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专题 05 一元一次方程与二元一次方程组
考点 01 解一元一次方程
1．（2024·海南·中考真题）若代数式 的值为5，则x等于（ ）
A．8 B． C．2 D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，根据题意可知 ，解方程即可得到答案．
【详解】解：∵代数式 的值为5，
∴ ，
解得 ，
故选：A．
2．（2024·广东广州·中考真题）定义新运算： 例如： ，
．若 ，则 的值为 ．
【答案】 或
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是明确新运算的定义．根据
新定义运算法则列出方程求解即可．
【详解】解：∵
而 ，
∴①当 时，则有 ，
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解得， ；
②当 时， ，
解得，
综上所述，x的值是 或 ，
故答案为： 或 ．
3．（2024·上海·中考真题）已知 ，则 ．
【答案】1
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．由
二次根式被开方数大于0可知 ，则可得出 ，求出x即可．
【详解】解：根据题意可知： ，
，
∴解得： ，
故答案为：1．
4．（2023·浙江衢州·中考真题）小红在解方程 时，第一步出现了错误：
解： ，
……
(1)请在相应的方框内用横线划出小红的错误处．
(2)写出你的解答过程．
【答案】(1)见解析；
(2) .
【分析】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求
出解
（1）根据等式的性质，解一元一次方程的步骤即可判断；
（2）首先去分母、然后去括号、移项、合并同类项、次数化成1即可求解．
【详解】（1）
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（2）解： ，
去分母，得， ，
移项，得： ，
合并同类页，得： ，
解得： ．
5．（2023·山东枣庄·中考真题）对于任意实数a，b，定义一种新运算： ，例如：
， ．根据上面的材料，请完成下列问题：
(1) ___________， ___________；
(2)若 ，求x的值．
【答案】(1)1；2；
(2) ，
【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；
（2）已知等式利用已知的新定义进行分类讨论并列出方程，再计算求出x的值即可．
【详解】（1） ，
，
；
故答案为：1；2；
（2）若 时，即 时，则
，
解得： ，
若 时，即 时，则
，
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解得： ，不合题意，舍去，
，
【点睛】此题考查了实数的新定义运算及解一元一次方程，弄清题中的新定义是解本题的关键．
考点 02 一元一次方程的实际应用
1．（2025·北京·中考真题）北京风筝制作技艺是国家级非物质文化遗产．为制作一只京燕风筝，小明准备
了五根直竹条（如图1）：一根门条、两根等长的膀条和两根等长的尾条．他将门条和膀条分别烤弯后与
尾条一起扎成风筝的骨架（如图2），其头部高、胸腹高与尾部高的比是 ．已知单根膀条长是胸腹
高的5倍，门条比单根膀条短10cm，图1中 的长是门条长的 ， 的长均等于胸腹高．求这只
风筝的骨架的总高．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，弄清量之间的关系、列出一元一次方程是解题的关键．
设胸腹高为 ，则单根膀条长为 ，门条 的长度为 ， ，
，头部高为x，尾部高为 ，这只风筝的骨架的总高为 ；由 列方程求
出 ，进而求出风筝的骨架的总高即可．
【详解】解：设胸腹高为 ，则单根膀条长为 ，门条 的长度为 ，
， ，头部高为x，尾部高为 ，这只风筝的骨架的总高为 ，
由 ，可得： ，解得： ；
所以这只风筝的骨架的总高 ．
答：这只风筝的骨架的总高 ．
2．（2024·陕西·中考真题）星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除．根据这次大扫除的
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任务量，若小峰单独完成，需 ；若爸爸单独完成，需 ．当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去参
加篮球训练，接着由爸爸单独完成剩余的打扫任务．小峰和爸爸这次一共打扫了 ，求这次小峰打扫了多
长时间．
【答案】小峰打扫了 ．
【分析】本题是一道工程问题的应用题．设小峰打扫了 ，爸爸打扫了 ，根据总工作量=各部分
的工作量之和列出一元一次方程，然后求解即可．
【详解】解：设总工作量为1，小峰打扫了 ，爸爸打扫了 ，则小峰打扫任务的工作效率为 ，
爸爸打扫任务的工作效率为 ，
由题意，得： ，
解得： ，
答：小峰打扫了 ．
3．（2023·四川巴中·中考真题）某学校课后兴趣小组在开展手工制作活动中，美术老师要求用14张卡纸
制作圆柱体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面．已知每张卡纸可以裁
出2个侧面，或者裁出3个底面，如果1个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，这些卡纸最多可以做成
包装盒的个数为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．16
【答案】C
【分析】设用x张卡纸做侧面，用y张卡纸做底面，则做出侧面的数量为2x，底面的数量为3y，然后根据
等量关系：底面数量=侧面数量的2倍，列出方程组即可．
【详解】解：设用x张白卡纸做侧面，用y张白卡纸做底面，
由题意得， ．
解得 ．
，
答：这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为12个．
故选：C．
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【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是要读懂题目的意思，根据题目
给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组．还需注意本题的等量关系是：底面数量=侧面数量的2
倍．
4．（2025·四川内江·中考真题）学校准备添置一批课桌椅，原订购60套，每套100元．店方表示：如果
多购，可以优惠．结果校方购了72套，每套减价3元，但商店获得同样多的利润．求每套课桌椅的成本．
设每套课桌椅的成本为x元，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据利润相等建立方程．原计划利润为 ，实际利润
为 ，两者相等即可求解．
【详解】解：设每套成本为 元．原计划利润为 元；实际购买时利润为 元．
根据题意得： ，
故选B．
5．（2025·山东烟台·中考真题）某商场打折销售一款风扇，若按标价的六折出售，则每台风扇亏损10元；
若按标价的九折出售，则每台风扇盈利95元．这款风扇每台的标价为（ ）
A．350元 B．320元 C．270元 D．220元
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设这款风扇每台的标价为 元，根据按标价的六折出
售，则每台风扇亏损10元可得风扇的进价为 元，根据按标价的九折出售，则每台风扇盈利95
元可得风扇的进价为 元，据此建立方程求解即可．
【详解】解：设这款风扇每台的标价为 元，
由题意得， ，
解得 ，
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∴这款风扇每台的标价为350元，
故选：A．
6．（2024·海南·中考真题）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．某商店售卖某品牌瘦肉粽和五
花肉粽．请依据以下对话，求促销活动前每个瘦肉粽、五花肉粽的售价．
【答案】促销活动前每个瘦肉粽的售价为15元，则促销活动前每个五花肉粽的售价10元．
【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设促销活动前每个瘦肉粽的售价为 元，则促销活动前每个五
花肉粽的售价 元，根据题意列方程求解即可．
【详解】解：设促销活动前每个瘦肉粽的售价为 元，则促销活动前每个五花肉粽的售价 元，
依题意得 ，
解得 ，
，
答：促销活动前每个瘦肉粽的售价为15元，则促销活动前每个五花肉粽的售价10元．
7．（2023·河北·中考真题）某磁性飞镖游戏的靶盘如图．珍珍玩了两局，每局投10次飞镖，若投到边界
则不计入次数，需重新投，计分规则如下：
投中位置 A区 B区 脱靶
一次计分
3 1
（分）
在第一局中，珍珍投中A区4次，B区2次，脱靶4次．
(1)求珍珍第一局的得分；
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(2)第二局，珍珍投中A区k次，B区3次，其余全部脱靶．若本局得分比第一局提高了13分，求k的值．
【答案】(1)珍珍第一局的得分为6分；
(2) ．
【分析】（1）根据题意列式计算即可求解；
（2）根据题意列一元一次方程即可求解.
【详解】（1）解：由题意得 (分)，
答：珍珍第一局的得分为6分；
（2）解：由题意得 ，
解得： ．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合
适的等量关系，列出方程，再求解．
8．（2025·四川成都·中考真题）任意给一个数x，按下列程序进行计算．若输出的结果是15，则x的值为
．
【答案】3
【分析】本题考查了程序框图的计算，一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键．
根据程序框图的运算法则建立一元方程求解即可．
【详解】解：由题意得： ，
解得： ，
故答案为：3．
9．（2024·江苏宿迁·中考真题）我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺：若将绳四折测之，
绳多一尺．绳长、井深各几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺；把绳四
折来量，井外余绳一尺．绳长、井深各几尺？若设绳长为x尺，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元一次方程组的实际应用，利用井的深度不变建立方程是解题的关键．
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【详解】解：设绳长为x尺，列方程为 ，
故选A．
10．（2025·天津·中考真题）《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有良马日行二百
四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”意思是：跑得快的马每天走
240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马 天可以追上慢马，
则可以列出的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查一元一次方程的应用，属于行程问题中的追及问题．解题的关键是找到两马路程相等的
等量关系．
设快马用 天追上慢马，快马的总路程为 里，慢马的总路程为 里，根据题意，列出方程即
可．
【详解】解：设快马用 天追上慢马，快马的总路程为 里，慢马的总路程为 里，根据题意
得：
．
故选：A
11．（2024·山东威海·中考真题）定义
我们把数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值．数轴上表示数a，b的点A，B之间的距离
．特别的，当 时，表示数a的点与原点的距离等于 ．当 时，表示数a的点
与原点的距离等于 ．
应用
如图，在数轴上，动点A从表示 的点出发，以1个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动．同时，动点B
从表示12的点出发，以2个单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动．
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(1)经过多长时间，点A，B之间的距离等于3个单位长度？
(2)求点A，B到原点距离之和的最小值．
【答案】(1)过4秒或6秒
(2)3
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，不等式的性质，绝对值的意义等知识，解题的关键是：
（1）设经过x秒，则A表示的数为 ，B表示的数为 ，根据“点A，B之间的距离等于3个单
位长度”列方程求解即可；
（2）先求出点A，B到原点距离之和为 ，然后分 ， ， 三种情况讨论，利
用绝对值的意义，不等式的性质求解即可．
【详解】（1）解：设经过x秒，则A表示的数为 ，B表示的数为 ，
根据题意，得 ，
解得 或6，
答，经过4秒或6秒，点A，B之间的距离等于3个单位长度；
（2）解：由（1）知：点A，B到原点距离之和为 ，
当 时， ，
∵ ，
∴ ，即 ，
当 时， ，
∵ ，
∴ ，即 ，
当 时， ，
∵ ，
∴ ，即 ，
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综上， ，
∴点A，B到原点距离之和的最小值为3．
12．（2025·湖北·中考真题）幻方起源于中国，月历常用于生活，它们有很多奥秘，探究并完成填空．
主
探究月历与幻方的奥秘
题
图1是某月的月历，用方框选取了其中的9个数．
（1）移动方框，若方框中的部分数如图2所示，则 是______， 是______；
（2）移动方框，若方框中的部分数如图3所示，则 是______， 是______；
（注：用含 的代数式表示 和 ．）
活
动
一
移动方框选取月历中的9个数，调整它们的位置，使其满足“三阶幻方”分布规
律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等．
（3）若方框选取的数如图4所示，调整后，部分数的位置如图5所示，则 是
______， 是______；
（4）若方框选取的数中最小的数是 ，调整后，部分数的位置如图6所示，则
活
动 是______（用含 的代数式表示 ）．
二
【答案】（1） （2） （3）11，3（4）
【分析】本题考查列代数式，解一元一次方程，找准等量关系，正确的列出代数式和方程，是解题的关键：
（1）观察日历表中方框中的数字之间的数量关系，列出算式求解即可；
（2）观察日历表中方框中的数字之间的数量关系，列出算式求解即可；
（3）根据幻方的特点，列出算式，进行求解即可；
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（4）先根据 是最小数，表示出其它的数，根据幻方的特点，列出方程，进行求解即可．
【详解】解：（1）由图可知： ；
故答案为： ；
（2）由图可知： ；
故答案为： ；
（3）由题意，得： ， ；
故答案为：11，3；
（4）∵最小的数为 ，则剩余的数为： ，
∴ ，
解得： ；
故答案为： ．
13．（2025·吉林·中考真题）《孙子算经》中记载了这样一道题：今有三人共车，二车空：二人共车，九
人步．问车几何？其译文为：有若干人乘车，若每3人同乘一车，最终剩余2辆空车；若每2人同乘一车，
最终剩下9人因无车可乘而步行．问有多少辆车？为解决此问题，设共有x辆车，可列方程为 ．
【答案】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关
键．
根据人数不变，即可得出关于x的一元一次方程，即可求解．
【详解】解:依题意，得： ，
故答案为： ．
考点 03 解二元一次方程组
1．（2025·山西·中考真题）（1）计算：
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（2）解方程组：
【答案】（1） ；（2）
【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，解二元一次方程组等知识，正确进行运算是解题的关键；
（1）依次计算绝对值、乘方与括号，最后计算加减即可；
（2）利用加减消元法，两式相加消去未知数y，求得未知数x的值，再求出y的值即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）解：①+②，得 ，
．
将 代入②，得 ，
．
所以原方程组的解是 ．
2．（2025·四川凉山·中考真题）若 ，则 的平方根是（ ）
A．8 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查非负性，解二元一次方程组，求一个数的平方根，利用二次根式的性质进行化简，先根
据非负性，得到关于 的二元一次方程组，两个方程相减后求出 的值，再根据平方根的定义，进行
求解即可．熟练掌握非负性，平方根的定义，是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
，得： ，
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∴ 的平方根是 ；
故选：C．
3．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）点 在直线 上，坐标 是二元一次方程
的解，则点 的位置在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数图象上点的特征，解二元一次方程组等知识，联立方程组 ，求
出点P的坐标即可判断．
【详解】解∶ 联立方程组 ，
解得 ，
∴P的坐标为 ，
∴点P在第四象限，
故选∶D．
4．（2024·浙江·中考真题）解方程组：
【答案】
【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用①×3＋②得， ，解得 ，再把 代入①求出
即可.
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【详解】解：
①×3＋②得，
解得 ，
把 代入①得 ，
解得
∴
5．（2023·江苏南通·中考真题）若实数 ， ， 满足 ， ，则代数式 的
值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】联立方程组，解得 ，设 ，然后根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】解：依题意， ，
解得：
设
∴
∵
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∴ 有最大值，最大值为
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解二元一次方程组，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
考点 0 4 二元一次方程组的应用——古代问题
1．（2025·四川眉山·中考真题）我国古代算书《四元玉鉴》里有这样一道题：“九百九十九文钱，甜果苦
果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个？”其大意是：用九百九十九文钱共买了
一千个甜果和苦果，其中十一文钱可以买甜果九个，四文钱可以买苦果七个，问甜果苦果各买几个？若设
买甜果x个，苦果y个，根据题意可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查根据实际问题列方程组，设买甜果x个，苦果y个，根据用九百九十九文钱共买了一千
个甜果和苦果，其中十一文钱可以买甜果九个，四文钱可以买苦果七个，列出方程组即可．
【详解】解：设甜果x个，苦果y个，
∵用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，故可列方程为：
∵甜果9个11文，苦果7个4文，
∴甜果每个单价为 文，苦果每个单价为 文，
∵总费用为999文，故可列方程为： ；
故可列方程组： ；
故选C．
2．（2024·四川南充·中考真题）在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到
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店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房
住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．设该店有客房x间，房客y
人，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组．设该店有客房x间，房客y人；每一间客房住7
人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房得出方程组即可．
【详解】解：设该店有客房x间，房客y人；根据题意得：
，
故选：A．
3．（2024·天津·中考真题）《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长
短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，
绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长 尺，绳子长 尺，则
可以列出的方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用.用一根绳子去量一根长木，绳子剩余4.5尺可知：
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；绳子对折再量长木，长木剩余1尺可知： ；从而可得答案.
【详解】解：由题意可得方程组为：
，
故选：A.
4．（2024·四川成都·中考真题）中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有共买琎，人
出半，盈四；人出少半，不足三．问人数，琎价各几何？其大意是：今有人合伙买琎石，每人出 钱，会
多出4钱；每人出 钱，又差了3钱．问人数，琎价各是多少？设人数为 ，琎价为 ，则可列方程组为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了列二元一次方程组，根据题意列出二元一次方程组即可．
【详解】解：设人数为 ，琎价为 ，
根据每人出 钱，会多出4钱可得出 ，
每人出 钱，又差了3钱．可得出 ，
则方程组为： ，
故选：B．
5．（2025·甘肃兰州·中考真题）《九章算术》是中国传统数学最重要的数学著作之一，“方程章”第11
题大意是：两匹马一头牛总价超过1万，超过部分等于半匹马的价格；一匹马两头牛的总价不足1万，不
足部分等于半头牛的价格，问一匹马、一头牛的价格分别是多少？若设一匹马价格为x，一头牛价格为y，
则可列方程组为（ ）
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A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系．设每匹马的价格
为x钱，每头牛的价格为y钱，根据题意列出方程即可．
【详解】解：设每匹马的价格为x，每头牛的价格为y，根据题意可得，
．
故选A．
6．（2024·江苏徐州·中考真题）中国古代数学著作《张邱建算经》中有一道问题；“今有甲、乙怀钱，各
不知其数．甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等．问甲、乙怀钱各几何？”问题大意：甲、乙
两人各有钱币若干枚．若乙给甲10枚钱，此时甲的钱币数比乙的钱币数多出5倍，即甲的钱币数是乙钱币
数的6倍；若甲给乙10枚钱，此时两人的钱币数相等．问甲、乙原来各有多少枚钱币？请用二元一次方程
组解答上述问题．
【答案】甲、乙原来各有38枚、18枚钱币
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意找到等量关系列出方程是解决本题的关键．
设甲有钱x枚，乙有钱y枚，根据“甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等”列出方程组，求解
即可．
【详解】解：设甲有钱x枚，乙有钱y枚，由题意，得
，
解这个方程组，得 ．
答：甲、乙原来各有38枚、18枚钱币．
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考点 0 5 二元一次方程组的应用——现代问题
1．（2023·辽宁·中考真题）某礼品店经销A，B两种礼品盒，第一次购进A种礼品盒10盒，B种礼品盒15
盒，共花费2800元；第二次购进A种礼品盒6盒，B种礼品盒5盒，共花费1200元
(1)求购进A，B两种礼品盒的单价分别是多少元；
(2)若该礼品店准备再次购进两种礼品盒共40盒，总费用不超过4500元，那么至少购进A种礼品盒多少盒？
【答案】(1)A礼品盒的单价是100元，B礼品盒的单价是120元；
(2)至少购进A种礼品盒15盒．
【分析】（1）设A礼品盒的单价是a元，B礼品盒的单价是b元，根据题意列方程组即可得到结论；
（2）设购进A礼品盒x盒，则购进B礼品盒 盒，根据题意列不等式即可得到结论．
【详解】（1）解：设A礼品盒的单价是a元，B礼品盒的单价是b元，
根据题意得： ，
解得： ，
答：A礼品盒的单价是100元，B礼品盒的单价是120元；
（2）解：设购进A礼品盒x盒，则购进B礼品盒 盒，
根据题意得： ，
解得： ，
∵x为整数，
∴x的最小整数解为15，
∴至少购进A种礼品盒15盒．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，正确的理解题意是解题的关键．
2．（2025·广西·中考真题）自2025年5月9日起至2025年12月31日，周末自驾游广西的外省籍小客车，
可享受高速公路车辆通行费（以下简称高速费）优惠．小悦一家5月中旬从湖南自驾到广西探亲游玩，此
次全程所产生的高速费享受的优惠如下：
湖南境内路
广西境内特定路段 广西境内其他路段
段
周一至周四 9.5折
周五至周日 9.5折 全免 5折
(1)周六小悦一家从湖南Z市到广西A市，所经湖南境内路段、广西境内特定路段和其他路段的高速费原价
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分别为a元、b元和c元．求此行程的高速费实付多少元？
(2)周日他们从A市到K市（全程在广西境内），高速费实付27.55元；周一从K市原路返回到A市，高速
费实付95.95元．求此行程中A市与K市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是多少元．
【答案】(1)
(2)特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是 元和 元
【分析】本题考查了代数式、二元一次方程组：
（1）根据题意列出代数式即可；
（2）根据题意列出方程组求解即可．
【详解】（1）此次行程高速费原价总共为： 元
实际支付高速费用： 元
（2）解：设特定路段和其他路段的单程高速费原价分别 元和 元
解得：
故此行程中 市与 市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是 元和 元．
3．（2025·江西·中考真题）系文物考古研究院用 复原的青铜蒸馏器进行了蒸馏酒实验．用复原的青铜
蒸馏器蒸馏粮食酒和芋头酒，需要的原材料与出酒率（ ）如下表：
出酒
类别 原材料
率
粮食 粮食糟醅（含大米、糯米、谷壳、大曲和蒸馏
30%
酒 水
芋头
芋头糟醅（含芋头、小曲和蒸馏水） 20%
酒
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如果第一次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共16公斤；第二次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共36公斤，
且所用的粮食糟醅量是第一次的2倍，芋头糟醅量是第一次的3倍．
(1)求第一次实验分别用了多少公斤粮食糟醅和芋头糟醅？
(2)受限于当时的生产条件，古代青铜装馏器的出酒量约为现代复原品的80%．若粮食糟醅中大米占比约为
，请问，在古代要想蒸馏出这两次实验得到的粮食酒总量，需要准备多少公斤大米？
【答案】(1)第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是40、20公斤．
(2)需要准备 公斤大米．
【分析】本题主要考查了二元一次方程组、一元一次方程的应用等知识点，审清题意、正确列出方程组和
方程是解题的关键．
（1）第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是x、y公斤，则第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的
质量分别是 公斤，然后根据题意列二元一次方程组求解即可；
（2）先求出两次得到粮食酒的总质量，设需要准备z公斤大米，则粮食糟醅的质量为 ，再根据题意列
一元一次方程求解即可．
【详解】（1）解：第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是x、y公斤，则第一次实验用粮食糟醅
和芋头糟醅的质量分别是 公斤，
由题意可得： ，解得： ．
答：第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是40、20公斤．
（2）解：两次实验得到的粮食酒总量为 公斤，
设需要准备z公斤大米，则粮食糟醅的质量为 ，
由题意可得： ，解得： 千克．
答：需要准备 公斤大米．
4．（2023·山西·中考真题）风陵渡黄河公路大桥是连接山西、陕西、河南三省的交通要塞．该大桥限重标
志牌显示，载重后总质量超过30吨的车辆禁止通行．现有一辆自重8吨的卡车，要运输若干套某种设备，
每套设备由1个A部件和3个B部件组成，这种设备必须成套运输．已知1个A部件和2个B部件的总质
量为2.8吨，2个A部件和3个B部件的质量相等．
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(1)求1个A部件和1个B部件的质量各是多少；
(2)卡车一次最多可运输多少套这种设备通过此大桥？
【答案】(1)一个 部件的质量为1.2吨，一个 部件的质量为0.8吨
(2)6套
【分析】（1）设一个A部件的质量为 吨，一个 部件的质量为 吨．然后根据等量关系“1个A部件和
2个B部件的总质量为2.8吨”和“2个A部件和3个B部件的质量相等”列二元一次方程组求解即可；
（2）设该卡车一次可运输 套这种设备通过此大桥．根据“载重后总质量超过30吨的车辆禁止通行”列
不等式再结合 为整数求解即可．
【详解】（1）解：设一个A部件的质量为 吨，一个 部件的质量为 吨．
根据题意，得 ，
解得 ．
答：一个A部件的质量为1.2吨，一个 部件的质量为0.8吨．
（2）解：设该卡车一次可运输 套这种设备通过此大桥．
根据题意，得 ．
解得 ．
因为 为整数， 取最大值，所以 ．
答：该卡车一次最多可运输6套这种设备通过此大桥．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用等知识点，正确列出二元一次方
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程组和不等式是解答本题的关键．
5．（2025·四川内江·中考真题）2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影
票房的新纪录，商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进A款200个，B款300个，需花费
14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元．
(1)求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？
(2)根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元的资金购进A、B两款“哪吒”纪念品共400
个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？
(3)在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5
个．设每个A款纪念品售价 元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W
关于a的函数表达式，并求出W的最大值．
【答案】(1)A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元；
(2)至少需要购进B款纪念品200个
(3) ，W的最大值为4500
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，
正确理解题意列出方程组，函数关系式和不等式是解题的关键．
（1）设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元，根据购进A款200个，
B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元建立方程组求解即可；
（2）设需要购进B款纪念品m个，则需要购进A款纪念品 个，根据购买资金不超过12000元建
立不等式求解即可；
（3）根据题意可得每个A款纪念品的利润为 元，销售量为 个，据此列出W关于a
的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求出W的最大值即可．
【详解】（1）解：设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元，
由题意得， ，
解得 ，
答：A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元；
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（2）解：设需要购进B款纪念品m个，则需要购进A款纪念品 个，
由题意得， ，
解得 ，
∴m的最小值为200，
答：至少需要购进B款纪念品200个；
（3）解：由题意得，
，
∵ ，
∴当 ，即 时，W最大，最大值为4500．
6．（2025·湖南长沙·中考真题）为落实科技兴农政策，某乡办食品企业应用新科技推动农产品由粗加工向
精加工转变．根据市场需求，该食品企业将收购的农产品加工成A，B两种等级的农产品对外销售，已知
销售6千克A等级农产品和4千克B等级农产品共收入 元，销售4千克A等级农产品和2千克B等级农
产品共收入 元．（不考虑加工损耗）
(1)求每千克A等级农产品和每千克B等级农产品的销售单价分别为多少元？
(2)若该食品企业以每千克8元购进 千克农产品，全部加工后对外销售，要求总利润不低于 元，
则至少需加工A等级农产品多少千克？
【答案】(1)A等级农产品每千克销售单价为 元，B等级农产品每千克销售单价为 元
(2)要求总利润不低于 元，则至少需加工A等级农产品 千克
【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式在实际问题中的应用，正确理解题意即可．
（1）设A等级农产品每千克销售单价为 元，B等级农产品每千克销售单价为 元，由题意得
即可求解；
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（2）设需加工A等级农产品 千克，则需加工B等级农产品 千克，由题意得
．即可求解；
【详解】（1）解：设A等级农产品每千克销售单价为 元，B等级农产品每千克销售单价为 元，
由题意得 解得
答：A等级农产品每千克销售单价为 元，B等级农产品每千克销售单价为 元．
（2）解：设需加工A等级农产品 千克，则需加工B等级农产品 千克，
由题意得 ．
解得 ，
答：要求总利润不低于 元，则至少需加工A等级农产品 千克．
7．（2023·湖北恩施·中考真题）为积极响应州政府“悦享成长·书香恩施”的号召，学校组织150名学生
参加朗诵比赛，因活动需要，计划给每个学生购买一套服装．经市场调查得知，购买1套男装和1套女装
共需220元；购买6套男装与购买5套女装的费用相同．
(1)男装、女装的单价各是多少？
(2)如果参加活动的男生人数不超过女生人数的 ，购买服装的总费用不超过17000元，那么学校有几种购
买方案？怎样购买才能使费用最低，最低费用是多少？
【答案】(1)男装单价为100元，女装单价为120元．
(2)学校有11种购买方案，当女装购买90套，男装购买60套时，所需费用最少，最少费用为16800元
【分析】（1）设男装单价为x元，女装单价为y元，根据题意列方程组求解即可；
（2）设参加活动的女生有a人，则男生有 人，列不等式组找到a的取值范围，再设总费用为w元，
得到w与a的关系，根据一次函数的性质可得当a取最小值时w有最小值，据此求解即可．
【详解】（1）解：设男装单价为x元，女装单价为y元，
根据题意得： ，
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解得： ．
答：男装单价为100元，女装单价为120元．
（2）解：设参加活动的女生有a人，则男生有 人，
根据题意可得 ，
解得： ，
∵a为整数，
∴a可取90，91，92，93，94，95，96，97，98，99，100，一共11个数，
故一共有11种方案，
设总费用为w元，则 ，
∵ ，
∴当 时，w有最小值，最小值为 （元）．
此时， （套）．
答：当女装购买90套，男装购买60套时，所需费用最少，最少费用为16800元．
【点睛】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，找到题中的等量关系或不等关系是解题的
关键．
8．（2023·西藏·中考真题）列方程（组）解应用题：如图，巴桑家客厅的电视背景墙是由 块形状大小相
同的长方形墙砖砌成．
(1)求一块长方形墙砖的长和宽；
(2)求电视背景墙的面积．
【答案】(1) ， ；
(2) ．
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【分析】（1）首先设一块长方形墙砖的长为 ，宽为 ，然后用 的代数式分别表示出长方形的两条
长边分别为 ， ，宽为 ,进而根据长方形的性质列出方程组，解方程组即可得出答案；
（2）根据长方形的面积计算公式即可得出答案．
【详解】（1）解：设一块长方形墙砖的长为 ，宽为 ．
依题意得：
，
解得：
，
答：一块长方形墙砖的长为 ，宽为 ．
（2）求电视背景墙的面积为： ．
答：电视背景墙的面积为 ．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的实际应用，长方形的性质，根据长方形的两组对边分别相等列
出方程组是解答此题的关键．
9．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬
纸片，且长方形的宽与正方形的边长相等．
(1)现用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片，恰好能制作甲、乙两种纸盒各多少个?
(2)如果需要制作100个长方体纸盒，要求乙种纸盒数量不低于甲种纸盒数量的一半，那么至少需要多少张
正方形硬纸片?
【答案】(1)恰好能制作甲种纸盒40个，乙种纸盒80个
(2)至少需要134张正方形硬纸片
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，正确掌握相关性
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质内容是解题的关键．
（1）先设恰好能制作甲种纸盒x个，乙种纸盒y个．结合题意列出方程组，再解得 ，即可作答．
（2）先设制作乙种纸盒m个，需要w张正方形硬纸片．根据题意列出 ，结合 ，
得 ，其中最小整数解为34．运用一次函数的图象性质进行分析作答即可．
【详解】（1）解：制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，甲种需要1个正方形，4个长方形，乙种需要2个
正方形，3个长方形，
设恰好能制作甲种纸盒x个，乙种纸盒y个．
根据题意，得 ，
得 ，
答：恰好能制作甲种纸盒40个，乙种纸盒80个．
（2）解：设制作乙种纸盒m个，需要w张正方形硬纸片．
则 ．
由 ，知w随m的增大而增大，
∴当m最小时，w有最小值．
根据题意，得 ，
解得 ，
其中最小整数解为34．
即当 时， ．
答：至少需要134张正方形硬纸片．
考点 0 6 求参数
1．（2025·四川遂宁·中考真题）已知 是方程 的解，则 ．
【答案】2
【分析】本题考查了一元一次方程的解，以及解一元一次方程，理解题意，把 代入 ，解得
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，即可作答．
【详解】解：∵ 是方程 的解，
∴把 代入 ，得 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：2
2．（2024·江苏宿迁·中考真题）若关于x、y的二元一次方程组 的解是 ，则关于x、y的
方程组 的解是 ．
【答案】
【分析】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，把 ，代入 ，得到
，整体代入 中，得到方程组 ，加减消元法解方程组即可．
【详解】解：把 代入 ，得： ，
∵ ，
∴ ，即： ，
，得： ，
∵方程组 有解，
∴ ，
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∴ ，
把 代入①，得： ，解得： ；
∴方程组的解集为： ；
故答案为： ．
3．（2023·四川眉山·中考真题）已知关于 的二元一次方程组 的解满足 ，则m
的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】将方程组的两个方程相减，可得到 ，代入 ，即可解答．
【详解】解： ，
得 ，
，
代入 ，可得 ，
解得 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了根据解的情况求参数，熟练利用加减法整理代入是解题的关键．
4．（2023·四川南充·中考真题）关于x，y的方程组 的解满足 ，则 的值是
（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】D
【分析】法一：利用加减法解方程组，用 表示出 ，再将求得的代数式代入 ，得到 的关
系，最后将 变形，即可解答．
法二： 中 得到 ，再根据 求出 代入代数式进行
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求解即可.
【详解】解：法一： ，
得 ，
解得 ，
将 代入 ，解得 ，
，
，
得到 ，
，
法二：
得： ，即： ，
∵ ，
∴ ，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了根据二元一次方程解的情况求参数，同底数幂除法，幂的乘方，熟练求出 的关系
是解题的关键．
5．（2023·四川泸州·中考真题）关于 ， 的二元一次方程组 的解满足 ，写出
的一个整数值 ．
【答案】7（答案不唯一）
【分析】先解关于x、y的二元一次方程组的解集，再将 代入，然后解关于a的不等式的解集即
可得出答案．
【详解】将两个方程相减得 ，
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∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的一个整数值可以是7．
故答案为：7（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式，整体代入的思想方法是解答本题的亮点．
33
