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重难点 10 方程的实际应用模型（一元一次方程的应用、
二元一次方程组的应用、分式方程的应用、一元二次方
程的应用）
题型解读｜模型构建｜真题强化训练｜模拟通关试练
本专题主要对初中阶段的方程应用题型进形总结分析，收集汇总各地市常考的方程应用题型，主要分
为一元一次方程，二元一次方程组，分式方程，一元二次方程几大题型。考试中我们可以看出二元一次方
程组和分式方程考试频率较高。一元一次方程相对基础较为简单，应用题型中出现较少，一元二次方程的
应用综合性较高除了在应用题型中有所体现，在二次函数的应用中也经常出现。本专题根据考试题型分类
归纳总结。
模型01 一元一次方程的应用
考｜向｜预｜测
一元一次方程的应用该题型近年主要以应用题形式出现，一般为应用题型的第一问，难度系数较
小，在各类考试中基本为送分题型。解这类问题的关键是根据题意设未知量、列方程、解方程，其中
列方程是解题的核心，一般需要我们很好的理解题意。
答｜题｜技｜巧
1. 审:弄清题意，分清已知量和未知量，明确各数量间的关系
2. 设:设未知数，并且用含未知数的代数式表示与所列方程有关的数量列:根据题目中的数量关系、相等关
系、倍数关系以及若干倍多或少个数字列方程；
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3. 解:解所列的方程，求出未知数的值以及题目中所要求的相关数量的值验:检验所求的解是否符合题意，
是否符合实际意义。
1. （2023·上海）一项工程，甲单独做需10天完成，乙单独做需6天完成，现由甲先做3天，
乙再加入合做，还需几天完成这项工程？设还需 天完成这项工程，由题意 列方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：由题意知，甲在这项工程中做了 天，
则得方程： ；
故选：D．
1．解一元一次方程 时，去分母正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】去分母应乘以公分母6，由此判断．
【详解】方程两边同乘以6可得： ．
故选：D．
2．方程组 用代入法消去x，所得关于y的一元一次方程为（ ）
A．3－2y－1－4y＝2 B．3(1－2y)－4y＝2
C．3(2y－1)－4y＝2 D．3－2y－4y＝2
【答案】B
【分析】直接代入消元即可得解；
【详解】解 :方程组 用代入法消去x，
把②代入①得关于y的一元一次方程为 ，
故选：B.
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3．新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的
“相依方程”，例如：方程 的解为 ，而不等式组 的解集为 ，不难发现
在 的范围内，所以方程 是不等式组 的“相依方程”．
(1)在方程① ；② ；③ 中，不等式组 的“相依方程”是 ；（填序号）
(2)若关于x的方程 是不等式组 的“相依方程”，求k的取值范围．
【答案】(1)
(2) ①③
【分析】（1）先解出3个方程的解，然后根据“相依方程”的定义判断即可，
（2）先求出不等式组的解集和方程 的解，再根据“相依方程”的定义列不等式求解.
【详解】（1）①x﹣3＝0，解得：x＝3，
3x+2＝x，解得：x＝﹣1，
2x﹣10＝0，解得：x＝5，
②
③
，∴原不等式组的解集为： ，
∴不等式组 的“相依方程”是：①③，
故答案为：①③；
（2）解不等式 得： ，
解不等式 得： ，
∴原不等式组的解集为： ，
由 ，解得： ，
∵关于x的方程 是不等式组 的“相依方程”，
−1＜ ≤1，解得 ．
∴ 4．设关于 的一元一次方程
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（1）若 是从 四个数中任取的一个数， 是从 两个数中任取的一个数，求上述方程有自然数
根的概率；
（2）若 是从区间 内任取的一个数，且方程 在 有实根的概率为 ，求出 的值.
【答案】（1） ；（2） 或 .
【分析】（1）列出基本事件的总数，求出方有自然数根包含的基本事件的个数，由古典概率公式即可求
解；
（2）方程 的实根为 ，根据 ， 可得 ，再根据有实根的概率
为 列不等式组即可求解.
【详解】（1）若 是从 四个数中任取的一个数， 是从 两个数中任取的一个数，
总共有 ； ； ； ； ； ； ； ，共有 种情况；
其中方程 有自然数根的对应的 取值有： ； ； 共有 种情况；
所以上述方程有自然数根的概率为 .
（2）若 是从区间 内任取的一个数，方程 的实根为 .
若 ，所以 ，因为 ，所以 ，所以 ，
所以 或 或 ，解得 或
5．当 在什么范围内取值时，关于 的一元一次方程 的解满足 ？
【答案】
【分析】先求出方程的解，根据已知方程的解取值范围列出不等式组，再求出不等式组的解集即可.
【详解】解方程 ，得 ，
因为关于 的一元一次方程 的解满足 ，
所以 ，解得 ，
所以当 时，关于 的一元一次方程 的解满足 .
故答案为： .
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6．代数基本定理：任何一个 次复系数多项式方程 至少有一个复根．由此可得如下推论：
推论一：任何一元 次复系数多项式 在复数集中可以分解为 个一次因式的乘积；
推论二：一元 次多项式方程有 个复数根，最多有 个不同的根．即一元一次方程最多有1个实根，一
元二次方程最多有2个实根等．
推论三：若一个 次方程有不少于 个不同的根，则必有各项的系数均为0．
已知 ．请利用代数基本定理及其推论解决以下问题：
(1)求 的复根；
(2)若 ，使得关于 的方程 至少有四个不同的实根，求 的值；
(3)若 的图像上有四个不同的点 ，以此为顶点构成菱形 ，设 ， ，
求代数式 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）化简该方程后借助因式分解结合求根公式计算即可得；
（2）化简方程后借助推论三计算即可得；
（3）设出 中点 ，代入计算后结合推论三可得 点坐标，结合体型菱形对角线垂直计算即可得
解.
【详解】（1）由题意， ，即 ，所以 ，
所以 或 ，对 ，有 ，
即复根有 ；
（2）由题意， ，化简得， ，
由推论三：该方程的解个数多于方程最高次数得 ，解之得 ；
（3）在菱形 中， 与 互相垂直平分，设 中点 ，
由 得 ，所以 ，
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即 ，
化简得： ，
由点 是 的图象上的四个不同的点，故该关于 的方程有四个不同的解，
故 ，解得 ，故 ，
又 ，故
由菱形 ，可得 ，
所以 ，
故 ．
模型02 二元一次方程组的应用
考｜向｜预｜测
二元一次方程组应用该题型主要以选择、填空形式出现，难度系数不大，在各类考试中得分率较高。
掌握二元一次方程组的解法是考试的重点，二元一次方程组的解法主要采用消元法，在应用题型中，根据
题意列二元一次方程组相对简单，该题型设两个未知量，两个条件两个方程，相对直观，只要我们在解方
程组的过程中不出现失误，一般不会失分。
答｜题｜技｜巧
1. “审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的
关系，寻找等量关系；
2. “设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数；
3. “列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两
边是同一类量，单位要统一；
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4. “解”就是解方程，求出未知数的值；
5. “答”就是写出答案，注意单位要写清楚．
1．（2024·黑龙江哈尔滨）一种商品有大、小盒两种包装，3大盒、4小盒共装108瓶，2大盒、
3小盒共装76瓶．大盒与小盒各装多少瓶？若设大盒每盒装x瓶，小盒每盒装y瓶，则可列方程组得（
）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：设大盒装x瓶，小盒装y瓶，根据题意可列方程组为： ，
故选：C．
1．已知关于x，y的方程组 是二元一次方程组，则k的值为（ ）
A．1或 B．3或 C．3 D．
【答案】C
【分析】本题考查的是二元一次方程组的定义，解答时，一定要紧扣二元一次方程组的定义：组成二元一
次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程．根据组成二元
一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程解答．
【详解】解：由题意可得： ，
解得： ．
故选：C．
2．关于 二元一次方程组 的解满足 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查根据方程组的解的情况求参数的范围，解一元一次不等式，将两个方程相加得到
的值，整体代入不等式中，解不等式即可．
【详解】解： ，
，得： ，
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∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ；
故选A．
3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 与 的图象分别与 轴交于点 ， ，
则关于 ， 的二元一次方程组 的解为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了一次函数图象平移问题，坐标与图形变化——平移，两直线的交点与二元一次方
程组的解等知识点，利用一次函数图象的平移规律及坐标平移的变化规律推出“一次函数 的图
象与 轴交于点 ”是解题的关键．
由一次函数图象的平移规律及坐标平移的变化规律可得，一次函数 的图象与 轴交于点 ，
而一次函数 的图象与 轴也交于点 ，于是可得一次函数 与一次函数 图
象的交点为 ，进而可得关于 ， 的二元一次方程组 的解．
【详解】解： 一次函数 的图象与 轴交于点 ，
将一次函数 的图象向下平移 个单位得到一次函数 的图象，
一次函数 的图象与 轴交于点 ，
而一次函数 的图象与 轴也交于点 ，
一次函数 与一次函数 图象的交点为 ，
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关于 ， 的二元一次方程组 的解为 ，
故选： ．
4．如图所示，已知函数 （ 为常数， ）和 （ 为常数， ）的图象
交于点A，则关于x，y的二元一次方程组 的解是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一次函数和二元一次方程组的解，解题的关键是掌握一次函数的交点坐标等于对
应一元二次方程组的解，结合图像即可解答．
【详解】解：二元一次方程组 整理为： ，
由图可知： 的解是 ，
故答案为： ．
5．已知关于 的二元一次方程组 的解满足 且 ．
(1)若关于x的不等式组 无解，求所有符合条件的整数a的值；
(2)若 有解，求所有符合条件的整数a的和．
【答案】(1)所有符合条件的整数a的值有1，2，3，4
(2)所有符合条件的整数a的和为15
【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，解一元一次不等式等知识点，能求出a的
取值范围是解此题的关键．
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（1）先求出方程组和不等式的解集，再求出a的范围，最后得出答案即可；
（2）先求出方程组和不等式的解集，再求出a的范围得出所有符合条件的整数a，最后得出答案即可．
【详解】（1）解：解方程组 得： ，
关于x、y的二元一次方程组的解满足 且 ，
，
解得： ，
，
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
关于x的不等式组 无解，
，
解得： ，
即 ，
∴所有符合条件的整数a的值有1，2，3，4；
（2） ，
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
不等式组有解，
，
即 ，
所有符合条件的整数a有：1，2，3，4，5，
，
所有符合条件的整数a的和为15．
6．解二元一次方程组：
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(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用代入消元法解答即可；
（2）利用加减消元法解答即可．
本题考查了方程组的解法，熟练掌握解方程组的基本步骤是解题的关键．
【详解】（1）解：
把 代入 得 ，
解得 ；
把 代入①解得， ，
故方程组的解为 ．
（2）解： ，
整理，得
得 ，
解得 ，
把 代入①解得， ，
故方程组的解为 ．
7．兴平辣椒是兴平市的特产，具有色泽鲜红、椒身细长、肉厚籽多、皱纹均匀的特点，辣香浓郁，富含
多种维生素、蛋白质和氨基酸，是国家地理标志产品．某超市新店开业，展开促销活动，所有袋装兴平干
辣椒或辣椒面都按标价打八折，买10袋干辣椒和5袋辣椒面只需128元．已知每袋干辣椒的标价比每袋辣
椒面的标价贵4元．求每袋干辣椒、辣椒面的标价分别是多少元？（列二元一次方程组解）
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【答案】每袋干辣椒、辣椒面的标价分别为12元，8元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是正确找到出题中等量关系．
设每袋干辣椒、辣椒面的标价分别为 元， 元，根据“所有袋装兴平干辣椒或辣椒面都按标价打八折，
买10袋干辣椒和5袋辣椒面只需128元．已知每袋干辣椒的标价比每袋辣椒面的标价贵4元．”建立方程
组求解．
【详解】解：设每袋干辣椒、辣椒面的标价分别为 元， 元，
由题意得： ，
解得： ，
答：每袋干辣椒、辣椒面的标价分别为12元，8元．
模型03 分式方程的应用
考｜向｜预｜测
分式方程的应用该题型近年在方程的应用题型中考试较多，了解解分式方程的基本思路和解法，掌握
可化为一元一次方程的分式方程的解法，让学生体会解分式方程过程中的化归思想是本节内容的重心。分
式方程及其应用是中考的必考内容之一，一般着重考查解分式方程及列分式方程解应用题，并要求会用增
根的意义解题，考题常以解答透折考纲题的形式出现,有时也会出现在选择题和填空题中。该题型主要难点
在于设、列、解，属于应用题型的第一问，难度系数不是很大，属于容易得分项。
答｜题｜技｜巧
1. 根据题意设未知量，分式方程只设一个未知量，用一个量表示另一个量；
2. 解分式方程；
3. 检验分式方程的解，看是否为增根，注意不检验会扣分；
4. 答：即写出答案，注意答案完整
1．（2024·山西）我县文化宫向全县中小学生推出“童心读书会”的分享活动．
甲、乙两同学分别从距离活动地点800米和400米的两地同时出发，参加分享活动．甲同学
的速度是乙同学的速度的1.2倍，乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点．若设乙同学的速
度是每分钟x米，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
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C． D．
【答案】D
【详解】解：设乙同学的速度是 米/分，可得：
故选 D．
1．2023年12月8日，山东济南到河南郑州的高速铁路全线通车，将两城之间的“V字形”路线变成了
“一字形”路线，为郑州、济南建设“强省会”提供更多可能．已知通车前从济南西站到郑州东站的路程
约为 ，通车后总路程缩短了 ，速度提升到了原来的2倍，时间缩短了90分钟．设通车前的平
均速度为 ，那么 满足的分式方程为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，根据通车前行驶 所需时间-通车后行驶 所
需时间 ，列方程即可．
【详解】解：设通车前的平均速度为x千米/小时，则通车后运行速度为 千米/小时，
根据题意，得： ，
故选：C．
2．如果关于 的分式方程 有增根，那么 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了分式方程的增根，
先去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，当最简公分母为0时产生增根，可得解．
【详解】解：去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项，合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ．
∵原方程有增根，
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∴ ，
即 ，
解得 ．
故选：B．
3．若关于 的不等式组 有解且至多有两个偶数解，且关于 的分式方程 的
解为非负整数，则所有满足条件的整数 的值之和是 ．
【答案】20
【分析】先计算出不等式组的解集，再根据解的情况判断出 ；然后计算分式方程的解，再结合
其解为非负整数即可求解．
【详解】解： ，
解不等式①，得 ，
解不等式②，得 ，
∴原不等式组的解集为 ，
∵该不等式组至多有两个偶数解，
∴ ，
解得 ，
，
解得 且 ，
∵该方程解为非负整数，
∴ ，13，
∴ ，
故答案为：20．
4．解下列分式方程
(1) ；
(2) ．
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【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是分式方程的解法，掌握分式方程的解法步骤是解本题的关键．
（1）先去分母，把方程化为整式方程，再解整式方程并检验即可；
（2）先去分母，把方程化为整式方程，再解整式方程并检验即可．
【详解】（1）解： ，
去分母得： ，
∴ ，
解得： ；
经检验： 是原方程的解．
（2） ，
去分母得： ，
∴ ，即 ，
解得： ，
经检验： 是原方程的解．
5．在数学课上，老师展示两道习题的解答过程：
习题 ：计算：
习题 ：解方程：
解：原式 …第
解：方程两边同乘 ，得 ……
第一步
一步
解得 ……………………………………
……………………………第
第二步
二步
经检验， 是分式方程的解……………
………………………………………
第三步
第三步
(1)解答过程中，习题 从第______步开始出现错误，习题 从第______步开始出现错误；
(2)任选一个习题写出正确的解答过程．
【答案】(1)二；一
(2)习题 ： ；习题 ：
【分析】（ ）根据计算过程判断即可求解；
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（ ）习题 ：先分母因式分解，再约分，然后进行同分母分式的加法运算即可；
习题 ：按照解分式方程的一般步骤解答即可；
本题考查了分式的加减运算，解分式方程，正确计算是解题的关键．
【详解】（1）解：解答过程中，习题 从第二步开始出现错误，习题 从第一步开始出现错误，
故答案为：二 ， 一；
（2）解：习题 ：原式
；
习题 ：方程两边同乘 ，得 ，
解得 ，
检验：当 时， ，
是原方程的解．
6．“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程”这是我国古代著
名数学家刘徽在《九章算术》对方程一词给出的注释，现有如下两个约定：
（I）方程的整数解称之为“趣根”；
（II）若两个方程存在相同的“趣根”，则称这两个方程为“同源方程”．
已知分式方程 与一元一次方程 ；
请判断方程 是否为“同源方程”，并说明理由．
【答案】不是，见解析
【分析】本题考查了解分式方程和解一元一次方程，熟练掌握解分式方程和解一元一次方程的方法是解答
本题的关键．
解出分式方程和一元一次方程之后，再结合“同源方程”的定义判断即可．
【详解】解：不是，理由如下：
，
方程两边乘以 ，得 ，
解得 ，
检验：当 时， ，
是原方程的增根，
原方程无解，
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方程 没有“趣根”；
，
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
方程方程 有“趣根”，
综上，方程 不是“同源方程”．
7．某商厦进货员在广州发现一种饰品，预计能畅销市场，就用8000元购进所有饰品，面市后果然供不应
求．进货员又在上海用13200元购进，这次比在广州多进了100件，但单价比广州贵了 ．
(1)求两次所购数量分别是多少？（列分式方程求解）
(2)商厦销售这种饰品时每件定价都是58元，最后剩下15件按8折销售，很快售完．在这两笔生意中，商
厦共盈利多少元？（不考虑其它因素）
【答案】(1)广州进货200件，上海进货300件
(2)在这两笔生意中，商厦共盈利7626元
【分析】本题考查了分式方程的应用，有理数混合运算的应用，理解题意正确列方程是解题关键．
（1）设广州进货的单价为 元，根据题意列分式方程求解即可；
（2）根据盈利 单件利润 数量，分别求出两笔生意的盈利求和即可．
【详解】（1）解：设广州进货的单价为 元，则上海进货的单价为 元．
依题意得： ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
，
（件）， （件）；
答：广州进货200件，上海进货300件．
（2）解：商厦共盈利：
（元）；
答：在这两笔生意中，商厦共盈利7626元．
模型04 一元二次方程应用
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一元二次方程应用该题型主要是在综合性大题中考试较多，一般情况下出现在应用题型中或者与二次
函数相结合的题型中，具有一定的综合性和难度。掌握一元二次方程的解法是解答本题的基础和关键。一
元二次方程中根的判别式的应用也需要我们重点理解和熟练应用。一元二次方程的解法及根的判别式及其
应用是中考的必考内容之一，一般着重考查解一元二次方程及列方程解应用题。
答｜题｜技｜巧
1. 审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；
2. 设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；
3. 列(根据题目中的等量关系，列出方程)；
4. 解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；
5. 验（检验方程的解能否保证实际问题有意义）
6. 答(写出答案，切忌答非所问).
1．（2023·安徽）某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2022年投入3亿元，预计
2024年投入5亿元，设教育经费的年平均增长率为x，下面所列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：根据题意，得 ，
故选：A．
1．已知关于 的一元二次方程 无实数根，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D． 且
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，利用一元二次方程根的判别式求解即可，掌握一元二
次方程根的判别式是解题的关键．
【详解】解：∵一元二次方程 无实数根，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
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2．已知关于 的一元二次方程 ，其中 满足 ，关于该方程根的情况，下
列判断正确的是（ ）
A．无实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，利用一元二次方程根的判别式判断根的情况是解题的关键．
由 得到 ，代入到关于 的方程整理得到 ，再利用一元二次方程根的判
别式即可得出结论．
【详解】解： ，
，
代入 到关于 的方程得， ，
整理得： ，
，
关于 的一元二次方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
3．关于 的一元二次方程 ，下列说法：①若 ，则方程一定有两个不相等的实数根；
②若 ，则方程没有实数根；③若 是方程 的一个根，则 ；④若
是方程 的一个根，则 是方程 的一个根．其中正确的是
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的根等知识点，掌握运用一元二次方程
根的判别式判断方程根的情况成为解题的关键．
通过证明 ，即可判断①，证明 ，即可判断②；根据一元二次方程根的定义得到
，则 或 即可判断③；由题意可得 即可判断④．
【详解】解：①对于方程 ，
∴ ，
若 ，则 ，
∴ ，
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∴方程 一定有两个不相等的实数根；故①正确；
②由①可知， ，
若 ，则 ，即 ，则 ，
∴ ，
∴方程没有实数根；故②正确；
③若n是方程 的一个根，则 ，即 ，
∴ 或 ，即 或 ，故③错误；
④若 是方程 的一个根，
∴ ，
∵ ，
∴ 两边同除以 得， ，
即 ，
∴ 是方程 的一个根，故④正确；
综上可知，①②④正确，共3个．
故选：C．
4．某产品现在售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如果调价，每涨价1元，每星期
要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使每周
利润最大化，并确定x的取值范围？
【销售最大利润问题】先通过价格与利润关系得到二次函数的关系式，根据函数图象及性质求最大值．
（1）设每件涨价x元，则此时每星期少卖 件，实际卖出 件，此时每件产品的销售价为
元，每周产品的销售额 元，此时每周产品的成本 元，因此周利润合计为：
y＝（60＋x）（300－10x）－40×（300－10x）
＝−10x2＋100x＋6000
＝−10（x−5） 2＋6250
当产品单价涨价5元，即售价 元，利润最大，最大利润为 元
（2）设每件降价x元，则此时每星期多卖 件，实际卖出 件，此时每件产品的销售价为
元，每周产品的销售额 元，此时每周产品的成本 元，因此周利润合计为：
y＝（60－x）（300＋20x）－40×（300＋20x）
＝−20x2＋100x＋6000
＝−20（x−2.5）2＋6125
当产品单价降价2.5元，即售价 元，利润最大，最大利润为 元
当产品单价涨价5元，即售价65元，利润最大，最大利润为6250元．
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当产品单价降价2.5元，即售价57.5元，利润最大，最大利润为6125元．
综上所述，当涨价5元时利润最大，最大利润6250元
【答案】 10x 60＋x 300－10x（ ） （60＋x）（300－10x） 40 （300－
10x） 65 6250 20x 60＋x 300＋20x（ ） （60－x）（300＋20x）
40 （300＋20x） 57.5 6125
【解析】略
5．已知关于 的一元二次方程 有两个实数根．
(1)若 时，求方程的根；
(2)求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式和因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解法解方程是解
题的关键．
（1）把 代入方程，然后解方程求出方程的解即可；
（2）根据方程根的情况得到 ，求出m的取值范围即可．
【详解】（1）解：把 代入方程 得 ，
解得 ；
（2）解：根据题意得 ，
解得 ．
6．阅读材料，各类方程的解法：
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为 的形式，求解二元一次方程组，把它转化为
一元一次方程来解；类似的，三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组． 求解一元二次方程，把
它转化为两个一元一次方程来解． 求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生
增根，所以解分式方程必须检验． 各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——
转化，把未知转化为已知．
用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程 ，可以通过因
式分解把它转化为 ，解方程 和 ，可得方程 的解．
(1)问题：方程 的解是： ， ， ；
(2)拓展：用“转化”思想求方程 的解；
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(3)应用：如图，已知矩形草坪 的长 ，宽 ，点 在 上（ ），小华把一
根长为 的绳子一段固定在点 ，把长绳 段拉直并固定在点 ，再拉直，长绳的另一端恰好落在点
，求 的长．
【答案】(1) ，
(2)
(3)
【分析】本题考查了转化的思想方法，一元二次方程的解法．解无理方程是注意到验根．
（1）首先提出 ，然后因式分解多项式，然后得结论；
（2）两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，注意验根；
（3）设 的长为 ，根据勾股定理和 ，可列出方程，由于方程含有根号，两边平方，把
无理方程转化为整式方程，求解即可．
【详解】（1）解： ，
，
∴ 或 或 ，
故答案为： ， ；
（2）解：
方程的两边平方，得 ，
即 ，
，
∴ 或 ，
∴ ， ，
当 时， ，
所以 不是原方程的解．
所以方程 的解是 ；
（3）因为四边形 是矩形，
所以 ， ，
设 ，则 ，
因为 ，
， ，
，
，
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两边平方，得
整理，得
两边平方并整理，得
解得 或 不合题意，舍去此时
经检验， 是方程的解．
答： 的长为 ．
7．某校八年级开展社会实践活动， 下表是某小组的活动记录表， 请根据相关信息解决实际问题．
社会实践活动记录表
小组名
活动时间 2024.6
称
小组成
地点 北岸果蔬超市
员
实践内
调查杨梅销售行情； 帮助超市解决销售问题； 同时思考民生获益等事宜．
容
杨梅进价为 40 元/箱．
调研信
当杨梅售价为 50 元/箱时， 每月可销售 500 箱．
息
若每箱售价每上涨 1 元， 则月销售量将减少 10 箱．
问题 1 当销售单价定为每箱 55 元时， 月销售量是多少？
解决问
问题 2 设销售单价为每箱 元，请用 的代数式表示月 销售利润．
题
问题 3 请自行提出一个实际问题，并尝试解决之
【答案】问题1：450箱；问题2： ；问题3：见解析
【分析】问题1：由题意列式计算即可；
问题2：设销售单价为每箱 元，则月销售量为 箱，每箱的销售利润为 元，即
可解决问题；
问题3：由题意提出问题，再解答即可．
本题考查了一元二次方程的应用、列代数，解题的关键：（1）正确列式计算；（2）找出数量关系，正确
列出列代数式表达式；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
【详解】解：问题1：依题意，当销售单价定为每箱55元时，月销售量是 （箱 ；
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问题2：依题意，设销售单价为每箱 元，
则月销售量为 箱
每箱的销售利润为 元，
月销售利润 元
问题3：依题意，提出问题：若该超市将当月的获利目标定为8000元，且尽可能的让利顾客，那么销售单
价应定为每千克多少元？
解答如下：
由题意得： ，
整理得： ，
解得： ， （不符合题意，舍去），
答：销售单价应定为每千克60元．
1．如图，已知函数 和 的图象交于点 ，则根据图象可得，关于 、 的二元一次方程组
的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未
知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次
函数图象的交点坐标．
由图可知：两个一次函数的交点坐标为 ；那么交点坐标同时满足两个函数的解析式，而所求的方程
组正好是由两个函数的解析式所构成，因此两函数的交点坐标即为方程组的解．
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【详解】解：函数 和 的图象交于点 ，
即 ， 同时满足两个一次函数的解析式．
所以关于 ， 的方程组 的解是 ．
故选：B．
2．文化情境·传统文化 中国古今诗歌中蕴含着很多有趣的数学问题，下列一首古诗歌中就蕴含着方程
的数量关系：“老头提篮去赶集，一共花去七十七；满满装了一菜篮，十斤大肉三斤鱼；买好未曾问单价，
只因回家心里急；道旁行人告诉他，九斤肉钱五斤鱼．”其意思是：老头用77元钱共买了10斤肉和3斤
鱼，9斤肉的钱数等于5斤鱼的钱数，问每斤肉和鱼各是多少钱?如果设每斤肉 元，每斤鱼 元，那么可
列二元一次方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二元一次方程组，找准等量关系是解题关键．根据老头用 77元钱共买了10斤肉和3
斤鱼，9斤肉的钱数等于5斤鱼的钱数列出方程组即可得．
【详解】解：由题意，列二元一次方程组为 ，
故选：B．
3．关于x的一元二次方程 的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．实数根的个数由b的值确定 B．没有实数根
C．两根互为倒数 D．若 ，则两根互为相反数
【答案】D
【分析】本题主要考查了根的判别式，利用一元二次方程根的判别式即可解决问题．
【详解】解：由题知，
所以此一元二次方程有两个不相等的实数根，
两根之积等于 ，
当 时，方程变形为 ，解得 或 ，即两根互为相反数，
故选：D．
4．甲、乙两位同学在解一道一元二次方程时，甲同学在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个
根为6和1，乙同学在化简中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为 和 ，则原来的方程是
（ ）
A． B．
C． D．
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【答案】B
【分析】本题主要考查了根与系数的关系及一元二次方程的解，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题
的关键．设原来的方程为 ，再利用根与系数的关系得出关于 ， 及 ， 之间的关系
式即可解决问题．
【详解】解：设原来的方程为 ，
由题知，
， ，
所以 ， ，
所以原来的方程为 ，
则 ．
故选：B．
5．已知在平面直角坐标系中，直线 （ 、 为常数，且 ）与 （ 、 为常数，且
）交于点 ，则关于 的二元一次方程组 的解为 ．
【答案】
【分析】直线 （ 、 为常数，且 ）与 （ 、 为常数，且 ）交于点
，根据交点的意义，得到方程组的解．
本题考查了一次函数的交点，方程组的解与一次函数交点的关系，熟练掌握关系是解题的关键．
【详解】解：∵直线 （ 、 为常数，且 ）与 （ 、 为常数，且 ）交于点
∴方程组 的解为 ，
故答案为： ．
6．已知关于 的二元一次方程组
(1)用含 的式子表示此方程组的解为________；
(2)若方程组的解满足 ．求实数 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
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【分析】本题考查加减消元法解二元一次方程组、解一元一次不等式等知识，熟练掌握解二元一次方程组、
解一元一次不等式的方法步骤是解决问题的关键．
（1）利用加减消元法先求出 ，再将 只代入二元一次方程组中的其中一个方程求解 即可得到答案；
（2）由（1）知 ，将 的值代入 解一元一次不等式即可得到答案．
【详解】（1）解： ，
由① ②得 ，
解得 ；
将 代入②得 ；
原方程组的解为 ，
故答案为： ；
（2）解：由（1）知 ，
，
，
解得 ．
7．我校学生组织冬游活动，交通工具有两座车和五座车两种，两座车每人每次 18元，五座车每人每次8
元，共100名学生参与了活动，乘坐了两种车若干，且每辆车正好坐满．
(1)若一共花去车费1300元，则两种车各租用了多少辆？（列二元一次方程组解决问题）
(2)因场地停车位置有限，只能停靠24辆车．故新提供了大巴车可选择，每辆大巴车可乘坐 7人．若每种
车型必须都租用，请你设计符合要求的租车方案．
(3)若每辆大巴车的租金为30元一次，请你通过计算，找出租金最低的租车方案．
【答案】(1)租用两座车共25辆，租用五座车共10辆
(2)租车方案有3种：方案一：乘2人的车8辆，乘5人的车14辆，乘7人的车2辆．方案二：乘2人的车
10辆，乘5人的车9辆，乘7人的车5辆．方案三：乘2人的车12辆，乘5人的车4辆，乘7人的车8辆．
(3)方案三：乘2人的车12辆，乘5人的车4辆，乘7人的车8辆，租金最低为832元
【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用、二元一次方程组的应用、有理数混合运算等知识点，正确
列出方程组和二元一次方程成为解题的关键．
（1）设租用的两座车共能坐学生a人，租用的五座车共能坐学生b人，根据共100名学生参与了活动，一
共花去车费1300元列方程组求解即可；
（2）设租用两座车x辆，五座车y辆，则租用大巴车 辆，再根据共100名学生参与了活动，据
此列二元一次方程求解即可；
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（3）分别求出三种方案的费用，然后再比较即可解答．
【详解】（1）解：设租用的两座车共能坐学生a人，租用的五座车共能坐学生b人，
根据题意； ，
得： ，解得： ，
将 代入①得： ，解得： ，
则 （辆）， （辆）．
答：租用两座车共25辆，租用五座车共10辆．
（2）解：设租用两座车x辆，五座车y辆，则租用大巴车 辆，
根据题意： ，即 ，
为非负整数，且 ，解得： 或 或 ，
则大巴车租用的数量依次为： ，
则租车方案有3种：
方案一：乘2人的车8辆，乘5人的车14辆，乘7人的车2辆．
方案二：乘2人的车10辆，乘5人的车9辆，乘7人的车5辆．
方案三：乘2人的车12辆，乘5人的车4辆，乘7人的车8辆．
（3）解：方案一：租金为 （元）；
方案二：租金为 （元）；
方案三：租金为 （元）；
，
方案三：乘2人的车12辆，乘5人的车4辆，乘7人的车8辆，租金最低为832元．
8．（1）解分式方程： ；
（2）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】（1） ；（2） ，1
【分析】本题考查的是分式方程的解法，分式的化简求值，掌握“解分式方程的步骤与方法以及分式的混
合运算的运算顺序”是解本题的关键．
（1）先去分母，再去括号，合并同类项，最后把未知数的系数化“1”即可得到答案；
（2）先计算括号内的分式的加法运算，再计算乘法运算得到化简的结果，最后把 代入化简后的结果
进行计算即可．
【详解】解：（1）
去分母得： ，
解得： ，
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检验：当 时 ，
∴分式方程的解为： ；
（2）
，
当 时，原式 ．
9．【数学与生活】某校八年级的学生去距学校10千米的博物馆开展研学活动，一部分学生骑自行车先走，
过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的 2倍，求骑
车学生的速度．
【学以致用】设骑车学生的速度为x千米/小时，用含有x的式子表示：
(1)汽车的速度为________千米/小时；
(2)骑车学生总共用的时间为________小时，乘汽车的学生总共用的时间为________小时．
(3)请列分式方程并求出骑车学生的速度．
【答案】(1)
(2) ，
(3)骑车同学的速度为
【分析】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程，注
意不要忘记检验．
（1）设骑车学生的速度为x千米/小时，根据汽车的速度是骑车学生速度的2倍，可得出答案；
（2）用代数式分别表示出骑车学生总共用的时间及乘汽车的学生总共用的时间为；
（3）根据题意可得等量关系：骑自行车同学所用时间 乘汽车同学所用时间 分钟，根据等量关系列出
方程，再解即可．
【详解】（1）解：设骑车学生的速度为x千米/小时，根据汽车的速度是骑车学生速度的2倍，得出汽车
的速度为 千米/小时，
故答案为： ；
（2）解：根据题意，可得骑车学生总共用的时间为 小时，乘汽车的学生总共用的时间为 小时．
故答案为： ， ；
（3）由题意得： ，
解得 ，
经检验： 是所列方程的解，且符合实际意义，
答：骑车同学的速度为 ．
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10．下面是小军同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务.
今天在复习方程（组）的概念和解法时，我发现，各类方程的解法有一定的规律，求解
一元一次方程时，把方程转化为 的形式：求解二元一次方程组时，把它转化为一元
一次方程求解；类似的，解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组求解；解一
元二次方程，把它转化为两个一元一次方程求解；解分式方程，把它转化为整式方程求
解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验.
各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化
为已知，把多元转化成一元，把复杂转化为简单.
运用“转化”的数学思想，我还可以解一些新的方程，
例如，一元三次方程 ，第一步，因式分解： ，第二步，
转化为两个方程：________或________，第三步，解得： ， ， .
(1)问题：将小军求解一元三次方程 过程中的第二步补充完整为________或________；
(2)类比：方程 的解是： ， ________， ________；
(3)拓展：解方程组 ；
(4)应用：如图，已知矩形草坪 的长 ，宽 ，点 在 上 ，小明把一根
长为 的绳子一端固定在点 ，把绳长拉直并固定在 上的一点 处，再拉直绳长的另一端恰好落在
矩形的顶点 处，求 的长．
【答案】(1) ，
(2)
(3)
(4) 的长为
【分析】本题主要考查一元二次方程，勾股定理，解方程的转化思想解复杂方程（组）的解法等知识的综
合，
（1）根据一元一次方程，一元二次方程的概念及形式即可求解；
（2）根据材料提示，先提取公因式 ，运用因式分解法解一元二次方程 即可求解；
（3）把 变形得 代入 ，再运用材料提示的方法进行计算即可求解；
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（4）设 ，则 ，根据矩形的性质，勾股定理在 中，求出 ，在
中，求出 ，再根据 ，及材料提示的方法进行计算即可求解．
【详解】（1）解： 是一元一次方程， 是一元二次方程，
故答案为： ；
（2）解： ，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（3）解： ，
由②得， ，
把③代入①得， ，整理得， ，
∴ ，
解得， ，
∴ ，
∴原方程组的解为 ；
（4）解：设 ，则 ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
在 中， ，即 ，则
在 中， ，即 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
，
等式两边同时平方得， ，整理得， ，
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等式两边同时平方，整理得， ，
解得， ，
∴ 或 ，则对应的 或 ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的长为 ．
11．阅读材料，解决问题：配方法是一种重要的数学方法，我们已经学习了用配方法解一元二次方程，并
在此基础上得出了一元二次方程的求根公式．其实配方法还有很多重要的应用，例如我们可以用配方法求
函数的最值以及取得最值的条件，见下面的例子：
例：求函数 的最大值以及取得最大值的条件．解答过程如下：
解：
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ．
∴当 ，即 时， 有最大值，且最大值为 ．
仿照上面的方法，请你解决下面的问题：
(1)已知函数 ，当 ________时，函数有最________值（填“大”或“小”），其最值为
________．
(2)如图，在 中， ，高 ，内接矩形 的顶点 、 在 上， 、 分别在
、 上，设 ，矩形 的面积为 ，求：
① 关于 的函数关系式；
②矩形 的面积的最大值．
【答案】(1) ；小；
(2) ；②
【分
①
析】（1）根据所给的例题，应用配方法即可求出 的最值；
（2）①证明 ，根据相似三角形的相比等于高的比，可得 ，分别求出 ， ，
即可求矩形 的面积的函数表达式；
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②根据所给的例题，应用配方法即可求出矩形 的面积的最大值．
【详解】（1）解： ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴当 ，即 时， 有最小值，其最小值为 ，
故答案为： ；小； ；
（2）解：①设 交 于 ，
∵四边形 是矩形， ，
∴ ， ，
∴四边形 为矩形，
∴ ， ，即 ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ， ， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 关于 的函数关系式为 ；
②由①知： ，
∵ ，
∴ ，
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∴ ，
即 ，
∴当 ，即 时， 有最大值，其最大值为 ，
∴矩形 的面积的最大值为 ．
1．若关于x，y的二元一次方程组 的解满足 ，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查二元一次方程组，一元一次不等式求解，根据题意，把a看作已知数表示出方程组
的解，代入已知不等式求出a的范围即可．
【详解】解： ，
得： ，
整理得： ，
∵ ，
∴ ，
解得
故选：D．
2．定义：可化为其中一个未知数的系数都为 ，另一个未知数的系数互为倒数，并且常数项互为相反数的
二元一次方程组，称为“相关倒反方程组”．如 ．
(1)若关于 的方程组 是“相关倒反方程组”，则 ， ．
(2)若关于 的方程组 可化为“相关倒反方程组”，求该方程组的解．
【答案】(1) ， ；
(2) ．
【分析】（1）根据“相关倒反方程组”的定义即可求解；
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（2）先把 化为“相关倒反方程组”，根据“相关倒反方程组”的定义求出 的值，然后解
二元一次方程组即可；
本题考查了二元一次方程组的解法及新定义，理解新定义，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
【详解】（1）解：若关于 的方程组 是“相关倒反方程组”，则 ， ，
故答案为： ， ；
（2）解：根据题意 得：原方程组化为“相关倒反方程组”是 ，
所以 ， ，
所以 ， ，
所以原方程组为 ，
解得 ．
3．某中学组织师生共 人去参观博物院．阅读下列对话：
李老师：“客运公司有 座和 座两种型号的客车可供租用，且租用 辆 座客车和 辆 座客车到河南
省博物院，一天的租金共计 元．”
小明说：“我们学校八年级师生昨天在这个客运公司租了 辆 座和 辆 座的客车到河南省博物院，一
天的租金共计 元．”
(1)客运公司 座和 座的客车每辆每天的租金分别是多少元？（利用二元一次方程组求解）
(2)若同时租用两种或一种客车，要使每位师生都有座位；且每辆客车恰好坐满，若使用最省钱的租车方式，
则租车费用为 元．
【答案】(1) 座客车每辆每天的租金为 元， 座客车每辆每天的租金为 元
(2)
【分析】此题主要考查了二元一次方程（组）的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条
件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
（1）设 座客车每辆每天的租金为 元， 座客车每辆每天的租金为 元，根据题意列出方程组即可求
解；
（2）设租 辆 座客车， 辆 座客车，则 ，根据 ， 都是非负整数，即可得到租金
的值，进相比较即可得出结论．
【详解】（1）解：设 座客车每辆每天的租金为 元， 座客车每辆每天的租金为 元，
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根据题意得： ，
解得： ，
答： 座客车每辆每天的租金为 元， 座客车每辆每天的租金为 元；
（2）解：设租 辆 座客车， 辆 座客车，
根据题意得： ，
，
， 都是非负整数，
， ， ，
租金为 ，
当 时， （元 ；
当 时， （元 ；
当 时， （元 ；
有三种方案，其中 座客车租8辆时最省钱，为 元，
故答案为： ．
4．下面是马小虎同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解方程组：
解：① ，得 ．③…（第一步）
② ③，得 ，解得 ，…（第二步）
将 代入①，得 …（第三步）
所以原方程组的解为 …（第四步）
(1)这种求解二元一次方程组的方法叫做______法，以上求解步骤中，马小虎同学从第______步开始出现错
误．
(2)请写出此题正确的解答过程．
【答案】(1)加减消元法，第二步
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(2)见解析
【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握方程组的解法是解题的关键．
（1）根据解方程组的特点判断，注意系数化为1时的计算．
（2）按照解方程组的步骤求解即可
【详解】（1）解：根据解题步骤分析，这种求解方程组的方法是加减消元法，在第二步合并同类项出错，
故答案为：加减消元法，第二步．
（2）解：方程组：
解：① ，得 ……③ ，
② ③，得 ，
解得 ．
将 代入①，得3 ．
解得x= ．
所以，原方程组的解为 ．
5．今年的3月12日植树节当天，某学校组织了该校八年级学生参加“用劳动创造美，让校园更绿色”的
主题教育活动．本次主题教育活动学校购买了相同数量的桃树、梨树树苗，已知购买的桃树和梨树的树苗
分别花费了210元和180元，且已知购买的桃树树苗单价比梨树的树苗单价多5元，请根据题目的相关信
息，提出一个可以用分式方程求解的问题，并进行解答．
【答案】问题：桃树树苗的单价是多少？桃树树苗的单价为35元
【分析】本题考查分式方程的应用，问题：桃树树苗的单价是多少？设桃树树苗的单价为x元，则梨树树
苗的单价为 元，由题意：购买了相同数量的桃树、梨树树苗，已知购买的桃树和梨树的树苗分别花
费了210元和180元，列出分式方程，解方程即可．
【详解】解：问题：桃树树苗的单价是多少？
设桃树树苗的单价为x元，则梨树树苗的单价为 元，
根据题意，得： ，
解得： ，
经检验， 是所列方程的根，且符合题意，
答：桃树树苗的单价为35元．
6．下面是学习分式方程的应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程．
一艘轮船在静水中的最大航速为 ，它以最大航速沿江顺流航行 所用时间，与以最大航速逆流
航行 所用时间相等，江水的流速为多少？
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甲：
乙：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)甲同学所列方程中的 表示________________；
乙同学所列方程中的 表示________________．
(2)两个方程中任选一个，解方程并回答老师提出的问题．
【答案】(1)江水的流速；轮船以最大航速沿江顺流航行 所用时间（或轮船以最大航速逆流航行
所用时间）
(2)解方程见解析，江水的流速为 ；
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，关键是正确理解题意，找出题目中等量关系，然后列出方
程．
（1）根据“最大航速沿江顺流航行 |所用时间，与以最大航速逆流航行 所用时间相等”，建立
方程，故甲方程未知数为：江水的流速，乙方程未知数为轮船以最大航速沿江顺流航行 所用时间
（或轮船以最大航速逆流航行 所用时间）；
（2）对分式方程进行求解，检验即可．
【详解】（1）解：根据“所用时间相等”，建立的方程，故 ，等式的左边和右边均表示所
用的时间，则 和 分别表示“最大航速”顺流航行和“最大航速”逆流航行，故未知数为：江水
的流速；
根据“顺流的速度 逆流的速度 静水的速度”，建立的方程，故 和 分别表示“顺流航行的速
度”和“逆流航行的速度”，故未知数为：轮船以最大航速沿江顺流航行 所用时间（或轮船以最大
航速逆流航行 所用时间）；
故答案为：江水的流速；轮船以最大航速沿江顺流航行 所用时间（或轮船以最大航速逆流航行
所用时间）．
（2）解：
去分母得： ，
解得 ，
检验，当 时， ，
∴ 是原方程的解，
∴江水的流速为 ；
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去分母得： ，
解得 ，
检验，当 时， ，
∴ 是原方程的解，
∴ ，
∴江水的流速为 ．
7．定义：如果关于 的一元二次方程 满足 ，那么我们称这个方程为“有爱方
程”．
(1)判断一元二次方程 是否为“有爱方程”，并说明理由；
(2)若关于 的一元二次方程 为“有爱方程”，证明： 为“有爱方程”的根；
(3)已知 是关于 的“有爱方程”，若 是该“有爱方程”的一个根，求 的值．
【答案】(1)一元二次方程 是“有爱方程”，见解析
(2)见解析
(3) 或
【分析】本题考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的一般形式、用十字相乘分解因式法解一元
二次方程是解题的关键．
（1）将一元二次方程 化为一元二次方程的一般形式，再根据“有爱方程”的定义判断即可；
（2）根据“有爱方程”的定义得到 、 、 的数量关系，将 用含 和 的代数式表示出来并代入方程，
再利用十字相乘法分解因式证明即可；
（3）根据“有爱方程”的定义得到各系数之间的数量关系，将常数项用含 的代数式表示出来并代入原方
程，并把 代入，得到关于 的一元二次方程，再利用十字相乘分解因式法求解即可．
【详解】（1）解：一元二次方程 是“有爱方程”．理由如下：
，
，
，
， ， ，
，
一元二次方程 是“有爱方程”．
（2）证明： 关于 的一元二次方程 为“有爱方程”，
，
，
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，
为“有爱方程”的根．
（3） 是关于 的“有爱方程”，
，
，
是该“有爱方程”的一个根，
，
，
或 ．
8．（ ）解方程：
（ ）下面是小刚同学和小颖同学解一元二次方程 的过程，请仔细阅读并完成相应的任务．
小刚同学：
解： 第 小颖同学：
一步 解： 第一步
第二步
第二步
第三步
第三步
或 第四步
解得
解得 第五步
第四步
任务一：
①小刚同学的解答过程中，从第______步开始出现错误，错误的原因是 ；
②小颖同学的解答过程中，从第______步开始出现错误，错误的原因是 ．
任务二：直接写出该一元二次方程的解．
【答案】（ ） ；（ ）任务一：①二，方程两边同时除以可能为 的代数式 ；②三，
去括号时，括号前面是负号， 中的 没有变号；任务二： ，
【分析】（ ）利用因式分解法解答即可求解；
（ ）任务一：①根据等式的性质即可判断求解；②根据去括号法则即可判断求解；
任务二：利用因式分解法解方程即可求解；
本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
【详解】解：（ ）∵ ，
∴ ，
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∴ 或 ，
∴ ， ；
（ ）任务一：①小刚同学的解答过程中，从第二步开始出现错误，错误的原因是方程两边同时除以可能
为 的代数式 ，
故答案为：二，方程两边同时除以可能为 的代数式 ；
②小颖同学的解答过程中，从第三步开始出现错误，错误的原因是去括号时，括号前面是负号， 中
的 没有变号，
故答案为：三；去括号时，括号前面是负号， 中的 没有变号
任务二： ，
，
即 ，
或 ，
解得 ， ．
9．用适当的方法解下列一元二次方程．
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) ， ；
(2) ， ．
【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程是解题的关键．
（1）提公因式进行计算即可．
（2）用因式分解法计算即可．
【详解】（1）解： ，
，
， ；
（2） ，
，
， ．
10．二次函数 的图象如图所示，根据图象解答下列问题．
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(1)方程 的两个根为____________，不等式 的解集为____________；
(2)若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围为_________；
(3)若关于 的一元二次方程 ，在 的范围内有实数根，求t的取值范围．
【答案】(1) ， ，
(2)
(3)
【分析】本题考查了抛物线与 轴的交点，二次函数与不等式的关系，待定系数法求二次函数的解析式，
数形结合是解题的关键．
（1）根据抛物线与 轴的交点问题，抛物线与 轴的交点的横坐标就是方程 的两个根；抛
物线位于x轴上方部分的横坐标的取值范围即为不等式的解集；
（2）结合函数图象，利用直线 与抛物线有2个交点得到 的范围；
（3）根据待定系数法求得抛物线解析式，把 ， ， 代入求得函数值，结合函数图象，写出
的取值范围．
【详解】（1）解： 抛物线开口向下，抛物线与 轴的交点为 ， ，
方程 的两个根为 ， ；
由图象可得：不等式 的解集为 ，
故答案为 ， ， ；
（2）解： 抛物线的顶点的纵坐标为2，
抛物线 与直线 只有一个公共点，
当 时，抛物线 与直线 有两个公共点，
即方程 有两个不相等的实数根，
满足条件的 的范围为 ，
故答案为 ；
（3）解：设抛物线解析式为 ，
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把 代入得， ，
，
，
∴ 化为
当 时， ，当 时， ，
当 时， ，
∴ ．
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