文档内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
→➌题型突破←→➍专题精练←
题型一 一元一次方程的定义
1.下列方程中，是一元一次方程的是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】对于A， 的未知数的最高次数是2次，不是一元一次方程，故A错误；
对于B， 符合一元一次方程的定义，故B正确；
对于C， 是二元一次方程，故C错误；
对于D， ，分母中含有未知数，是分式方程，故D错误．
故选B．
【点睛】本题考查了一元一次方程，解答此题明确一元一次方程的定义是关键．一元一次
方程是指只含有一个未知数，并且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是 1，这样
的方程就叫做一元一次方程.据此逐项分析再选择即可．
2．（2019·内蒙古呼和浩特·中考真题）关于 的方程 如果是一
元一次方程，则其解为_____．
【答案】 或 或x=-3．
【分析】利用一元一次方程的定义判断即可．
【解析】解： 关于x的方程 如果是一元一次方程，
，即 或 ，方程为 或 ，
资1 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
解得： 或 ，当2m-1=0，即m= 时，方程为 解得：x=-3，
故答案为x=2或x=-2或x=-3．
【点睛】此题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解本题的关键．
3．（2019·四川南充·中考真题）关于 的一元一次方程 的解为 ，则
的值为（ ）
A．9 B．8 C．5 D．4
【答案】C
【分析】根据一元一次方程的概念和其解的概念解答即可．
【解析】解：因为关于x的一元一次方程2xa-2+m=4的解为x=1，
可得：a-2=1，2+m=4，解得：a=3，m=2，所以a+m=3+2=5，故选C．
【点睛】此题考查一元一次方程的定义，关键是根据一元一次方程的概念和其解的概念解
答．
4．（2021·安徽）设a，b，c为互不相等的实数，且 ，则下列结论正确的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
举反例可判断A和B，将式子整理可判断C和D．
【详解】
解：A．当 ， ， 时， ，故A错误；
B．当 ， ， 时， ，故B错误；
C． 整理可得 ，故C错误；
资2 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
D． 整理可得 ，故D正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键．
题型二 解一元一次方程
类型一 解方程
5．（2020·四川凉山·中考真题）解方程：
【答案】
【分析】去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，依此即可求解．
【解析】解：
【点睛】本题考查了解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移
项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵
活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化．
x−2 2x−1
6．（2020•凉山州）解方程：x− =1+ ．
2 3
【分析】根据解一元一次方程的步骤解答即可．
【解析】去分母，得：6x﹣3（x﹣2）＝6+2（2x﹣1），
去括号，得：6x﹣3x+6＝6+4x﹣2，
移项，得：6x﹣3x﹣4x＝6﹣6﹣2，
合并同类项，得：﹣x＝﹣2，
系数化为1，得：x＝2．
类型二 含参问题
7.（2020▪贵州毕节）如果3ab2m﹣1与9abm+1是同类项，那么m等于（ ）
A．2 B．1 C．﹣1 D．0
资3 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】A
【解析】根据同类项的定义得出m的方程解答即可．
根据题意可得：2m﹣1＝m+1，
解得：m＝2
8．（2019•成都）若m+1与–2互为相反数，则m的值为__________．
【答案】1
【解析】根据题意得：m+1–2=0，解得：m=1，故答案为：1．
【点睛】本题考查了解一元一次方程和相反数，正确掌握相反数的定义和一元一次方程的
解法是解题的关键．
9．（2021·安徽）设a，b，c为互不相等的实数，且 ，则下列结论正确的是（
）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
举反例可判断A和B，将式子整理可判断C和D．
【详解】
解：A．当 ， ， 时， ，故A错误；
B．当 ， ， 时， ，故B错误；
C． 整理可得 ，故C错误；
D． 整理可得 ，故D正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键．
资4 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
10．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）已知 是方程 的解，则a的
值为______________．
【答案】-1
【分析】
根据方程解的定义，将x=1，y=3代入方程 ，即可求得a的值．
【详解】
解：根据题意，将x=1，y=3代入方程 ，
得： ，
解得：a=-1，
故答案为：-1．
【点睛】
本题考查了二元一次方程的解，要求理解什么是二元一次方程的解，并会把x，y的值代入
原方程验证二元一次方程的解．
11．（2021·浙江金华市·中考真题）已知 是方程 的一个解，则m的值
是____________．
【答案】2
【分析】
把解代入方程,得6+2m=10，转化为关于m的一元一次方程，求解即可．
【详解】
∵ 是方程 的一个解，
∴6+2m=10，
解得m=2，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了二元一次方程的解，一元一次方程的解法，灵活运用方程的解的定义，转化为
资5 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
一元一次方程求解是解题的关键．
12．（2021·四川广安市·中考真题）若 、 满足 ，则代数式 的值
为______．
【答案】-6
【分析】
根据方程组中x+2y和x-2y的值，将代数式利用平方差公式分解，再代入计算即可．
【详解】
解：∵x-2y=-2，x+2y=3，
∴x2-4y2=（x+2y）（x-2y）=3×（-2）=-6，
故答案为：-6．
【点睛】
本题主要考查方程组的解及代数式的求值，观察待求代数式的特点与方程组中两方程的联
系是解题关键．
13．（2021·重庆中考真题）若关于x的方程 的解是 ，则a的值为
__________．
【答案】3
【分析】
将x=2代入已知方程列出关于a的方程，通过解该方程来求a的值即可．
【详解】
解：根据题意，知
，
解得a=3．
故答案是：3．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的解的定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一
元一次方程的解．
资6 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
题型三 阅读理解、定义、规律问题
14．（2020·湖北中考真题）对于实数 ，定义运算 ．若
，则 _____．
【答案】
【解析】
【分析】
根据给出的新定义分别求出 与 的值，根据 得出关于a的一元
一次方程，求解即可．
【详解】
解：∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，解得 ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查解一元一次方程、新定义下实数的运算等内容，理解题干中给出的新定义是解题
的关键．
15．（2020·湖北恩施?中考真题）在实数范围内定义运算“☆”： ，例如：
．如果 ，则 的值是（ ）．
A． B．1 C．0 D．2
【答案】C
【解析】
资7 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【分析】
根据题目中给出的新定义运算规则进行运算即可求解．
【详解】
解：由题意知： ，
又 ，
∴ ，
∴ ．
故选：C．
【点睛】
本题考查了实数的计算，一元一次方程的解法，本题的关键是能看明白题目意思，根据新
定义的运算规则求解即可．
16．（2020·广西玉林?中考真题）观察下列按一定规律排列的n个数：2，4，6，8，
10,12，…；若最后三个数之和是3000，则n等于（ ）
A．499 B．500 C．501 D．1002
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意列出方程求出最后一个数,除去一半即为n的值．
【详解】
设最后三位数为x－4,x－2,x．
由题意得: x－4+x－2+x=3000,
解得x=1002．
n=1002÷2=501．
故选C．
【点睛】
本题考查找规律的题型,关键在于列出方程简化步骤．
17．（2020·西藏中考真题）观察下列两行数：
1，3，5，7，9，11，13，15，17，…
1，4，7，10，13，16，19，22，25，…
资8 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
探究发现：第1个相同的数是1，第2个相同的数是7，…，若第n个相同的数是103，则n
等于（ ）
A．18 B．19 C．20 D．21
【答案】A
【解析】
【分析】
根据探究发现：第1个相同的数是1，第2个相同的数是7， ，第 个相同的数是
，进而可得 的值．
【详解】
解：第1个相同的数是 ，
第2个相同的数是 ，
第3个相同的数是 ，
第4个相同的数是 ，
，
第 个相同的数是 ，
所以 ，
解得 ．
答：第 个相同的数是103，则 等于18．
故选： ．
【点睛】
此题主要考查了数字变化规律，确定出相同数的差值，从而得出相同数的通式是解题的关
键．
18．（2020·湖北孝感?中考真题）有一列数，按一定的规律排列成 ， ，3， ，27，
－81，…．若其中某三个相邻数的和是 ，则这三个数中第一个数是______．
【答案】
资9 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【解析】
【分析】
题中数列的绝对值的比是-3，由三个相邻数的和是 ，可设三个数为n，-3n，9n，据题
意列式即可求解．
【详解】
题中数列的绝对值的比是-3，由三个相邻数的和是 ，可设第一个数是n，则三个数为
n，-3 n，9n
由题意： ，
解得：n=-81，
故答案为：-81．
【点睛】
此题主要考查数列的规律探索与运用，一元一次方程与数字的应用，熟悉并会用代数式表
示常见的数列，列出方程是解题的关键．
19．（2020•扬州）阅读感悟：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的
值，如以下问题：
已知实数x、y满足3x﹣y＝5 ，2x+3y＝7 ，求x﹣4y和7x+5y的值．
本题常规思路是将 两式①联立组成方程②组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到
答案，常规思路运算①量②比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题
还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由 ﹣ 可得x﹣4y＝﹣2，由 + ×2可
得7x+5y＝19．这样的解题思想就是通常所说的“①整体思②想”． ① ②
解决问题：
{2x+ y=7，
（1）已知二元一次方程组 则x﹣y＝ ，x+y＝ ；
x+2y=8，
（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39
支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多
少元？
（3）对于实数x、y，定义新运算：x*y＝ax+by+c，其中a、b、c是常数，等式右边是通常
的加法和乘法运算．已知3*5＝15，4*7＝28，那么1*1＝ ．
资10料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
1
【分析】（1）利用 ﹣ 可得出x﹣y的值，利用 （ + ）可得出x+y的值；
3
① ② ① ②
（2）设铅笔的单价为m元，橡皮的单价为n元，日记本的单价为p元，根据“买20支铅
笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元”，
即可得出关于m，n，p的三元一次方程组，由2× ﹣ 可得除m+n+p的值，再乘5即可
求出结论； ① ②
（3）根据新运算的定义可得出关于a，b，c的三元一次方程组，由3× ﹣2× 可得出
a+b+c的值，即1*1的值． ① ②
{2x+ y=7①
【解析】（1） ．
x+2y=8②
由 ﹣ 可得：x﹣y＝﹣1，
①1 ②
由 （ + ）可得：x+y＝5．
3
① ②
故答案为：﹣1；5．
（2）设铅笔的单价为m元，橡皮的单价为n元，日记本的单价为p元，
{20m+3n+2p=32①
依题意，得： ，
39m+5n+3p=58②
由2× ﹣ 可得m+n+p＝6，
∴5m①+5n+5②p＝5×6＝30．
答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元．
{3a+5b+c=15①
（3）依题意，得： ，
4a+7b+c=28②
由3× ﹣2× 可得：a+b+c＝﹣11，
即1*1①＝﹣11②．
故答案为：﹣11．
20．（2021·安徽）某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地
砖排列而成，图1表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列．
[观察思考]
当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块（如图2）；当正方形地砖有2块时，
等腰直角三角形地砖有8块（如图3）；以此类推，
资11料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
[规律总结]
（1）若人行道上每增加1块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖增加 块；
（2）若一条这样的人行道一共有n（n为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖
的块数为 （用含n的代数式表示）．
[问题解决]
（3）现有2021块等腰直角三角形地砖，若按此规律再建一条人行道，要求等腰直角三角
形地砖剩余最少，则需要正方形地砖多少块？
【答案】（1）2 ；（2） ；（3）1008块
【分析】
（1）由图观察即可；
（2）由每增加一块正方形地砖，即增加2块等腰直角三角形地砖，再结合题干中的条件正
方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块，递推即可；
（3）利用上一小题得到的公式建立方程，即可得到等腰直角三角形地砖剩余最少时需要正
方形地砖的数量．
【详解】
解：（1）由图可知，每增加一块正方形地砖，即增加2块等腰直角三角形地砖；
故答案为：2 ；
（2）由（1）可知，每增加一块正方形地砖，即增加2块等腰直角三角形地砖；
当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块，即2+4；
所以当地砖有n块时，等腰直角三角形地砖有（ ）块；
故答案为： ；
（3）令 则
资12料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
当 时，
此时，剩下一块等腰直角三角形地砖
需要正方形地砖1008块．
【点睛】
本题为图形规律题，涉及到了一元一次方程、列代数式以及代数式的应用等，考查了学生
的观察、发现、归纳以及应用的能力，解题的关键是发现规律，并能列代数式表示其中的
规律等．
题型三 一元一次方程的应用
类型一 等积变形
21．（2020·青海中考真题）根据图中给出的信息，可得正确的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意可得相等关系的量为“水的体积”，然后利用圆柱体积公式列出方程即可.
【详解】
解：大量筒中的水的体积为： ，
资13料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
小量筒中的水的体积为： ，
则可列方程为： .
故选A.
【点睛】
本题主要考查列方程，解此题的关键在于准确找到题中相等关系的量，然后利用圆柱的体
积公式列出方程即可.
22.有一个盛水的圆柱体玻璃容器，它的底面直径为12cm（容器厚度忽略不计），容器内
水的高度为10cm．
（1）如图1，容器内水的体积为______ （结果保留 ）．
（2）如图2，把一根底面直径为6cm，高为12cm的实心玻璃棒插入水中（玻璃棒完全淹
没于水中），求水面上升的高度是多少？
（3）如图3，若把一根底面直径为6cm，足够长的实心玻璃棒插入水中，求水面上升的高
度是多少？
【答案】（1） ；（2）3cm；（3） cm
【分析】
（1）结合题意，根据圆柱体体积公式计算，即可得到答案；
（2）根据题意，玻璃棒完全淹没于水中，即水面上升部分的体积就等于玻璃棒的体积；设
水面上升的高度为xcm，通过列方程并求解，即可得到答案；
（3）根据题意，水面上升部分的体积等于玻璃棒淹没部分的体积，设水面上升高度为
xcm，通过列方程并求解，即可得到答案．
【详解】
资14料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
（1）容器内水的体积为
故答案为： ；
（2）设水面上升的高度为xcm
根据题意得：
解得：
∴水面上升高度为3cm；
（3）设水面上升高度为xcm，
水面上升部分的体积为 ，
玻璃棒淹没部分的体积为 ，
得： ，
解得：
∴水面上升高度为 cm．
【点睛】
本题考查了有理数运算、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握含乘方的有理数混
合运算、一元一次方程的性质，从而完成求解．
23.两个圆柱体容器如图所示,它们的直径分别为 和 ,高分别为 和 把容
器一倒满水,然后将 容器一中的水倒入容器二中，求容器二中的水面离容器口有多少厘米．
资15料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】
【分析】
利用圆柱体积计算公式表示水的体积，根据水的体积不变即可得到一元一次方程．
【详解】
设倒完以后，第二个容器中的水面离容器口有x cm，
则：π× ×（10-x）=π× ×39，
解得：x=0.25
答：第二个容器中的水面离容器口有0.25cm．
【点睛】
本题主要考查了一元一次方程的应用，解决问题的关键是找出题中的未知量和所有的已知
量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，
找出之间的相等关系列方程．
类型二 销售问题
24．（2020·黑龙江牡丹江?中考真题）某种商品每件的进价为120元，标价为180元．为了
拓展销路，商店准备打折销售．若使利润率为20%，则商店应打________折．
【答案】八
【解析】
【分析】
打折销售后要保证打折后利率为20%，因而可以得到不等关系为：利润率=20%，设可以打
x折，根据不等关系列出不等式求解即可.
【详解】
解：设应打x折，
则根据题意得：（180×x×10%-120）÷120=20%，
资16料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
解得：x=8．
故商店应打八折．
故答案为：八．
【点睛】
本题考查一元一次方程的实际应用，解题关键是读懂题意，找到符合题意的等量关系式，
同时要注意掌握利润率的计算方法．
25．（2020·黑龙江牡丹江·中考真题）某种商品每件的进价为120元，标价为180元．为了
拓展销路，商店准备打折销售．若使利润率为20%，则商店应打________折．
【答案】八
【分析】打折销售后要保证打折后利率为20%，因而可以得到不等关系为：利润率=20%，
设可以打x折，根据不等关系列出不等式求解即可.
【解析】解：设应打x折，则根据题意得：（180×x×10%-120）÷120=20%，
解得：x=8．故商店应打八折．故答案为：八．
【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，解题关键是读懂题意，找到符合题意的等量
关系式，同时要注意掌握利润率的计算方法．
26．（2020·贵州毕节?中考真题）某商店换季准备打折出售某商品，如果按原售价的七五
折出售，将亏损25元，而按原售价的九折出售，将盈利20元，则该商品的成本为
A．230元 B．250元
C．270元 D．300元
【答案】B
【解析】
【分析】
设该商品的售价为x元，根据按原售价的七五折出售，将亏损25元，而按原售价的九折出
售，将盈利20元，列方程求出售价，继而可求出成本．
【详解】
设该商品的售价为x元，
由题意得，0.75x+25=0.9x-20，
解得：x=300，
则成本价为：300×0.75+25=250（元）．
故选B．
【点睛】
资17料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出等量关系，
列方程求解．
27．（2020·安徽中考真题）某超市有线上和线下两种销售方式．与2019年4月份相比．
该超市2020年4月份销售总额增长 其中线上销售额增长 ．线下销售额增长 ，
设2019年4月份的销售总额为 元．线上销售额为 元，请用含 的代数式表示
2020年4月份的线下销售额(直接在表格中填写结果)；
求2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值．
【答案】 ；
【解析】
【分析】
根据增长率的含义可得答案；
由题意列方程 求解 即可得到比值．
【详解】
解： 年线下销售额为 元，
故答案为： ．
由题意得：
2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值为：
资18料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
答：2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值为：
【点睛】
本题考查的列代数式及一元一次方程的应用，掌握列一元一次方程解决应用题是解题的关
键．
28．（2021·陕西中考真题）一家商店在销售某种服装（每件的标价相同）时，按这种服装
每件标价的8折销售10件的销售额，与按这种服装每件的标价降低30元销售11件的销售
额相等．求这种服装每件的标价．
【答案】这种服装每件的标价是110元
【分析】
设这种服装每件的标价是x元，根据题意列出方程进行求解即可．
【详解】
解：设这种服装每件的标价是x元，根据题意，得
，
解得 ；
答：这种服装每件的标价是110元．
【点睛】
本题主要考查一元一次方程的应用，熟练掌握一元一次方程的应用是解题的关键．
29．（2021·重庆中考真题）某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产A产品，乙车间生产B
产品，去年两个车间生产产品的数量相同且全部售出．已知A产品的销售单价比B产品的
销售单价高100元，1件A产品与1件B产品售价和为500元．
（1）A、B两种产品的销售单价分别是多少元？
（2）随着5G时代的到来，工业互联网进入了快速发展时期．今年，该工厂计划依托工业
互联网将乙车间改造为专供用户定制B产品的生产车间．预计A产品在售价不变的情况下
产量将在去年的基础上增加a%；B产品产量将在去年的基础上减少a%，但B产品的销售单
资19料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
价将提高3a%．则今年A、B两种产品全部售出后总销售额将在去年的基础上增加 %．
求a的值．
【答案】（1）A产品的销售单价为300元，B产品的销售单价为200元；（2）20
【分析】
（1）设B产品的销售单价为x元，则A产品的销售单价为（x+100）元，根据题意列出方
程解出即可；
（2）设去年每个车间生产产品的数量为t件，根据题意根据题意列出方程
解出即可；
【详解】
解：（1）设B产品的销售单价为x元，则A产品的销售单价为（x+100）元．
根据题意，得
．
解这个方程，得 ．
则 ．
答：A产品的销售单价为300元，B产品的销售单价为200元．
（2）设去年每个车间生产产品的数量为t件，根据题意，得
设a%=m，则原方程可化简为 ．
解这个方程，得 （舍去）．
∴a=20．
答：a的值是20．
【点睛】
资20料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量
关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元二次方程．
30．（2020·山西中考真题） 年 月份，省城太原开展了“活力太原·乐购晋阳”消
费暖心活动，本次活动中的家电消费券单笔交易满 元立减 元（每次只能使用一
张）某品牌电饭煲按进价提高 后标价，若按标价的八折销售，某顾客购买该电饭煲时，
使用一张家电消费券后，又付现金 元．求该电饭煲的进价．
【答案】该电饭煲的进价为 元
【解析】
【分析】
根据满 元立减 元可知，打八折后的总价减去128元是实际付款数额，即可列出等
式．
【详解】
解：设该电饭煲的进价为 元
根据题意，得
解，得 ．
答；该电饭煲的进价为 元
【点睛】
本题主要考察了打折销售知识点，准确找出它们之间的关系列出等式方程是解题关键．
31．（2020·福建中考真题）某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万
元，销售价为10.5万元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元．由于受有关条
件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是100吨，且甲特产的销售量都不超过20
资21料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
吨．
（1）若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、
乙两种特产各多少吨？
（2）求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润．
【答案】（1）甲特产15吨，乙特产85吨；（2）26万元．
【解析】
【分析】
（1）设这个月该公司销售甲特产 吨，则销售乙特产 吨，根据题意列方程解答；
（2）设一个月销售甲特产 吨，则销售乙特产 吨，且 ，根据题意列
函数关系式 ，再根据函数的性质解答.
【详解】
解：（1）设这个月该公司销售甲特产 吨，则销售乙特产 吨，
依题意，得 ，
解得 ，则 ，
经检验 符合题意，
所以，这个月该公司销售甲特产15吨，乙特产85吨；
（2）设一个月销售甲特产 吨，则销售乙特产 吨，且 ，
公司获得的总利润 ，
因为 ，所以 随着 的增大而增大，
又因为 ，
所以当 时，公司获得的总利润的最大值为26万元，
故该公司一个月销售这两种特产能获得的最大总利润为26万元.
【点睛】
资22料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
此题考查一元一次方程的实际应用、一次函数的性质等基础知识，考查运算能力、应用意
识，考查函数与方程思想，正确理解题意，根据问题列方程或是函数关系式解答问题.
类型三 行程问题
32．（2023·广西·模拟预测）我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》一书是中国较早的数学
著作之一，书中记载一道问题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行
一十二日，问良马几何追及之？”题意是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马
先走12天，试问快马几天可以追上慢马？若设快马x天可以追上慢马，则下列方程正确的
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设快马x天可以追上慢马，根据路程=速度×时间，即可得出关于x的一元一次方
程，此题得解．
【详解】解：设快马x天可以追上慢马，
依题意，得： 240x-150x=150×12．
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次
方程是解题的关键．
33．（2022·湖南常德）小强的爸爸平常开车从家中到小强奶奶家，匀速行驶需要4小时，
某天，他们以平常的速度行驶了 的路程时遇到了暴雨，立即将车速减少了20千米／小时，
到达奶奶家时共用了5小时，问小强家到他奶奶家的距离是多少千米？
【答案】240千米
【分析】平常速度行驶了 的路程用时为2小时，后续减速后用了3小时，用遇到暴雨前
行驶路程加上遇到暴雨后行驶路程等于总路程这个等量关系列出方程求解即可．
【详解】解：设小强家到他奶奶家的距离是 千米，则平时每小时行驶 千米，减速后每
小时行驶 千米，由题可知：遇到暴雨前用时2小时，遇到暴雨后用时5-2=3小时，
资23料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
则可得： ，解得： ，
答：小强家到他奶奶家的距离是240千米．
【点睛】本题考查了一元一次方程应用中的行程问题，直接设未知数法，找到准确的等量
关系，列出方程正确求解是解题的关键．
34．（2020·宁夏中考真题）“低碳生活，绿色出行”是一种环保、健康的生活方式，小丽
从甲地匀速步行前往乙地，同时，小明从乙地沿同一路线匀速步行前往甲地，两人之间的
距离 与步行时间 之间的函数关系式如图中折线段 所示．
（1）小丽与小明出发_______ 相遇；
（2）在步行过程中，若小明先到达甲地．
①求小丽和小明步行的速度各是多少？
②计算出点C的坐标，并解释点C的实际意义．
【答案】（1）30；（2）①小丽步行的速度为 ，小明步行的速度为 ；
②点 ，点C表示：两人出发 时，小明到达甲地，此时两人相距
．
【解析】
【分析】
（1）直接从图像获取信息即可；
（2）①设小丽步行的速度为 ，小明步行的速度为 ，且 ，根据
图像和题意列出方程组，求解即可；
②设点C的坐标为 ，根据题意列出方程解出x，再根据图像求出y即可，再结合两人
资24料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
的运动过程解释点C的意义即可．
【详解】
（1）由图像可得小丽与小明出发30 相遇，
故答案为：30；
（2）①设小丽步行的速度为 ，小明步行的速度为 ，且 ，
则 ，
解得： ，
答：小丽步行的速度为 ，小明步行的速度为 ；
②设点C的坐标为 ，
则可得方程 ，
解得 ，
，
∴点 ，
点C表示：两人出发 时，小明到达甲地，此时两人相距 ．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次方程的实际应用，从图像获取信息是解
题关键．
35．（2020·吉林长春?中考真题）已知 、 两地之间有一条长240千米的公路．甲车从
地出发匀速开往 地，甲车出发两小时后，乙车从 地出发匀速开往 地，两车同时到
达各自的目的地．两车行驶的路程之和 （千米）与甲车行驶的时间 （时）之间的函数
关系如图所示．
资25料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
（1）甲车的速度为_________千米/时， 的值为____________．
（2）求乙车出发后， 与 之间的函数关系式．
（3）当甲、乙两车相距100千米时，求甲车行驶的时间．
【答案】（1）40，480；（2） ；（3） 小时或 小时
【解析】
【分析】
（1）根据图象可知甲车行驶2行驶所走路程为80千米，据此即可求出甲车的速度；进而
求出甲车行驶6小时所走的路程为240千米，根据两车同时到达各自的目的地可得
a=240×2=480；
（2）根据题意直接运用待定系数法进行分析解得即可；
（3）由题意分两车相遇前与相遇后两种情况分别列方程解答即可．
【详解】
解：（1）由题意可知，甲车的速度为：80÷2=40（千米/时）；
a=40×6×2=480，
故答案为：40；480；
（2）设 与 之间的函数关系式为 ，
由图可知，函数图象过点 ， ，
所以 解得
所以 与 之间的函数关系式为 ；
（3）两车相遇前：
资26料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
解得：
两车相遇后：
解得：
答：当甲、乙两车相距100千米时，甲车行驶的时间是 小时或 小时．
【点睛】
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用
数形结合的思想解答．
类型四 希望工程
36．（2023·四川成都·统考中考真题）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算
经十书》之一．书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；
屈绳量之，不足一尺．木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余
尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余 尺．问木长多少尺？设木长 尺，则可列方程为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设木长 尺，根据题意“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余 尺；将绳子对
折再量长木，长木还剩余 尺”，列出一元一次方程即可求解．
【详解】解：设木长 尺，根据题意得，
，
故选：A.
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
37．（2023·四川南充·统考中考真题）《孙子算经》记载：“今有木，不知长短．引绳度
之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”（尺、寸是长度单位，1尺＝10
资27料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
寸）．意思是，现有一根长木，不知道其长短．用一根绳子去度量长木，绳子还剩余4.5
尺；将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺．问长木长多少？设长木长为x尺，则可列
方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设长木长为x尺，则绳子长为 尺，根据“将绳子对折再度量长木，长木
还剩余1尺”，可列出方程．
【详解】设长木长为x尺，则绳子长为 尺，根据题意，得
故选：A.
【点睛】本题考查一元一次方程解决实际问题，理解题意，找出等量关系列出方程是解题
的关键．
38．（2023·四川宜宾·统考中考真题）“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，
问鸡兔各几何”是《孙子算经》卷中著名数学问题．意思是：鸡兔同笼，从上面数，有35
个头；从下面数，有94条腿．问鸡兔各有多少只？若设鸡有 只，兔有 只，则所列方程
组正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，由设鸡有 只，兔有 只，则由等量关系有35个头和有94条腿列出
方程组即可得到答案．
【详解】解：设鸡有 只，兔有 只，则由题意可得
，
故选：B．
【点睛】本题考查列二元一次方程组解决古代数学问题，读懂题意，找准等量关系列方程
资28料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
组是解决问题的关键．
39．（2023·江苏连云港·统考中考真题）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样
一道题：良马日行二百四十里，鸡马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日
追及之？其大意是：快马每天行 里，慢马每天行 里，驽马先行 天，快马几天可
追上慢马？若设快马 天可追上慢马，由题意得（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设快马 天可追上慢马，根据路程相等，列出方程即可求解．
【详解】解：设快马 天可追上慢马，由题意得
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
40．（2020•内江）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿
子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根
竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿
短5尺．设绳索长x尺．则符合题意的方程是（ ）
1 1
A． x＝（x﹣5）﹣5 B． x＝（x+5）+5
2 2
C．2x＝（x﹣5）﹣5 D．2x＝（x+5）+5
【分析】设绳索长x尺，则竿长（x﹣5）尺，根据“将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5
尺”，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解析】设绳索长x尺，则竿长（x﹣5）尺，
1
依题意，得： x＝（x﹣5）﹣5．
2
故选：A．
41．（2019•甘肃）中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中
《孙子算经》中有个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车
各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一
车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？
资29料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】共有39人，15辆车．
【解析】设共有x人，
根据题意得： ，
去分母得：2x+12=3x–27，
解得：x=39，
∴ =15，
则共有39人，15辆车．
【名师点睛】此题考查了一元一次方程的应用，弄清题意是解本题的关键．
类型五 其他问题
42．（2022·四川自贡）等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多20°，则这个底角的
度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】B
【分析】这个底角的度数为x，则顶角的度数为（2x+20°），根据三角形的内角和等于
180°，即可求解．
【详解】解：设这个底角的度数为x，则顶角的度数为（2x+20°），根据题意得：
，解得： ，
即这个底角的度数为40°．故选：B
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形
的性质，三角形的内角和定理是解题的关键．
43．（2020·湖北省直辖县级单位·中考真题）篮球联赛中，每玚比赛都要分出胜负，每队胜
1场得2分，负1场得1分．某队14场比赛得到23分，则该队胜了_________场．
【答案】9
【分析】设该对胜x场，则负14-x场，然后根据题意列一元一次方程解答即可．
【解析】解：设该对胜x场 由题意得：2x+（14-x）=23，解得x=9．故答案为9．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，弄清题意、设出未知数、找准等量关系、列出
方程是解答本题的关键．
44．（2020·广东广州?中考真题）粤港澳大湾区自动驾驶产业联盟积极推进自动驾驶出租
资30料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
车应用落地工作，无人化是自动驾驶的终极目标．某公交集团拟在今明两年共投资9000万
元改装260辆无人驾驶出租车投放市场．今年每辆无人驾驶出租车的改装费用是50万元，
预计明年每辆无人驾驶出租车的改装费用可下降 ．
（1）求明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是多少万元；
（2）求明年改装的无人驾驶出租车是多少辆．
【答案】（1）明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是25万元；（2）明年改装的无人
驾驶出租车是160辆．
【解析】
【分析】
（1）根据今年每辆无人驾驶出租车的改装费用是50万元，预计明年每辆无人驾驶出租车
的改装费用可下降 ，列出式子即可求出答案；
（2）根据“某公交集团拟在今明两年共投资9000万元改装260辆无人驾驶出租车投放市
场”列出方程，求解即可．
【详解】
解：（1）依题意得： （万元）
（2）设明年改装的无人驾驶出租车是x辆，则今年改装的无人驾驶出租车是（260-x）辆,
依题意得：
解得：
答：（1）明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是25万元；（2）明年改装的无人驾驶
出租车是160辆．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的实际应用问题，解题的关键是找到数量关系，列出方程．
题型四 二元一次方程（组）的定义
题型五 解二元一次方程组
资31料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
45.下列方程：① ；② ；③ ；④ .其中二元一次
方程有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】
根据二元一次方程的定义求解可得答案．
【详解】
解：② ；④ 符合二元一次方程的要求
故选：B
【点睛】
本题主要考查二元一次方程定义，掌握二元一次方程定义是解题的关键．
46.下列方程，①2x﹣ ＝1；② + ＝3；③x2﹣y2＝4；④5（x+y）＝7（x﹣y）；
⑤2x2＝3；⑥2y+1＝4，其中是二元一次方程的是（ ）
A．① B．①③ C．①④ D．①②④⑥
【答案】C
【分析】
二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项
的最高次数为一次；（3）方程是整式方程．
【详解】
①2x﹣ ＝1、④5（x+y）＝7（x﹣y）符合二元一次方程的定义．
② + ＝3属于分式方程，故不符合题意．
③x2﹣y2＝4属于二元二次方程，故不符合题意；
⑤2x2＝3属于一元二次方程，故不符合题意；
⑥2y+1＝4属于一元一次方程，故不符合题意．
故选：C．
资32料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【点睛】
本题考查二元一次方程的定义，二元一次方程的定义是含有两个未知数且未知数的次数都
为1．
类型一 解方程
47．（2023·江苏连云港·统考中考真题）解方程组
【答案】
【分析】方程组运用加减消元法求解即可．
【详解】解：
①+②得 ，
解得 ，
将 代入①得 ，
解得 ．
∴原方程组的解为
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，方法主要有：代入消元法和加减消元法．
48．（2023·浙江台州·统考中考真题）解方程组：
【答案】
【分析】把两个方程相加消去y，求解x，再把x的值代入第1个方程求解y即可．
【详解】解：
①+②，得 ．
∴ ．
资33料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
把 代入①，得 ．
∴这个方程组的解是 ．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解法，熟练的利用加减消元法解方程组是解本题
的关键．
49．（2023·湖南常德·统考中考真题）解方程组：
【答案】
【分析】方程组利用加减消元法求解即可．
【详解】解：将① 得： ③
得：
将 代入①得：
所以 是原方程组的解．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元
法或加减消元法消去一个未知数．
50．（2019•天津）方程组 的解是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】 ，①+②得，x=2，
资34料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
把x=2代入①得，6+2y=7，解得y= ，
故原方程组的解为： ．故选D．
【名师点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的基本解
法是解答本题的关键．
51．（2019•广州）解方程组： ．
【答案】
【解析】 ，
②–①得，4y=8，解得y=2，
把y=2代入①得，x–2=1，解得x=3，
故原方程组的解为 ．
【名师点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消
元法与加减消元法．
52．（2019•山西）解方程组： ．
【答案】
【解析】①+②得，4x=–8，∴x=–2，
把x=–2代入②得，–2+2y=0，∴y=1，
∴ ．
资35料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
{x−y=1，
53．（2020•台州）解方程组：
3x+ y=7.
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
{x−y=1①
【解析】 ，
3x+ y=7②
+ 得：4x＝8，
①解得②：x＝2，
把x＝2代入 得：y＝1，
① {x=2
则该方程组的解为
y=1.
{2x+4 y=5，
54．（2020•连云港）解方程组
x=1−y．
【分析】把组中的方程 直接代入 ，用代入法求解即可．
{2x+4 y=5①② ①
【解析】
x=1−y②
把 代入 ，得2（1﹣y）+4y＝5，
② 3①
解得y = ．
2
3 1
把y = 代入 ，得x =− ．
2 2
②
1
{x=−
2
∴原方程组的解为 ．
3
y=
2
{ 2x+ y=2，
55.（2020•乐山）解二元一次方程组：
8x+3 y=9．
【分析】方程组利用加减消元法与代入消元法求出解即可．
{2x+ y=2①
【解析】 ，
8x+3 y=9②
法1： ﹣ ×3，得 2x＝3，
② 3①
解得：x = ，
2
3
把x = 代入 ，得 y＝﹣1，
2
①
资36料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
{ 3
x=
∴原方程组的解为 2 ；
y=−1
法2：由 得：2x+3（2x+y）＝9，
把 代入②上式，
① 3
解得：x = ，
2
3
把x = 代入 ，得 y＝﹣1，
2
①
{ 3
x=
∴原方程组的解为 2 ．
y=−1
56．（2021·浙江丽水市·中考真题）解方程组： ．
【答案】
【分析】
利用代入消元法解二元一次方程组即可．
【详解】
解： ，
把①代入②，得 ，
解得 ．
把 代入①，得 ．
∴原方程组的解是 ．
【点睛】
本题考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解答的关键．
资37料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
57．（2021·四川眉山市·中考真题）解方程组
【答案】
【分析】
方程组适当变形后，给②×3-①×2即可消去x，解关于y的一元一次方程，再将y值代入①
式，即可解出y．
【详解】
解：由 可得
②×3-①×2得 ，
即 ，
解得y=1，
将y=1代入①式得 ，解得 ．
故该方程组的解为 ．
【点睛】
本题考查解二元一次方程组．解二元一次方程主要用到“消元思想”，将二元一次方程组
化为一元一次方程求解．主要方法有加减消元法和代入消元法，熟练掌握这两种方法并能
灵活利用是解题关键．
58．（2021·浙江台州市·中考真题）解方程组：
【答案】 .
【分析】
观察方程组中同一未知数的系数特点：x的系数存在倍数关系，而y的系数互为相反数，因
此将两方程相加，消去y求出x，再求出y的值，可得到方程组的解.
资38料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【详解】
解：①+②得：3x=3，
即x=1，
把x=1代入①得：y=2，
则方程组的解为 .
【点睛】
此题考查解二元一次方程组，解题关键在于利用加减消元法.
59．（2021·江苏苏州市·中考真题）解方程组： .
【答案】 .
【详解】
分析: （1）根据代入消元法，可得答案.
详解:
由②得：x=-3+2y ③，
把③代入①得，3（-3+2y）-y=-4，
解得y=1，
把y=1代入③得：x=-1，
则原方程组的解为： .
点睛: 此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与
加减消元法.
类型二 含参问题
60．（2023·四川南充·统考中考真题）关于x，y的方程组 的解满足 ，
则 的值是（ ）
资39料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】D
【分析】法一：利用加减法解方程组，用 表示出 ，再将求得的代数式代入 ，
得到 的关系，最后将 变形，即可解答．
法二： 中 得到 ，再根据 求出
代入代数式进行求解即可.
【详解】解：法一： ，
得 ，
解得 ，
将 代入 ，解得 ，
，
，
得到 ，
，
法二：
得： ，即： ，
∵ ，
∴ ，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了根据二元一次方程解的情况求参数，同底数幂除法，幂的乘方，熟练
求出 的关系是解题的关键．
资40料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
61．（2023·四川眉山·统考中考真题）已知关于 的二元一次方程组 的解
满足 ，则m的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】将方程组的两个方程相减，可得到 ，代入 ，即可解答．
【详解】解： ，
得 ，
，
代入 ，可得 ，
解得 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了根据解的情况求参数，熟练利用加减法整理代入是解题的关键．
62．（2023·四川泸州·统考中考真题）关于 ， 的二元一次方程组 的解满
足 ，写出 的一个整数值___________．
【答案】7（答案不唯一）
【分析】先解关于x、y的二元一次方程组的解集，再将 代入，然后解关于a的
不等式的解集即可得出答案．
【详解】将两个方程相减得 ，
∵ ，
∴ ，
资41料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的一个整数值可以是7．
故答案为：7（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式，整体代入的思想方法是
解答本题的亮点．
63．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）点Q的横坐标为一元一次方程 的解，
纵坐标为 的值，其中a，b满足二元一次方程组 ，则点Q关于y轴对称点
的坐标为___________．
【答案】
【分析】先分别解一元一次方程 和二元一次方程组 ，求得点Q
的坐标，再根据直角坐标系中点的坐标的规律即可求解．
【详解】解： ，
移项合并同类项得， ，
系数化为1得， ，
∴点Q的横坐标为5，
∵ ，
由 得， ，解得： ，
把 代入①得， ，解得： ，
∴ ，
∴点Q的纵坐标为 ，
资42料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴点Q的坐标为 ，
又∴点Q关于y轴对称点 的坐标为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查解一元一次方程和解二元一次方程组、代数值求值、直角坐标系中点的
坐标的规律，熟练掌握解一元一次方程和解二元一次方程组的方法求得点Q的坐标是解题
的关键．
64.已知 是关于x、y的二元一次方程，则 ( )
A． B． C． 或 D．
【答案】B
【分析】
根据二元一次方程满足的条件，即只含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程，
即可求得a，b的值，即可求解．
【详解】
解：根据题意，得
且a-1≠0， 1
解得a=-1，b=-
∴
故选B．
【点睛】
主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，
未知数的项的次数是1的整式方程．
资43料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
65.若 是关于 ， 的二元一次方程，则
（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【分析】
根据二元一次方程的定义可知，m、n应满足以下4个关系式： ，解之即得.
【详解】
解：由题意 是关于 ， 的二元一次方程，于是
m、n应满足 ，解得 ， ，故选D.
【点睛】
本题考查了二元一次方程的定义，认真审题并列出m、n应满足的4个关系式是解决此题的
关键.
66.已知 是关于x，y的二元一次方程，则m，n的值为（ ）．
A．m=2，n=1 B． m=1，n= C．m=1，n= D．m=1，n=
【答案】D
【分析】
根据二元一次方程的定义即可求解．
【详解】
资44料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∵ 是关于x，y的二元一次方程，
∴2m-1=1,4-2n=1
解得m=1，n=
故选D．
【点睛】
此题主要考查二元一次方程的定义，解题的关键是熟知二元一次方程的特点．
67.若关于 ， 的方程 是二元一次方程，则 ________ ．
【答案】2或4
【分析】
根据二元一次方程的定义，可得x和y的指数分别都为1，列关于m、n的方程，然后求解
即可．
【详解】
根据二元一次方程的定义：
解得：m=3， ，
∴m+n=3+1=4或m+n=3-1=2；
故答案为：2或4．
【点睛】
本题考查二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整
式方程叫做二元一次方程．
68.已知，方程 是关于 ， 的二元一次方程，则 ______．
【答案】1
【分析】
根据二元一次方程的定义解题．
【详解】
解：由题意得 ， ，
资45料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴ ， ，∴ ．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查二元一次方程的定义，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
69.已知 是关于x、y的二元一次方程，则 ( )
A． B． C． 或 D．
【答案】B
【分析】
根据二元一次方程满足的条件，即只含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程，
即可求得a，b的值，即可求解．
【详解】
解：根据题意，得
且a-1≠0， 1
解得a=-1，b=-
∴
故选B．
【点睛】
主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，
未知数的项的次数是1的整式方程．
70.．（2021·四川遂宁市·中考真题）已知关于x，y的二元一次方程组 满
资46料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
足 ，则a的取值范围是____．
【答案】 ．
【分析】
根据题目中方程组的的特点，将两个方程作差，即可用含a的代数式表示出 ，再根据
，即可求得 的取值范围，本题得以解决．
【详解】
解：
①-②，得
∵
∴ ，
解得 ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查解一元一次不等式，二元一次方程组的解，熟悉相关性质是解答本题的关键．
71．（2021·江苏扬州市·中考真题）已知方程组 的解也是关于x、y的方程
的一个解，求a的值．
【答案】
【分析】
求出方程组的解得到x与y的值，代入方程计算即可求出a的值．
【详解】
资47料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
解：方程组 ，
把②代入①得： ，
解得： ，代入①中，
解得： ，
把 ， 代入方程 得， ，
解得： ．
【点睛】
此题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程的解，方程组的解即为能使方程组中
两方程成立的未知数的值．
72．（2021·重庆中考真题）对于任意一个四位数m，若千位上的数字与个位上的数字之和
是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数m为“共生数”例如：
，因为 ，所以3507是“共生数”： ，因为
，所以4135不是“共生数”；
（1）判断5313，6437是否为“共生数”？并说明理由；
（2）对于“共生数”n，当十位上的数字是千位上的数字的2倍，百位上的数字与个位上
的数字之和能被9整除时，记 ．求满足 各数位上的数字之和是偶数的所有
n．
【答案】（1） 是“共生数”， 不是“共生数”． （2） 或
【分析】
（1）根据“共生数”的定义逐一判断两个数即可得到答案；
资48料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
（2）设“共生数” 的千位上的数字为 则十位上的数字为 设百位上的数字为
个位上的数字为 可得： ＜ 且 为整数，再由“共生
数”的定义可得： 而由题意可得： 或 再结合方程的正整
数解分类讨论可得答案．
【详解】
解：（1）
是“共生数”，
不是“共生数”．
（2）设“共生数” 的千位上的数字为 则十位上的数字为 设百位上的数字为
个位上的数字为
＜ 且 为整数，
所以：
由“共生数”的定义可得：
百位上的数字与个位上的数字之和能被9整除，
或 或
资49料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
当 则 则 不合题意，舍去，
当 时，则
当 时，
此时： ，而 不为偶数，舍去，
当 时，
此时： ，而 为偶数，
当 时，
此时： ，而 为偶数，
当 时，则
而 则 不合题意，舍去，
综上：满足 各数位上的数字之和是偶数的 或
【点睛】
本题考查的是新定义情境下的实数的运算，二元一次方程的正整数解，分类讨论的数学思
想的运用，准确理解题意列出准确的代数式与方程是解题的关键．
题型六 二元一次方程组的应用
73．（2023·湖北荆州·统考中考真题）我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，
不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一
根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长
多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为（ ）
资50料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据“一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺”可知：绳子=木条+4.5，再根据
“将绳子对折再量木条，木条剩余1尺”可知： 绳子=木条-1，据此列出方程组即可．
【详解】解：设木条长x尺，绳子长y尺，
那么可列方程组为： ，
故选：A．
【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是明确题意，找出等量关系，
列出相应的二元一次方程组．
74．（2020•绍兴）同型号的甲、乙两辆车加满气体燃料后均可行驶210km，它们各自单独
行驶并返回的最远距离是105km．现在它们都从A地出发，行驶途中停下来从甲车的气体
燃料桶抽一些气体燃料注入乙车的气体燃料桶，然后甲车再行驶返回A地，而乙车继续行
驶，到B地后再行驶返回A地．则B地最远可距离A地（ ）
A．120km B．140km C．160km D．180km
【分析】设甲行驶到C地时返回，到达A地燃料用完，乙行驶到B地再返回A地时燃料用
完，根据题意得关于x和y的二元一次方程组，求解即可．
【解析】设甲行驶到C地时返回，到达A地燃料用完，乙行驶到B地再返回A地时燃料用
完，如图：
设AB＝xkm，AC＝ykm，根据题意得：
{2x+2y=210×2
，
x−y+x=210
{x=140
解得： ．
y=70
∴乙在C地时加注行驶70km的燃料，则AB的最大长度是140km．
资51料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
故选：B．
75．（2021·江苏连云港市·中考真题）为了做好防疫工作，学校准备购进一批消毒液．已知
2瓶A型消毒液和3瓶B型消毒液共需41元，5瓶A型消毒液和2瓶B型消毒液共需53元．
（1）这两种消毒液的单价各是多少元？
（2）学校准备购进这两种消毒液共90瓶，且B型消毒液的数量不少于A型消毒液数量的
，请设计出最省钱的购买方案，并求出最少费用．
【答案】（1） 种消毒液的单价是7元， 型消毒液的单价是9元；（2）购进 种消毒
液67瓶，购进 种23瓶，最少费用为676元
【分析】
（1）根据题中条件列出二元一次方程组，求解即可；
（2）利用由（1）求出的两种消毒液的单价，表示出购买的费用的表达式，根据购买两种
消毒液瓶数之间的关系，求出引进表示瓶数的未知量的范围，即可确定方案．
【详解】
解：（1）设 种消毒液的单价是 元， 型消毒液的单价是 元．
由题意得： ，解之得， ，
答： 种消毒液的单价是7元， 型消毒液的单价是9元．
（2）设购进 种消毒液 瓶，则购进 种 瓶，购买费用为 元．
则 ，
∴ 随着 的增大而减小， 最大时， 有最小值．
又 ，∴ ．
由于 是整数， 最大值为67，
即当 时，最省钱，最少费用为 元．
此时， ．
资52料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
最省钱的购买方案是购进 种消毒液67瓶，购进 种23瓶．
【点睛】
本题考查了二元一次不等式组的求解及利用一次函数的增减性来解决生活中的优化决策问
题，解题的关键是：仔细审题，找到题中的等量关系，建立等式进行求解．
76．（2021·四川泸州市·中考真题）某运输公司有A、B两种货车，3辆A货车与2辆B货
车一次可以运货90吨，5辆A货车与4辆B货车一次可以运货160吨．
（1）请问1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货多少吨？
（2）目前有190吨货物需要运输，该运输公司计划安排A、B两种货车将全部货物一次运
完(A、B两种货车均满载)，其中每辆A货车一次运货花费500元，每辆B货车一次运货花
费400元．请你列出所有的运输方案，并指出哪种运输方案费用最少．
【答案】（1）1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货20吨和15吨；（2）共有3种租
车方案，方案1：租用A型车8辆，B型车2辆；方案2：租用A型车5辆，B型车6辆；方
案3：租用A型车2辆，B型车10辆；租用A型车8辆，B型车2辆最少．
【分析】
（1）设1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货x吨和y吨，根据“3辆A货车与2辆B
货车一次可以运货90吨，5辆A货车与4辆B货车一次可以运货160吨”列方程组求解可
得；
（2）设货运公司安排A货车m辆，则安排B货车n辆．根据“共有190吨货物”列出二元
一次方程组，结合m，n均为正整数，即可得出各运输方案．再根据方案计算比较得出费
用最小的数据．
【详解】
解：（1）1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货x吨和y吨，
根据题意可得： ，
解得： ，
答：1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货20吨和15吨；
（2）设安排A型车m辆，B型车n辆，
依题意得：20m+15n=190，即 ，
资53料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
又∵m，n均为正整数，
∴ 或 或 ，
∴共有3种运输方案，
方案1：安排A型车8辆，B型车2辆；
方案2：安排A型车5辆，B型车6辆；
方案3：安排A型车2辆，B型车10辆．
方案1所需费用：500 8+400 2=4800(元)；
方案2所需费用：500 5+400 6=4900(元)；
方案3所需费用：500 2+400 10=5000(元)；
∵4800＜4900＜5000，
∴安排A型车8辆，B型车2辆最省钱，最省钱的运输费用为4800元．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等
量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；根据据
总费用=500×安排A型车的辆数+400×B型车的辆数分别求出三种运输方案的总费用．
资54料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
