中考总复习：一元二次方程、分式方程的解法及应用--知识讲解（基础）_中考全科复习资料_北京四中绝密资料02中考数学总复习_11总复习：一元二次方程、分式方程的解法及应用(基础)

让更多的孩子得到更好的教育 中考总复习：一元二次方程、分式方程的解法及应用—知识讲解（基础） 撰稿：张晓新 审稿：杜少波 【考纲要求】 1.理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程； 2. 会解分式方程，解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未知问题转化成已知问题，从 而渗透数学的转化思想． 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、一元二次方程 1.一元二次方程的定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程． 它的一般形式为 (a≠0)． 2.一元二次方程的解法 （1）直接开平方法：把方程变成 的形式，当m＞0时，方程的解为 ；当m＝0时，方程的 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第1页 共8页让更多的孩子得到更好的教育 解 ；当m＜0时，方程没有实数解． （2）配方法：通过配方把一元二次方程 变形为 的形式，再利用 直接开平方法求得方程的解． （3）公式法：对于一元二次方程 ，当 时，它的解为 ． （4）因式分解法：把方程变形为一边是零，而另一边是两个一次因式积的形式，使每一个因式等于零， 就得到两个一元一次方程，分别解这两个方程，就得到原方程的解． 要点诠释： 直接开平方法和因式分解法是解一元二次方程的特殊方法，配方法和公式法是解一元二次方程的一般 方法． 3．一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式为b2 4ac． △>0方程有两个不相等的实数根； △＝0方程有两个相等的实数根； △<0方程没有实数根． 上述由左边可推出右边，反过来也可由右边推出左边． 要点诠释： △≥0方程有实数根. 4．一元二次方程根与系数的关系 b c 如果一元二次方程 (a≠0)的两个根是 ，那么x x  ，x x  ． ax2 bxc0 x 、x 1 2 a 1 2 a 1 2 考点二、分式方程 1.分式方程的定义 分母中含有未知数的有理方程，叫做分式方程． 要点诠释： （1）分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量. （2）分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数)，分母中含有未 知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程，如：关于 的方程 和 都是分式方程，而关于 的方程 和 都是整式方程. 2.分式方程的解法 去分母法，换元法． 3.解分式方程的一般步骤 (1)去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程； (2)解这个整式方程； (3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公 分母等于零的根是原方程的增根. 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第2页 共8页让更多的孩子得到更好的教育 口诀：“一化二解三检验”. 要点诠释： 解分式方程时，有可能产生增根，增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可 使原方程的分母为零，因此必须验根． 考点三、一元二次方程、分式方程的应用 1．应用问题中常用的数量关系及题型 (1)数字问题(包括日历中的数字规律) 关键会表示一个两位数或三位数，对于日历中的数字问题关键是弄清日历中的数字规律． (2)体积变化问题 关键是寻找其中的不变量作为等量关系. (3)打折销售问题 其中的几个关系式：利润＝售价-成本价(进价)，利润率＝ ×100%． 明确这几个关系式是解决这类问题的关键． (4)关于两个或多个未知量的问题 重点是寻找到多个等量关系，能够设出未知数，并且能够根据所设的未知数列出方程. (5)行程问题 对于相遇问题和追及问题是列方程解应用题的重点问题，也是易出错的问题，一定要分析其中的特点， 同向而行一般是追及问题，相向而行一般是相遇问题． 注意：追及和相遇的综合题目，要分析出哪一部分是追及，哪一部分是相遇. (6)和、差、倍、分问题 增长量＝原有量×增长率； 现有量＝原有量+增长量； 现有量＝原有量-降低量． 2．解应用题的步骤 (1)分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系； (2)设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数； (3)找出相等关系，并用它列出方程； (4)解方程求出题中未知数的值； (5)检验所求的答数是否符合题意，并做答． 要点诠释： 方程的思想，转化(化归)思想，整体代入，消元思想，分解降次思想，配方思想，数形结合的思想用数 学表达式表示与数量有关的语句的数学思想． 注意：①设列必须统一，即设的未知量要与方程中出现的未知量相同；②未知数设出后不要漏棹单位； ③列方程时，两边单位要统一；④求出解后要双检，既检验是否适合方程，还要检验是否符合题意． 【典型例题】 类型一、一元二次方程 1．用配方法解一元二次方程： 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第3页 共8页让更多的孩子得到更好的教育 【思路点拨】 把二次项系数化为1，常数项右移，方程两边都加上一次项系数一半的平方，再用直接开平方法解出 未知数的值. 【答案与解析】 移项，得 二次项系数化为1，得 配方 由此可得 ， 【总结升华】用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为 的形式； ②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程 无实数解. 举一反三： 【变式】用配方法解方程x2-7x-1=0． 【答案】 将方程变形为x2-7x=1，两边加一次项系数的一半的平方 ，得 x2-7x+ =1+ ，所以有 =1+ ． 直接开平方，得x- = 或x- =- ． 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第4页 共8页让更多的孩子得到更好的教育 所以原方程的根为 x= 或x= ． 2．关于x的方程 有两个不相等的实数根. (1)求k的取值范围. (2)是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出k的值；若不存在，说明理由 【思路点拨】判别式大于0，二次项系数不等于0. 【答案与解析】 （1）由△=(k+2)2－4k· ＞0 ∴k＞－1 又∵k≠0 ∴k的取值范围是k＞－1，且k≠0 （2）不存在符合条件的实数k 理由：设方程kx2+(k+2)x+ =0的两根分别为x、x，由根与系数关系有： 1 2 x+x= ，x·x= ， 1 2 1 2 又 =0 则 =0 ∴ 由（1）知， 时，△＜0，原方程无实解 ∴不存在符合条件的k的值. 【总结升华】 （1）注意隐含条件k≠0；（2）由根与系数关系的应用，求出k的值，要验证k的值是否符合题意. 举一反三： 【变式】已知关于x的方程 ． （1）求证方程有两个不相等的实数根． （2）当m为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的解． 【答案】 （1）证明:因为△= 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第5页 共8页让更多的孩子得到更好的教育 = 所以无论 取何值时， △>0，所以方程有两个不相等的实数根． （2）解：因为方程的两根互为相反数，所以 ， 根据方程的根与系数的关系得 ，解得 ， 所以原方程可化为 ，解得 ， . 类型二、分式方程 x 2 3．解方程：  1 x1 x1 【思路点拨】先去分母将分式方程化为整式方程，求出整式方程的解，再进行检验. 【答案与解析】 方程两边都乘以(x1)(x1)，得 【总结升华】 首先要确定各分式分母的最简公分母，在方程两边乘这个公分母时不要漏乘，解完后记着要验根. 举一反三： 【变式1】解分式方程： ． 【答案】方程两边同乘以 ，得 ． ． ． 经检验： 是原方程的解， 所以原方程的解是 ． 【高清课程名称：一元二次方程、分式方程的解法及应用 高清ID号： 405754 关联的位置名称（播放点名称）：例1（1）】 【变式2】方程 的解是x= ． 【答案】 . 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第6页 共8页让更多的孩子得到更好的教育 4．若解分式方程 产生增根，则m的值是（ ） A. 1或2 B. 1或2 C. 1或2 D. 1或2 【思路点拨】先把原方程化为整式方程，再把可能的增根分别代入整式方程即可求出m的值. 【答案】D； 【解析】由题意得增根是：x  0或x  1， 化简原方程为： 把 代入解得 ， 2x2 (m1)  (x 1)2， x 0或x  1 故选择D. 【总结升华】分式方程产生的增根，是使分母为零的未知数的值. 举一反三： 【高清课程名称：一元二次方程、分式方程的解法及应用 高清ID号： 405754 关联的位置名称（播放点名称）：例1（2）-例2】 【变式】若关于 的方程 无解，则 的值是 ． 【答案】1. 类型三、一元二次方程、分式方程的应用 5．轮船在一次航行中顺流航行80千米，逆流航行42千米，共用了7小时；在另一次航行中，用相同的 时间，顺流航行40千米，逆流航行70千米.求这艘轮船在静水中的速度和水流速度. 【思路点拨】 在航行问题中的等量关系是“顺流速度＝静水速度＋水流速度； 逆流速度＝静水速度－水流速 度”，两次航行提供了两个等量关系. 【答案与解析】 设船在静水中的速度为x千米/小时，水流速度为y千米/小时 由题意，得  x 8  0 y  x 4  2 y  7   40  70  7 x  y x  y 答：水流速度为3千米/小时，船在静水中的速度为17千米/小时. 【总结升华】 流水问题公式：顺流速度＝静水速度＋水流速度； 逆流速度＝静水速度－水流速度； 静水速度＝(顺流速度＋逆流速度)÷2；水流速度＝(顺流速度－逆流速度)÷2. 举一反三： 【变式】甲、乙两班同学参加“绿化祖国”活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵所用的时 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第7页 共8页让更多的孩子得到更好的教育 间与乙班种66棵树所用的时间相等，求甲、乙两班每小时各种多少棵树？ 【答案】设甲班每小时种x棵树，则乙班每小时种（x+2）棵树， 60 66 由题意得：  x x2 60x120 66x x  20 经检验：x  20是原方程的根 x2  22 答：甲班每小时种树20棵，乙班每小时种树22棵. 6．某服装厂生产一批西服，原来每件的成本价是500元，销售价为625元，经市场预测，该产品销售价 第一个月将降低20%，第二个月比第一个月提高6%，为了使两个月后的销售利润达到原来水平，该产品的 成本价平均每月应降低百分之几？ 【思路点拨】 设该产品的成本价平均每月降低率为x，那么两个月后的销售价格为625（1-20%）（1+6%），两个月后的 成本价为500（1-x）2，然后根据已知条件即可列出方程，解方程即可求出结果． 【答案与解析】 设该产品的成本价平均每月应降低的百分数为x． 625（1-20%）（1+6%）-500（1-x）2=625-500 整理，得500（1-x）2=405，（1-x）2=0.81． 1-x=±0.9，x=1±0.9， x=1.9（舍去），x=0.1=10%． 1 2 答：该产品的成本价平均每月应降低10%． 【总结升华】 题目中该产品的成本价在不断变化，销售价也在不断变化，要求变化后的销售利润不变，即利润仍 要达到125元，关键在于计算和表达变动后的销售价和成本价． 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第8页 共8页