．若 = ，则a=b D．若− x=6，则x=2
c c 3
【变式1-1】（2023·山西大同·校联考模拟预测）下列等式变形正确的是（ ）
x y
A．若x= y，则 = B．若ac=bc，则a=b
z z
a b
C．若x2=4x，则x=4 D．若 = ，则a=b
c c
【变式1-2】（2023沧州市二模）如果x＝y，那么根据等式的性质下列变形正确的是（ ）
x 5
A．x＋y＝0 B． = C．x﹣2＝y﹣2 D．x＋7＝y﹣7
5 y
利用等式的性质对等式变形时,应分析变形前后式子发生了哪些变化,发生加减变形的依据是等式
的性质1,发生乘除变形的依据是等式的性质 2.
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题型02 利用等式的性质求解
【例2】（2023·河北唐山·一模）有三种不同质量的物体“■”“▲”“●”，其中同一种物体的质量都相
等．下列四个天平中只有一个天平没有处于平衡状态，则该天平是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-1】（2023·河北承德·校联考模拟预测）能运用等式的性质说明如图事实的是（ ）
A．如果a+c=b+c，那么a=b（a，b，c均不为0）
B．如果a=b，那么a+c=b+c（a，b，c均不为0）
C．如果a−c=b−c，那么a=b（a，b，c均不为0）
D．如果a=b，那么ac=bc（a，b，c均不为0）
【变式2-2】（2022·山东滨州·中考真题）在物理学中，导体中的电流Ⅰ跟导体两端的电压U，导体的电阻
U
R之间有以下关系：I= 去分母得IR=U，那么其变形的依据是（ ）
R
A．等式的性质1 B．等式的性质2
C．分式的基本性质 D．不等式的性质2
(2021 2022)
【变式2-3】（2023·河北沧州·校考模拟预测）已知 − +x=0，则x的值是( )
2022 2021
2022 2021 2022 2021
A． + B．− +
2021 2022 2021 2022
2022 2021 2022 2021
C． − D．− −
2021 2022 2021 2022
【变式2-4】（2023 衡水市中考模拟）若等式m+a=n-b根据等式的性质变形得到m=n，则a、b满足的
条件是（ ）
A．相等 B．互为倒数 C．互为相反数 D．无法确定
考点二 一元一次方程
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一元一次方程的概念：只含有一个未知数，且未知数的次数都是1，这样的整式方程叫一元一次方程.
一元一次方程标准形式：ax+b=0（x为未知数，a、b是常数且a≠0）
解一元一次方程的基本步骤：
1. 一元一次方程中未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数.
2. 一元一次方程只含有一个未知数,未知数的次数都为1.
3. 解方程的五个步骤有些可能用不到，有些可能重复使用，也不一定有固定的顺序，要根据方程的特
点灵活运用．
4. 对于分母中含有小数的一元一次方程．当分母中含有一位小数时，含分母项的分子、分母都乘10，
化分母中的小数为整数；当分母中含有两位小数时，含分母项的分子、分母都乘100，化分母中的小数
为整数．
题型01 判断一元一次方程
2
【例1】（2020·浙江·模拟预测）下列各式：①−2+5=3；②3x−5=x2+3x；③2x+1=1；④ =1；⑤
x
2x+3；⑥x=4．其中是一元一次方程的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1-1】（2021·贵州·一模）已知关于x的方程(k2−4)x2+(k−2)x=k+6是一元一次方程，则方程的
解为（ ）
A．-2 B．2 C．-6 D．-1
【变式1-2】（2023 九江市一模）已知(k−1)x|k|+3=0是关于x的一元一次方程，则k值为 ．
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【变式1-3】（2023武威市一模）若方程(k+2)x|k+1|+6=0是关于x的一元一次方程，则k+2023=
．
题型02 解一元一次方程
【例2】（2021·广西桂林·中考真题）解一元一次方程：4x﹣1＝2x+5．
( 1)
【变式2-1】（2023·内蒙古包头·校考一模）若4 x+ 的值与x−7互为相反数，则x的值为（ ）
2
13
A．1 B． C．3 D．−3
10
1
【变式2-2】（2023·河北秦皇岛·一模）如果单项式−x yb与 xay3 是同类项，那么关于x的方程bx+a=0
2
的解为（ ）
1 1
A．x= B．x=− C．x=3 D．x=−3
3 3
2x−1
【变式2-3】（2019·山东济南·中考真题）代数式 与代数式3−2x的和为4，则x= ．
3
2x−1 1+x
【变式2-4】（2023 扬州市三模）规定一种新的运算：a∗b=2−a−b，求 ∗ =1的解是
3 2
．
a b c
【变式2-5】（2023·四川成都·二模）若实数a，b，c满足 = = =k，且a+2b+3c=40，则k=
2 3 4
．
【变式2-6】（2021·山东烟台·中考真题）幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用
今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方．将数字1~9分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行，
每一竖行以及两条对角线上的数字之和都是15，则a的值为 ．
题型03 一元一次方程的特殊解题技巧
【类型一】分母含小数的一元一次方程
技巧1 巧化分母为1
0.6x+0.5 0.03x+0.2 x−9
【例3】解方程： − =
0.2 0.06 3
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0.3x-0.5 0.12-0.05x
【变式3-1】解方程： - =x．
0.2 0.03
技巧2 巧化同分母
x 0.16−0.5x
【例4】解方程： − =1．
0.6 0.06
技巧3 巧约分去分母
x−4 x−3
【例5】解方程： −10=
0.2 0.05
0.3x−1 0.4x−8
【变式5-1】解方程： − =1
0.02 0.5
【类型二】分子、分母为整数的一元一次方程
技巧1 巧用拆分法
3x−1 5x−7
【例6】解方程： =
4 6
x−1 2x−3 6−x
【变式6-1】解方程： − = ．
2 6 3
x x x x
【变式6-2】解方程： + + + =1．
2 6 12 20
x x x x
【变式6-3】解方程： + + +⋯+ =2008．
2 6 12 2008×2009
技巧2 巧用对消法
x x−2 3 6−3x
【例7】解方程： + =3 − ．
3 5 7 15
技巧3 巧通分
x+3 x+2 x+1 x+4
【例8】解方程： − = − ．
7 5 6 4
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【类型三】含括号的一元一次方程
技巧1 利用倒数关系去括号
6 5
【例9】解方程： [ (2x+1)+5]−1=4x
5 6
3[2 x ]
【变式9-1】解方程：解方程 ( −1)−2 −x=2
2 3 4
技巧2 整体合并去括号
1 1 1
【例10】解方程：x− [x− (x+10)]= (x+10)；
3 3 9
1[ 1 ] 1
【变式10-1】解方程：x− x− (x−3) = (x−3)+1．
2 3 6
技巧3 整体合并去分母
1 2
【例11】解方程： (x−5)=3− (x−5)．
3 3
1 3
【变式11-1】解方程： (x−2)−5=3− (x−2)．
4 4
技巧4 由外向内去括号
1[1 1 ]
【例12】解方程：解方程： ( x−1)−6 +2=0．
3 4 3
技巧5 由内向外去括号
[4 2 1 ] 3
【例13】解方程：2 x−( x− ) = x．
3 3 2 4
[1 3 ] 1
【变式13-1】解方程：4 x− (x−1) = (5+x)．
2 4 3
题型04 错看或错解一元一次方程问题
x+1 x−2
【例14】（2022·贵州黔西·中考真题）小明解方程 −1= 的步骤如下：
2 3
解：方程两边同乘6，得3(x+1)−1=2(x−2)①
去括号，得3x+3−1=2x−2②
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移项，得3x−2x=−2−3+1③
合并同类项，得x=−4④
以上解题步骤中，开始出错的一步是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
x−3
【变式14-1】（2023·浙江杭州·一模）以下是圆圆解方程x− =1的解答过程．
3
解：两边同乘以3，得3x−x−3=3，
移项，合并同类项，得2x=6，
两边同除以2，得x=3，
圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．
【变式14-2】（2023·湖南长沙·校考二模）下面是小颖同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并解答问
题．
2x+1 5x−1
解方程： − =1
3 6
解：去分母，得2(2x+1)−(5x−1)=1……
第一步
去括号，得4x+2−5x+1=1……第二步
移项，得4x−5x=1−1−2……第三步
合并同类项，得−x=−2，……第四步
方程两边同除以－1，得x=2．……第五步
(1)以上求解过程中，第三步的依据是_________．
A．等式的基本性质 B．不等式的基本性质 C．分式的基本性质 D．乘法分配律
(2)从第_________步开始出现错误；
(3)该方程正确的解为____________
【变式14-3】（2022·浙江杭州·中考真题）计算：(−6)× (2 −■ ) −23 ．圆圆在做作业时，发现题中有一
3
个数字被墨水污染了．
(1)如果被污染的数字是
1
，请计算(−6)×
(2
−
1)
−23 ．
2 3 2
(2)如果计算结果等于6，求被污染的数字．
1
【变式14-4】在做解方程练习时，有一个方程“y− =2y+■”，题中■处不清晰，李明问老师，老师只是
5
说：“■是一个有理数，该方程的解与当x＝2时整式5（x﹣1）﹣2（x﹣2）﹣4的值相同．”依据老师的
提示，请你帮李明找到“■”这个有理数，并求出方程的解．
考点三 二元一次方程（组）
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1.二元一次方程有无数个解，满足二元一次方程使得方程左右相等都是这个方程的解，但并不是说任意
一对数值就是它的解.
2.在二元一次方程中，给定其中一个未知数的值，就可以通过解一元一次方程的方法求出另一个未知数
的值.
3.二元一次方程组的“二元”和“一次”都是针对整个方程组而言的，组成方程组的各个方程不必同时
含有两个未知数，这两个一次方程不一定都是二元一次方程，但这两个一次方程必须只含有两个未知数.
4.解二元一次方程组的基本思想是消元，即将二元一次方程组转化为一元一次方程．
题型01 二元一次方程（组）的概念
【例1】（2023·江苏无锡·中考真题）下列4组数中，不是二元一次方程2x+ y=4的解是（ ）
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A．¿ B．¿ C．¿ D．¿
【变式1-1】（2023·江苏无锡·校联考一模）若二元一次方程组¿的解为¿，则a−b= ．
【变式1-2】（2023 蚌埠市二模）若方程7x|m|+(m+1)y=6是关于x，y的二元一次方程，则m的值为
．
题型02 解二元一次方程组
【例2】（2023·江苏连云港·中考真题）解方程组¿
【变式2-1】（2022·山东淄博·中考真题）解方程组：¿
解二元一次方程组的方法选择：
1)当方程组中某一个未知数的系数是1或者-1时，选用代入消元法；
2)当方程组中某一个方程的常数项为0时，选用代入消元法；
3)当方程组中同一个未知数的系数相同或互为相反数时，选用加减消元法；
4)当两个方程中同一个未知数的系数成整数倍关系时，选用加减消元法．
题型03 二元一次方程组特殊解法
类型一 引入参数法
解题技巧：当方程组中出现x/a=y/b的形式时，常考虑先用参数分别表示出x，y的值，然后将x，y的值
代入另一个方程求出参数的值，最后将参数的值回代就能求出方程组的解.
【例3】用代入法解方程组：
¿
【变式3-1】用代入法解方程组：
¿
类型二 特殊消元法-方程组中两未知数系数之差的绝对值相等
解题技巧：观察方程组1和2的系数特点，数值都比较大.如果用常规的代入法或加减法来解，不仅计算
量大，而且容易出现计算错误.根据方程组中的两个未知数的对应系数之差的绝对值相等，先化简，再用
代入法或加减法求解，更为简便.
【例4】解方程组：¿．
【变式4-1】阅读下列解方程组的方法，然后解决问题．
解方程：¿
解：①-②，2x+2y=2即x+ y=1③
③×16，得16x−16 y=16④
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②-④，得x=−1．
把x=−1，代入③，得−1+ y=1．解得y=2．
所以原方程组的解为：¿
(1)请仿照上面的方法解方程组：¿；
(2)请猜想关于x，y的方程组¿的解，并利用方程组的解加以验证
类型三 特殊消元法-方程组中两未知数系数之和的绝对值相等
解题技巧：当两式相加时，x和y的系数相等，化简即可得到x+y=a;当两式相减时，x和y的系数互为相
反数，化简即可得到-x+y=b.由此达到化简方程组的目的.
【例5】解方程组：¿．
【变式5-1】感悟思想：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数x，y满足3x−y=5①，2x+3 y=7②，求x−4 y和7x+5 y的值．
思考：本题常规思路是将①②联立成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的代数式得到答案，有的问题用
常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整
体求得代数式的值．
如①-②可得x−4 y=−2①+②×2可得7x+5 y=19．
这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
体会思想：
(1)已知二元一次方程组¿，则x−y=______，x+ y=______．
(2)解方程组：¿
(3)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔5块橡皮、3
本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？
类型四 换元法
【例6】解方程组：¿．
【变式6-1】阅读材料：善于思考的李同学在解方程组¿时，采用了一种“整体换元”的解法．
解：把m+5，n+3成一个整体，设m+5=x，n+3= y，原方程组可化为¿
解得：¿．∴¿，∴原方程组的解为¿．
(1)若方程组¿的解是¿，则方程组¿的解是__________．
(2)仿照李同学的方法，用“整体换元”法解方程组¿．
【变式6-2】数学方法：
解方程组：¿，若设2x+ y=m，x−2y=n，则原方程组可化为¿，解方程组得¿，所以¿，解方程组得¿，
我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法．
(1)直接填空：已知关于x，y的二元一次方程组¿，的解为¿，那么关于m、n的二元一次方程组¿的解为： ．
(2)知识迁移：请用这种方法解方程组¿．
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(3)拓展应用：已知关于x，y的二元一次方程组¿的解为¿，
求关于x，y的方程组¿的解．
类型五 同解交换法
解题技巧：先将两个方程组中不含字母a、b的两个方程联立,求得方程组的解,然后由“方程组的解适合
每一个方程”得到关于a、b 的二元一次方程组,进而确定a、b的值.
【例7】（2020·广东·中考真题）已知关于x，y的方程组¿与¿的解相同．
（1）求a，b的值；
（2）若一个三角形的一条边的长为2√6，另外两条边的长是关于x的方程x2+ax+b=0的解．试判断该三
角形的形状，并说明理由．
【变式7-1】若关于x，y的二元一次方程组¿，和¿有相同的解．
(1)求这两个方程组的解；
(2)求代数式(2a+b) 2022的值．
类型六 主元法
解题技巧：本题不能直接求出x，y，z的值，这时可以把其中一个未知数当成一个常数，然后用含这个
未知数的式子去表示另外两个未知数.
xy+2yz
【例8】已知¿（x，y，z均不为0），求 的值．
x2+ y2−z2
【变式8-1】（2023·浙江·模拟预测）实数x,y,z满足3x+7 y+z=1,4x+10 y+z=2018．则
x+3 y
= ．
2017x+2017 y+2017z
题型04 错看或错解二元一次方程组问题
【例9】在解方程组¿时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，得到的解为¿，乙看错了方程组中的b，得到
的解为¿．则原方程组的解（ ）
A．¿ B．¿ C．¿ D．¿
解“看错系数”问题的方法
看错方程组中某个方程的系数,所得的解既是方程组中看错系数的方程的解,也是方程组中没有看
错系数的方程的解,把解代入没有看错系数的方程中，构建新的方程组,然后解方程组.
【变式9-1】（2023·广西柳州·二模）下面是小亮解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：¿
第一步：由①得，x=2y+1 ③；
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第二步：将③代入②，得2×2y+1+2y=5
2
第三步：解得y=
3
7
第四步：将y=1代入③，解得x= ；
3
第五步：所以原方程组的解为¿
任务一：小亮解方程组用的方法是________消元法．（填“代入”或“加减”）；
任务二：小亮解方程组的过程，从第________步开始出现错误，错误的原因是________．
任务三：请写出方程组正确的解答过程．
【变式9-2】（2021·浙江嘉兴·二模）解方程组：¿．
小海同学的解题过程如下：
解：由②，得y=5+x③……（1）
把③代入①，得：3x−2x+5=6……（2）
解得：x=−1……（3）
把x=−1代入③，得y=4……（4）
∴此方程组的解为¿……（5）
判断小海同学的解题过程是否正确，若不正确，请指出错误的步骤序号，并给出正确的解题过程．
题型05 构造二元一次方程组求解
【例10】（2022·贵州黔东南·中考真题）若(2x+ y−5) 2+√x+2y+4=0，则x−y的值是 ．
【变式10-1】（2019·江苏宿迁·中考真题）下面3个天平左盘中“△”“□”分别表示两种质量不同的物
体，则第三个天平右盘中砝码的质量为 ．
1
【变式10-2】（2022·湖南长沙·校考一模）如果单项式−3ax−2yb2与 b2x+ya3 是同类项，那么3x−y的
4
值为 ．
【变式10-3】请你根据下图中所给的内容，完成下列各小题．
我们定义一个关于非零常数a，b的新运算，规定：a◎b=ax+by．例如：3◎2=3x+2y．
(1)如果x=−5，2◎4=−18，求y的值；
(2)1◎1=8，4◎2=20，求x，y的值．
题型06 解三元一次方程组
【例11】（2023·上海长宁·二模）已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点
A（2，t），B（3，t），C（4，2），那么a+b+c的值是（ ）
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A．2 B．3 C．4 D．t
【变式11-1】已知方程组¿的解满足x＋y＝3，则k的值为( )．
A．10 B．8 C．2 D．－8
ab 2 ca 3 bc 6
【变式11-2】（2022·四川眉山·校考一模）已知： = ， = ， = ．求代数式a＋b＋c的
a+b 3 c+a 4 b+c 5
值．
考点四 一次方程（组）的应用
用方程解决实际问题的步骤：
审：理解并找出实际问题中的等量关系;
设：用代数式表示实际问题中的基础数据;
列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程;
解：求解方程;
验：考虑求出的解是否具有实际意义;
答：实际问题的答案.
与一次方程（组）有关应用题的常见类型：
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常见题型 常见数量关系及公式 等量关系 补充
根据题目提供的配套比列 关键：理解题目中提供的
配套问题
方程 配套方式.
工作总量=工作时间×工作效率 多个工作效率不同的对象
在工程问题中，一般将工
工程问题 工作时间=工作总量÷工作效率 所完成的工作量的和等于
作总量看作单位1.
工作效率=工作总量÷工作时间 工作总量
增长量=原有量×增长率
增长率问题 现在量=原有量+增长量=原有量×（1+增长率） 由题可知
现有量=原有量-降低量
利润=售价-进价（成本）
商品打几折就是按照原价
利润问题 总利润=单件利润×销售量 由题可知
的百分之几出售
利润率=利润÷成本价×100%
比赛总场数=胜场数+负场数+平场数
比赛积分问题 由题可知
比赛总积分=胜场积分+负场积分+平场积分
先根据已知条件得到方
程，再根据未知数之间的
方案选择/分段计费问题 由题可知
关系得到多种方案，选择
最优方案进行解题
一个两位数，十位数字是a，个位数字是b，那么这个数可表
示为10a+b
一个三位数，百位数字是x, 十位数字是y，个位数字是z，那
数字问题
么这个数可表示为100x+10y+z 1）解日历问题的关键：弄
清日历中的数字规律.
在九宫格中，每一横行、每一竖列以及两条对角线上的数字
数字问题 由题可知 2）设间接未知数
之和都相等
横向相邻的两数相差1，相邻的三个数可设为n-1，n，n+1；
日历问题
纵向相邻的两数相差7，相邻的三个数可设为n-7，n，n+7
关键：两人年龄的增长数
年龄问题
相等及两人年龄的差不变
关键：明确有关图形的性
几何问题 有关图形的周长、面积公式 由题可知
质和周长、面积公式
几何问题
圆柱体体积= 底面积x高= Πr2h (r为底面圆半径，h为高)
等积变形问题 原材料体积=成品体积
长方体体积= 长x宽x高 = abc (a为长，b为宽，c为高)
利息=本金×利率×期数
储蓄利息问题 本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期数) 由题可知 分清利息与利息和
贷款利息=贷款额×利率×期数
较大量=较小量+多余量
和差倍分问题 由题可知 弄清和、差、倍、分关系
总量=倍数×一份量
全路程=甲走的路程+乙走 相向而行，注意出发时间
相遇问题
的路程 、地点
路程=速度×时间
追及问题 前者走的路程=追者走的路
速度=路程÷时间
（同地不同时出发） 程 同向而行，注意出发时间
时间=路程÷速度
行程问题 追及问题 前者走的路程+两地间距离 、地点
（同时不同地出发） =追者走的路程
顺水速度=静水速度+水流速度 注意两地距离，静水速度
航行问题 路程=速度×时间
逆水速度=静水速度-水流速度 不变
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题型01 利用一元一次方程解决实际问题
类型一 配套问题
【例1】（2022 滨州市二模）某车间有26名工人，每人每天可以生产800个螺钉或1000个螺母，1个螺
钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套．设安排x名工人生产螺钉，则下面所列方程正
确的是（ ）A．2×1000（26﹣x）=800x B．1000（13﹣x）=800x
C．1000（26﹣x）=2×800x D．1000（26﹣x）=800x
【变式1-1】（2023哈尔滨市三模）某车间有27名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母组成的产品，每
人每天生产螺母64个或螺栓22个．若分配x名工人生产螺栓，其它工人生产螺母，恰好使每天生产的螺
栓和螺母配套，则下面所列方程中正确的是（ ）
A．22x=64(27−x) B．64x=22(27−x)
C．2×22x=64(27−x) D．2×64x=22(27−x)
【变式1-2】（2023西安尊德中学二模）制作一张方桌要用1个桌面和4条桌腿，若1m3木材可制作20个
桌面或400条桌腿，现有12m3木材，要使生产出来的桌面和桌腿恰好都配成方桌，求应安排多少木材用来
制作桌面．
类型二 工程问题
【例2】（2022·辽宁阜新·一模）某工程甲单独完成要25天，乙单独完成要20天．若乙先单独干10天，
剩下的由甲单独完成，设甲、乙一共用x天完成，则可列方程为（ ）
x+10 10 10 x−10 x−10 10 x+10 10
A． + =1 B． + =1 C． + =1 D． + =1
20 25 25 20 25 20 25 25
【变式2-1】（2023·福建泉州·福建省泉州第一中学校考模拟预测）某工人在规定的时间内做完一批零件，
若每小时做10个就可以超额完成3个，若每小时做11个就可以提前1h完成，则这批零件一共有多少个？设
这批零件一共有x个，则根据题意得到的正确方程是（ ）
x x x 10 x
A． −3= +1 B． − = −1
10 11 10 3 11
x 3 x x 3 x
C． + = −1 D． + = +1
10 10 11 10 10 11
【变式2-2】（2023·安徽合肥·二模）整理一批图书，如果由一个人单独做要用30h，现先安排一部分人用
2h整理，随后又增加5人和他们一起又做了3h，恰好完成整理工作，假设每个人的工作效率相同，那么
一共安排整理的人员有多少？
类型三 增长率问题
【例3】（2022·安徽合肥·模拟预测）一种商品，先提价20%，再降价10%，这时的价格是2160元．则该
商品原来的价格是（ ）
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A．2400元 B．2200元 C．2000元 D．1800元
【变式3-1】（2023蚌埠高新区模拟）受季节影响，某商品每件售价按原价降低a%再降价8元后的售价是
100元，那么该商品每件的原售价可表示为（ ）
92 108
A． B． C．92(1−a%) D．108(1−a%)
1−a% 1−a%
类型四 销售利润问题
【例4】（2023宁波市一模）互联网“微商”经营已成为大众创业新途径，某微信平台上一件商品标价为
200元，按标价的五折销售，仍可获利20元，则这件商品的进价为（ ）
A．120元 B．100元 C．80元 D．60元
【变式4-1】（2023巴东县模拟）一商店在某一时间以每件120元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利
20%，另一件亏损20%，在这次买卖中，这家商店（ ）
A．不盈不亏 B．盈利20元 C．亏损10元 D．亏损30元
【变式4-2】（2023·陕西西安·陕西师大附中校考三模）某种商品进价为200元，标价为300元．现打折销
售，要使利润率为5%．则需打几折？
类型五 比赛积分问题
【例5】（2023·湖南长沙·长沙麓山国际实验学校校考模拟预测）全国青少年校园足球联赛，是国内历史最
久远、覆盖范围最广的中学足球赛事，在小组赛中，每小组有4个队，小组内进行单循环赛（两支球队间
只比赛一场），已知胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分，小组赛结束后，积分前两名（相同积分
比较净胜球）可以进入下一轮比赛．如表是某次小组赛的积分表：
排名 球队 积分
1 甲 6
2 乙 4
3 丙 4
4 丁
如果本小组比赛中只有一场战平，根据此表，可以推断丁队的积分是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式5-1】（2022·河北石家庄·校考模拟预测）在全国足球甲级A组的前11轮比赛中，某队保持不败，
共积累23分．按比赛规则，胜一场得3分，平一场得1分，那么该队胜的场数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【变式5-2】（2022·陕西西安·西安市西光中学校考二模）为有效落实双减工作，切实做到减负提质，很多
学校高度重视学生的体育锻炼，并不定期举行体育比赛．已知在一次足球比赛中，胜一场得3分，平一场
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得1分，负一场得0分，某队在已赛的11场比赛中保持连续不败，共得25分，求该队获胜的场数．
类型六 方案选择问题
【例6】（2023·陕西西安·高新一中校考三模）A、B两家旅行社推出家庭旅游优惠活动，两家旅行社的票
价均为每人90元，但优惠的办法不同，A旅行社的优惠办法是：全家有一人购全票，其余的人半价优惠；
B旅行社的优惠办法是：全家每人均按6折票价优惠．请问当家庭的人数是多少时，两家旅行社的费用相同？
【变式6-1】（2023怀远县二模）现需运送一批货物，有甲、乙两种型号货车可供选择．两种型号货车出
租价格如表：
起步价/元 限定里程/km 超限定里程（元/km）
甲 108 80 3
乙 180 100 2
租用甲种型号货车在限定里程80km内，只需付起步价108元，超过限定里程的部分按3元/km收费，租用
乙种型号货车在限定里程100km内，只需支付起步价180元，超过限定里程的部分按2元/km收费，设里
程为x千米．
（1）当x＞100时，用x分别表示租用甲、乙两种型号货车的费用；
（2）当里程为多少千米时，租用两种型号的货车费用相等？
类型七 数字问题
【例7】（2023·山东滨州·一模）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天
的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图1），将9个数填在3×3（三行三列）的方格中，如果满足
每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图2的方格中
填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则mn=（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
【变式7-1】（2022·浙江杭州·杭州绿城育华学校校考模拟预测）一个两位数的个位数字与十位数字都是x，
如果将个位数字与十位数字分别加2和1，所得的新数比原数大12，则可列的方程是（ ）
A．2x+3=12
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B．10x+2+3=12
C．(10x+x)−10(x+1)−(x+2)=12
D．10(x+1)+(x+2)=10x+x+12
类型八 日历问题
【例8】（2023增城区一模）在一张挂历上，任意圈出同一列上的三个数的和不可能是( )
A．4 B．33 C．51 D．27
【变式8-1】将连续的偶数2，4，6，8，…排成下图所示，若将十字框上下左右移动，可框住五个数，这
五个数的和可能等于（ ）
A．123 B．115 C．240 D．400
【变式8-2】（2023·河北廊坊·校考三模）2023年4月的日历上圈出了相邻的三个数a、b、c，并求出了它
们的和为36，这三个数在日历中的排布不可能是（ ）
A． B． C． D．
类型九 几何问题
【例9】（2023·福建福州·福建省福州第十九中学校考一模）如图，在数轴上，点A、B分别表示数a、b，
且a、b互为相反数，若AB=8，则点A表示的数为（ ）
A．8 B．4 C．0 D．−4
【变式9-1】（2023·广西南宁·一模）学习《设计制作长方体形状的包装纸盒》后，小宁从长方形硬纸片上
截去两个矩形（图中阴影部分），再沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒．纸片长为30cm，宽为18cm，
AD=2AB，则该纸盒的容积为（ ）
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A．960cm3 B．800cm3 C．650cm3 D．648cm3
【变式9-2】如图，把一块长AB为40cm的长方形硬纸板的四角剪去四个边长为5cm的小正方形，然后把
纸板沿虚线折起，做成一个无盖长方体纸盒，若纸盒的体积是1500cm3，则长方形硬纸板的宽为多少？
类型十 和差倍分问题
【例10】（2020·湖南张家界·中考真题）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空：二
人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车：若每
2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x人，可列方程（ ）A．
x+2 x x x−9 x x+9 x−2 x
= −9 B． +2= C． −2= D． = +9
3 2 3 2 3 2 3 2
【变式10-1】（2022·江苏苏州·一模）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童
闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．”其大意是：牧童们在树下拿着竹竿高兴
地玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完．若设牧童有x人，根据题意可
列方程为（ ）
A．6x+14=8x B．6(x+14)=8x C．8x+14=6x D．8(x−14)=6x
【变式10-2】（2022·江苏宿迁·二模）我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题，其题意为：客人一起
分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，还差8两．问银子共有几两？设银子共有x两，则可列方
程为（ ）
x+4 x−8 x−4 x+8
A．7x+4=9x−8 B．7x−4=9x+8 C． = D． =
7 9 7 9
【变式10-3】（2022·广东·中考真题）《九章算术》是我国古代的数学专著，几名学生要凑钱购买1本．
若每人出8元，则多了3元；若每人出7元，则少了4元．问学生人数和该书单价各是多少？
类型十一 行程问题
【例11】（2023·湖北荆州·一模）野鸭从南海起飞，7天飞到北海；大雁从北海起飞，9天飞到南海．现野
鸭与大雁分别从南海和北海同时起飞，问经过多少天相遇？设野鸭与大雁经过x天相遇，根据题意，下面
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所列方程正确的是（ ）
x x x x
A． + =1 B． − =1 C．(7+9)x=1 D．(9−7)x=1
7 9 7 9
【变式11-1】（2023 天水市一模）船在静水中的速度为36千米/时，水流速度为4千米/时，从甲码头到
乙码头再返回甲码头，共用了9小时（中途不停留），设甲、乙两码头的距离为x千米，则下面所列方程
正确的是（ ）
A．(36+4)x+(36−4)(9−x)=1 B．(36+4)x=9
x x x x
C． + =9 D． + =9
36 4 36+4 36−4
【变式11-2】（20223延边州一模）我国元朝数学家朱世杰所著的《算学启蒙》中记载了一道问题，大意
是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？如果
设快马x天可以追上慢马，那么根据题意可列方程为（ ）
A．240x=150(x+12) B．240x=150x+12
C．240(x−12)=150x D．240x=150(x−12)
【变式11-3】（2022·湖南常德·中考真题）小强的爸爸平常开车从家中到小强奶奶家，匀速行驶需要4小
1
时，某天，他们以平常的速度行驶了 的路程时遇到了暴雨，立即将车速减少了20千米／小时，到达奶奶
2
家时共用了5小时，问小强家到他奶奶家的距离是多少千米？
【变式11-4】（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考二模）A、B两地相距300千米，甲车从A地开往B地，乙
车从B地开往A地．已知两车同时出发，乙车的速度是甲车的1.5倍．
(1)若2小时后两车还未相遇，此时两车相距100千米，求甲车的速度；
(2)若乙车中途因故停留了75分钟，从而与甲车同时到达目的地，求甲车的速度．
题型02 利用二元一次方程解决实际问题
类型一 配套问题
【例12】（2023衢州市一模）一种饮料有两种包装，5大盒、3小盒共装150瓶，2大盒、6小盒共装100
瓶，大盒与小盒每盒各装多少瓶？设大盒装x瓶，小盒装y瓶，则可列方程组（ ）
A．¿ B．¿
C．¿ D．¿
【变式12-1】工厂需要用铁皮制作包装盒，每张铁皮可制作盒身15个，或制作盒底20个，一个盒身与两
个盒底配成一套包装盒．现有40张铁皮，设用x张制作盒身，y张制作盒底，恰好配套制成包装盒，则下
列方程组中符合题意的是（ ）
A．¿ B．¿ C．¿ D．¿
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类型二 方案选择问题
【例13】（2022·黑龙江·中考真题）国家“双减”政策实施后，某校开展了丰富多彩的社团活动．某班同
学报名参加书法和围棋两个社团，班长为参加社团的同学去商场购买毛笔和围棋（两种都购买）共花费
360元．其中毛笔每支15元，围棋每副20元，共有多少种购买方案？（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【变式13-1】（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）端午节前夕，某食品加工厂准备将生产的粽子装入A、B
两种食品盒中，A种食品盒每盒装8个粽子，B种食品盒每盒装10个粽子，若现将200个粽子分别装入
A、B两种食品盒中（两种食品盒均要使用并且装满），则不同的分装方式有（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
【变式13-2】（2021·四川泸州·中考真题）某运输公司有A、B两种货车，3辆A货车与2辆B货车一次可
以运货90吨，5辆A货车与4辆B货车一次可以运货160吨．
（1）请问1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货多少吨？
（2）目前有190吨货物需要运输，该运输公司计划安排A、B两种货车将全部货物一次运完(A、B两种货
车均满载)，其中每辆A货车一次运货花费500元，每辆B货车一次运货花费400元．请你列出所有的运输
方案，并指出哪种运输方案费用最少．
类型三 年龄问题
【例14】（2021淮滨县一模）甲是乙现在的年龄时，乙10岁，乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么（
）
A．甲比乙大5岁 B．甲比乙大10岁
C．乙比甲大10岁 D．乙比甲大5岁
【变式14-1】（2021·江苏无锡·一模）一天，小民去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你
还要40年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，125岁了，哈哈！”请你写出小民爷爷到
底是 岁．
【变式14-2】（2022·安徽芜湖·校考一模）已知甲是乙现在的年龄时，乙10岁，乙是甲现在的年龄时，甲
25岁，求甲、乙现在的年龄的差．
类型四 几何问题
【例15】（2023·河北保定·二模）张师傅要制作一个无盖长方体玻璃鱼缸，切割出来的几块玻璃的尺寸如
图所示（单位：dm），则其体积为（ ）
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A．60dm3 B．72dm3 C．74dm3 D．94dm3
【变式15-1】（2021·广东深圳·校考一模）利用两块完全一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按
图①所示的方式放置，再交换两木块的位置，按图②所示的方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度等
于（ ）
A．60cm B．65cm C．70cm D．75cm
【变式15-2】（2023·西藏·中考真题）列方程（组）解应用题：如图，巴桑家客厅的电视背景墙是由10块
形状大小相同的长方形墙砖砌成．
(1)求一块长方形墙砖的长和宽；
(2)求电视背景墙的面积．
类型五 行程问题
【例16】（2020·福建福州·校考模拟预测）甲、乙二人同时同地出发，都以不变的速度在300米环形跑道
上奔跑，若反向而行，每隔20s相遇一次，若同向而行，则每隔300s相遇一次，已知甲比乙跑得快，设甲
每秒跑x米，乙每秒跑y米，则可列方程为（ ）
x+ y=300 x+ y=20
A．{ B．{
x−y=20 x−y=300
20x+20 y=300 20x+300 y=300
C．{ D．{
300x−300 y=300 300x−20 y=300
【变式16-1】（2023·浙江台州·一模）作业本中有这样一道题：“小明去郊游上午9时从家中出发，先走
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平路，然后登山，中午12时到达山顶，原地休息1h后沿原路返回，正好下午3时到家．若他平路每小时
走4km，登山每小时走3km，下山每小时走6km，求小明家到山顶的路程．”小李查看解答时发现答案中
的方程组中有污损，¿，则答案中另一个方程应为（ ）
a b 4a+3b 3+4
A．3a+2b=12 B． + =3 C．a−b=1 D． =
4 3 3 2
【变式16-2】设甲、乙两车在同一直线公路上匀速行驶，开始甲车在乙车的前面，当乙车追上甲车后，两
车停下来，把乙车的货物转给甲车，然后甲车继续前行，乙车向原地返回．设x秒后两车间的距离为y米，
y关于x的函数关系如图所示，则甲车的速度为 （ ）
A．20米/秒 B．25米/秒 C．30米/秒 D．35米/秒
【变式16-3】（2023·黑龙江哈尔滨·一模）甲、乙两车分别从相距200千米的A、B两地相向而行，甲乙两
车均保持匀速行驶，若甲车行驶2小时，乙车行驶3小时，两车恰好相遇：若甲车行驶4小时，乙车行驶1
小时，两车也恰好相遇．
(1)求甲乙两车的速度（单位：千米/小时）是多少．
(2)若甲乙两车同时按原速度行驶了1小时，甲车发生故障不动了，为了保证乙车再经过不超过2小时与甲
车相遇，乙车提高了速度，求乙车提速后的速度至少是每小时多少千米？
类型六 古代问题
【例17】（2023·浙江绍兴·中考真题）《九章算术》中有一题：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、
小器五容二斛．问大、小器各容几何？”译文：今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛（斛：古代
容是单位）；大容器1个，小容器5个，总容暴为2斛．问大容器、小容器的容量各是多少斛？设大容器
的容量为x斛，小容器的容量为y斛，则可列方程组是（ ）
A．¿ B．¿ C．¿ D．¿
【变式17-1】（2023·青海西宁·中考真题）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有木，不知长短，引绳
度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余
4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长x尺，绳长y尺，根据题意列方程组
得（ ）
A．¿ B．¿ C．¿ D．¿
【变式17-2】（2023龙岗区一模）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄
金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：甲
袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．
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两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每
枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得（ ）
A．¿B．¿
C．¿D．¿
【变式17-3】（2022·江苏徐州·中考真题）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，该书第三卷记载：
“今有兽六首四足，禽四首二足，上有七十六首，下有四十六足，问禽、兽各几何？”译文：今有一种6
头4脚的兽与一种4头2脚的鸟，若兽与鸟共有76个头与46只脚．问兽、鸟各有多少？
根据译文，解决下列问题：
(1)设兽有x个，鸟有y只，可列方程组为 ；
(2)求兽、鸟各有多少．
类型七 图表问题
【例18】（2021·湖南邵阳·中考真题）为庆祝中国共产党成立100周年，某校计划举行“学党史·感党恩”
知识竞答活动，并计划购置篮球、钢笔、笔记本作为奖品．采购员刘老师在某文体用品购买了作为奖品的
三种物品，回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不清楚，如图．
请根据图所示的发票中的信息，帮助刘老师复原弄花的数据，即分别求出购置钢笔、笔记本的数量及对应
的金额．
【变式18-1】（2022宜昌市中考诊断）一批货物要运往某地，货主准备租用汽车运输公司的甲、乙两种货
车．已知过去两次租用这两种货车的情况如下表：
第一次 第二次
甲种货车辆数（辆） 2 5
乙种货车辆数（辆） 3 6
累计运货吨数（吨） 15.5 35
现租用该公司3辆甲种货车及5辆乙种货车一次刚好运完这批货，如果按每吨付运费30元计算，问货主应
付运费多少元？
【变式18-2】（2021·贵州贵阳·中考真题）为庆祝“中国共产党的百年华诞”，某校请广告公司为其制作
“童心向党”文艺活动的展板、宣传册和横幅，其中制作宣传册的数量是展板数量的5倍，广告公司制作
每件产品所需时间和利润如下表：
产品 展板 宣传册 横幅
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1 1
制作一件产品所需时间（小时） 1
5 2
制作一件产品所获利润（元） 20 3 10
（1）若制作三种产品共计需要25小时，所获利润为450元，求制作展板、宣传册和横幅的数量；
（2）若广告公司所获利润为700元，且三种产品均有制作．求制作三种产品总量的最小值．
类型八 工程问题
【例19】（2022定安县一模）为了打造环湖风光带，现有一段长为88米的河道清淤任务，由甲、乙两个
工程队先后接力完成．甲工程队每天清理10米，乙工程队每天清理8米，共用时10天，则甲乙工程队各
清理了几天？
【变式19-1】（2021昭通市一模）计划对河道进行改造，现有甲乙两个工程队参加改造施工，受条件限制，
每天只能由一个工程队施工．若甲工程队先单独施工3天，再由乙工程队单独施工5天，则可以完成550米
施工任务：若甲工程队先单独施工2天，再由乙工程对单独施工4天，则可以完成420米的施工任务．
（1）求甲、乙两个工程队平均每天分别能完成多少米施工任务？
（2）该河道全长6000米，若两队合作工期不能超过90天，乙工程队至少施工多少天？
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