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重难点 10 方程的实际应用模型（一元一次方程的应用、
二元一次方程组的应用、分式方程的应用、一元二次方
程的应用）
题型解读｜模型构建｜真题强化训练｜模拟通关试练
本专题主要对初中阶段的方程应用题型进形总结分析，收集汇总各地市常考的方程应用题型，主要分
为一元一次方程，二元一次方程组，分式方程，一元二次方程几大题型。考试中我们可以看出二元一次方
程组和分式方程考试频率较高。一元一次方程相对基础较为简单，应用题型中出现较少，一元二次方程的
应用综合性较高除了在应用题型中有所体现，在二次函数的应用中也经常出现。本专题根据考试题型分类
归纳总结。
模型01 一元一次方程的应用
考｜向｜预｜测
一元一次方程的应用该题型近年主要以应用题形式出现，一般为应用题型的第一问，难度系数较
小，在各类考试中基本为送分题型。解这类问题的关键是根据题意设未知量、列方程、解方程，其中
列方程是解题的核心，一般需要我们很好的理解题意。
答｜题｜技｜巧
1. 审:弄清题意，分清已知量和未知量，明确各数量间的关系
2. 设:设未知数，并且用含未知数的代数式表示与所列方程有关的数量列:根据题目中的数量关系、相等关
系、倍数关系以及若干倍多或少个数字列方程；
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3. 解:解所列的方程，求出未知数的值以及题目中所要求的相关数量的值验:检验所求的解是否符合题意，
是否符合实际意义。
1. （2023·上海）一项工程，甲单独做需10天完成，乙单独做需6天完成，现由甲先做3天，
乙再加入合做，还需几天完成这项工程？设还需 天完成这项工程，由题意 列方程是（ ）
A． B．
C． D．
1．解一元一次方程 时，去分母正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．方程组 用代入法消去x，所得关于y的一元一次方程为（ ）
A．3－2y－1－4y＝2 B．3(1－2y)－4y＝2
C．3(2y－1)－4y＝2 D．3－2y－4y＝2
3．新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的
“相依方程”，例如：方程 的解为 ，而不等式组 的解集为 ，不难发现
在 的范围内，所以方程 是不等式组 的“相依方程”．
(1)在方程① ；② ；③ 中，不等式组 的“相依方程”是 ；（填序号）
(2)若关于x的方程 是不等式组 的“相依方程”，求k的取值范围．
4．设关于 的一元一次方程
（1）若 是从 四个数中任取的一个数， 是从 两个数中任取的一个数，求上述方程有自然数
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根的概率；
（2）若 是从区间 内任取的一个数，且方程 在 有实根的概率为 ，求出 的值.
5．当 在什么范围内取值时，关于 的一元一次方程 的解满足 ？
6．代数基本定理：任何一个 次复系数多项式方程 至少有一个复根．由此可得如下推论：
推论一：任何一元 次复系数多项式 在复数集中可以分解为 个一次因式的乘积；
推论二：一元 次多项式方程有 个复数根，最多有 个不同的根．即一元一次方程最多有 1个实根，一
元二次方程最多有2个实根等．
推论三：若一个 次方程有不少于 个不同的根，则必有各项的系数均为0．
已知 ．请利用代数基本定理及其推论解决以下问题：
(1)求 的复根；
(2)若 ，使得关于 的方程 至少有四个不同的实根，求 的值；
(3)若 的图像上有四个不同的点 ，以此为顶点构成菱形 ，设 ， ，
求代数式 的值．
模型02 二元一次方程组的应用
考｜向｜预｜测
二元一次方程组应用该题型主要以选择、填空形式出现，难度系数不大，在各类考试中得分率较高。
掌握二元一次方程组的解法是考试的重点，二元一次方程组的解法主要采用消元法，在应用题型中，根据
题意列二元一次方程组相对简单，该题型设两个未知量，两个条件两个方程，相对直观，只要我们在解方
程组的过程中不出现失误，一般不会失分。
答｜题｜技｜巧
1. “审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的
关系，寻找等量关系；
2. “设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数；
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3. “列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两
边是同一类量，单位要统一；
4. “解”就是解方程，求出未知数的值；
5. “答”就是写出答案，注意单位要写清楚．
1．（2024·黑龙江哈尔滨）一种商品有大、小盒两种包装，3大盒、4小盒共装108瓶，2大盒、
3小盒共装76瓶．大盒与小盒各装多少瓶？若设大盒每盒装x瓶，小盒每盒装y瓶，则可列方程组得（
）
A． B． C． D．
1．已知关于x，y的方程组 是二元一次方程组，则k的值为（ ）
A．1或 B．3或 C．3 D．
2．关于 二元一次方程组 的解满足 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 与 的图象分别与 轴交于点 ， ，
则关于 ， 的二元一次方程组 的解为（ ）
A． B．
C． D．
4．如图所示，已知函数 （ 为常数， ）和 （ 为常数， ）的图象
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交于点A，则关于x，y的二元一次方程组 的解是 ．
5．已知关于 的二元一次方程组 的解满足 且 ．
(1)若关于x的不等式组 无解，求所有符合条件的整数a的值；
(2)若 有解，求所有符合条件的整数a的和．
6．解二元一次方程组：
(1)
(2)
7．兴平辣椒是兴平市的特产，具有色泽鲜红、椒身细长、肉厚籽多、皱纹均匀的特点，辣香浓郁，富含
多种维生素、蛋白质和氨基酸，是国家地理标志产品．某超市新店开业，展开促销活动，所有袋装兴平干
辣椒或辣椒面都按标价打八折，买10袋干辣椒和5袋辣椒面只需128元．已知每袋干辣椒的标价比每袋辣
椒面的标价贵4元．求每袋干辣椒、辣椒面的标价分别是多少元？（列二元一次方程组解）
模型03 分式方程的应用
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考｜向｜预｜测
分式方程的应用该题型近年在方程的应用题型中考试较多，了解解分式方程的基本思路和解法，掌握
可化为一元一次方程的分式方程的解法，让学生体会解分式方程过程中的化归思想是本节内容的重心。分
式方程及其应用是中考的必考内容之一，一般着重考查解分式方程及列分式方程解应用题，并要求会用增
根的意义解题，考题常以解答透折考纲题的形式出现,有时也会出现在选择题和填空题中。该题型主要难点
在于设、列、解，属于应用题型的第一问，难度系数不是很大，属于容易得分项。
答｜题｜技｜巧
1. 根据题意设未知量，分式方程只设一个未知量，用一个量表示另一个量；
2. 解分式方程；
3. 检验分式方程的解，看是否为增根，注意不检验会扣分；
4. 答：即写出答案，注意答案完整
1．（2024·山西）我县文化宫向全县中小学生推出“童心读书会”的分享活动．
甲、乙两同学分别从距离活动地点800米和400米的两地同时出发，参加分享活动．甲同学
的速度是乙同学的速度的1.2倍，乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点．若设乙同学的速
度是每分钟x米，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
1．2023年12月8日，山东济南到河南郑州的高速铁路全线通车，将两城之间的“V字形”路线变成了
“一字形”路线，为郑州、济南建设“强省会”提供更多可能．已知通车前从济南西站到郑州东站的路程
约为 ，通车后总路程缩短了 ，速度提升到了原来的2倍，时间缩短了90分钟．设通车前的平
均速度为 ，那么 满足的分式方程为（ ）．
A． B．
C． D．
2．如果关于 的分式方程 有增根，那么 的值为（ ）
A． B． C． D．
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3．若关于 的不等式组 有解且至多有两个偶数解，且关于 的分式方程 的
解为非负整数，则所有满足条件的整数 的值之和是 ．
4．解下列分式方程
(1) ；
(2) ．
5．在数学课上，老师展示两道习题的解答过程：
习题 ：计算：
习题 ：解方程：
解：原式 …第
解：方程两边同乘 ，得 ……
第一步
一步
解得 ……………………………………
……………………………第
第二步
二步
经检验， 是分式方程的解……………
………………………………………
第三步
第三步
(1)解答过程中，习题 从第______步开始出现错误，习题 从第______步开始出现错误；
(2)任选一个习题写出正确的解答过程．
6．“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程”这是我国古代著
名数学家刘徽在《九章算术》对方程一词给出的注释，现有如下两个约定：
（I）方程的整数解称之为“趣根”；
（II）若两个方程存在相同的“趣根”，则称这两个方程为“同源方程”．
已知分式方程 与一元一次方程 ；
请判断方程 是否为“同源方程”，并说明理由．
7．某商厦进货员在广州发现一种饰品，预计能畅销市场，就用8000元购进所有饰品，面市后果然供不应
求．进货员又在上海用13200元购进，这次比在广州多进了100件，但单价比广州贵了 ．
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(1)求两次所购数量分别是多少？（列分式方程求解）
(2)商厦销售这种饰品时每件定价都是58元，最后剩下15件按8折销售，很快售完．在这两笔生意中，商
厦共盈利多少元？（不考虑其它因素）
模型04 一元二次方程应用
考｜向｜预｜测
一元二次方程应用该题型主要是在综合性大题中考试较多，一般情况下出现在应用题型中或者与二次
函数相结合的题型中，具有一定的综合性和难度。掌握一元二次方程的解法是解答本题的基础和关键。一
元二次方程中根的判别式的应用也需要我们重点理解和熟练应用。一元二次方程的解法及根的判别式及其
应用是中考的必考内容之一，一般着重考查解一元二次方程及列方程解应用题。
答｜题｜技｜巧
1. 审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；
2. 设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；
3. 列(根据题目中的等量关系，列出方程)；
4. 解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；
5. 验（检验方程的解能否保证实际问题有意义）
6. 答(写出答案，切忌答非所问).
1．（2023·安徽）某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2022年投入3亿元，预计
2024年投入5亿元，设教育经费的年平均增长率为x，下面所列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
1．已知关于 的一元二次方程 无实数根，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D． 且
2．已知关于 的一元二次方程 ，其中 满足 ，关于该方程根的情况，下
列判断正确的是（ ）
A．无实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
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3．关于 的一元二次方程 ，下列说法：①若 ，则方程一定有两个不相等的实数根；
②若 ，则方程没有实数根；③若 是方程 的一个根，则 ；④若
是方程 的一个根，则 是方程 的一个根．其中正确的是
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．某产品现在售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如果调价，每涨价1元，每星期
要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使每周
利润最大化，并确定x的取值范围？
【销售最大利润问题】先通过价格与利润关系得到二次函数的关系式，根据函数图象及性质求最大值．
（1）设每件涨价x元，则此时每星期少卖 件，实际卖出 件，此时每件产品的销售价为
元，每周产品的销售额 元，此时每周产品的成本 元，因此周利润合计为：
y＝（60＋x）（300－10x）－40×（300－10x）
＝−10x2＋100x＋6000
＝−10（x−5） 2＋6250
当产品单价涨价5元，即售价 元，利润最大，最大利润为 元
（2）设每件降价x元，则此时每星期多卖 件，实际卖出 件，此时每件产品的销售价为
元，每周产品的销售额 元，此时每周产品的成本 元，因此周利润合计为：
y＝（60－x）（300＋20x）－40×（300＋20x）
＝−20x2＋100x＋6000
＝−20（x−2.5）2＋6125
当产品单价降价2.5元，即售价 元，利润最大，最大利润为 元
当产品单价涨价5元，即售价65元，利润最大，最大利润为6250元．
当产品单价降价2.5元，即售价57.5元，利润最大，最大利润为6125元．
综上所述，当涨价5元时利润最大，最大利润6250元
5．已知关于 的一元二次方程 有两个实数根．
(1)若 时，求方程的根；
(2)求m的取值范围．
6．阅读材料，各类方程的解法：
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为 的形式，求解二元一次方程组，把它转化为
一元一次方程来解；类似的，三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组． 求解一元二次方程，把
它转化为两个一元一次方程来解． 求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生
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增根，所以解分式方程必须检验． 各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——
转化，把未知转化为已知．
用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程 ，可以通过因
式分解把它转化为 ，解方程 和 ，可得方程 的解．
(1)问题：方程 的解是： ， ， ；
(2)拓展：用“转化”思想求方程 的解；
(3)应用：如图，已知矩形草坪 的长 ，宽 ，点 在 上（ ），小华把一
根长为 的绳子一段固定在点 ，把长绳 段拉直并固定在点 ，再拉直，长绳的另一端恰好落在点
，求 的长．
7．某校八年级开展社会实践活动， 下表是某小组的活动记录表， 请根据相关信息解决实际问题．
社会实践活动记录表
小组名
活动时间 2024.6
称
小组成
地点 北岸果蔬超市
员
实践内
调查杨梅销售行情； 帮助超市解决销售问题； 同时思考民生获益等事宜．
容
杨梅进价为 40 元/箱．
调研信
当杨梅售价为 50 元/箱时， 每月可销售 500 箱．
息
若每箱售价每上涨 1 元， 则月销售量将减少 10 箱．
问题 1 当销售单价定为每箱 55 元时， 月销售量是多少？
解决问
问题 2 设销售单价为每箱 元，请用 的代数式表示月 销售利润．
题
问题 3 请自行提出一个实际问题，并尝试解决之
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1．如图，已知函数 和 的图象交于点 ，则根据图象可得，关于 、 的二元一次方程组
的解是（ ）
A． B． C． D．
2．文化情境·传统文化 中国古今诗歌中蕴含着很多有趣的数学问题，下列一首古诗歌中就蕴含着方程
的数量关系：“老头提篮去赶集，一共花去七十七；满满装了一菜篮，十斤大肉三斤鱼；买好未曾问单价，
只因回家心里急；道旁行人告诉他，九斤肉钱五斤鱼．”其意思是：老头用77元钱共买了10斤肉和3斤
鱼，9斤肉的钱数等于5斤鱼的钱数，问每斤肉和鱼各是多少钱?如果设每斤肉 元，每斤鱼 元，那么可
列二元一次方程组为（ ）
A． B．
C． D．
3．关于x的一元二次方程 的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．实数根的个数由b的值确定 B．没有实数根
C．两根互为倒数 D．若 ，则两根互为相反数
4．甲、乙两位同学在解一道一元二次方程时，甲同学在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个
根为6和1，乙同学在化简中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为 和 ，则原来的方程是
（ ）
A． B．
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C． D．
5．已知在平面直角坐标系中，直线 （ 、 为常数，且 ）与 （ 、 为常数，且
）交于点 ，则关于 的二元一次方程组 的解为 ．
6．已知关于 的二元一次方程组
(1)用含 的式子表示此方程组的解为________；
(2)若方程组的解满足 ．求实数 的取值范围．
7．我校学生组织冬游活动，交通工具有两座车和五座车两种，两座车每人每次 18元，五座车每人每次8
元，共100名学生参与了活动，乘坐了两种车若干，且每辆车正好坐满．
(1)若一共花去车费1300元，则两种车各租用了多少辆？（列二元一次方程组解决问题）
(2)因场地停车位置有限，只能停靠24辆车．故新提供了大巴车可选择，每辆大巴车可乘坐 7人．若每种
车型必须都租用，请你设计符合要求的租车方案．
(3)若每辆大巴车的租金为30元一次，请你通过计算，找出租金最低的租车方案．
8．（1）解分式方程： ；
（2）先化简，再求值： ，其中 ．
9．【数学与生活】某校八年级的学生去距学校10千米的博物馆开展研学活动，一部分学生骑自行车先走，
过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的 2倍，求骑
车学生的速度．
【学以致用】设骑车学生的速度为x千米/小时，用含有x的式子表示：
(1)汽车的速度为________千米/小时；
(2)骑车学生总共用的时间为________小时，乘汽车的学生总共用的时间为________小时．
(3)请列分式方程并求出骑车学生的速度．
10．下面是小军同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务.
今天在复习方程（组）的概念和解法时，我发现，各类方程的解法有一定的规律，求解
一元一次方程时，把方程转化为 的形式：求解二元一次方程组时，把它转化为一元
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一次方程求解；类似的，解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组求解；解一
元二次方程，把它转化为两个一元一次方程求解；解分式方程，把它转化为整式方程求
解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验.
各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化
为已知，把多元转化成一元，把复杂转化为简单.
运用“转化”的数学思想，我还可以解一些新的方程，
例如，一元三次方程 ，第一步，因式分解： ，第二步，
转化为两个方程：________或________，第三步，解得： ， ， .
(1)问题：将小军求解一元三次方程 过程中的第二步补充完整为________或________；
(2)类比：方程 的解是： ， ________， ________；
(3)拓展：解方程组 ；
(4)应用：如图，已知矩形草坪 的长 ，宽 ，点 在 上 ，小明把一根
长为 的绳子一端固定在点 ，把绳长拉直并固定在 上的一点 处，再拉直绳长的另一端恰好落在
矩形的顶点 处，求 的长．
11．阅读材料，解决问题：配方法是一种重要的数学方法，我们已经学习了用配方法解一元二次方程，并
在此基础上得出了一元二次方程的求根公式．其实配方法还有很多重要的应用，例如我们可以用配方法求
函数的最值以及取得最值的条件，见下面的例子：
例：求函数 的最大值以及取得最大值的条件．解答过程如下：
解：
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ．
∴当 ，即 时， 有最大值，且最大值为 ．
仿照上面的方法，请你解决下面的问题：
(1)已知函数 ，当 ________时，函数有最________值（填“大”或“小”），其最值为
________．
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(2)如图，在 中， ，高 ，内接矩形 的顶点 、 在 上， 、 分别在
、 上，设 ，矩形 的面积为 ，求：
① 关于 的函数关系式；
②矩形 的面积的最大值．
1．若关于x，y的二元一次方程组 的解满足 ，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．定义：可化为其中一个未知数的系数都为 ，另一个未知数的系数互为倒数，并且常数项互为相反数的
二元一次方程组，称为“相关倒反方程组”．如 ．
(1)若关于 的方程组 是“相关倒反方程组”，则 ， ．
(2)若关于 的方程组 可化为“相关倒反方程组”，求该方程组的解．
3．某中学组织师生共 人去参观博物院．阅读下列对话：
李老师：“客运公司有 座和 座两种型号的客车可供租用，且租用 辆 座客车和 辆 座客车到河南
省博物院，一天的租金共计 元．”
小明说：“我们学校八年级师生昨天在这个客运公司租了 辆 座和 辆 座的客车到河南省博物院，一
天的租金共计 元．”
(1)客运公司 座和 座的客车每辆每天的租金分别是多少元？（利用二元一次方程组求解）
(2)若同时租用两种或一种客车，要使每位师生都有座位；且每辆客车恰好坐满，若使用最省钱的租车方式，
则租车费用为 元．
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4．下面是马小虎同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解方程组：
解：① ，得 ．③…（第一步）
② ③，得 ，解得 ，…（第二步）
将 代入①，得 …（第三步）
所以原方程组的解为 …（第四步）
(1)这种求解二元一次方程组的方法叫做______法，以上求解步骤中，马小虎同学从第______步开始出现错
误．
(2)请写出此题正确的解答过程．
5．今年的3月12日植树节当天，某学校组织了该校八年级学生参加“用劳动创造美，让校园更绿色”的
主题教育活动．本次主题教育活动学校购买了相同数量的桃树、梨树树苗，已知购买的桃树和梨树的树苗
分别花费了210元和180元，且已知购买的桃树树苗单价比梨树的树苗单价多5元，请根据题目的相关信
息，提出一个可以用分式方程求解的问题，并进行解答．
6．下面是学习分式方程的应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程．
一艘轮船在静水中的最大航速为 ，它以最大航速沿江顺流航行 所用时间，与以最大航速逆流
航行 所用时间相等，江水的流速为多少？
甲：
乙：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)甲同学所列方程中的 表示________________；
乙同学所列方程中的 表示________________．
(2)两个方程中任选一个，解方程并回答老师提出的问题．
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7．定义：如果关于 的一元二次方程 满足 ，那么我们称这个方程为“有爱方
程”．
(1)判断一元二次方程 是否为“有爱方程”，并说明理由；
(2)若关于 的一元二次方程 为“有爱方程”，证明： 为“有爱方程”的根；
(3)已知 是关于 的“有爱方程”，若 是该“有爱方程”的一个根，求 的值．
8．（ ）解方程：
（ ）下面是小刚同学和小颖同学解一元二次方程 的过程，请仔细阅读并完成相应的任务．
小刚同学：
解： 第 小颖同学：
一步 解： 第一步
第二步
第二步
第三步
第三步
或 第四步
解得
解得 第五步
第四步
任务一：
①小刚同学的解答过程中，从第______步开始出现错误，错误的原因是 ；
②小颖同学的解答过程中，从第______步开始出现错误，错误的原因是 ．
任务二：直接写出该一元二次方程的解．
9．用适当的方法解下列一元二次方程．
(1) ；
(2) ．
10．二次函数 的图象如图所示，根据图象解答下列问题．
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(1)方程 的两个根为____________，不等式 的解集为____________；
(2)若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围为_________；
(3)若关于 的一元二次方程 ，在 的范围内有实数根，求t的取值范围．
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