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专题 04 方程与不等式
【中考考向导航】
目录
【直击中考】.....................................................................................................................................................1
【考向一 实际问题与一元一次方程】............................................................................................................1
【考向二 解二元一方程组】............................................................................................................................5
【考向三 实际问题与二元一次方程组】........................................................................................................9
【考向四 解一元二次方程】..........................................................................................................................16
【考向五 一元二次方程根与系数的关系】..................................................................................................19
【考向六 实际问题与一元二次方程】..........................................................................................................24
【考向七 解分式方程】..................................................................................................................................31
【考向八 实际问题与分式方程】..................................................................................................................36
【考向九 解不等式(组)】..............................................................................................................................41
【考向十 实际问题与不等式(组)】..............................................................................................................49
【直击中考】
【考向一 实际问题与一元一次方程】
例题：（2022·湖北十堰·统考中考真题）我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟
十斗，醑酒一斗直粟三斗，今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10
斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设清酒 斗，
那么可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意直接列方程即可．
【详解】解：根据题意，得： ，
故选：A．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．
【变式训练】
1．（2022·贵州六盘水·统考中考真题）我国“DF－41型”导弹俗称“东风快递”，速度可达到26马赫
（1马赫＝340米/秒），则“DF－41型”导弹飞行多少分钟能打击到12000公里处的目标？设飞行 分钟
能打击到目标，可以得到方程（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】结合单位的换算，根据路程=速度 时间建立方程即可得．
【详解】解：因为1分钟 秒，1公里 米，
所以可列方程为 ，
故选：D．
【点睛】本题考查了列一元一次方程，找准等量关系是解题关键．
2．（2022·辽宁营口·统考中考真题）我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》一书是中国较早的数学著作之一，
书中记载一道问题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及
之？”题意是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，试问快马几天可以追上慢马？若
设快马x天可以追上慢马，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设快马x天可以追上慢马，根据路程=速度×时间，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【详解】解：设快马x天可以追上慢马，
依题意，得： 240x-150x=150×12．
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关
键．
3．（2022·湖南岳阳·统考中考真题）我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：今有百
鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽，问：城中家几何？大意为：今有100头鹿进城，每家取
一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，问：城中有多少户人家？在这个问题中，城中
人家的户数为（ ）
A．25 B．75 C．81 D．90
【答案】B
【分析】设城中有 户人家，利用鹿的数量 城中人均户数 城中人均户数，即可得出关于 的一元一
次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设城中有 户人家，
依题意得： ，
解得： ，
∴城中有75户人家．故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
4．（2022·江苏南通·统考中考真题）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，
余三．问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，
多余3钱。问人数、羊价各是多少？若设人数为x，则可列方程为___________．
【答案】5x+45=7x-3
【分析】根据“若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，多余3钱”，即可得出关于x的方程，此题得
解．
【详解】解：依题意，得：5x+45=7x-3．
故答案为：5x+45=7x-3．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．
5．（2022·湖南益阳·统考中考真题）近年来，洞庭湖区环境保护效果显著，南迁的候鸟种群越来越多．为
了解南迁到该区域某湿地的A种候鸟的情况，从中捕捉40只，戴上识别卡并放回；经过一段时间后观察发
现，200只A种候鸟中有10只佩有识别卡，由此估计该湿地约有 _____只A种候鸟．
【答案】800
【分析】在样本中“200只A种候鸟中有10只佩有识别卡”，即可求得有识别卡的所占比例，而这一比例
也适用于整体，据此即可解答．
【详解】解：设该湿地约有x只A种候鸟，
则200：10＝x：40，
解得x＝800．
故答案为：800．
【点睛】本题主要考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可．
6．（2022·辽宁大连·统考中考真题）我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有共买豕，
人出一百，盈一百；人出九十，适足．”其大意是：“今有人合伙买猪，每人出100钱，则会多出100钱；
每人出90钱，恰好合适．”若设共有x人，根据题意，可列方程为____________．
【答案】
【分析】根据“每人出100钱，则会多出100钱”用x表示出买猪需要的钱；根据“每人出90钱，恰好合
适”用x表示出买猪需要的钱；二者相等，即可列方程.
【详解】依题意： .
故答案为：100x-100=90x.
【点睛】本题考查一元一次方程得实际应用，找到等量关系是本题解题关键.
7．（2022·吉林长春·统考中考真题）《算法统宗》是中国古代重要的数学著作，其中记载：我问开店李三
公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．其大意为：今有若干人住店，若每间住7人，
则余下7人无房可住；若每间住9人，则余下一间无人住，设店中共有x间房，可求得x的值为________．
【答案】8
【分析】设店中共有x间房，根据“今有若干人住店，若每间住7人，则余下7人无房可住；若每间住9人，则余下一间无人住”可列一元一次方程，求解即可．
【详解】设店中共有x间房，
由题意得， ，
解得 ，
所以，店中共有8间房，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，准确理解题意，找到等量关系是解题的关键．
8．（2022·湖北宜昌·统考中考真题）某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，
使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份
的2倍少100吨．
(1)求4月份再生纸的产量；
(2)若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加 ．5月份每吨再生纸的利润比
上月增加 ，则5月份再生纸项目月利润达到66万元．求 的值；
(3)若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比
上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了 ．求6月份每吨再生纸的利润是多少
元？
【答案】(1)4月份再生纸的产量为500吨
(2) 的值20
(3)6月份每吨再生纸的利润是1500元
【分析】（1）设3月份再生纸产量为 吨，则4月份的再生纸产量为 吨，然后根据该厂3，4月
份共生产再生纸800吨，列出方程求解即可；
（2）根据总利润=每一吨再生纸的利润×数量列出方程求解即可；
（3）设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为 ，5月份再生纸的产量为 吨，根据总利润=每一吨再
生纸的利润×数量列出方程求解即可；
【详解】（1）解：设3月份再生纸产量为 吨，则4月份的再生纸产量为 吨，
由题意得： ，
解得： ，
∴ ，
答：4月份再生纸的产量为500吨；
（2）解：由题意得： ，
解得： 或 （不合题意，舍去）
∴ ，
∴ 的值20；（3）解：设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为 ，5月份再生纸的产量为 吨，
∴
答：6月份每吨再生纸的利润是1500元．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，正确理解题意，列出方程求解是解
题的关键．
【考向二 解二元一方程组】
例题：（2022·广西柳州·统考中考真题）解方程组： ．
【答案】
【分析】用加减消元法解方程组即可．
【详解】解：①+②得：3x＝9，
∴x＝3，
将x＝3代入②得：6+y＝7，
∴y＝1．
∴原方程组的解为： ．
【点睛】本题考查解方程组，解二元一次方程组的常用方法：代入消元法和加减消元法，选择合适的方法
是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·山东聊城·统考中考真题）关于 ， 的方程组 的解中 与 的和不小于5，则
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由两式相减，得到 ，再根据x 与 y 的和不小于5列出不等式即可求解．
【详解】解：把两个方程相减，可得 ，
根据题意得： ，
解得： ．
所以 的取值范围是 ．
故选：A．
【点睛】本题考查二元一次方程组、不等式，将两式相减得到x与y的和是解题的关键．2．（2022·辽宁沈阳·统考中考真题）二元一次方程组 的解是______．
【答案】 ##
【分析】利用代入消元法进行求解方程组的解即可．
【详解】解：
把②代入①得： ，解得： ，
把 代入②得： ；
∴原方程组的解为 ；
故答案为 ．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
3．（2022·山东潍坊·中考真题）方程组 的解为___________．
【答案】
【分析】用①×2+②×3，可消去未知数y，求出未知数x，再把x的值代入②求出y即可．
【详解】解： ，
①×2+②×3，得13x=26，
解得：x=2，
把x=2代入②，得6-2y=0，
解得y=3，
故方程组的解为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元方程转化为一
元方程是解题的关键．
4．（2022·江苏无锡·统考中考真题）二元一次方程组 的解为________．
【答案】【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【详解】解： ．
①+②×2得：7x=14，
解得：x=2，
把x=2代入②得：2×2-y=1
解得：y=3，
所以，方程组的解为 ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
5．（2022·湖北随州·统考中考真题）已知二元一次方程组 ，则 的值为______．
【答案】1
【分析】直接由②-①即可得出答案．
【详解】原方程组为 ，
由②-①得 ．
故答案为：1．
【点睛】本题考查二元一次方程组的特殊解法，解题的关键是学会观察，并用整体法求解．
6．（2022·贵州黔东南·统考中考真题）若 ，则 的值是________．
【答案】9
【分析】根据非负数之和为0，每一项都为0，分别算出x，y的值，即可
【详解】∵
∴
解得：故答案为：9
【点睛】本题考查非负数之和为零，解二元一次方程组；根据非负数之和为零，每一项都为0，算出x，y
的值是解题关键
7．（2022·山东淄博·统考中考真题）解方程组：
【答案】
【分析】整理方程组得 ，继而根据加减消元法解二元一次方程组即可求解．
【详解】解：整理方程组得 ，
得 ，
y=1，
把y=1代入①得 ，
解得x=5，
∴方程组的解为 .
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，正确的计算是解题的关键．
8．（2022·广西桂林·统考中考真题）解二元一次方程组： ．
【答案】
【分析】利用加减消元法可解答．
【详解】解：
①+②得：2x＝4，
∴x＝2，
把x＝2代入①得：2﹣y＝1，
∴y＝1，
∴原方程组的解为： ．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解法，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．
9．（2022·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）计算求解：(1)计算
(2)解方程组
【答案】(1) 5
(2)
【分析】（1）先去绝对值，算负整数指数幂，将特殊角三角函数值代入，再计算即可；
（2）直接解二元一次方程组即可．
(1)
原式＝2 + 3
5；
(2)
整理方程组得： ，
由①得：y＝5-4x③，
将③代入②得：-5x＝5，
解得：x＝-1，
将x＝-1代入③得：y＝9，
则方程组得解为： ．
【点睛】本题考查实数运算和解二元一次方程组，解答本题的关键是掌握各知识点的运算法则．
【考向三 实际问题与二元一次方程组】
例题：（2022·内蒙古·中考真题）某商店决定购进A、B两种北京冬奥会纪念品．若购进A种纪念品10件，
B种纪念品5件，需要1000元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品3件，需要550元．
(1)求购进A、B两种纪念品的单价；
(2)若该商店决定拿出1万元全部用来购进这两种纪念品，考虑市场需求，要求购进A种纪念品的数量不少
于B种纪念品数量的6倍，且购进B种纪念品数量不少于20件，那么该商店共有几种进货方案？
(3)若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案
中，哪一种方案获利最大？求出最大利润．
【答案】(1)购进A、B两种纪念品的单价分别为50元、100元
(2)共有6种进货方案(3)当购进A种纪念品160件B种纪念品20件时，可获得最大利润，最大利润是3800元
【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组进行求解即可；
（2）根据题意列出一元一次不等式组进行求解即可；
（3）设总利润为W元，求出W和x之间的函数关系式，利用一次函数的性质进行求解即可．
【详解】（1）设A种纪念品单价为a元，B种纪念品单价为b元
根据题意，得 解得
∴购进A、B两种纪念品的单价分别为50元、100元.
（2）设该商店购进A种纪念品x个，购进B种纪念品y个
根据题意，得
变形得
由题意得：
由①得：
由②得：
∴
∵x，y均为正整数
∴x可取的正整数值是150，152，154，156，158，160
与x相对应的y可取的正整数值是25，24，23，22，21，20
∴共有6种进货方案.
（3）设总利润为W元
则
∵
∴W随x的增大而增大
∴当 时，W有最大值： （元）
∴当购进A种纪念品160件，B种纪念品20件时，可获得最大利润，最大利润是3800元．
【点睛】本题考查二元一次方程组、一元一次不等式组和一次函数的实际应用．根据题意正确的列出二元
一次方程组，一元一次不等式组，根据一次函数的性质进行求解，是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·山东日照·统考中考真题）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：
“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳
子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？
可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设木头长为x尺，绳子长为y尺，根据“用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳
子对折再量木头，则木头还剩余1尺”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：设木头长为x尺，绳子长为y尺，
由题意可得 ．
故选：D．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
2．（2022·广东深圳·统考中考真题）张三经营了一家草场，草场里面种植上等草和下等草．他卖五捆上等
草的根数减去11根，就等于七捆下等草的根数；卖七捆上等草的根数减去25根，就等于五捆下等草的根
数．设上等草一捆为 根，下等草一捆为 根，则下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设上等草一捆为 根，下等草一捆为 根，根据“卖五捆上等草的根数减去11根，就等于七捆下
等草的根数；卖七捆上等草的根数减去25根，就等于五捆下等草的根数．”列出方程组，即可求解．
【详解】解：设上等草一捆为 根，下等草一捆为 根，根据题意得：
．
故选：C
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
3．（2022·辽宁抚顺·统考中考真题）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，
余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5
尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，木长多少尺？若设绳子长x尺，木长y尺，所列方程组正确
的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题的等量关系是：绳长-木长=4.5，木长- 绳长=1，据此可以列方程求解；
【详解】设绳子长x尺，木长y尺，依题意可得： ，
故选：C
【点睛】此题考查二元一次方程组问题，关键是弄清题意，找准等量关系，列方程求解
4．（2022·贵州贵阳·统考中考真题）“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第
八章名为“方程”如： 从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数 ， 的系
数与相应的常数项，即可表示方程 ，则 表示的方程是_______．
【答案】
【分析】根据横着的算筹为10，竖放的算筹为1，依次表示 的系数与等式后面的数字，即可求解．
【详解】解： 表示的方程是
故答案为：
【点睛】本题考查了列二元一次方程组，理解题意是解题的关键．
5．（2022·山东枣庄·统考中考真题）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，其书中卷八
方程[七]中记载：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．牛、羊各直金几何？”题目大
意是：“5头牛、2只羊共值金10两．2头牛、5只羊共值金8两，每头牛、每只羊各值金多少两？”根据
题意，可求得1头牛和1只羊共值金 _____两．
【答案】
【分析】根据已知条件，设每头牛x两，每只羊y两，建立二元一次方程组求解可得．
【详解】解：设每头牛x两，每只羊y两，
根据题意，可得
，
，
1头牛和1只羊共值金 两，
故答案为： ．
【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用．恰当利用已知条件找出等式关系，列出二元一次方程组是
解本题的关键．
6．（2022·吉林·统考中考真题）《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，音hú，是古代一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可
以盛酒2斛．1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶可以盛酒 斛、1个小桶可以盛酒 斛．
根据题意，可列方程组为__________．
【答案】
【分析】根据题中两个等量关系：5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛；1个大桶加上5个小桶可以盛酒2
斛，列出方程组即可．
【详解】由题意得：
故答案为： ．
【点睛】本题考查了列二元一次方程组解实际问题，理解题意、找到等量关系并列出方程组是解题的关键．
7．（2022·辽宁朝阳·统考中考真题）某中学要为体育社团购买一些篮球和排球，若购买3个篮球和2个排
球，共需560元；若购买2个篮球和4个排球，共需640元．
(1)求每个篮球和每个排球的价格分别是多少元；
(2)该中学决定购买篮球和排球共10个，总费用不超过1100元，那么最多可以购买多少个篮球？
【答案】(1)每个篮球的价格是120元，每个排球的价格是100元
(2)5
【分析】（1）设每个篮球的价格是x元，每个排球的价格是y元，根据“购买3个篮球和2个排球，共需
560元；若购买2个篮球和4个排球，共需640元．”列出方程组，即可求解；
（2）设购买m个篮球，则购买排球（10-m）根据“总费用不超过1100元，”列出不等式，即可求解．
【详解】（1）解：设每个篮球的价格是x元，每个排球的价格是y元，根据题意得：
，解得： ，
答：每个篮球的价格是120元，每个排球的价格是100元；
（2）解：设购买m个篮球，则购买排球（10-m）根据题意得：
120m+100（10-m）≤1100，
解得m≤5，
答：最多可以购买5个篮球．
【点睛】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解题的关键是读憧题意，列出方程组和不等
式．
8．（2022·辽宁阜新·统考中考真题）某公司引入一条新生产线生产A，B两种产品，其中A产品每件成本
为 元，销售价格为 元，B产品每件成本为 元，销售价格为 元，A，B两种产品均能在生产当月
全部售出．
(1)第一个月该公司生产的A，B两种产品的总成本为 元，销售总利润为 元，求这个月生产A，B
两种产品各多少件？(2)下个月该公司计划生产A，B两种产品共 件，且使总利润不低于 元，则B产品至少要生产多少
件？
【答案】(1)这个月生产 产品 件， 产品 件
(2)140件
【分析】（1）设生产 产品 件， 产品 件，根据题意列出方程组，求出即可；
（2）设 产品生产 件，则 产品生产 件，根据题意列出不等式组，求出即可．
【详解】（1）解：设生产 产品 件， 产品 件，
根据题意，得
解得 ，
∴这个月生产 产品 件， 产品 件，
答：这个月生产 产品 件， 产品 件；
（2）解：设 产品生产 件，则 产品生产 件，
根据题意，得 ，
解这个不等式，得 ．
∴ 产品至少生产 件，
答： 产品至少生产 件．
【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，能根据题意列出方程组和不等式是解此题
的关键．
9．（2022·四川巴中·统考中考真题）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，市场上猪肉粽进价比豆沙粽进
价每盒贵10元，一盒猪肉粽加两盒豆沙粽进价为100元．
(1)求每盒猪肉粽和豆沙粽的进价；
(2)在销售中，某商家发现当每盒猪肉粽售价为50元时，每天可售出100盒，若每盒售价提高1元，则每天
少售出2盒．设每盒猪肉粽售价为 元，销售猪肉粽的利润为 元，求该商家每天销售猪肉粽获得的最大
利润．
【答案】(1)每盒猪肉粽的进价为40元，每盒豆沙粽进价为30元
(2)1800元
【分析】（1）设每盒猪肉粽的进价为 元，每盒豆沙粽的进价为 元，根据猪肉粽进价比豆沙粽进价每盒
贵10元，一盒猪肉粽加两盒豆沙粽进价为100元列出方程组，解出即可．
（2）根据当 时，每天可售出100盒，每盒猪肉粽售价为a元时，每天可售出猪肉粽
盒，列出二次函数关系式，再化成顶点式即可得解．
（1）
设每盒猪肉粽的进价为 元，每盒豆沙粽的进价为 元，由题意得：解得：
每盒猪肉粽的进价为40元，每盒豆沙粽进价为30元．
（2）
．
当 时，w最大值为1800元．
∴该商家每天销售猪肉粽获得的最大利润为1800元．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用以及二次函数的实际应用，根据题意列出相应的函数
关系式是解此题的关键．
10．（2022·山东济南·统考中考真题）为增加校园绿化面积，某校计划购买甲、乙两种树苗．已知购买20
棵甲种树苗和16棵乙种树苗共花费1280元，购买1棵甲种树苗比1棵乙种树苗多花费10元．
(1)求甲、乙两种树苗每棵的价格分别是多少元？
(2)若购买甲、乙两种树苗共100棵，且购买乙种树苗的数量不超过甲种树苗的3倍，则购买甲、乙两种树
苗各多少棵时花费最少？请说明理由．
【答案】(1)甲种树苗每棵40元，乙种树苗每棵30元
(2)当购买甲种树苗25棵，乙种树苗75棵时，花费最少，理由见解析
【分析】（1）设每棵甲种树苗的价格为x元，每棵乙种树苗的价格y元，由“购买20棵甲种树苗和16棵
乙种树苗共花费1280元，购买1棵甲种树苗比1棵乙种树苗多花费10元”列出方程组，求解即可；
（2）设购买甲种树苗 棵，则购买乙种树苗 棵，购买两种树苗总费用为 元得出一次函数，根
据一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）设甲种树苗每棵 元，乙种树苗每棵 元．
由题意得， ，解得 ，
答：甲种树苗每棵40元，乙种树苗每棵30元．
（2）设购买甲种树苗 棵，则购买乙种树苗 棵，购买两种树苗总费用为 元，
由题意得 ， ，
由题意得 ，解得 ，
因为 随 的增大而增大，所以当 时 取得最小值．
答：当购买甲种树苗25棵，乙种树苗75棵时，花费最少．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，找到正确的数量关系是本题的关键．
11．（2022·江苏淮安·统考中考真题）端午节前夕，某超市从厂家分两次购进 、 两种品牌的粽子，两次
进货时，两种品牌粽子的进价不变．第一次购进 品牌粽子100袋和 品牌粽子150袋，总费用为7000元；第二次购进 品牌粽子180袋和 品牌粽子120袋，总费用为8100元．
(1)求 、 两种品牌粽子每袋的进价各是多少元；
(2)当 品牌粽子销售价为每袋54元时，每天可售出20袋，为了促销，该超市决定对 品牌粽子进行降价
销售．经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋．当 品牌粽子每袋的销售
价降低多少元时，每天售出 品牌粽子所获得的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1) 种品牌粽子每袋的进价是25元， 种品牌粽子每袋的进价是30元
(2)当 品牌粽子每袋的销售价降低10元时，每天售出 品牌粽子所获得的利润最大，最大利润是980元
【分析】（1）根据已知数量关系列二元一次方程组，即可求解；
（2）设 品牌粽子每袋的销售价降低 元，利润为 元，列出 关于 的函数关系式，求出函数的最值即
可．
【详解】（1）解：设 种品牌粽子每袋的进价是 元， 种品牌粽子每袋的进价是 元，
根据题意得， ，
解得 ，
故 种品牌粽子每袋的进价是25元， 种品牌粽子每袋的进价是30元；
（2）解：设 品牌粽子每袋的销售价降低 元，利润为 元，
根据题意得，
，
∵ ，
∴当 品牌粽子每袋的销售价降低10元时，每天售出 品牌粽子所获得的利润最大，最大利润是980元．
【点睛】本题考查二次函数和二元一次方程的实际应用，根据已知数量关系列出函数解析式和二元一次方
程组是解题的关键．
【考向四 解一元二次方程】
例题：（2022·四川凉山·统考中考真题）解方程：x2－2x－3＝0
【答案】
【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可得．
【详解】解： ，
，
或 ，
或 ，
故方程的解为 ．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（配方法、因式分解法、公式
法、换元法等）是解题关键．【变式训练】
1．（2022·山东东营·统考中考真题）一元二次方程 的解是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用配方法解方程即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
故选D．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
2．（2022·山东临沂·统考中考真题）方程 的根是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】B
【分析】先把方程的左边分解因式化为 从而可得答案．
【详解】解： ，
或
解得：
故选B
【点睛】本题考查的是利用因式分解的方法解一元二次方程，掌握“十字乘法分解因式”是解本题的关键．
3．（2022·湖南益阳·统考中考真题）若x＝﹣1是方程x2+x+m＝0的一个根，则此方程的另一个根是
（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【答案】B
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
【详解】设x2+x+m＝0另一个根是α，
∴﹣1+α＝﹣1，∴α＝0，
故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练运用一元二次方程根与系数的关系，
本题属于基础题型．
4．（2022·云南·中考真题）方程2x2+1=3x的解为________．
【答案】
【分析】先移项，再利用因式分解法解答，即可求解．
【详解】解：移项得： ，
∴ ，
∴ 或 ，
解得： ，
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，并灵活选用合适的方法解答是
解题的关键．
5．（2022·广西梧州·统考中考真题）一元二次方程 的根是_________．
【答案】 ，
【分析】由两式相乘等于0，则这两个式子均有可能为0即可求解．
【详解】解：由题意可知： 或 ，
∴ 或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查一元二次方程的解法，属于基础题，计算细心即可．
6．（2022·湖北荆州·统考中考真题）一元二次方程 配方为 ，则k的值是______．
【答案】１
【分析】将原方程 变形成与 相同的形式，即可求解．
【详解】解：
∴
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程中的配方法，掌握配方法的解题步骤是解本题的关键．7．（2022·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）解方程：
【答案】 ，
【分析】直接开方可得 或 ，然后计算求解即可．
【详解】解：∵
∴ 或
解得 ， ．
【点睛】本题考查了解一元二次方程．解题的关键在于灵活选取适当的方法解方程．
【考向五 一元二次方程根与系数的关系】
例题：（2022·四川眉山·中考真题）设 ， 是方程 的两个实数根，则 的值为
________．
【答案】10
【分析】由根与系数的关系，得到 ， ，然后根据完全平方公式变形求值，即可得到答
案．
【详解】解：根据题意，
∵ ， 是方程 的两个实数根，
∴ ， ，
∴ ；
故答案为：10．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式变形求值，解题的关键是掌握得到
， ．
【变式训练】
1．（2022·江苏淮安·统考中考真题）若关于 的一元二次方程 没有实数根，则 的值可以是
（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【分析】根据根的判别式列出不等式求出k的范围即可求出答案．
【详解】解：∵一元二次方程 没有实数根，
∴ ，
∴ ，
故选：A.
【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当 时，方程无实数根”是解题的关键．
2．（2022·四川攀枝花·统考中考真题）若关于x的方程 有实数根，则实数m的取值的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程有实数根 ，列不等式求解即可．
【详解】解析： 关于x的方程 有实数根，
，
解得 ，
故选C．
【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与判别式之间的关系是解
答此题的关键．
3．（2022·四川巴中·统考中考真题）对于实数 ， 定义新运算： ，若关于 的方程
有两个不相等的实数根，则 的取值范围（ ）
A． B． C． 且 D． 且
【答案】A
【分析】根据新定义运算法则列方程，然后根据一元二次方程的概念和一元二次方程的根的判别式列不等
式组求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
即 ，
∵关于 的方程 有两个不相等的实数根，
∴ ，
解得： ，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题属于新定义题目，考查一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式 当Δ＞
0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0方程没有实数根．
4．（2022·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）已知 ， 是方程 的两个实数根，则代数式
的值是（ ）
A．4045 B．4044 C．2022 D．1
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的解，以及一元二次方程根与系数的关系即可求解．【详解】解：解：∵ ， 是方程 的两个实数根，
∴ ， ，
故选A
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，掌握一元二次方程根与系数
的关系是解题的关键．
5．（2022·贵州黔东南·统考中考真题）已知关于 的一元二次方程 的两根分别记为 ， ，
若 ，则 的值为（ ）
A．7 B． C．6 D．
【答案】B
【分析】根据根与系数关系求出 =3，a=3，再求代数式的值即．
【详解】解：∵一元二次方程 的两根分别记为 ， ，
∴ + =2，
∵ ，
∴ =3，
∴ · =-a=-3，
∴a=3，
∴ ．
故选B．
【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数关系，代数式的值，掌握一元二次方程的根与系数关系，代数
式的值是解题关键．
6．（2022·江苏徐州·统考中考真题）若一元二次方程x2＋x－c＝0没有实数根，则c的取值范围是________．
【答案】 ##
【分析】根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解．
【详解】解：∵一元二次方程x2＋x－c＝0没有实数根，
∴ ，
解得 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程 ( 为常数)的根的判别式 ，理解
根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程没有实数根．
7．（2022·辽宁丹东·统考中考真题）关于x的一元二次方程x2+3x+m＝0没有实数根，则m的取值范围是
______．
【答案】
【分析】由一元二次方程没有实数根可得 再解不等式即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2+3x+m＝0没有实数根，
∴
解得：
故答案为：
【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握“一元二次方程 没有实数根，
则 ”是解本题的关键．
8．（2022·广东深圳·统考中考真题）已知一元二次方程 有两个相等的实数根，则 的值为
________________．
【答案】9
【分析】根据根的判别式的意义得到△ ，然后解关于 的方程即可．
【详解】解：根据题意得△ ，
解得 ．
故答案为：9．
【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程 的根与△
有如下关系：当△ 时，方程有两个不相等的实数根；当△ 时，方程有两个相等的实数
根；当△ 时，方程无实数根．
9．（2022·四川巴中·统考中考真题） 、 是关于 的方程 的两个实数根，且
，则 的值为________．
【答案】
【分析】 ，然后根据方程的解的定义以及一元二次方程根与系数的关系，
得到关于k的一元一次方程，即可解得答案．
【详解】解：∵ 是方程 的根
∴ ，
∴
∴k=-4
故答案是-4．【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，掌握相关知识并熟练使用，同时注意解题中
需注意的问题是本题的解题关键．
10．（2022·山东日照·统考中考真题）关于x的一元二次方程2x2+4mx+m=0有两个不同的实数根x，x，且
1 2
，则m=__________．
【答案】 ##-0.125
【分析】根据根与系数的关系得到x+x=-2m，xx= ，再由x2+x2= 变形得到（x+x）2-2xx= ，即可
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
得到4m2-m= ，然后解此方程即可．
【详解】解：根据题意得x+x=-2m，xx= ，
1 2 1 2
∵x2+x2= ，
1 2
∴（x+x）2-2xx= ，
1 2 1 2
∴4m2-m= ，
∴m=- ，m= ，
1 2
∵Δ=16m2-8m＞0，
∴m＞ 或m＜0时，
∴m= 不合题意，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x，x 是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时， ，
1 2
．
11．（2022·四川内江·统考中考真题）已知x、x 是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且
1 2
＝x2+2x﹣1，则k的值为 _____．
1 2
【答案】2
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系以及解的定义得到x+x＝2，x•x＝k﹣1，x2﹣2x+k﹣1＝0，
1 2 1 2 1 1再根据 ＝x2+2x﹣1，推出 ＝4﹣k，据此求解即可．
1 2
【详解】解：∵x、x 是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，
1 2
∴x+x＝2，x•x＝k﹣1，x2﹣2x+k﹣1＝0，
1 2 1 2 1 1
∴x2＝2x﹣k+1，
1 1
∵ ＝x2+2x﹣1，
1 2
∴ ＝2（x+x）﹣k，
1 2
∴ ＝4﹣k，
解得k＝2或k＝5，
当k＝2时，关于x的方程为x2﹣2x+1＝0，Δ≥0，符合题意；
当k＝5时，关于x的方程为x2﹣2x+4＝0，Δ＜0，方程无实数解，不符合题意；
∴k＝2，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程根与
系数的关系是解题的关键．
【考向六 实际问题与一元二次方程】
例题：（2022·江苏泰州·统考中考真题）如图，在长为50m，宽为38m的矩形地面内的四周修筑同样宽的
道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为1260m2，道路的宽应为多少？
【答案】4m
【分析】根据题意设道路的宽应为x米，则种草坪部分的长为(50−2x)m，宽为(38−2x)m，再根据题目中的等
量关系建立方程即可得解．
【详解】解：设道路的宽应为x米，由题意得
(50-2x)×(38-2x)=1260
解得：x=4，x=40(不符合题意，舍去)
1 2
答：道路的宽应为4m．
【点睛】此题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是能根据题目中的等量关系建立方程．
【变式训练】1．（2022·宁夏·中考真题）受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地 号汽油价格三月
底是 元/升，五月底是 元/升．设该地 号汽油价格这两个月平均每月的增长率为 ，根据题意列出
方程，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设该地 号汽油价格这两个月平均每月的增长率为 ，根据三月底和五月底92号汽油价格，得
出关于x的一元二次方程即可．
【详解】解：依题意，得 ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程解决实际问题的知识，找准数量关系，正确列出一元二次方程式解
题关键．
2．（2022·黑龙江·统考中考真题）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循
环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（ ）
A．8 B．10 C．7 D．9
【答案】B
【分析】设有x支队伍，根据题意，得 ，解方程即可．
【详解】设有x支队伍，根据题意，得 ，
解方程，得x=10，x=-9（舍去），
1 2
故选B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
3．（2022·辽宁沈阳·统考中考真题）如图，用一根长60厘米的铁丝制作一个“日”字型框架ABCD，铁丝
恰好全部用完．
(1)若所围成矩形框架ABCD的面积为144平方厘米，则AB的长为多少厘米？
(2)矩形框架ABCD面积最大值为______平方厘米．
【答案】(1)AB的长为8厘米或12厘米．
(2)150【分析】（1）设AB的长为x厘米，则有 厘米，然后根据题意可得方程 ，进
而求解即可；
（2）由（1）可设矩形框架ABCD的面积为S，则有 ，然后根据二次函数
的性质可进行求解．
【详解】（1）解：设AB的长为x厘米，则有 厘米，由题意得：
，
整理得： ，
解得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ 都符合题意，
答：AB的长为8厘米或12厘米．
（2）解：由（1）可设矩形框架ABCD的面积为S平方厘米，则有：
，
∵ ，且 ，
∴当 时，S有最大值，即为 ；
故答案为：150．
【点睛】本题主要考查一元二次方程及二次函数的应用，解题的关键是找准题干中的等量关系．
4．（2022·江苏无锡·统考中考真题）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖
场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形，
已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）．
(1)若矩形养殖场的总面积为36 ，求此时x的值；
(2)当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？【答案】(1)x的值为2m；
(2)当 时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为 m2
【分析】（1）由BC=x，求得BD=3x，AB=8-x，利用矩形养殖场的总面积为36 ，列一元二次方程，解
方程即可求解；
（2）设矩形养殖场的总面积为S，列出矩形的面积公式可得S关于x的函数关系式，再根据二次函数的性
质求解即可．
【详解】（1）解：∵BC=x，矩形CDEF的面积是矩形BCFA面积的2倍，
∴CD=2x，
∴BD=3x，AB=CF=DE= (24-BD)=8-x，
依题意得：3x(8-x)=36，
解得：x=2，x=6(不合题意，舍去)，
1 2
此时x的值为2m；
；
（2）解：设矩形养殖场的总面积为S，
由（1）得：S=3x(8-x)=-3(x-4)2+48，
∵墙的长度为10，
∴0＜3x＜10，
∴0＜x＜ ，
∵-3<0，
∴x＜4时，S随着x的增大而增大，
∴当x= 时，S有最大值，最大值为 ，
即当 时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为 m2．
【点睛】本题考查了一元二次方程和二次函数在几何图形问题中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数的
性质是解题的关键．
5．（2022·辽宁朝阳·统考中考真题）某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，
每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数）．当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件．
(1)求y与x之间的函数关系式．
(2)若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？
(3)设该商店销售这种消毒用品每天获利w（元），当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最
大？最大利润是多少元？
【答案】(1)
(2)13
(3)每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元．
【分析】（1）根据给定的数据，利用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式；
（2）根据每件的销售利润×每天的销售量=425，解一元二次方程即可；
（3）利用销售该消毒用品每天的销售利润=每件的销售利润×每天的销售量，即可得出w关于x的函数关系
式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．
【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为 ，根据题意得：
，解得： ，
∴y与x之间的函数关系式为 ；
（2）解：（-5x+150）（x-8）=425，
整理得： ，
解得： ，
∵8≤x≤15，
∴若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为13元；
（3）解：根据题意得：
∵8≤x≤15，且x为整数，
当x<19时，w随x的增大而增大，
∴当x=15时，w有最大值，最大值为525．
答：每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及二次函数的应用，解题的关键是找准题目的等量关
系，
6．（2022·辽宁丹东·统考中考真题）丹东是我国的边境城市，拥有丰富的旅游资源．某景区研发一款纪念
品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元，销售一段时间调
研发现，每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
销售单价x（元/件） … 35 40 45 …每天销售数量y（件） … 90 80 70 …
(1)直接写出y与x的函数关系式；
(2)若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？
(3)当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)y＝﹣2x+160
(2)销售单价应定为50元
(3)当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润1248元
【分析】（1）设每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）之间的关系式为y＝kx+b，用待定系数法
可得y＝﹣2x+160；
（2）根据题意得（x﹣30）•（﹣2x+160）＝1200，解方程并由销售单价不低于成本且不高于54元，可得
销售单价应定为50元；
（3）设每天获利w元，w＝（x﹣30）•（﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800＝﹣2（x﹣55）2+1250，由二次
函数性质可得当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元．
【详解】（1）解：设每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）之间的关系式为y＝kx+b，
把（35，90），（40，80）代入得： ，
解得 ，
∴y＝﹣2x+160；
（2）根据题意得：（x﹣30）•（﹣2x+160）＝1200，
解得x＝50，x＝60，
1 2
∵规定销售单价不低于成本且不高于54元，
∴x＝50，
答：销售单价应定为50元；
（3）设每天获利w元，
w＝（x﹣30）•（﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800＝﹣2（x﹣55）2+1250，
∵﹣2＜0，对称轴是直线x＝55，
而x≤54，
∴x＝54时，w取最大值，最大值是﹣2×（54﹣55）2+1250＝1248（元），
答：当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元．
【点睛】本题考查一次函数，一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式
和一元二次方程．
7．（2022·辽宁锦州·中考真题）某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现．，日销
售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．(1)求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
(2)若该玩具某天的销售利润是600元，则当天玩具的销售单价是多少元？
(3)设该玩具日销售利润为w元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1) ；
(2)40元或20元；
(3)当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大；最大利润是800元；
【分析】（1）直接由待定系数法，即可求出一次函数的解析式；
（2）根据题意，设当天玩具的销售单价是 元，然后列出一元二次方程，解方程即可求出答案；
（3）根据题意，列出w与 的关系式，然后利用二次函数的性质，即可求出答案．
【详解】（1）解：由图可知，设一次函数的解析式为 ，
把点（25，50）和点（35，30）代入，得
，解得 ，
∴一次函数的解析式为 ；
（2）解：根据题意，设当天玩具的销售单价是 元，则
，
解得： ， ，
∴当天玩具的销售单价是40元或20元；
（3）解：根据题意，则
，
整理得： ；
∵ ，
∴当 时， 有最大值，最大值为800；
∴当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大；最大利润是800元．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，一次函数的应用，解一元二次方程，解题的关键
是熟练掌握题意，正确的找出题目的关系，从而进行解题．【考向七 解分式方程】
例题：（2022·广西玉林·统考中考真题）解方程： ．
【答案】
【分析】两边同时乘以公分母 ，先去分母化为整式方程，计算出x，然后检验分母不为0，即可求解．
【详解】 ，
，
解得 ，
经检验 是原方程的解，
故原方程的解为：
【点睛】本题考查解分式方程，注意分式方程要检验．
【变式训练】
1．（2022·辽宁营口·统考中考真题）分式方程 的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先去分母，去括号，移项，合并同类项得出答案，最后检验即可．
【详解】解： ，
去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
所以 ．
经检验， 是原方程的解．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
2．（2022·海南·统考中考真题）分式方程 的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】按照解分式方程的步骤解答即可．
【详解】解：2-（x-1）=0
2-x+1=0
-x=-3
x=3
检验，当x=3时，x-1≠0，故x=3是原分式方程的解．
故答案选C．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，解分式方程的基本步骤为去分母、去括号、移项、合并同类项、系
数化为1,以及检验，特别是检验是解分式方程的关键．
3．（2022·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）方程 的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】把分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的
解．
【详解】解：
去分母得： ，
去括号得： ，
移项、合并同类项得： ，
解得：x=9，
经检验：x=9是原分式方程的解，
故选：C．
【点睛】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解题的关键是解分式方程注意要检验，避免出现增
根．
4．（2022·辽宁大连·统考中考真题）方程 的解是_______．
【答案】
【分析】先去分母，化成一元一次方程，求解，检验分母不为0，即可.
【详解】去分母得： ，
解得： ，
检验： ，
∴原方程的解为x=5.
故答案为： .
【点睛】本题考查解分式方程，注意结果要代入分母，检验分母是否为0.
5．（2022·江苏盐城·统考中考真题）分式方程 的解为__________．【答案】
【分析】方程两边同时乘以2x-1，然后求出方程的解，最后验根．
【详解】解：方程两边同乘 得
解得 ，
经检验， 是原分式方程的根，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了解分式方程的知识，解答本题的关键是掌握解分式方程的步骤，注意要验根．
6．（2022·广东广州·统考中考真题）分式方程 的解是________
【答案】
【分析】先去分母，将分式方程转化成整式方程求解，再检验即可求解；
【详解】解：方程两边同时乘以2x(x+1)，得
3(x+1)=4x
3x+3=4x
x=3，
检验：把x=3代入2x(x+1)=2×3(3+1)=24≠0，
∴原分式方程的解为：x=3．
故答案为：x=3．
【点睛】本题考查解分式方程，解分式方程的基本思想是将分式方程转化成整式方程求解，注意：解分式
方程一定要验根．
7．（2022·北京·统考中考真题）方程 的解为___________．
【答案】x=5
【分析】观察可得最简公分母是x(x+5)，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，
再进行检验即可得解．
【详解】解：
方程的两边同乘x(x+5),得：2x=x+5, 解得：x=5, 经检验：把x=5代入x(x+5)=50≠0.
故答案为：x=5.
【点睛】此题考查了分式方程的求解方法，注意掌握转化思想的应用，注意解分式方程一定要验根.
8．（2022·山东济南·统考中考真题）代数式 与代数式 的值相等，则x＝______．
【答案】7
【分析】根据题意列出分式方程，求出方程的解，得到x的值即可．
【详解】解：∵代数式 与代数式 的值相等，∴ ，
去分母
，
去括号号
，
解得 ，
检验：当 时， ，
∴分式方程的解为 ．
故答案为：7．
【点睛】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
9．（2022·浙江台州·统考中考真题）如图的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正确的，则
图中被污染的 的值是____．
先化简，再求值： ，其中
解：原式
【答案】5
【分析】根据题意得到方程 ，解方程即可求解．
【详解】解：依题意得： ，即 ，
去分母得：3-x+2(x-4)=0，
去括号得：3-x+2x-8=0，
解得：x=5，
经检验，x=5是方程的解，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．
10．（2022·青海西宁·统考中考真题）解方程： ．
【答案】
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：方程两边同乘 ，得 ，
解得 ，检验：当 时， ，
所以，原分式方程的解为 ．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，掌握求解的方法是解题的关键，注意解分式方程一定要验根．
11．（2022·广西梧州·统考中考真题）解方程：
【答案】
【分析】先方程两边同时乘以 ，化成整式方程求解，然后再检验分母是否为0即可．
【详解】解：方程两边同时乘以 得到： ，
解出： ，
当 时分式方程的分母不为0，
∴分式方程的解为： ．
【点睛】本题考查了分式方程的解法，属于基础题，计算过程中细心即可．
12．（2022·广西贺州·统考中考真题）解方程： ．
【答案】原方程无解
【分析】方程两边同时乘以最简公分母 ，先去分母，化为整式方程，再去括号、移项、合并同类项、
化系数为1，最后验根即可．
【详解】解：方程两边同时乘以最简公分母 ，得
解方程，得
检验：当 时， ，
不是原方程的根，原方程无解．
【点睛】本题考查解分式方程，涉及分式有意义的条件，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
【考向八 实际问题与分式方程】
例题：（2022·贵州铜仁·统考中考真题）科学规范戴口罩是阻断新冠病毒传播的有效措施之一，某口罩生
产厂家接到一公司的订单，生产一段时间后，还剩280万个口罩未生产，厂家因更换设备，生产效率比更
换设备前提高了40%．结果刚好提前2天完成订单任务．求该厂家更换设备前和更换设备后每天各生产多
少万个口罩？
【答案】该厂家更换设备前每天生产口罩40万只，更换设备后每天生产口罩56万只．
【分析】设该厂家更换设备前每天生产口罩x万只，则该厂家更换设备后每天生产口罩（1+40%）x万只，
利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合提前2天完成订单任务，即可得出关于x的分式方程，解之经检
验后即可得出结论．
【详解】解：设该厂家更换设备前每天生产口罩x万只，则该厂家更换设备后每天生产口罩（1+40%）x万
只，依题意得： ，
解得：x=40，
经检验，x=40是原方程的解，且符合题意．
答：该厂家更换设备前每天生产口罩40万只，更换设备后每天生产口罩56万只．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·辽宁阜新·统考中考真题）我市某区为 万人接种新冠疫苗，由于市民积极配合这项工作，实际
每天接种人数是原计划的 倍，结果提前 天完成了这项工作．设原计划每天接种 万人，根据题意，
所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由实际接种人数与原计划接种人数间的关系，可得出实际每天接种 万人，再结合结果提前
天完成了这项工作，即可得出关于 的分式方程，此题得解．
【详解】解： 实际每天接种人数是原计划的 倍，且原计划每天接种 万人，
实际每天接种 万人，
又 结果提前 天完成了这项工作，
．
故选： ．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
2．（2022·辽宁朝阳·统考中考真题）八年一班学生周末乘车去红色教育基地参观学习，基地距学校60km，
一部分学生乘慢车先行，出发30min后，另一部分学生乘快车前往，结果同时到达．已知快车的速度是慢
车速度的1.5倍，求慢车的速度．设慢车每小时行驶xkm，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A． ﹣ ＝ B． ﹣ ＝
C． ﹣ ＝30 D． ﹣ ＝30
【答案】A
【分析】设慢车每小时行驶xkm，则快车每小时行驶1.5xkm，根据基地距学校60km，一部分学生乘慢车先
行，出发30min后，另一部分学生乘快车前往，结果同时到达，列方程即可．
【详解】解：设慢车每小时行驶xkm，则快车每小时行驶1.5xkm，
根据题意可得： ．故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，详解本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列
方程．
3．（2022·贵州黔西·统考中考真题）某农户承包的36亩水田和30亩旱地需要耕作．每天平均耕作旱地的
亩数比耕作水田的亩数多4亩．该农户耕作完旱地所用的时间是耕作完水田所用时间的一半，求平均每天
耕作水田的亩数．设平均每天耕作水田x亩，则可以得到的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出平均每天耕作旱地的亩数为 亩，再根据该农户耕作完旱地所用的时间是耕作完水田
所用时间的一半建立方程即可．
【详解】解：由题意可知，平均每天耕作旱地的亩数为 亩，
则可列方程为 ，
故选：D．
【点睛】本题考查了列分式方程，找准等量关系是解题关键．
4．（2022·辽宁鞍山·统考中考真题）某加工厂接到一笔订单，甲、乙车间同时加工，已知乙车间每天加工
的产品数量是甲车间每天加工的产品数量的1.5倍，甲车间加工4000件比乙车间加工4200件多用3天．设
甲车间每天加工 件产品，根据题意可列方程为_________．
【答案】
【分析】根据题意可得出乙车间每天加工1.5x件产品，再根据甲车间加工4000件比乙车间加工4200件多
用3天，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【详解】解：∵甲车间每天加工x件产品，乙车间每天加工的产品数量是甲车间每天加工的产品数量的1.5
倍，
∴乙车间每天加工1.5x件产品，
又∵甲车间加工4000件比乙车间加工4200件多用3天，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
5．（2022·山东青岛·统考中考真题）为落实青岛市中小学生“十个一”行动计划，学校举办以“强体质，
炼意志”为主题的体育节，小亮报名参加3000米比赛项目，经过一段时间训练后，比赛时小亮的平均速度
比训练前提高了25%，少用3分钟跑完全程．设小亮训练前的平均速度为x米/分，那么x满足的分式方程
为__________．【答案】
【分析】根据比赛时小亮的平均速度比训练前提高了25%，可得比赛时小亮平均速度为(1+25%)x米/分，根
据比赛时所用时间比训练前少用3分钟列出方程．
【详解】解：∵比赛时小亮的平均速度比训练前提高了25%，小亮训练前的平均速度为x米/分，
∴比赛时小亮平均速度为(1+25%)x米/分，
根据题意可得 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
6．（2022·黑龙江牡丹江·统考中考真题）某玩具厂生产一种玩具，甲车间计划生产500个，乙车间计划生
产400个，甲车间每天比乙车间多生产10个，两车间同时开始生产且同时完成任务 ．设乙车间每天生产
个，可列方程为___________ ．
【答案】
【分析】设乙车间每天生产x个，根据甲车间计划生产500个，乙车间计划生产400个，甲车间每天比乙
车间多生产10个，两车间同时开始生产且同时完成任务可列出方程．
【详解】解：设乙车间每天生产x个，则 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查理解题意的能力，关键设出生产个数，以时间作为等量关系列分式方程．
7．（2022·辽宁丹东·统考中考真题）为推动家乡学校篮球运动的发展，某公司计划出资12000元购买一批
篮球赠送给家乡的学校．实际购买时，每个篮球的价格比原价降低了20元，结果该公司出资10000元就购
买了和原计划一样多的篮球，每个篮球的原价是多少元？
【答案】每个篮球的原价是120元．
【分析】设每个篮球的原价是x元，则每个篮球的实际价格是（x﹣20）元，根据“该公司出资10000元就
购买了和原计划一样多的篮球”列出方程并解答．
【详解】解：设每个篮球的原价是x元，则每个篮球的实际价格是（x﹣20）元，
根据题意，得 ＝ ．
解得x＝120．
经检验x＝120是原方程的解．
答：每个篮球的原价是120元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
8．（2022·宁夏·中考真题）某校购进一批篮球和排球，篮球的单价比排球的单价多 元．已知 元购进
的篮球数量和 元购进的排球数量相等．(1)篮球和排球的单价各是多少元？
(2)现要购买篮球和排球共 个，总费用不超过 元．篮球最多购买多少个？
【答案】(1)篮球的单价为 元，排球的单价为 元
(2)最多购买 个篮球
【分析】（1）设排球的单价为x元，则篮球的单价为（x+30）元，由题意：330元购进的篮球数量和240
元购进的排球数量相等．列出分式方程，解方程即可；
（2）设购买排球y个，则购买篮球（20-y）个，由题意：购买篮球和排球的总费用不超过1800元，列出
一元一次不等式，解不等式即可．
【详解】（1）设排球的单价为 元，则篮球的单价为 元，
根据题意得： ，
解得： ，
经检验， 是原分式方程的解，且符合题意，
．
篮球的单价为 元，排球的单价为 元．
（2）设购买篮球 个，则购买排球 个，
依题意得： ，
解得 ，
即 的最大值为 ，
最多购买 个篮球．
【点睛】此题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，
正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次不等式．
9．（2022·西藏·统考中考真题）某班在庆祝中国共产主义青年团成立100周年活动中，给学生发放笔记本
和钢笔作为纪念品．已知每本笔记本比每支钢笔多2元，用240元购买的笔记本数量与用200元购买的钢
笔数量相同．
(1)笔记本和钢笔的单价各多少元？
(2)若给全班50名学生每人发放一本笔记本或一支钢笔作为本次活动的纪念品，要使购买纪念品的总费用
不超过540元，最多可以购买多少本笔记本？
【答案】(1)笔记本每本12元，钢笔每支10元
(2)最多购买笔记本20本
【分析】（1）设钢笔的价格为x元，则笔记本的价格为x+2元，根据题目中的等量关系列方程并求解即可；
（2）设笔记本的数量为y本，则钢笔的数量为50-ｙ支，根据题意列关于y的不等式，解不等式并找到最
大整数解即为答案．
【详解】（1）设每支钢笔x元，依题意得：解得：x＝10，
经检验：x＝10是原方程的解，
故笔记本的单价为：10+2＝12（元），
答：笔记本每本12元，钢笔每支10元．
（2）设购买y本笔记本，则购买钢笔（50﹣y）支，依题意得：
12y+10（50﹣y）≤540，
解得：y≤20，
故最多购买笔记本20本．
【点睛】本题考查了用分式方程和一元一次不等式解决问题，找到题目中的等量关系并列出关于未知数的
方程或不等式，仔细计算是本题的解题关键．
10．（2022·山东东营·统考中考真题）为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销
售.经了解，甲水果的进价比乙水果的进价低20%，水果店用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水
果的重量多10千克，已知甲，乙两种水果的售价分别为6元/千克和8元/千克.
(1)求甲、乙两种水果的进价分别是多少？
(2)若水果店购进这两种水果共150千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，则水果店应如
何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？
【答案】(1)甲种水果的进价是4元/千克，乙种水果的进价是5元/千克；
(2)水果店购进甲种水果100千克，乙种水果50千克时获得最大利润，最大利润是350元．
【分析】（1）设乙种水果的进价是x元/千克，根据“甲水果的进价比乙水果的进价低20%，水果店用
1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克”列出分式方程，解方程检验后可得出答
案；
（2）设水果店购进甲种水果a千克，获得的利润为y元，则购进乙种水果（150－a）千克，根据利润＝
（售价－进价）×数量列出y关于a的一次函数解析式，求出a的取值范围，然后利用一次函数的性质解答．
【详解】（1）解：设乙种水果的进价是x元/千克，
由题意得： ，
解得： ，
经检验， 是分式方程的解且符合题意，
则 ，
答：甲种水果的进价是4元/千克，乙种水果的进价是5元/千克；
（2）解：设水果店购进甲种水果a千克，获得的利润为y元，则购进乙种水果（150－a）千克，
由题意得： ，
∵－1＜0，
∴y随a的增大而减小，∵甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，
∴ ，
解得： ，
∴当 时，y取最大值，此时 ， ，
答：水果店购进甲种水果100千克，乙种水果50千克时获得最大利润，最大利润是350元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一次函数与一元一次不等式的应用，正确理解题意，找出合适的等
量关系列出方程和解析式是解题的关键．
【考向九 解不等式(组)】
例题：（2022·湖南怀化·统考中考真题）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】 ，数轴见解析
【分析】根据解一元一次不等式组的方法步骤求解，然后在数轴上把解集表示出来即可．
【详解】解：
由①得 ，
由②得 ，
该不等式组的解集为 ，
在数轴上表示该不等式组的解集为：
【点睛】本题考查一元一次不等式组的解法步骤及用数轴表示不等式组的解集，熟练掌握相关解法步骤是
解决问题的关键．
【变式训练】
1．（2022·辽宁大连·统考中考真题）不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】移项再合并同类项即可把未知数的系数化“1”，从而可得答案．
【详解】解： ，
移项，合并同类项得：
故选D
【点睛】本题考查的是一元一次不等式的解法，掌握“解一元一次不等式的步骤”是解本题的关键．2．（2022·辽宁锦州·中考真题）不等式 的解集在数轴上表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求得不等式的解集为x≤4，根据等号判定圆圈为实心，选择即可．
【详解】∵不等式 的解集为x≤4，
∴数轴表示为：
，
故选C．
【点睛】本题考查了不等式的解法和数轴表示，熟练掌握解不等式是解题的关键．
3．（2022·山东济宁·统考中考真题）若关于x的不等式组 仅有3个整数解，则a的取值范围是
（ ）
A．－4≤a＜－2 B．－3＜a≤－2
C．－3≤a≤－2 D．－3≤a＜－2
【答案】D
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可解答．
【详解】解：
由①得，
由②得，
因不等式组有3个整数解
故选：D．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，掌握相关知识是解题关键．
4．（2022·湖南邵阳·统考中考真题）关于 的不等式组 有且只有三个整数解，则 的最
大值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C
【分析】分别对两个不等式进行求解，得到不等式组的解集为 ，根据不等式组有且只有三个整数
解的条件计算出 的最大值．
【详解】解不等式 ，
，
∴ ，
∴ ，
解不等式 ，
得 ，
∴ ，
∴ 的解集为 ，
∵不等式组有且只有三个整数解，
∴不等式组的整数解应为：2，3，4，
∴ ,
∴ 的最大值应为5
故选：C．
【点睛】本题考查不等式组的整数解，解题的关键是熟练掌握不等式组的相关知识．
5．（2022·安徽·统考中考真题）不等式 的解集为________．
【答案】
【分析】根据解一元一次不等式的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得答案．
【详解】解：
去分母，得x-3≥2，
移项，得x≥2+3，
合并同类项，系数化1，得，x≥5，
故答案为：x≥5．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解题的关键掌握解一元一次不等式的方法步骤．
6．（2022·湖北襄阳·统考中考真题）不等式组 的解集是_____．【答案】x＞2
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找
不到，确定不等式组的解集．
【详解】解：
解不等式①得：x＞1，
解不等式②得：x＞2，
∴不等式组的解集为x＞2，
故答案为：x＞2．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，掌握求不等式公共解集的方法是解题的关键．
7．（2022·黑龙江大庆·统考中考真题）满足不等式组 的整数解是____________．
【答案】2
【分析】分别求出不等式组中各不等式的解集，再求出其公共解集，找出符合条件的x的整数解即可．
【详解】解： ，
解不等式①得， ；
解不等式②得，
∴不等式组的解集为：
∴不等式组的整数解为2，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了求一元一次不等式组的整数解，解答此类题目的关键是熟练掌握求不等式组解集
的方法．
8．（2022·四川绵阳·统考中考真题）已知关于x的不等式组 无解，则 的取值范围是
_________．
【答案】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大大小小找不到并结合不等式组的解集可得答案．
【详解】解∶ ，
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，∵不等式组无解，
∴ ，解得： ，
∴ ．
故答案为：
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小
取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
9．（2022·四川攀枝花·统考中考真题）解不等式： ．
【答案】
【分析】按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可．
【详解】解：
去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项、合并同类项，得 ．
化系数为1，得 ．
【点睛】此题考查了一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键．
10．（2022·山东烟台·统考中考真题）求不等式组 的解集，并把它的解集表示在数轴上．
【答案】1≤x＜4，数轴见解析
【分析】分别求出每一个不等式的解集，再求出其公共部分即可．
【详解】解： ，
由①得： ，
由②得： ，
不等式组的解集为： ，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，掌握“同大取大；同小取
小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键．11．（2022·山东菏泽·统考中考真题）解不等式组 并将其解集在数轴上表示出来．
【答案】x≤1，图见解析
【分析】先分别求出不等式组中每一个不等式解集，再求出其公共解集即可求解，然后把解集用数轴表示
出来即可．
【详解】解：解①得：x≤1，
解②得：x<6，
∴x≤1，
解集在数轴上表示为：
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组：求解出两个不等式的解集，然后按照“同大取大，同小取小，
大于小的小于大的取中间，小于小的大于大的无解”确定不等式组的解集．也考查了用数轴表示不等式的
解集．
12．（2022·江苏常州·统考中考真题）解不等式组 ，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】 ；解集表示见解析
【分析】先求出每个不等式的解集，然后求出不等式组的解集，并在数轴上表示出来即可．
【详解】解：原不等式组为 ，
解不等式①，得 ；
解不等式②，得 ．
∴原不等式组的解集为 ，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，掌握解一元一次不等式组的方法是解题的关键．
13．（2022·江苏淮安·统考中考真题）解不等式组： ，并写出它的正整数解．
【答案】 ，不等式组的正整数解为：1，2，3
【分析】分别求出每个不等式的解集，进而求出不等式组的解集，再求出不等式组的正整数解即可．【详解】解：解不等式 得 ．
解不等式 得 ，
∴不等式组的解集为： ．
∴不等式组的正整数解为：1，2，3．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，求不等式组的整数解，正确求出每个不等式的解集，进而
求出不等式组的解集是解题的关键．
14．（2022·宁夏·中考真题）解不等式组： ．
【答案】不等式组的解集是
【分析】分别求出两个不等式的解集，然后再求出不等式组的解集即可．
【详解】解： ，
解不等式 得： ，
解不等式 得： ，
∴不等式组的解集是 ．
【点睛】本题主要考查了解不等式组，准确求出两个不等式的解集，是解题的关键．
15．（2022·山东济南·统考中考真题）解不等式组： ，并写出它的所有整数解．
【答案】 ，整数解为1，2
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而确定
出整数解即可．
【详解】解不等式①，得 ，
解不等式②，得 ，
在同一条数轴上表示不等式①②的解集
原不等式组的解集是 ，
∴整数解为1，2．
【点睛】此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是
解本题的关键．16．（2022·湖南湘西·统考中考真题）解不等式组：
请结合题意填空，完成本题的解答．
(1)解不等式①，得 ．
(2)解不等式②，得 ．
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
(4)所以原不等式组的解集为 ．
【答案】(1)x≤3
(2)x≥﹣2
(3)见解析
(4)﹣2≤x≤3
【分析】(1)按照移项、合并同类项，再化系数为1的步骤计算即可．
(2)按照去括号、移项、合并同类项，再化系数为1的步骤计算即可．
(3)把不等式①和②的解集在数轴上分别表示出来即可．
(4)观察数轴，找出不等式①和②的解集的公共部分，即为不等式组的解集．
（1）解不等式①，得 x≤3，
（2）解不等式②，得 移项得 x≥﹣2，
（3）
（4）所以原不等式组的解集为﹣2≤x≤3
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的
解法是解题的关键．
【考向十 实际问题与不等式(组)】
例题：（2022·湖南湘西·统考中考真题）为了传承雷锋精神，某中学向全校师生发起“献爱心”募捐活动，
准备向西部山区学校捐赠篮球、足球两种体育用品．已知篮球的单价为每个100元，足球的单价为每个80
元．
(1)原计划募捐5600元，全部用于购买篮球和足球，如果恰好能够购买篮球和足球共60个，那么篮球和足
球各买多少个？
(2)在捐款活动中，由于师生的捐款积极性高涨，实际收到捐款共6890元，若购买篮球和足球共80个，且
支出不超过6890元，那么篮球最多能买多少个？
【答案】(1)原计划篮球买40个，则足球买20个
(2)篮球最多能买24个【分析】（1）设原计划篮球买x个，则足球买y个，根据：“恰好能够购买篮球和足球共60个、原计划
募捐5600元”列方程组即可解答；
（2）设篮球能买a个，则足球（80﹣a）个，根据“实际收到捐款共6890元”列不等式求解即可解答．
【详解】（1）解：设原计划篮球买x个，则足球买y个，根据题意得：
，解得： ．
答：原计划篮球买40个，则足球买20个．
（2）解:设篮球能买a个，则足球（80﹣a）个，
根据题意得：100a+80（80﹣a）≤6890，
解得：a≤24.5，
答：篮球最多能买24个．
【点睛】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式的应用，解决本题的关键是根据题意列出方程组和
不等式．
【变式训练】
1．（2022·四川资阳·中考真题）北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受大家的喜爱，人们争相购买．现有甲、
乙两种型号的“冰墩墩”，已知一个甲种型号比一个乙种型号多20元，购买甲、乙两种型号各10个共需
1760元．
(1)求甲、乙两种型号的“冰墩墩”单价各是多少元？
(2)某团队计划用不超过4500元购买甲、乙两种型号的“冰墩墩”共50个，求最多可购买多少个甲种型号
的“冰墩墩”？
【答案】(1)甲种型号的单价是98元，乙种型号的单价是78元
(2)最多可购买甲种型号的“冰墩墩”30个
【分析】（1）根据题意，设乙种型号的单价是x元，则甲种型号的单价是 元，根据“购买甲、乙
两种型号各10个共需1760元”的等量关系列出一元一次方程，解出方程即可得出答案；
（2）根据题意，设购买甲种型号的“冰墩墩”a个，则购买乙种型号的“冰墩墩” 个，根据“计
划用不超过4500元”列出不等式，即可得出答案．
【详解】（1）设乙种型号的单价是x元，则甲种型号的单价是 元．
根据题意得：
解得： ．
∴
答：甲种型号的单价是98元，乙种型号的单价是78元．
（2）设购买甲种型号的“冰墩墩”a个，则购买乙种型号的“冰墩墩” 个．
根据题意，得：
解得：∴a最大值是30．
答：最多可购买甲种型号的“冰墩墩”30个．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意找出等量关系和数量关系是
本题的关键．
2．（2022·山东菏泽·统考中考真题）某健身器材店计划购买一批篮球和排球，已知每个篮球进价是每个排
球进价的1.5倍，若用3600元购进篮球的数量比用3200元购进排球的数量少10个．
(1)篮球、排球的进价分别为每个多少元?
(2)该健身器材店决定用不多于28000元购进篮球和排球共300个进行销售，最多可以购买多少个篮球?
【答案】(1)每个篮球的进价为120元，每个排球的进价为80元．
(2)100个
【分析】（1）设每个排球的进价为x元，则每个篮球的进价为1.5x元，根据“用3600元购进篮球的数量
比用3200元购进排球的数量少10个”得到方程；即可解得结果；
（2）设健身器材店可以购进篮球a个，则购进排球（300﹣a）个，根据题意得不等式组即可得到结果．
【详解】（1）设每个排球的进价为x元，则每个篮球的进价为1.5x元
根据题意得 ．
解得x＝80．
经检验x＝80是原分式方程的解．
∴1.5x＝120（元）．
∴篮球的进价为120元，排球的进价为80元
答：每个篮球的进价为120元，每个排球的进价为80元．
（2）设该体育用品商店可以购进篮球a个，则购进排球（300﹣a）个，
根据题意，得120a+80（300﹣a）≤28000．
解得a≤100．
答：该健身器材店最多可以购进篮球100个．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，分式方程的应用，找准数量关系是解题的关键．
3．（2022·贵州安顺·统考中考真题）阅读材料：被誉为“世界杂交水稻之父”的“共和国勋章”获得者袁
隆平，成功研发出杂交水稻，杂交水稻的亩产量是普通水稻的亩产量的2倍．现有两块试验田， 块种植
杂交水稻， 块种植普通水稻， 块试验田比 块试验田少4亩．
(1) 块试验田收获水稻9600千克、 块试验田收获水稻7200千克，求普通水稻和杂交水稻的亩产量各是
多少千克？
(2)为了增加产量，明年计划将种植普通水稻的 块试验田的一部分改种杂交水稻，使总产量不低于17700
千克，那么至少把多少亩 块试验田改种杂交水稻？
【答案】(1)普通水稻亩产量是600千克，杂交水稻的亩产量是1200千克．
(2)至少把B块试验田改 亩种植杂交水稻．
【分析】（1）设普通水稻的亩产量是x千克，则杂交水稻的亩产量是2x千克，利用种植亩数=总产量÷亩产量，结合A块试
验田比B块试验田少4亩，即可得出关于x的分式方程，解之即可得出普通水稻的亩产量，再将其代入2x中即可求出杂交水稻的亩产量；
（2）设把B块试验田改y亩种植杂交水稻，利用总产量=亩产量×种植亩数，结合总产量不低于17700千克，即可得出关于y
的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【详解】（1）解：设普通水稻亩产量是x千克，则杂交水稻的亩产量是2x千克，
依题意得： ，
解得： ；
经检验，x=600是原方程的解，且符合题意，
∴2x=2×600=1200．
答：普通水稻亩产量是600千克，杂交水稻的亩产量是1200千克．
（2）解：设把B块试验田改y亩种植杂交水稻，
依题意得：9600+600（ ）+1200y≥17700，
解得： ．
答：至少把B块试验田改 亩种植杂交水稻．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；
（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
4．（2022·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）今年我市某公司分两次采购了一批土豆，第一次花费30万元，
第二次花费50万元，已知第一次采购时每吨土豆的价格比去年的平均价格上涨了200元，第二次采购时每
吨土豆的价格比去年的平均价格下降了200元，第二次的采购数量是第一次采购数量的2倍．
(1)问去年每吨土豆的平均价格是多少元？
(2)该公司可将土豆加工成薯片或淀粉，因设备原因，两种产品不能同时加工，若单独加工成薯片，每天可
加工5吨土豆，每吨土豆获利700元；若单独加工成淀粉，每天可加工8吨土豆，每吨土豆获利400元．
由于出口需要，所有采购的土豆必须全部加工完且用时不超过60天，其中加工成薯片的土豆数量不少于加
工成淀粉的土豆数量的 ，为获得最大利润，应将多少吨土豆加工成薯片？最大利润是多少？
【答案】(1)去年每吨土豆的平均价格是2200元
(2)应将175吨土豆加工成薯片，最大利润为202500元
【分析】（1）设去年每吨土豆的平均价格是x元，则第一次采购的平均价格为（x+200）元，第二次采购
的平均价格为（x-200）元，根据第二次的采购数量是第一次采购数量的两倍，据此列方程求解；
（2）先求出今年所采购的土豆枣数，根据所有采购的土豆必须全部加工完且用时不超过60天，其中加工
成薯片的土豆数量不少于加工成淀粉的土豆数量的 ，据此列不等式组求解，然后求出最大利润．
【详解】（1）设去年每吨土豆的平均价格是x元，
由题意得， ，
解得： ，
经检验： 是原分式方程的解，且符合题意，
答：去年每吨土豆的平均价格是2200元；（2）由（1）得，今年的土豆数为： (吨)，
设应将m吨土豆加工成薯片，则应将（375－m）吨加工成淀粉，
由题意得， ，
解得： ，
总利润为： ，
当 时，利润最大，最大利润为： （元）．
答：应将175吨土豆加工成薯片，最大利润为202500元．
【点睛】此题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出
合适的等量关系，列方程求解．
5．（2022·四川内江·统考中考真题）为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，内江市某
中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动．在此次活动中，若每位老师带队30名学生，则
还剩7名学生没老师带；若每位老师带队31名学生，就有一位老师少带1名学生．现有甲、乙两型客车，
它们的载客量和租金如表所示：
甲型客 乙型客
车 车
载客量
35 30
（人/辆）
租金
400 320
（元/辆）
学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过3000元．
(1)参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人？
(2)每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车方案？
(3)学校租车总费用最少是多少元？
【答案】(1)参加此次劳动实践活动的老师有8人，参加此次劳动实践活动的学生有247人
(2)一共有3种租车方案：租甲型客车3辆，租乙型客车5辆或租甲型客车4辆，租乙型客车4辆或租甲型
客车5辆，租乙型客车3辆
(3)学校租车总费用最少是2800元．
【分析】（1）设参加此次劳动实践活动的老师有x人，根据参加实践活动的学生人数的两种不同表示方法
作为等量关系列方程；
（2）首页判断车辆总数为8，设租甲型客车m辆，列出不等式组求出整数解即可；
（3）列出函数解析式w＝80m+2560，结合自变量取值范围求出最少总费用．（1）
设参加此次劳动实践活动的老师有x人，参加此次劳动实践活动的学生有（30x+7）人，
根据题意得：30x+7＝31x﹣1，
解得x＝8，
∴30x+7＝30×8+7＝247，
答：参加此次劳动实践活动的老师有8人，参加此次劳动实践活动的学生有247人；
（2）
师生总数为247+8＝255（人），
∵每位老师负责一辆车的组织工作，
∴一共租8辆车，
设租甲型客车m辆，则租乙型客车（8﹣m）辆，
根据题意得： ，
解得3≤m≤5.5，
∵m为整数，
∴m可取3、4、5，
∴一共有3种租车方案：租甲型客车3辆，租乙型客车5辆或租甲型客车4辆，租乙型客车4辆或租甲型
客车5辆，租乙型客车3辆；
（3）
设租甲型客车m辆，则租乙型客车（8﹣m）辆，
由（2）知：3≤m≤5.5，
设学校租车总费用是w元，
w＝400m+320（8﹣m）＝80m+2560，
∵80＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴m＝3时，w取最小值，最小值为80×3+2560＝2800（元），
答：学校租车总费用最少是2800元．
【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用、利用一次函数解决最小利润问题，解决问题的关键是根据题
意得到相等关系或不相等关系列出方程、不等式组以及函数解析式解决问题．
