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专题 01 集合综合归类
目录
题型一：相等集合.................................................................................................................................................................1
题型二：相等集合求参.........................................................................................................................................................2
题型三：集合中的元素.........................................................................................................................................................2
题型四：集合元素个数求参.................................................................................................................................................3
题型五：子集与真子集关系.................................................................................................................................................4
题型十：并集运算求参.........................................................................................................................................................8
题型十一：补集与全集.........................................................................................................................................................9
题型十二：补集与全集运算求参.......................................................................................................................................10
题型十三：韦恩图应用.......................................................................................................................................................11
题型十四：交并补混合型运算...........................................................................................................................................12
题型十五：交并补综合运算求参.......................................................................................................................................13
题型十六：集合新定义型...................................................................................................................................................14
题型一：相等集合
集合的相关概念
（1）集合元素的三个特性：互异、无序、确定性．
（2）元素与集合的两种关系：属于，记为 ；不属于，记为 ．
（3）集合的四种表示方法：列举法、描述法、韦恩图法、符号法．
1．（2023·浙江·三模）设函数 的定义域与值域都是Ｒ，且单调递增，
，则( )
A． B． C．A=B D．
2．（21-22高三上·浙江金华模拟）已知集合 ，
则满足 且 的集合N的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（23-24高三上·广东深圳·阶段练习）已知集合 ， ，
，则M，N，P的关系为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）已知 ， ，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高三上·贵州遵义·阶段练习）已知 ， ，若集合 ，则
的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
题型二：相等集合求参
1.研究集合问题，要抓住元素，看元素应满足的属性。
2.研究两（多个）集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系。
3.集合相等，是所属元素相同，与顺序无关（互异性），与形式无关（数集中与表示数的范围的字母无
关）
1．（22-23高三 ·江苏苏州·阶段练习）设 ､ ､ 是两个两两不相等的正整数.若 ， ， ，
， ，则 的最小值是（ ）
A．1000 B．1297 C．1849 D．2020
2．（2022·上海杨浦·预测）已知函数 ，记集合 ，集合
，若 ，且都不是空集，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·云南楚雄·模拟预测）已知集合 ， ，若 ，则 的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（23-24高三·江苏常州·模拟）已知函数 ，若非空集合
，满足 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高三·北京·阶段练习）已知函数 ，集合 ，集合
，若 ，且都不是空集，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
题型三：集合中的元素
集合中元素个数判断：
1.若集合是点集，则多是图像交点。
2.若集合是数集，多涉及到一元二次方程的根，以及不等式的解集。
1．（21-22高三上·上海浦东新·阶段练习）已知 是等差数列， ，存在正整数 ，使得， .若集合 中只含有4个元素，则 的可能取值有（ ）个
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（23-24高三·上海嘉定·）已知集合P，Q中都至少有两个元素，并且满足下列条件：①集合P，Q中的
元素都为正数；②对于任意 ，都有 ；③对于任意 ，都有 ；则下列
说法正确的是（ ）
A．若P有2个元素，则Q有3个元素
B．若P有2个元素，则 有4个元素
C．若P有2个元素，则 有1个元素
D．存在满足条件且有3个元素的集合P
3．（2022·全国·模拟预测）若函数 满足对 都有 ，且 为R上
的奇函数，当 时， ，则集合 中的元素个数为
（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
4．（22-23高三·北京·模拟）对于集合 ，给出如下三个结论：①如果
，那么 ；②如果 ，那么 ；③如果 ， ，那么
.其中正确结论的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
5．（22-23高三·山东青岛·阶段练习）对于正实数 ，记 为满足下述条件的函数 构成的集合：
且 ，有 .下列结论中正确的是
A．若 ，则
B．若 且 ，则
C．若 ，则
D．若 且 ，则
题型四：集合元素个数求参
集合元素个数求参，多涉及到数列，三角、解析几何与函数等知识交汇处出题，难度较大，注意相关
基础知识的积累和应用。
1．（23-24高三上·上海·模拟）设 且 ，n为正整数，集合 ．有以下两个命题：
①对任意a，存在n，使得集合S中至少有2个元素；②若存在两个n，使得S中只有1个元素，则 ，
那么（ ）
A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题
C．①、②都是假命题 D．①、②都是真命题
2．（22-23高三·北京·阶段练习）设集合 的最大元素为 ，最小元素为 ，记 的特征值为 ，若集合中只有一个元素，规定其特征值为0.已知 ， ， ，…， 是集合 的元素个数均不相同的非
空真子集，且 ，则 的最大值为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
3．（22-23高三江西南昌·阶段练习）各项互不相等的有限正项数列 ，集合 ，集合
,则集合 中的元素至多有个（ ）.
A． B． C． D．
4．（22-23高三·上海杨浦·阶段练习）已知集合 ，对于它的任一非空子集A，可以将A
中的每一个元素k都乘以 再求和，例如 ，则可求得和为 ，对S
的所有非空子集，这些和的总和为
A．508 B．512 C．1020 D．1024
5．（2023高三·全国·阶段练习）已知函数 ， ， ， ，
集合 只含有一个元素，则实数 的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
题型五：子集与真子集关系
元素与集合以及集合与集合子集关系的判断，解题的关键是正确理解所给的定义及熟练运用分类讨论的
思想进行列举
公式法求有限集合的子集个数
(1)含n个元素的集合有2n个子集．
(2)含n个元素的集合有(2n－1)个真子集．
(3)含n个元素的集合有(2n－1)个非空子集．
(4)含n个元素的集合有(2n－2)个非空真子集．
1．（20-21高三·江苏扬州·阶段练习）已知集合 ，若A，B是P的两个非空子集，则所有满足
A中的最大数小于B中的最小数的集合对(A,B)的个数为（ ）
A．49 B．48 C．47 D．46
2．（22-23高三·湖北武汉·强基 ）设A是集合 的子集，只含有3个元素，且不含相邻的
整数，则这种子集A的个数为（ ）
A．32 B．56 C．72 D．84
3．（22-23高三·湖南常德·阶段练习）设集合 ,对 的任意非空子集A，定义
为集合A中的最大元素，当A取遍 的所有非空子集时，对应的 的和为 ，则
A． B． C． D．
4．（21-22高三·福建福州·）给定全集 ，非空集合 满足 ， ，且集合 中的最大元
素小于集合 中的最小元素，则称 为 的一个有序子集对，若 ，则 的有序
子集对的个数为A．48 B．49 C．50 D．51
5．（2022高三上·河北衡水·专题练习）对于任意两个正整数 ，定义某种运算 ，法则如下：当
都是正奇数时， ；当 不全为正奇数时， ，则在此定义下，集合
的真子集的个数是（ ）
A． B． C． D．
题型六：子集型求参
集合子集求参题型，往往存在着思维和计算的一个“坑”，即若有 ，则要讨论集合B 是否是空
集。
1．（2023·广东深圳·模拟预测）已知 且 ，若集合 ， ，
且 ，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（22-23高三·江苏常州·模拟）对于集合A，B，我们把集合 且 叫做集合A与B的差集，
记作 ．若集合 ，集合 ，且 ，则实数a的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·广东广州·二模）已知 且 ，若集合 ，且 ﹐则
实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．（20-21高三上·湖北模拟）已知集合 ，集合 ，若
，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．5．（22-23高三·上海普陀·模拟）设 .若对任意 ，都存在 ，使得
，则 可以是（ ）
A． B． C． D．
题型七：交集
交集：
1．（23-24高三·上海·模拟）已知函数 ， 为高斯函数，表示不超过实数 的最大整数，
例如 ， .记 ， ，则集合 ，
的关系是（ ）
A． B．
C． D．
2．（22-23高三·上海浦东新·模拟）若X是一个非空集合，M是一个以X的某些子集为元素的集合，且满
足：① ， ；②对于X的任意子集A，B，当 且 时，有 ；③对于X的
任意子集A，B，当 且 时，有 ，则称M是集合X的一个“M-集合类”.例如：
是集合 得一个“M—集合类”.若 ，则所有含 的“M—集合
类”的个数为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
3．（20-21高三·四川眉山·阶段练习）设 ， 与 是 的子集，若 ，则称 为
一个“理想配集”.那么符合此条件的“理想配集”（规定 与 是两个不同的“理想配集”）的
个数是（ ）
A．16 B．9 C．8 D．4
4．（22-23高二上·上海黄浦·阶段练习）已知集合 ，则集合
中元素的个数是（ ）
A．0 B．2 C．4 D．85．（21-22高三·上海模拟）设 ，则所有 的交集为（
）
A． B． C． D．
6.（2024年高考1卷）已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
题型八：交集运算求参
交集运算时，要注意交集运算的一些基本性质：
①A∩B _A；
②A∩B B；
③A∩A＝A；
④A∩ ＝ ；
⑤A∩B=B∩A.
1．（2023·上海普陀·一模）设 、 、 、 、 是均含有 个元素的集合，且 ，
，记 ，则 中元素个数的最小值是（ ）
A． B． C． D．
2．（22-23高三·江苏·模拟）设集合 ， （ ）.
当 有且只有一个元素时，则正数 的所有取值为（ ）
A． 或 B．
C． 或 D． 或
3．（22-23高三·湖北荆门模拟）设函数f（x）＝sin（ωx+φ）， ，
，若存在实数φ，使得集合A∩B中恰好有7个元素，则ω（ω＞0）的取值范围是（
）
A． B． C． D．
4．（2020·山西晋中·一模）函数 ，若存在正实数 ，其中 且 ，使得
，则 的最大值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
5．（2020高二·浙江·专题练习）已知集合 ， ，若 ，且
中恰好有两个整数解，则 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
题型九：并集
并集：
1．（22-23高三·辽宁·阶段练习）已知 ， ，且 ，其中
，若 ， ，且 的所有元素之和为56，求 （ ）
A．8 B．6 C．7 D．4
2．（22-23高三北京·阶段练习）设全集 ， ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（22-23高三上·北京海淀·模拟）已知非空集合 满足以下两个条件：
（ⅰ） ， ；
（ⅱ） 的元素个数不是 中的元素， 的元素个数不是 中的元素，
则有序集合对 的个数为
A． B． C． D．
4．（2022山东威海·模拟）若 ， ，定义 ，
则
A． B． C． D．
5．（2022·全国·模拟预测）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．题型十：并集运算求参
集合并集运算的一些基本性质：
(1)在进行集合运算时，若条件中出现A∪B＝B，应转化为A⊆B，然后用集合间的关系解决问题，并
注意A＝∅的情况．
(2)集合运算常用的性质：
A∪B＝B⇔A⊆B；
1．（22-23高三·湖南长沙·模拟）已知 表示不超过 的最大整数，例如 ， ，方程
的解集为 ，集合 ，且 ，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·全国·模拟预测）已知集合 ，若 ，则实数
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（22-23高三·北京海淀模拟）已知集合 ， ，为使得 ，则实数
a可以是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．e
4．（22-23高三·全国·课后作业）设集合 ， ，若
，则实数a的取值范围是（ ）.
A． B．
C． D．
5．（22-23高三上海浦东新·模拟）已知集合 ，集合 ，若 ，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型十一：补集与全集全集
(1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．
(2)记法：全集通常记作U.
补集
对于一个集合A，由全集U中 不属于集合 A 的所有元素组成的集合称
自然语言
为集合A相对于全集U的补集，记作∁ A
U
符号语言 ∁ A＝ { x | x ∈ U ，且 x ∉ A }
U
图形语言
1．（2021·浙江杭州·模拟预测）定义集合 ，
，则下列判断正确的是（ ）
A．
B．
C．若 ，
，则由 围成的三角形一定是正三角形，且所有正三角形面积
一定相等
D．满足 且 的点 构成区域的面积为
2．（23-24高三·湖北·阶段练习）已知集合 ，则
（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高三上·湖北·模拟）已知M，N均为 的子集，若存在 使得 ，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
4．（22-23高三·北京·模拟）设全集 ，集合 ， ，则
等于（ ）
A． B． C． D．
5．（22-23高三·福建福州·模拟）已知不等式 解集为 ，若不等式
解集为B，则 （ ）A． B． C． D．
6.（2024年全国甲卷理）集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
题型十二：补集与全集运算求参
全集与补集运算的性质：
1．（23-24高三·安徽·阶段练习）已知集合 ， ，若 ，则实数 的取值
范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（22-23高三上·河北唐山·阶段练习）设集合 或 ， ，若 ，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（20-21高三·江苏南京·模拟）已知集合 ， ．若
，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． 或 D．
4．（22-23高三·全国·课后作业）设集合 ，全集 ,若 ,则有（ ）
A． B． C． D．
5．（22-23高三·河北邢台·阶段练习）已知全集 ，集合 ，
若 的元素的个数为4，则 的取值范围为
A． B． C． D．题型十三：韦恩图应用
韦恩图：
（1）表示集合的Venn图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线．
（2）Venn图表示集合时，能够直观地表示集合间的关系，但集合元素的公共特征不明显．
1．（20-21高三·上海浦东新·阶段练习）定义 ，设 、 、 是某集合的三个子集，
且满足 ，则 是 的（ ）
A．充要条件 B．充分非必要条件
C．必要非充分条件 D．既非充分也非必要条件
2．（2024·广东茂名·模拟预测）已知集合 ， ，则图中阴影部分表示的集
合是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·河北·模拟预测）已知集合 ， ，图中阴影部分为集合M，则M
中的元素个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2024高三·全国·专题练习）已知全集 ，集合 ， 满足 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·四川南充·一模）已知全集 ，集合 ， ，则能表示
A，B，U关系的图是（ ）
A． B．C． D．
题型十四：交并补混合型运算
集合的并、交、补运算：
集合的并集 集合的交集 集合的补集
若全集为U，则集合A的补集
符号 记为
，或 ，且
表示
，且
Venn图表
示(阴影部
分)
由全集 中不属于集合 的所
由所有属于集合 或属于集合 由所有属于集合 且属于集
意义 有元素组成的集合
的元素组成的集合 合 的元素组成的集合
1．（22-23高三上·河北衡水模拟）若集合 ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（21-22高三上·河北保定模拟）设集合A、B、C均为非空集合，下列命题中为真命题的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
3．（2023·湖北·模拟预测）从集合 的非空子集中随机取出两个不同的集合A， ，则在
的条件下， 恰有 个元素的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．（2017·四川成都·一模）设集合 ，
，若 ，则实数 的取值范围是（ ）A． B．
C． D．
5．（23-24高三·福建厦门·阶段练习）已知全集 ，集合 ， ，
则（ ）
A． B．
C． D．
6．（多选）（22-23高一上·浙江杭州·模拟）已知集合A中含有6个元素，全集 中共有12个元素，
中有m个元素，已知 ，则集合B中元素个数可能为（ ）
A．2 B．6 C．8 D．12
题型十五：交并补综合运算求参
常用的数集及其记法
（1）全体非负整数 组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N；
（2）所有正整数组成的集合称为正整数集，记作 或 ；
（3）全体整数组成的集合称为整数集，记作Z；
（4）全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q；
（5）全体实数组成的集合称为实数集，记作R．
1．（23-24高三·北京东城·模拟）全集 ， ，定义函数 ，
．设全集为 ， ， ，则下列说法中正确的是（ ）．
①若 ，都有 ，则 ；
②若 ，都有 ，则 ；
③若 ，则 ，都有 ；
④若 ，则 ．
A．①② B．①③ C．①②④ D．③④
2．（22-23高三·陕西西安·阶段练习）已知集合 ， ，且
， ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（21-22高三·湖北襄阳·阶段练习）设全集 ，集合
，若 ，则 的值为（ ）A．4 B．2 C．2或4 D．1或2
4．（2022·云南·模拟预测）设集合 ， ，
，若点 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
题型十六：集合新定义型
“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解
决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看
本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变
才是制胜法宝.
新定义题型，多涉及到“韦恩图”来释义。韦恩图思考时，要从四种位置关系来保证思考的“完备性”
1．（22-23高三·上海宝山·阶段练习）若集合 且 ，则称 构成 的一个二次划分.任
意给定一个正整数 ，可以给出整数集 的一个 次划分 ，其中 表示
除以 余数为 的所有整数构成的集合.这样我们得到集合 ，称作模 的剩余类
集.模 的剩余类集可定义加减乘三种运算，如
，（其中 为
除以 的余数）.根据实数中除法运算可以根据倒数的概念转化为乘法，因此要定义除法运算只需通过
定义倒数就可以了，但不是所有 中都可以定义除法运算.如果该集合还能定义除法运算，则称它能构
成素域.那么下面说法错误的是（ ）
A． 能构成素域当且仅当 是素数 B．
C． 是最小的素域（元素个数最少） D．
2．（2021高三·全国·专题练习）用C(A)表示非空集合A中的元素个数，定义A*B＝
若A＝{1，2}，B＝{x|(x2＋ax)·(x2＋ax＋2)＝0}，且A*B＝1，设实数a的所有可
能取值组成的集合是S，则C(S)等于（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
3．（2020·浙江·高考真题）设集合S，T，S N*，T N*，S，T中至少有两个元素，且S，T满足：①对于任意x，y S，若x≠y，都有xy T
②对于任意x，y T，若x
