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专题 04 一元一次方程与二元一次方程组
考点 1 一元一次方程与二元一次方程组
一、单选题
1．（2021·辽宁锦州·统考中考真题）二元一次方程组 的解是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023年辽宁省营口市中考数学真题）2台大收割机和5台小收割机同时工作2小时共收割小麦3.6公
顷，3台大收割机和2台小收割机同时工作5小时共收割小麦8公顷．1台大收割机和1台小收割机每小时
各收割小麦多少公顷？设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x公顷和y公顷，根据题意，可
列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2020·重庆·统考中考真题）解一元一次方程 时，去分母正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021·江苏淮安·统考中考真题）《九章算术》是古代中国第一部自成体系的数学专著，其中《卷第八
方程》记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱
各几何？”译文是：今有甲、乙两人持钱不知道各有多少，甲若得到乙所有钱的 ，则甲有50钱，乙若得
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到甲所有钱的 ，则乙也有50钱．问甲、乙各持钱多少？设甲持钱数为x钱，乙持钱数为y钱，列出关于
x、y的二元一次方程组是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·四川德阳·统考中考真题）关于x，y的方程组 的解为 ，若点P（a，b）总
在直线y＝x上方，那么k的取值范围是（ ）
A．k＞1 B．k＞﹣1 C．k＜1 D．k＜﹣1
6．（2022年辽宁省营口市中考数学真题）我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》一书是中国较早的数学著
作之一，书中记载一道问题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马
几何追及之？”题意是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，试问快马几天可以追上
慢马？若设快马x天可以追上慢马，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023年浙江省温州市中考数学真题）一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的1.5倍，碳
水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g．设蛋白质、脂肪的含量分别为 ， ，可列出方程为
（ ）
A． B． C． D．
8．（2023年浙江省宁波市中考数学真题）茶叶作为浙江省农业十大主导产业之一，是助力乡村振兴的民
生产业．某村有土地60公顷，计划将其中 的土地种植蔬菜，其余的土地开辟为茶园和种植粮食，已
知茶园的面积比种粮食面积的2倍少3公顷，问茶园和种粮食的面积各多少公顷？设茶园的面积为x公顷，
种粮食的面积为y公顷，可列方程组为( )
A． B． C． D．
9．（2023年江苏省无锡市中考数学真题）下列4组数中，不是二元一次方程 的解是（ ）
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A． B． C． D．
10．（2019·吉林长春·统考中考真题）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：
今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出
九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为 ，买鸡的钱数
为 ，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
11．（2021·广东深圳·统考中考真题）《九章算术》中有问题：1亩好田是300元，7亩坏田是500元，一
人买了好田坏田一共是100亩，花费了10000元，问他买了多少亩好田和坏田？设一亩好田为x元，一亩
坏田为y元，根据题意列方程组得（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
12．（2021·浙江金华·统考中考真题）已知 是方程 的一个解，则m的值是 ．
13．（2021·四川甘孜·统考中考真题）我国古代数学著作 孙子算经 中有“鸡兔同笼”问题，“今有鸡兔
同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”若设鸡有 只，兔有 只，则列出的方程组为
（列出方程组即可，不求解）．
14．（2019·辽宁铁岭·统考中考真题）若x，y满足方程组 ，则 ．
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15．（2019·四川眉山·统考中考真题）已知关于x、y的方程组 的解满足x+y=5，则k的值为
．
16．（2021·贵州遵义·统考中考真题）已知x，y满足的方程组是 ，则x+y的值为 ．
17．（2021·贵州黔西·中考真题）有大小两种货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货 ，5辆大货
车与6辆小货车一次可以运货 ，则3辆大货车与2辆小货车一次可以运货 ．
18．（2022·浙江绍兴·统考中考真题）元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“良马日行二百四十里，驽
马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之．” 其题意为：“良马每天行 里，劣马每
天行 里，劣马先行 天，良马要几天追上劣马？”答：良马追上劣马需要的天数是 ．
19．（2023年河南省中考数学真题）方程组 的解为 ．
20．（2019·上海·中考真题）《九章算术》中有一道题的条件是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小
器五容二斛．”大致意思是：有大小两种盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛
米，依据该条件，1大桶加1小桶共盛＝ 斛米.（注：斛是古代一种容量单位）
21．（2019·山东泰安·统考中考真题）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今
有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：
甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相同，
两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各种多少两？设黄
金重 两，每枚白银重 两，根据题意可列方程组为 .
22．（2019·四川内江·统考中考真题）若 为实数，且 ，则代数式 的最大值
是 ．
三、解答题
23．（2020·辽宁大连·中考真题）某化肥厂第一次运输360吨化肥，装载了6节火车车厢和15辆汽车；第
二次运输440吨化肥，装载了8节火车车厢和10辆汽车．每节火车车厢与每辆汽车平均各装多少吨化肥？
24．（2021·广西桂林·统考中考真题）解一元一次方程：4x﹣1＝2x+5．
25．（2020·黑龙江鹤岗·统考中考真题）某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，
某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克 元，售价每千克16元；乙种
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蔬菜进价每千克 元，售价每千克18元．
（1）该超市购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜5千克需要170元；购进甲种蔬菜6千克和乙种蔬菜10千克
需要200元．求 ， 的值．
（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购
买甲种蔬菜 千克，求有哪几种购买方案．
（3）在（2）的条件下，超市在获得的利润取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出 元，乙种蔬
菜每千克捐出 元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于20%，求 的最大值．
26．（2020·广西·中考真题）解二元一次方程组： ．
27．（2020·四川广安·中考真题）某小区为了绿化环境，计划分两次购进A，B两种树苗，第一次购进A
种树苗30棵，B种树苗15棵，共花费1350元；第二次购进A种树苗24棵，B种树苗10棵，共花费1060
元．（两次购进的A，B两种树苗各自的单价均不变）
（1）A，B两种树苗每棵的价格分别是多少元？
（2）若购买A，B两种树苗共42棵，总费用为W元，购买A种树苗t棵，B种树苗的数量不超过A种树
苗数量的2倍．求W与t的函数关系式．请设计出最省钱的购买方案，并求出此方案的总费用．
28．（2022·辽宁朝阳·统考中考真题）某中学要为体育社团购买一些篮球和排球，若购买3个篮球和2个
排球，共需560元；若购买2个篮球和4个排球，共需640元．
(1)求每个篮球和每个排球的价格分别是多少元；
(2)该中学决定购买篮球和排球共10个，总费用不超过1100元，那么最多可以购买多少个篮球？
29．（2022·江苏淮安·统考中考真题）端午节前夕，某超市从厂家分两次购进 、 两种品牌的粽子，两
次进货时，两种品牌粽子的进价不变．第一次购进 品牌粽子100袋和 品牌粽子150袋，总费用为7000
元；第二次购进 品牌粽子180袋和 品牌粽子120袋，总费用为8100元．
(1)求 、 两种品牌粽子每袋的进价各是多少元；
(2)当 品牌粽子销售价为每袋54元时，每天可售出20袋，为了促销，该超市决定对 品牌粽子进行降价
销售．经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋．当 品牌粽子每袋的销售
价降低多少元时，每天售出 品牌粽子所获得的利润最大？最大利润是多少元？
30．（2019·四川绵阳·统考中考真题）辰星旅游度假村有甲种风格客房15间，乙种风格客房20间．按现
有定价：若全部入住，一天营业额为8500元；若甲、乙两种风格客房均有10间入住，一天营业额为5000
元．
(1)求甲、乙两种客房每间现有定价分别是多少元？
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(2)度假村以乙种风格客房为例，市场情况调研发现：若每个房间每天按现有定价，房间会全部住满；当每
个房间每天的定价每增加20元时，就会有两个房间空闲．如果游客居住房间，度假村需对每个房间每天支
出80元的各种费用．当每间房间定价为多少元时，乙种风格客房每天的利润 最大，最大利润是多少元？
31．（2020·福建·统考中考真题）某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价
为10.5万元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种
特产的销售量之和是100吨，且甲特产的销售量都不超过20吨．
（1）若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各
多少吨？
（2）求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润．
32．（2020·广西玉林·统考中考真题）解方程组：
33．（2021·广西桂林·统考中考真题）为了美化环境，建设生态桂林，某社区需要进行绿化改造，现有甲、
乙两个绿化工程队可供选择，已知甲队每天能完成的绿化改造面积比乙队多200平方米，甲队与乙队合作
一天能完成800平方米的绿化改造面积．
（1）甲、乙两工程队每天各能完成多少平方米的绿化改造面积？
（2）该社区需要进行绿化改造的区域共有12000平方米，甲队每天的施工费用为600元，乙队每天的施工
费用为400元，比较以下三种方案：①甲队单独完成；②乙队单独完成；③甲、乙两队全程合作完成．哪
一种方案的施工费用最少？
34．（2021·西藏·统考中考真题）列方程（组）解应用题
为振兴农村经济，某县决定购买A，B两种药材幼苗发给农民栽种，已知购买2棵A种药材幼苗和3棵B
种药材幼苗共需41元．购买8棵A种药材幼苗和9棵B种药材幼苗共需137元．问每棵A种药材幼苗和每
棵B种药材幼苗的价格分别是多少元？
35．（2022·湖南常德·统考中考真题）小强的爸爸平常开车从家中到小强奶奶家，匀速行驶需要4小时，
某天，他们以平常的速度行驶了 的路程时遇到了暴雨，立即将车速减少了20千米／小时，到达奶奶家时
共用了5小时，问小强家到他奶奶家的距离是多少千米？
36．（2022·四川泸州·统考中考真题）某经销商计划购进 ， 两种农产品．已知购进 种农产品2件，
种农产品3件，共需690元；购进 种农产品1件， 种农产品4件，共需720元．
(1) ， 两种农产品每件的价格分别是多少元？
(2)该经销商计划用不超过5400元购进 ， 两种农产品共40件，且 种农产品的件数不超过B种农产品
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件数的3倍．如果该经销商将购进的农产品按照 种每件160元， 种每件200元的价格全部售出，那么
购进 ， 两种农产品各多少件时获利最多？
37．（2022·浙江绍兴·统考中考真题）计算
(1)计算：6tan30°+（ +1）0- .
(2)解方程组
38．（2022·辽宁·统考中考真题）多功能家庭早餐机可以制作多种口味的美食，深受消费者的喜爱，在新
品上市促销活动中，已知8台A型早餐机和3台B型早餐机需要1000元，6台A型早餐机和1台B型早餐
机需要600元．
(1)每台A型早餐机和每台B型早餐机的价格分别是多少元？
(2)某商家欲购进A，B两种型号早餐机共20台，但总费用不超过2200元，那么至少要购进A型早餐机多
少台？
39．（2022·山东德州·统考中考真题）如图，某小区矩形绿地的长宽分别为35m，15m．现计划对其进行扩
充，将绿地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地．
(1)若扩充后的矩形绿地面积为 ，求新的矩形绿地的长与宽；
(2)扩充后，实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为 ．求新的矩形绿地面积．
40．（2023年江苏省徐州市中考数学真题）（1）解方程组
（2）解不等式组
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41．（2023·广东广州·统考一模）《九章算术》中有一道题的条件是：“今有大器五小器一容三斛，大器
一小器五容二斛．”大致意思是：有大小两种盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛
2斛米，依据该条件，求1个大桶和1个小桶分别可以盛多少斛米？设1个大桶盛 斛米，1个小桶盛 斛
米．可列方程组（ ）
A． B． C． D．
42．（2023·河南郑州·郑州外国语中学校考三模） 九章算术 是中国古代的一本重要数学著作，其中有一
道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重 两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕
的重量各为多少？”解：设雀每只 两，燕每只 两，则可列出方程组为（ ）
A． B．
C． D．
43．（2023·浙江杭州·校考三模）若方程组 的解也是方程 的解，则 的值是（
）
A．6 B．10 C．9 D．
44．（2023·广东江门·校考二模）已知实数x，y满足方程组 ，则 ．
45．（2023·重庆大渡口·统考模拟预测）为进一步改善生态环境，村委会决定在甲、乙、丙三座山上种植
香樟和红枫．在实际购买时，香樟的价格比预算低 ，红枫的价格比预算高 ，香樟购买数量减少了
，红枫购买数量与预算保持不变，结果所花费用恰好与预算费用相等，则实际购买香樟的总费用与
实际购买红枫的总费用之比为 ．
46．（2023·广东广州·统考一模）坚定文化自信，为乡村振兴塑形铸魂．为发展旅游经济，某乡村企业制
作一批“美丽乡村”主题文化衫进行销售．第一批文化衫的制作成本是3000元，面市后文化衫供不应求，
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又用6600元制作了第二批同款文化衫，制作的数量是第一批数量的2倍，但由于原材料涨价，第二批文化
衫每件的成本增加了3元．
(1)该企业制作的第一批文化衫每件的成本是多少元？
(2)两批文化衫标价相同，在季末清仓时，最后30件按6折全部售出．问每件文化衫标价为多少元时，才
能使两批文化衫的销售盈利率等于 ？
注：盈利率＝（销售金额－成本）÷成本
47．（2022·山东德州·统考中考真题）（1）化简： ；
（2）解方程组： ．
48．（2023·广东广州·广州大学附属中学校考一模）解方程组：
49．（2023·浙江·一模）（1）计算： ．
（2）解方程组
50．（2023·湖北孝感·校考三模）在“抗击疫情”期间，某学校工会号召广大教师积极开展了“献爱心捐
款”活动，学校拟用这笔捐款购买A、B两种防疫物品．如果购买A种物品30件，B种物品20件，共需
680元；如果购买A种物品50件，B种物品40件，共需1240元．
(1)求A、B两种防疫物品每件各多少元；
(2)现要购买A、B两种防疫物品共300件，总费用不超过4000元，那么A种防疫物品最少购买多少件？
51．（2023·广东河源·校联考一模）开学前夕，某书店计划购进 A、B 两种笔记本共 350 本．已知 A 种
笔记本的进价为 12 元/本，B 种笔记本的进价为 15 元/本，共计 4800 元．
(1)请问购进了A种笔记本多少本？
(2)在销售过程中，A、B两种笔记本的标价分别为20元/本、25元/本．受疫情影响，两种笔记本按标价各
卖出m本以后，该店进行促销活动，剩余的A种笔记本按标价的七折全部售出，剩余的B种笔记本按成本
价清货，若两种笔记本的总利润不少于2348元，请求出m的最小值．
52．（2023·广东广州·统考一模）“桃之夭夭，灼灼其华”，每年 月份，我区某湿地公园内的桃花陆
续绽放，引来众多市民前往踏青观赏，纷纷拍照留念，记录生活美好时光，小王抓住这一商机，计划从市
场购进 、 两种型号的手机自拍杆进行销售，据调查，购进 件 型号和 件 型号自拍杆共需 元，
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其中 件 型号自拍杆价格是 件 型号自拍杆价格的 倍．
(1)求 件 型号和 件 型号自拍杆的进价各是多少元？
(2)若小王计划购进 、 两种型号自拍杆共 件，并将这两款手机自拍杆分别以 元， 元的价钱进行
售卖，为了保证全部售卖完后的总利润不低于 元，求最多购进 型号自拍杆多少件？
53．（2023·广东佛山·统考一模）我国古代数学著作《九章算术》中记载有这样一个问题：“今有甲、乙
二人，持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲大半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”题目大意是：
今有甲、乙二人，各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的
，那么乙也共有钱50，问甲、乙二人各带了多少钱？
(1)求甲、乙两人各带的钱数；
(2)若小明、小颖去文具店购买作业本，两人带的钱数（单位：元）恰好等于甲、乙两人各带的钱数，已知
作业本的单价为2.5元/本．由于开学之际，文具店搞促销活动，凡消费50元可以打八折，那么他们合起来
购买可以比单独购买多多少本作业本？
54．（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考三模）八年级学生到距学校150km的景区游览．景区提供了快车和
慢车两种车型前往学校接学生到景区，所有车辆均沿同一路线往返．
(1)由于快车有其他接送任务，八年级（1）班学生乘慢车从学校出发时，快车才从景区出发前往学校接八
年级（2）班学生，1.2小时后快车在前往学校的途中与慢车相遇．若快车每小时比慢车多行驶25km，求
慢车的平均速度；
(2)有四名学生负责准备活动道具，在八年级（2）班学生乘快车出发0.5小时后，他们四人才完成准备工作，
学校立即安排一辆小车送他们前往景区．为安全起见，快车接上学生返回景区时速度减慢，结果和小车同
时抵达景区，若小车速度是快车返回景区的速度的1.25倍，求快车返回景区的平均速度．
55．（2023·黑龙江哈尔滨·统考一模）海华商店为庆祝开业要购入一批花篮，若购入2个A型花篮和1个B
型花篮需要680元；若购入1个A型花篮和3个B型花篮需要840元．
(1)求每个A型花篮和每个B型花篮各需多少元；
(2)该商店计划购入两种花篮共20个，总费用不超过4400元，那么至少购进B型花篮多少个？
56．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）（1）解方程组： ；
（2）解不等式：
57．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）为了丰富学生课后服务活动，某中学准备购买足球、排球两种体育用
品，已知购买1个足球和4个排球的费用为190元，购买3个足球和2个排球的费用为220元．
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(1)求每个足球和每个排球各多少元？
(2)该学校若购买足球和排球共60个，且支出不超过2600元，那么足球最多能买多少个？
58．（2023·广东广州·统考一模）解方程组：
59．（2023·河南驻马店·校联考二模）2022年北京冬奥会点燃了人们对冰雪运动的热情，各种有关冬奥会
的纪念品也一度脱销．某实体店购进了甲、乙两种纪念品各20个，共花费720元．已知乙种纪念品每个进
价比甲种纪念品贵4元．
(1)甲、乙两种纪念品每个进价各是多少元？
(2)这批纪念品上架之后很快售罄．该实体店计划按原进价再次购进这两种纪念品共100件，销售官网要求
新购进甲种纪念品数量不低于乙种纪念品数量的 （不计其他成本）．已知甲、乙纪念品售价分别为24
元/个，30元/个．请问实体店应怎样安排此次进货方案，才能使销售完这批纪念品获得的利润最大？
60．（2023·湖北黄石·校考模拟预测）如果方程 有两个实数根 ， ，那么 ，
，请根据以上结论，解决下列问题：
(1)已知 ， 是方程 的二根，则
(2)已知 、 、 满足 ， ，求正数 的最小值．
(3)结合二元一次方程组的相关知识，解决问题：已知 和 是关于 ， 的方程组
的两个不相等的实数解．问：是否存在实数 ，使得 ？若存在，求出的
值，若不存在，请说明理由．
11
