文档内容
专题 01 一次方程（组）及其应用
模块一 考点类型
模块二 知识点一遍过
（一）等式的性质
（1）性质1：等式两边加或减同一个数或同一个整式所得结果仍是等式.即若a＝b，则a±c＝b ± c
.
（2）性质2：等式两边同乘（或除）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式.即若a＝b，则
ac＝bc， (c≠0)．
（3）性质3：（对称性）若a=b,则b=a.
（4）性质4：（传递性）若a=b,b=c,则a=c.
（二）方程的概念
（1）方程：含有未知数的等式叫做方程：使方程左右两边值相等的未知数的值叫做方程的解，方程
的解也叫它的根：求方程解的过程叫做解方程。
（2）一元一次方程：只含有1个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程：它的一般形式为
ax+b=0(a≠0)．其解为x＝ ．
（3）二元一次方程（组）：
①二元一次方程：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，这样的整式方程叫做二元一次
方程．一般形式：ax＋by＝c(a≠0，b≠0)．
②二元一次方程组：具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组．
③二元一次方程的解：适合一个二元一次方程的未知数的值叫做这个二元一次方程
的一个解，一个二元一次方程有无数多个解．
④二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．
（三）解一元一次方程
（1）一般步骤：①去分母：②去括号：③移项：④合并同类项：⑤系数化为1．（2）理论根据和注意点
①去分母→根据等式性质2→注意点：勿漏乘不含分母的项，分子是两项以上的代数式须加上括号；
②去括号→根据去括号法则（分配律）→注意点：一是勿漏乘括号内每一项；二是括号前是“－”，
括号内各项都要变号；
③移项→根据移项法则（等式性质1）→注意点：一是移项要变号，二是勿漏项；
④合并同类项→根据合并同类项法则→注意点：系数相加，字母及它的指数不变
（四）解二元一次方程组
解二元一次方程组的基本思想是消元，即化二元一次方程组为一元一次方程，主要方法有代入消元
法和加减消元法．
（五）一次方程（组）的应用
步骤：设（未知数）→列（方程）→解（方程）→答（作答）
关键点：确认等量关系；常见的等量关系：
①行程问题基本等量关系：
路程=时间×速度；时间=路程÷速度；速度=路程÷时间。
顺行：顺行速度＝自身速度＋风速（水速）；逆行速度＝自身速度－风速（水速）
②工程问题：
工作总量=工作时间×工作效率。
③配套问题：
实际生产比＝配套比。
④商品销售问题：
利润＝售价－成本；售价＝标价×0.1折扣；利润率＝利润÷进价×100%
总利润＝单利润×数量
现单利润＝原单利润＋涨价部分（－降价部分）
现数量＝原数量－ （原数量＋ ）
⑤数字问题：一个十位数可表示为：10×十位上的数字＋个位上的数字；一个百位数可表示为：
100×百位上的数字＋10×十位上的数字＋个位上的数字。以此类推。
⑥平均增长率（下降率）问题：计算公式：原数×（1＋增长率）＝总数，
原数×（1－下降率）＝总数。
模块三 考点一遍过
考点1：方程的解
x
典例1：如果x=−8是方程3x+8= −a的解，则a的值为（ ）．
4A．−14 B．14 C．30 D．−30
【答案】B
【知识点】已知方程的解，求参数
【分析】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的
值是解题的关键．将x=−8代入方程计算即可求出a的值．
x
【详解】解：∵x=−8是方程3x+8= −a的解，
4
−8
∴将x=−8代入方程得：3×(−8)+8= −a，
4
解得：a=14．
故选：B．
【变式1】已知关于x的方程3x−7=2x+a的解与方程4x+2=7−x的解相同，则a的值为 ．
【答案】−6
【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、已知方程的解，求参数
【分析】本题考查了同解方程和解一元一次方程的应用，关键是得出关于a的方程．求出第二个方
程的解，把x的值代入第一个方程，求出方程的解即可．
【详解】解：4x+2=7−x，
5x=5，
解得x=1，
∵关于x的方程3x−7=2x+a的解与方程4x+2=7−x的解相同，
∴把x=1代入方程3x−7=2x+a得：3−7=2+a,
解得：a=−6．
故答案为：−6．
【变式2】我们规定关于x的一元一次方程ax=b的解为x=b−a，则称该方程是“差解方程”，例
如：3x=4.5的解为x=4.5−3=1.5，则方程3x=4.5就是“差解方程”，请根据上述规定解答下列
问题：
（1）已知关于x的一元一次方程6x=m是“差解方程”，则m= ．
（2）已知关于x的一元一次方程：5x=mn−m和−3x=mn−n都是“差解方程”，则代数式
4(mn−m)−16(mn−n) 2= ．
36
【答案】 −56
5
【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、已知方程的解，求参数
【分析】（1）根据“差解方程”的概念及计算方法，解方程的方法的综合运用即可求解；25 9
（2）根据“差解方程”的概念及计算方法，分别求出mn−m= ，mn−n=− ，代入式子计算
4 4
即可；
本题主要考查了定义新运算，解方程的综合，理解“差解方程”的概念及计算方法，掌握解方程，
整式的混合运算是解题的关键．
【详解】解：（1）由“差解方程”定义可知：x=m−6，
∴6(m−6)=m，
36
解得：m= ，
5
36
故答案为： ；
5
（2）∵5x=mn−m和−3x=mn−n都是“差解方程”，
∴由“差解方程”定义可知：x=mn−m−5，x=mn−n+3，
∴5(mn−m−5)=mn−m，−3(mn−n+3)=mn−n，
25 9
∴mn−m= ，mn−n=− ，
4 4
∴4(mn−m)−16(mn−n) 2=4× 25 −16× ( − 9) 2 =−56，
4 4
故答案为：−56．
【变式3】若关于x的一元一次方程ax=b的解为x=b−a；则称该方程为“奇异方程”，例如：
2x=4的解为x=4−2，则该方程2x=4是“奇异方程”已知关于x的一元一次方程3x=m+5是奇
异方程，则m的值为 ．
1
【答案】− /−0.5
2
【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、已知方程的解，求参数
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的定义，根据奇异方程的定义可求出
方程的解，再把方程的解代入原方程得到关于m的方程，解方程求出m的值即可得到答案．
【详解】解：∵关于x的一元一次方程3x=m+5是奇异方程，
∴x=m+5−3=m+2，
∴3(m+2)=m+5，
1
解得m=− ，
2
1
故答案为：− ．
2
【变式4】小丽同学在做作业时，不小心将方程2(x−3)−■=x+1中的一个常数污染了，在询问老师后、老师告诉她方程的解是x=8，请问这个被污染的常数■是 （ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、已知方程的解，求参数
【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程等知识点，设被污染的常数■是a，把
x=8代入计算即可求出a的值．
【详解】解：设被污染的常数■是a，
把x=8代入得：2×(8−3)−a=8+1，
整理得：10−a=9，
移项合并得：−a=−1，
解得：a=1，
故选：D．
1
【变式5】如果方程−m(x−1)=1−3x的解为x= ，那么关于y的方程m(y+5)=2m−(2y−1)
2
的解为（ ）
A．y=4 B．y=3 C．y=2 D．y=1
【答案】A
【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、已知方程的解，求参数
【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程等知识，熟悉一元一次方程的解是关键．
1
由x= 是方程−m(x−1)=1−3x的解，代入可求得m的值；把m的值代入第二个方程中，即可求
2
得方程的解．
1 1 1
【详解】将x= 代入方程−m(x−1)=1−3x中，可得： m=− ，
2 2 2
解得：m=−1；
将m=−1代入方程m(y+5)=2m−(2y−1)中，可得：−(y+5)=−2−(2y−1)，
解得：y=4．
故选：A．
考点2：等式的性质
典例2：下列变形错误的是（ ）
A．若a=b，则ac2=bc2 B．若ac2=bc2，则a=b
a b
C．若a=b，则1−3a=1−3b D．若 = ，则a=b
c2 c2
【答案】B
【知识点】等式的性质1、等式的性质2【分析】本题主要考查了等式的性质，掌握等式的性质是解题关键．
根据等式的性质逐项分析即可解答．
【详解】解：A、两边乘c2，得到ac2=bc2，故A不符合题意；
B、当c=0时，等式a=b不一定成立，故B符合题意；
C、等式两边同时乘以−3，然后同时加1，等式仍成立，即1−3a=1−3b，故C不符合题意；
D、分子分母都乘以c2，则a=b，故D不符合题意．
故选：B．
x y
【变式1】有下列变形：①若x= y，则mx=my；②若x= y，则 = ；③若ax=ay，则x= y；④
c c
x y
若 = ，则x= y．其中变形正确的是 ．（请填写序号）
c c
【答案】①④
【知识点】等式的性质2
【分析】本题考查了等式的基本性质，解决本题的关键是根据等式的两边同时乘以同一个数或除以
同一个不为0的数等式仍成立进行判断．
【详解】解：①若x= y，根据等式的基本性质可得：mx=my，故①正确；
x y
②若x= y，当c≠0时， = 成立，当c=0时不成立，故②错误；
c c
③若ax=ay，当x≠0时，x= y成立，当a=0时不成立，故③错误；
x y
④若 = ，则c≠0，根据等式的基本性质x= y成立，故④正确．
c c
故答案为： ①④．
【变式2】下列各变形中：
x y
①由x= y，可得到后 = ；
a a
②由x+3= y+3，可得到x= y；
x y
③由 = ，可得到x= y；
a a
x 2x−1 10x 20x−10
④由 − =5，可得到 − =50．其中一定正确的有 （填序号）．
0.3 0.7 3 7
【答案】②③
【知识点】等式的性质
【分析】本题考查等式的性质，根据等式的性质，逐一进行判断即可．
x y
【详解】由x= y，只有当a≠0时，等式的两边才能同时除以a得出 = ，故①错误；
a a
由x+3= y+3的两边都减去3，得出x= y，故②正确；x y
= 的两边都乘a得x= y，故③正确；
a a
x 2x−1 10x 20x−10
由 − =5可得 − =5，故④错误．
0.3 0.7 3 7
综上，正确的有②③．
故答案为：②③
【变式3】下列等式变形：①若a=b，则a+x=b+x；②若ac=bc，则a=b；③若4a=3b，则
a 3 2x 3 y
4a−3b=1；④若 = ，则4a=3b；⑤若 = ，则2x=3 y．其中一定正确的是 （填
b 4 m m
序号）．
【答案】①④⑤
【知识点】等式的性质
【分析】本题考查的是等式的基本性质，等式两边同时加(减)同一个数(式子)，结果仍相等；等式两
边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等；应用等式的性质对等式进行变形时，
必须注意“同”字，要对等式进行变形，就要保证等式两边始终相等，也就是说，运用等式的性质
时，等式两边必须同时进行变形．根据等式的基本性质逐一判断即可．
【详解】解：∵a=b，
∴a+x=b+x，符合等式性质1，故①符合题意；
∵ac=bc，c≠0，
∴a=b，故②不符合题意；
∵4a=3b，
∴4a−3b=0，故③不符合题意；
a 3
∵ = ，
b 4
∴4a=3b，符合等式性质2，故④符合题意；
2x 3 y
∵ = ，
m m
∴2x=3 y，符合等式性质2，故⑤符合题意；
故答案为：①④⑤．
【变式4】下列等式变形正确的是（ ）
A．若3x+2=2x−2，则x=0
x x−1
B．若 + =1，则2x+3(x−1)=1
3 2
C．若5x−6=2x+8，则5x+2x=8+60.04x+0.22 0.5−0.2x 4x+22 5−2x
D．若 − =0.2，则 − =0.2
0.05 0.3 5 3
【答案】D
【知识点】等式的性质
【分析】本题考查等式的性质，在方程两边同时减去(2x+2)即可判断选项A；在方程两边同时乘以
6即可判断选项B；在方程两边同时加上(−2x+6)即可判断选项C；等号左边第一个式子分子和分
母同时扩大100倍，第二个式子分子和分母同时扩大10倍即可判断选项D．
解题的关键是掌握：性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；性质2：
等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等．据此对各选项逐一判断即可．
【详解】解：A．若3x+2=2x−2，则x=−4，原等式变形错误，故此选项不符合题意；
x x−1
B．若 + =1，则2x+3(x−1)=6，原等式变形错误，故此选项不符合题意；
3 2
C．若5x−6=2x+8，则5x−2x=8+6，原等式变形错误，故此选项不符合题意；
0.04x+0.22 0.5−0.2x 4x+22 5−2x
D．若 − =0.2，则 − =0.2，原等式变形正确，故此选项符
0.05 0.3 5 3
合题意．
故选：D．
b a a b
【变式5】下列结论：①若a+b=0，a≠b，则 (a+2)+ (b−3)=1；②若a=b，则 +1= +1；
a b c2 c2
③若x0，再化简绝对值即(3 4)
可；由2x−4 y=2得到4 y−2x+2=0，两边再同时除以4即可判断④；根据 − x−5=0无解
a b
4 4
得出b= a，从而方程3ay−4b=0可化为3ay−4× a=0，解方程即可得出答案，熟练掌握以上
3 3
知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵ a+b=0，a≠b，
∴a=−b，a≠0，b≠0，
b a
∴ =−1， =−1，
a b
b a
∴ (a+2)+ (b−3)=−(a+2)−(b−3)=−a−2−b+3=−(a+b)+1=1，故①正确；
a b
∵a=b，
a b
∴当c≠0时， +1= +1，故②错误；
c2 c2
∵x0，
∴|x−z|−|x+ y|−|z+ y|
=z−x+x+ y−(z+ y)
=z−x+x+ y−z−y
=0，故③正确；
∵2x−4 y=2，
∴4 y−2x+2=0，
1 1
两边同时除以4得：y− x+ =0，故④正确；
2 2
(3 4)
∵关于x的方程 − x−5=0无解，
a b
3 4
∴ − =0，
a b
4
∴b= a，
3
4
∴方程3ay−4b=0为3ay−4× a=0，
3
16
解得：y= ，故⑤正确；
9
综上所述，正确的有①③④⑤，共4个，故选：C．
考点3：解一元一次方程
典例3：解方程
(1)12x+7=5(2x−3)
3x+2 x−1
(2) −1=
3 5
【答案】(1)x=−11
1
(2)x=
6
【知识点】解一元一次方程（三）——去分母
【分析】本题考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括
号、移项、合并同类项、系数化为1．
（1）去括号，移项、合并同类项、系数化为1即可；
（2）先去分母，去括号，再移项、合并同类项、系数化为1即可．
【详解】（1）解：12x+7=5(2x−3)，
去括号，得12x+7=10x−15，
移项，得12x−10x=−15−7，
合并同类项，得2x=−22，
系数化为1，得x=−11；
3x+2 x−1
（2）解： −1= ，
3 5
去分母，得5(3x+2)−15=3(x−1)，
去括号，得15x+10−15=3x−3，
移项，得15x−3x=−3+15−10，
合并同类项，得12x=2，
1
系数化为1，得x= ．
6
【变式1】解方程：
(1)6(x−1)−4(x−1)=16；
2x+1 x−1
(2)1− = ．
3 2
【答案】(1)x=9；
(2)x=1．
【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母、解一元一次方
程（一）——合并同类项与移项【分析】（1）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可；
（2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可；
本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
【详解】（1）解：6(x−1)−4(x−1)=16
6x−6−4x+4=16
6x−4x=16+6−4
2x=18
x=9；
2x+1 x−1
（2）解：1− =
3 2
6−2(2x+1)=3(x−1)
6−4x−2=3x−3
−4x−3x=−3−6+2
−7x=−7
x=1．
2x−1 3−x
【变式2】下面是小明解方程 =1− 的过程：
4 8
解：去分母，得2(2x−1)=8−(3−x)，（第一步）
去括号，得4x−2=8−3+x，（第二步）
移项，得4x+x=8−3+2，（第三步）
合并同类项，得5x=7，（第四步）
7
系数化为1，得x= ．（第五步）根据解答过程完成下列任务．
5
任务一：①上述解答过程中，第一步的变形依据是______；
②第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______；
任务二：除上述错误外，请你根据平时解一元一次方程的经验，再给其他同学提一条建议：______；
任务三：请你写出该方程的正确解______．
【答案】任务一：①等式的性质；②三，移项没有变号；任务二：（答案不唯一）去分母注意不要
7
漏乘或去括号要注意符号或养成口头检验的习惯等；任务三：x=
3
【知识点】解一元一次方程（三）——去分母
【分析】此题考查了解一元一次方程，以及等式的性质，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去
分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1是解本题的关键．
任务一：观察这位同学解方程的步骤，利用等式的基本性质，判断即可得到结果；
任务二：答案不唯一，建议只要合理即可；任务三：根据解一元一次方程的步骤解答即可．
【详解】解：任务一：①第一步的变形依据是等式的性质；
②第三步开始出现错误，这一步错误的原因是：移项没有变号；
任务二：（答案不唯一）去分母注意不要漏乘或去括号要注意符号或养成口头检验的习惯；
2x−1 3−x
任务三：解方程： =1− ，
4 8
去分母，得2(2x−1)=8−(3−x)，
去括号，得4x−2=8−3+x，
移项，得4x−x=8−3+2，
合并同类项，得：3x=7，
7
系数化为1，得x= ．
3
【变式3】解方程：
(1)x−3(x+2)=6；
(2)2−3(4 y−1)=9(1−y)；
2x+1 5x−1
(3) − =1；
3 6
2x+5 2x−3
(4)x− =1− ．
6 2
【答案】(1)x=−6
4
(2)y=−
3
(3)x=−3
(4)x=2
【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母、解一元一次方
程（一）——合并同类项与移项
【分析】（1）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可；
（2）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可；
（3）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可；
（4）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可；
本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
【详解】（1）解：x−3(x+2)=6
x−3x−6=6
x−3x=6+6
−2x=12x=−6；
（2）解：2−3(4 y−1)=9(1−y)
2−12y+3=9−9 y
−12y+9 y=9−2−3
−3 y=4
4
y=− ；
3
2x+1 5x−1
（3）解： − =1
3 6
2(2x+1)−(5x−1)=6
4x+2−5x+1=6
4x−5x=6−2−1
−x=3
x=−3；
2x+5 2x−3
（4）解：x− =1−
6 2
6x−(2x+5)=6−3(2x−3)
6x−2x−5=6−6x+9
6x−2x+6x=6+9+5
10x=20
x=2．
【变式4】解方程：
(1)6 y−7=4 y−5
(2)4 y−3(2+ y)=5−2(1−2y)
1−x x+2
(3)x− = −1
3 6
x 0.17−0.2x
(4) − =1
0.7 0.03
1[1(x+1 )]
(5) −1 =2
3 4 5
【答案】(1)y=1
(2)y=−3
2
(3)x=−
7
14
(4)x=
17(5)x=124
【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母、解一元一次方
程（一）——合并同类项与移项
【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法步骤是解题关键．
（1）先移项，再合并同类项计算即可；
（2）先去括号，然后移项合并同类项计算即可；
（3）先等式两边乘以6去分母，然后去括号，移项、合并同类项计算即可；
（4）先等式两边乘以21去分母，然后去括号，移项、合并同类项计算即可；
x+1 1
（5）先去括号得到 − =2，然后等式两边乘以60去分母，再移项、合并同类项计算即可；
60 12
【详解】（1）解：6 y−7=4 y−5
6 y−4 y=−5+7
2y=2
y=1
（2）解：4 y−3(2+ y)=5−2(1−2y)
4 y−6−3 y=5−2+4 y
4 y−3 y−4 y=5−2+6
−3 y=9
y=−3
1−x x+2
（3）解：x− = −1
3 6
6x−2(1−x)=x+2−1×6
6x+2x−x=2−6+2
7x=−2
2
x=−
7
x 0.17−0.2x
（4）解： − =1
0.7 0.03
30x−700(0.17−0.2x)=21
30x−119+140x=21
170x=140
14
x=
17
1[1(x+1 )]
（5）解： −1 =2
3 4 5x+1 1
− =2
60 12
1
x+1− ×60=2×60
12
x+1−5=120
x=124
【变式5】计算和解方程：
( 3)
(1)2.4− − +(−3.1)+4.4；
5
(2)−12022+8× ( − 1) 3 +2×|−6+2|．
2
(3)2(x−3)=3x+1；
x−6 x−5
(4) −x= ．
4 2
【答案】(1)4.3；
(2)6；
(3)x=−7；
4
(4)x= ．
5
【知识点】有理数的加减混合运算、含乘方的有理数混合运算、解一元一次方程（二）——去括号、
解一元一次方程（三）——去分母
【分析】(1)根据减去一个数等于加上这个数的相反数，把减法转化为加法，然后再根据有理数的加
法法则进行计算即可；
(2)首先根据乘方的定义把乘方计算出来，再根据绝对值的定义去掉绝对值符号，然后再根据有理数
的运算顺序计算即可；
(3)根据解一元一次方程的步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1求出方程的解即可；
(4)根据解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1求出方程的解即
可．
( 3)
【详解】（1）解：2.4− − +(−3.1)+4.4
5
3
=2.4+ −3.1+4.4
5
=2.4+0.6−3.1+4.4
=3−3.1+4.4=−0.1+4.4
=4.3；
（2）解：−12022+8× ( − 1) 3 +2×|−6+2|
2
( 1)
=−1+8× − +2×4
8
=−1+(−1)+8
=−2+8
=6；
（3）解：2(x−3)=3x+1，
去括号：2x−6=3x+1，
移项：2x−3x=1+6，
合并同类项：−x=7，
系数化为1：x=−7；
x−6 x−5
（4）解： −x= ，
4 2
去分母：x−6−4x=2(x−5)，
去括号：x−6−4x=2x−10，
移项：x−4x−2x=−10+6，
合并同类项：−5x=−4，
4
系数化为1：x= ．
5
【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算、解一元一次方程，解决本题的关键是根据有理数的运
算法则和解一元一次方程的步骤进行计算．
考点4：一次方程的实际应用
典例4：列一元一次方程解决实际问题（两问均需用方程求解）
第九届亚洲冬季运动会于2025年在中国黑龙江省哈尔滨市举行，而有着少数民族风格的“滨滨”
“妮妮”吉祥物盲盒颇受大众关注．现有工厂生产吉祥物的盲盒，分为A、B两种包装，该工厂共有
1000名工人．
(1)若该工厂生产盲盒A的人数比生产盲盒B的人数的2倍少200人，请求出生产盲盒B的工人人数；
(2)为了促销，工厂按商家要求生产盲盒大礼包，该大礼包由2个盲盒A和3个盲盒B组成．已知每
个工人平均每天可以生产20个盲盒A或10个盲盒B，且每天只能生产一种包装的盲盒．该工厂应该
安排多少名工人生产盲盒A，多少名工人生产盲盒B才能使每天生产的盲盒正好配套？【答案】(1)生产盲盒B的工人人数为400人．
(2)该工厂应该安排250名工人生产A，750名工人生产B才能使每天生产的盲盒正好配套．
【知识点】配套问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
（1）设生产盲盒B的工人人数为x人，则生产盲盒A的工人人数为(2x−200)人，根据该工厂共有
1000名工人，列出一元一次方程，解方程即可；
（2）设安排m人生产盲盒A，则安排(1000−m)人生产盲盒B，根据盲盒大礼包由2个盲盒A和3个
盲盒B组成．列出一元一次方程，解方程即可．
【详解】（1）解：设生产B的人数为x人，则生产A的人数为(2x−200)人，
于是(2x−200)+x=1000
解得：x=400
答：生产盲盒B的工人人数为400人．
（2）解：设安排m人生产A，则安排(1000−m)人生产B，
于是3×20m=2×10(1000−m)
解得：m=250
∴1000−m=1000−250=750（人）
答：该工厂应该安排250名工人生产A，750名工人生产B才能使每天生产的盲盒正好配套．
【变式1】某校为了改善校园环境，丰富学生的课余生活，在暑期对校园环境进行大力改造．现有
甲乙两个工程队参与这项改造工程，甲工程队单独完成这一项工程需要20天，乙工程队单独完成这
1
项工程所需的时间比甲工程队多 ．
2
(1)若这项工程由甲乙两队合作完成，完成这项工程最少需要多少天？
(2)学校原计划由乙工程队单独完成这项工程，乙工程队工作几天后接到通知要缩短工期，后期工程
2
由甲、乙两工程队共同合作完成，若甲工程队工作的天数是乙工程队工作天数的 ，求乙工程队工
3
作的总天数．
【答案】(1)12天
(2)15天
【知识点】工程问题(一元一次方程的应用)、用一元一次不等式解决实际问题
( 1)
【分析】（1）由题意可得，乙工程队单独完成这项工程所需20× 1+ =30天，设甲乙两队合作
2
完成这项工程需要x天，由题意列出一元一次不等式解答即可求解；
（2）设乙工程队工作的总天数为y天，由题意列出方程即可求解；本题考查了一元一次方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键．
( 1)
【详解】（1）解：由题意可得，乙工程队单独完成这项工程所需20× 1+ =30天，
2
设甲乙两队合作完成这项工程需要x天，
1 1
由题意得， x+ x≥1，
20 30
解得x≥12，
答：甲乙两队合作完成这项工程最少需要12天；
（2）解：设乙工程队工作的总天数为y天，
1 2 1
由题意得， × y+ y=1，
20 3 30
解得y=15，
答：乙工程队工作的总天数为15天．
【变式2】双十二将近，互联网电商纷纷推出多种促销方式吸引顾客让利消费者．某电商商品标价
每件100元，推出了如下的优惠促销活动：
打折前一次性购物总金额 优惠措施
少于或等于600元 一律打八折
超过600元，但不超过1000元 一律打七折
超过1000元 其中1000元部分打五折，超过1000元的部分打三折优惠
(1)张老师一次性购买该商品14件，实际付款多少元？
(2)李老师一次性购买该商品若干件，实际付款560元，请认真思考求出李老师购买该商品所有可能
的件数．
【答案】(1)620元
(2)8件或12件
【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、销售盈亏(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查日常生活中的打折销售问题，一元一次方程的应用，
（1）张老师一次性购买该商品14件，消费金额是1400元，结合优惠条件解答；
（2）分类讨论：根据实际付款的金额来计算李老师应该享受的优惠措施，从而求得购买商品的件数；
运用一元一次方程解决问题时要抓住未知量，明确等量关系列出方程是解题的关键．
【详解】（1）解：∵张老师一次性购买该商品14件，
∴14×100=1400，
∴1000×0.5+(1400−1000)×0.3=500+120=620（元），
答：实际付款620元；（2）设李老师购买该商品的件数是x件，则原价为100x元，
①当0<100x≤600，即01000，即x>10时，
依题意，得：1000×0.5+0.3×(100x−1000)=560，
解得：x=12；
综上所述，李老师购买该商品的件数是8件或12件．
【变式3】某文体中心提供阅读、观影、球类、游泳、器械等多种文体活动，现有三种收费方式．
详情见下表：
收费方
详细介绍
式
日卡 日卡一张30元
会员卡 办卡需210元，每活动1小时收费4元
普通卡 进入文体中心要收取10元/日，可免费文体活动2小时，后续收费5元/小时
（注：不足一个小时的按一小时计算）
(1)小明打算这周六去文体中心活动6小时，最少需要花费________元；
(2)小明打算一个月（30天）都去文体中心活动，每天活动的时间为x小时（x为正整数，且x≥2）．
①如果小明选择办会员卡一个月需要花费________元；选择办普通卡一个月需要花费________元：
（用含x的代数式表示）
②对于会员卡和普通卡两种不同的收费方式，哪种更划算？
【答案】(1)30
(2)①210+120x，150x；②x<7时，办普通卡；x=7时，办哪种卡一样；x>7时，办会员卡
【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、列代数式、方案选择(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查的是列代数式，求解代数式的值，解一元一次方程，最优化选择问题．
（1）分别求得办日卡、会员卡、普通卡，所需要花费，比较即可求解；
（2）①根据办会员卡和普通卡的收费方式，列式计算即可求解；
②先解方程210+120x=150x求得x=7，分情况讨论即可求解；
【详解】（1）解：(1)办日卡，需要花费30元，
办会员卡，办卡就需210元，显然不合题意，办普通卡，需要花费10+5(6−2)=30元，
最少需要花费30元；
（2）①办会员卡需要花费210+30×4x=210+120x，
办普通卡需要花费30[10+5(x−2)]=150x，
故答案为：210+120x，150x；
②解方程210+120x=150x，
解得x=7，
x<7时，办普通卡划算，
x=7时，办哪种卡一样，
x>7时，办会员卡划算；
【变式4】如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=16cm,BC=12cm,AC=20cm，P、Q是△ABC
边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿
BC→CA方向运动，且速度为每秒2cm，P、Q两点同时出发，当点P运动到点B时两点停止运动，
设运动时间为t秒．
(1)BP= ______cm（用含t的式子表示）；
(2)当点Q在边BC上运动时，通过计算说明PQ能否把△ABC的周长平分？
(3)当点Q在边CA上运动时，若△BCQ是以CQ为腰的等腰三角形，直接写出此时t的值：______．
【答案】(1)(16−t)
(2)不能
(3)11或12
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间t表示出
相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，解题时注意方程思想的应用．
（1）根据题意即可用t表示出AP，BQ即可求得BP；
（2）当Q在BC上，0≤t≤6，如图，AP=t，BQ=2t，则BP=16−t，CQ=12−2t，利用PQ把
△ABC的周长平分，再建立方程求解即可；
（3）用t分别表示出BQ和CQ，利用等腰三角形的性质可分CQ=BC和BQ=CQ两种情况，分别得
到关于t的方程，可求得t的值．
【详解】（1）解：由题意可知AP=t，BQ=2t，∵AB=16cm，
∴BP=AB−AP=(16−t)cm，
故答案为：(16−t)；
（2）解：当Q在BC上，0≤t≤6，如图，
而AP=t，BQ=2t，
∴BP=16−t，CQ=12−2t，
∵PQ把△ABC的周长平分，
∴16−t+2t=t+12−2t+20，
解得：t=8，不符合题意舍去，
∴点Q在边BC上运动时．PQ不能把△ABC的周长平分；
（3）解：①当CQ=BQ，如图1所示，
则∠C=∠CBQ，
∵∠ABC=90°，
∴∠CBQ+∠ABQ=90°．
∠A+∠C=90°，
∴∠A=∠ABQ，
∴BQ=AQ，
∴CQ=AQ=10cm，
∴BC+CQ=22cm，
∴t=22÷2=11s；
②当CQ=BC，如图2所示，则BC+CQ=24cm，
∴t=24÷2=12s，
综上所述：当t为11秒或12秒时，△BCQ是以CQ为腰的等腰三角形．
故答案为：11或12．
【变式5】为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的，
该市自来水收费的收费标准如下表：
收费标准（注：水费按月份结算）
每月用水量 单价（元/立方米）
不超出6立方米的部分 2
超出6立方米不超出10立方米的部分 4
超出10立方米的部分 8
例如：某户居民1月份用水8立方米，应收水费为2×6+4×(8−6)=20（元）
请根据上表的内容解答下列问题：
(1)该户居民2月份交水费48元，2月份用水量为______________立方米？
(2)若该户居民3月份用水a立方米（其中a>10），请用含a的代数式表示应收水费 元．
(3)该户居民4、5两个月共用水15立方米（5月份的用水量超过了4月份的用水量），两个月共交水
费44元，求该户居民4、5月份各用多少立方米？
【答案】(1)12.5
(2)(8a−52)
(3)该户居民4月份用水4立方米，则5月份用水11立方米
【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、列代数式、电费和水费问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，有理数的混合运算的应用，正确的列出式子
和方程，是解题的关键．
（1）首先判断出该户居民2月份用水量超过10立方米，然后设该户居民2月份用水量 x立方米，
根据题意列出一元一次方程求解即可；
（2）根据阶梯收费标准列式即可；（3）设该户居民4月份用水m立方米，则5月份用水(15−m)立方米，根据题意分3种情况讨论，
分别列出一元一次方程求解即可．
【详解】（1）解：当用水量为6立方米时，应交水费6×2=12（元），
当用水量为10立方米时，应交水费6×2+(10−6)×4=12+16=28（元），
∵该户居民2月份交水费48元，
∴该户居民2月份用水量超过10立方米
∴设该户居民2月份用水量 x立方米
根据题意得，28+8(x−10)=48
解得x=12.5
∴2月份用水量为12.5立方米；
（2）解：∵该户居民3月份用水a立方米（其中a>10）
∴6×2+(10−6)×4+8(a−10)=8a−52；
∴应收水费(8a−52)元；
（3）解：设该户居民4月份用水m立方米，则5月份用水(15−m)立方米，
∵5月份的用水量超过了4月份的用水量
∴当4月份用水不超过6立方米，5月份用水不超过10立方米时，
根据题意得，2m+2×6+4(15−m−6)=44
解得m=2
∴15−m=15−2=13>10，不符合题意，应舍去
当4月份用水不超过6立方米，5月份用水超过10立方米时，
2m+2×6+4×(10−6)+8(15−m−10)=44
解得m=4
∴15−m=15−4=11（立方米）
∴该户居民4月份用水4立方米，则5月份用水11立方米；
当4月份用水超过6立方米，5月份用水不超过10立方米时，
根据题意得，2×6+4(m−6)+2×6+4(15−m−6)=44
方程无解，应舍去
综上所述，该户居民4月份用水4立方米，则5月份用水11立方米．
【变式6】小颖同学在学习了方程的内容后，用学习方程时积累的经验解决我国古代数学著作《九
章算术》中的“燕雀问题”：“五只雀六只燕，共重十六两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样
重，问雀燕各几两？”．尝试解决：(1)用表格梳理出数量关系如下：
每只重量（两） 数量（只） 总重量（两）
雀 5
燕 6
相互关系 互换1只一样重 共16
每只重量×只数=总重量．
(2)设未知数，并用含有未知数的代数式表示其他量；
(3)列方程(组)：
从表格中她发现有4个未知量，分别是：雀、燕每只的重量；5只雀、6只燕的重量．
①尝试设一个未知数解决．
如果设每只雀重量x两，则5只雀的总重量为_____两，6只燕的总重量为_____两，每只燕的重量为
_____两，连接已知量和未知量的相等关系是“互换1只一样重”，于是列方程为_____．同样也可
设5只雀的总重量(略)；
②尝试设两个未知数解决，
如果设每只雀重量为x两，每只燕重量为y两，连接已知量和未知量的相等关系是“五只雀六只燕，
共重十六两”、“互换1只一样重”可列方程组为 ，同样也可设5只雀、6只燕的总重量(略)；
反思提炼：
经过上面的几个步骤可以将实际问题变成一个方程问题，这种思想方法在数学中通常称为数学建模．
从以上探究可以看出，对于“燕雀问题”列一元一次方程解决比较复杂，因此_______是解决含有多
个未知数问题的重要工具．
【答案】(1)见解析
16−5x
(2)每只雀重量x两，5只雀的总重量为5x两，每只燕的重量为 两，6只燕的总重量为
6
(16−5x)两（答案不唯一）
16−5x 16−5x 16−5x
(3)①5x，(16−5x)， ，4x+ = ×5+x；②¿，方程组
6 6 6
【知识点】古代问题(一元一次方程的应用)、古代问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
（1）每只雀重量x两，根据“5只麻雀和6只燕子一共重16两；4只麻雀和1只燕子的重量等于1
只麻雀和5只燕子的重量”，此题得解；
（2）根据（1）即可得解；
（3）①根据（1）（2）即可得解；
②每只雀重量为x两，每只燕重量为y两，根据“5只麻雀和6只燕子一共重16两；4只麻雀和1只
燕子的重量等于1只麻雀和5只燕子的重量”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】（1）解：设每只雀重量x两，
用表格梳理出数量关系如下：
每只重量（两） 数量（只） 总重量（两）
雀 x 5 5x
16−5x
燕 6 16−5x
6
相互关系 互换1只一样重 共16
（2）设每只雀重量x两，则5只雀的总重量为5x两，6只燕的总重量为(16−5x)两，每只燕的重量
16−5x
为 两，
6
16−5x
即：每只雀重量x两，5只雀的总重量为5x两，每只燕的重量为 两，6只燕的总重量为
6
(16−5x)两（答案不唯一）；
（3）①设每只雀重量x两，则5只雀的总重量为5x两，6只燕的总重量为(16−5x)两，每只燕的重
16−5x
量为 两，连接已知量和未知量的相等关系是“互换1只一样重”，于是列方程为
6
16−5x 16−5x
4x+ = ×5+x．
6 6
16−5x 16−5x 16−5x
故答案为：5x，(16−5x)， ，4x+ = ×5+x；
6 6 6
②设每只雀重量为x两，每只燕重量为y两，连接已知量和未知量的相等关系是“五只雀六只燕，
共重十六两”、“互换1只一样重”可列方程组为¿，
从以上探究可以看出，对于“燕雀问题”列一元一次方程解决比较复杂，因此方程组是解决含有多
个未知数问题的重要工具．
故答案为：¿，方程组．【变式7】在月历中有许多奥秘，图1是某月的月历，请仔细观察并思考下列问题：
(1)我们用如图所示的“Z”字型框架任意框住月历中的5个数（如图1中的阴影部分），探究“Z”
字型框架中的五个数的和与C位上的数的关系．
例如：5+6+13+20+21=________，2+3+10+17+18=________；
不难发现，其结果都等于________；
(2)设“Z”字型框架中位置C上的数为x，请利用整式的运算对（1）中的规律加以说明；
(3)在某月历中，“Z”字型框架框住的5个位置上的数，如果最小数与最大数的和为40，那么中间
C位上的数c=________．
【答案】(1)65；50；位置C上的数的5倍
(2)见解析
(3)20
【知识点】日历问题(一元一次方程的应用)、整式加减的应用、有理数加法运算
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，有理数加法计算，整式的加减计算：
（1）先根据有理数加法计算法则求出两个式子的和，可以发现式子的和都是对应C位置上的数字的
5倍；
（2）设“Z”字型框架中位置C上的数为x，则位置A上的数为x−8，位置B上的数为x−7，位置
D上的数为x+7，位置E上的数为x+8，再根据整式的加减计算法则求出这五个数字的和即可证明
结论；
（3）根据题意可得最小的数为c−8，最大的数为c+8，根据最小数与最大数的和为40，得到
c−8+c+8=40，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：5+6+13+20+21=65，2+3+10+17+18=50，
∴“Z”字型框架中的五个数的和与C位上的数的关系为：“Z”字型框架中的五个数的和等于C位
上的数的5倍，
故答案为：65；50；位置C上的数的5倍；
（2）证明：设“Z”字型框架中位置C上的数为x，则位置A上的数为x−8，位置B上的数为x−7，
位置D上的数为x+7，位置E上的数为x+8，
∵(x−8)+(x−7)+x+(x+7)+(x+8)=x−8+x−7+x+x+7+x+8=5x，
∴“Z”字型框架中的五个数的和等于C位上的数的5倍；
（3）解：∵中间的数为c，∴最小的数为c−8，最大的数为c+8，
∵最小数与最大数的和为40，
∴c−8+c+8=40，
∴c=20，
故答案为：20．
【变式8】一列火车匀速行驶，经过一条长300m的隧道需要20s的时间．隧道的顶上有一盏灯，垂
直向下发光，灯光照在火车上的时间是10s．设火车长xm，解答下列问题．
(1)从车头经过灯下到车尾经过灯下，火车所走的路程是______m，这段时间内火车的速度是______
m/s．（用含x的代数式表示）
(2)从车头进入隧道到车尾离开隧道，火车所走的路程是______m，这段时间内火车的速度是______
m/s．（用含x的代数式表示）
(3)求这列火车的长度．
x
【答案】(1)x，
10
x+300
(2)(x+300)，
20
(3)这列火车的长度是300m
【知识点】列代数式、行程问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了代数式，一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出
的条件，找出合适的等量关系列出方程．
（1）根据火车长度为xm，根据题意列出代数式即可；
（2）根据题意列出代数式即可；
（3）根据速度相等列出方程，求出方程的解即可得到结果．
【详解】（1）解：根据题意得：从车头经过灯下到车尾经过灯下火车所走的路程xm，这段时间内
x
火车的平均速度为 (m/s)；
10
x
故答案为：x， ；
10
（2）解：∵从车头进入隧道到车尾离开隧道火车，走的路程为隧道的长度+火车长度，
∴所走的路程为(x+300)m，
∵经过一条长300m的隧道需要20s的时间，
x+300
∴这段时间内火车的平均速度为 (m/s)；
20
x+300
故答案为：(x+300)， ；
20（3）解∶设火车长xm，根据题意得：
x x+300
=
10 20
解得：x=300，
答：这列火车的长度300m．
【变式9】综合与实践：砂糖桔是广西某县传统特产，具有皮薄，汁多，化渣，味清甜，吃后沁心
润喉，是老少皆宜的美味佳品．请阅读以下材料，完成学习任务：请同学们根据材料一、材料二提
供的信息完成3个任务：
材料一：某县批发市场计划运输一批砂糖橘到甲地出售，为保证砂糖桔新鲜需用带冷柜的货车运
输．现有A，B两种型号的冷柜车，若A型车的平均速度为60千米/小时，B型车的平均速度为75
千米/小时，从某县到甲地B型车比A型车少用2小时．
材料二：已知A型车每辆可运8吨，B型车每辆可运7吨，若单独租用A型车，则恰好装完：若单独
租用相同数量的B型车，则还剩4吨砂糖桔没有装上车．
材料三：在材料一与材料二的条件下，冷柜车运完砂糖桔从某县到甲地时，运输的相关数据如下表
所示：
路费单价 冷柜使用单价
1.5元/（千米
A型冷柜车 B型冷柜车
辆）
10元/（小时⋅ 8元/（小时⋅
辆） 辆）
（参考公式：冷柜使用费=冷柜使用单价×使用时间×车辆数目；总费用=路费+冷柜使用费）
(1)请求出A型车从某县到甲地的时间；
(2)问这批砂糖桔共有多少吨？
(3)本次砂糖桔从某县到甲地的运输单独安排A型车或B型车，应该选用哪种车型使得总费用较少？
较少的总费用是多少元？
【答案】(1)A型车从某县到甲地的时间为10小时
(2)这批砂糖橘共有32吨
(3)单独安排A型车运输才能使得本次总费用较少，较少的总费用是4000元
【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、和差倍分问题(一元一次方程的应用)、行程问题(一元
一次方程的应用)
【分析】本题考查了一元一次方程的应用．
（1）设A型车从某县到甲地的时间为x小时，则B型车从某县到甲地的时间为(x−2)小时，根据从
某县到甲地的路程相等列方程求解即可；
（2）设这批砂糖橘共有y吨，根据单独租用相同数量的B型车，则还剩4吨砂糖桔没有装上车列方
程求解；（3）按照计费方式分别算出两种型号的车所需费用即可求解．
【详解】（1）解：设A型车从某县到甲地的时间为x小时，则B型车从某县到甲地的时间为(x−2)
小时，
由题意得，60x=75(x−2)，
解得：x=10．
答：A型车从某县到甲地的时间为10小时；
（2）解：设这批砂糖橘共有y吨，
y y−4
由题意得， = ，
8 7
解得：y=32．
答：这批砂糖桔共有32吨；
（3）解：∵A型车为32÷8=4（辆）；
B型车为32÷7=4（辆）⋅⋅⋅4（吨），即：4+1=5（辆）；
∴运输32吨砂糖橘，A型车需要4辆，B型车需要5辆，
某县到甲地的距离为：60×10=600（千米）．
安排A型车的总费用：1.5×600×4+10×10×4=4000（元），
安排B型车的总费用：1.5×600×5+8×8×5=4820（元），
因为4000<4820，所以单独安排A运输能使总费用较少，是4000元．
考点5：方程组的概念
典例5：在下列方程组¿，¿，¿，¿，¿中，是二元一次方程组的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【知识点】判断是否是二元一次方程组
【分析】本题是考查对二元一次方程组的识别，分析各个方程组是否满足二元一次方程组的定义
“1、只有两个未知数；2、未知数的项最高次数都应是一次；3、都是整式方程”．
【详解】解：方程组¿，¿，¿符合二元一次方程组的定义，符合题意，
方程组¿中3xy=1不满足二元一次方程的定义，不符合题意，
方程组¿中的第一个方程不是整式方程，不符合题意．
故选：B．
【变式1】（1）若(a−3)x+ y|a|−2=9是关于x，y的二元一次方程，则a的值是 ；
（2）若方程组¿是关于x，y的二元一次方程组，则ab的值是 ．
【答案】 -3 -1
【知识点】已知二元一次方程组的解求参数、二元一次方程的定义【解析】略
【变式2】观察所给的4个方程组：①¿；②¿；③¿；④¿，其中，符合二元一次方程组定义的是
（写出所有正确的序号）．
【答案】①②④
【知识点】判断是否是二元一次方程组
【分析】含有两个未知数，且未知数的最高次数是1，这样的整式方程组是二元一次方程组，根据
定义逐一判断即可．
【详解】解：① ¿ ，符合二元一次方程组定义；
② ¿，符合二元一次方程组定义；
③ ¿ ，未知数x的最高次数是2，不符合二元一次方程组定义；
④ ¿ ，符合二元一次方程组定义；
所以符合二元一次方程组定义的是①②④．
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的定义，熟记定义是解本题的关键．
【变式3】下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A．¿ B．¿
C．¿ D．¿
【答案】D
【知识点】判断是否是二元一次方程组
【分析】本题考查二元一次方程组的定义，二元一次方程组满足三个条件：①方程组中的两个方程
都是整式方程；②方程组中共含有两个未知数；③每个方程都是一次方程．据此进行解答即可．
【详解】解：A、含有3个未知数，不是二元一次方程组，不合题意；
B、含有二元二次方程，不是二元一次方程组，不合题意；
C、含有二元二次方程，不是二元一次方程组，不合题意；
D、符合二元一次方程组的定义，故该选项符合题意．
故选：D．
考点6：解二元一次方程组
典例6：解方程组：
(1)¿；
(2)¿．
【答案】(1)¿
(2)¿
【知识点】加减消元法
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法，准确计算．
（1）用加减消元法解二元一次方程组即可；
（2）将原方程变为¿，然后再用加减消元法解二元一次方程组即可．
【详解】（1）解：¿，
②−①×2得：y=2，
把y=2代入①得：x+2=3，
解得：x=1，
∴原方程组的解为：¿；
（2）解：¿，
原方程组可变为¿，
①+②得：4 y=28，
解得：y=7，
把y=7代入①得：3x−7=8，
解得：x=5，
∴原方程组的解为：¿．
【变式1】解方程组
(1)¿；
(2)¿．
【答案】(1)¿
(2)¿
【知识点】加减消元法
【分析】本题考查了用加减消元法解二元一次方程组．
（1）利用加减消元法求解即可即可；
（2）方程组整理后，利用加减消元法求解．
【详解】（1）解：¿，
①×2+②得，13x=13，
解得：x=1，代入①中，
解得：y=3，
所以方程组的解是¿；
（2）解：方程组整理得：¿，
①−②×2得，21y=42，
解得：y=2，代入②中，
解得：x=3，
所以方程组的解是¿．【变式2】解方程组：
(1)¿
(2)¿
【答案】(1)¿；
(2)¿．
【知识点】加减消元法
【分析】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是：
（1）根据加减消元法求解即可；
（2）令x+ y=m，x−y=n，则原方程转化为¿，然后根据加减消元法求出m、n的值，再把m、n
的值代入x+ y=m，x−y=n，得到关于x、y的方程组，最后根据加减消元法求解即可．
【详解】（1）解：¿，
①×2+②，得9x=9，
解得x=1，
把x=1代入①，得2−y=1，
解得y=1，
∴方程组的解是¿；
（2）解：¿
令x+ y=m，x−y=n，
则原方程则可化为¿，
①×6+②×2，得11m=44，
解得m=4，
把m=4代入②，得16−n=4，
解得n=12，
∴¿，
解得¿，
∴原方程组的解为¿．
【变式3】解下列方程（组）：
x−3 3x+1
(1) −0.7= ；
5 2
(2)¿
(3)¿
18
【答案】(1)−
13
(2)¿(3)¿
【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、代入消元法、加减消元法
【分析】本题考查了解一元一次方程和二元一次方程组，熟练掌握代入消元法和加减消元法是解答
本题的关键．
（1）去分母，然后去括号、移项、合并同类项、系数化成1即可解答；
（2）利用代入消元法，转化为一元一次方程组即可解答；
（3）利用加减消元法，转化为一元一次方程组即可解答．
x−3 3x+1
【详解】（1）解： −0.7=
5 2
去分母，得∶2(x−3)−7=5(3x+1)，
去括号，得∶2x−6−7=15x+5，
移项、合并得∶−13x=18，
18
系数化为1得∶x=− ；
13
（2）解：¿
①代入②，得∶3(y+1)−y=−2，
解得y=−2.5，
将y=−2.5代入①，得∶x=−1.5，
∴方程组的解为¿ ；
（3）解：¿
①+②×2得∶13x=26，
解得x=2，
将x=2代入②得∶10+ y=7，
解得y=−3，
∴方程组的解为¿ ．
【变式4】解二元一次方程组：
(1)¿
(2)¿
【答案】(1)¿
(2)¿
【知识点】代入消元法、加减消元法
【分析】本题考查了解二元一次方程组，解题关键是要掌握加减消元法、代入消元法解二元一次方
程组．
（1）利用代入消元法解方程即可；（2）整理方程①得方程3x−2y=8，然后利用加减消元后解方程组即可．
【详解】（1）解：¿，
将①代入②可得2x+2x−3=5，解得：x=2，
将x=2代入①可得y=1，
故方程组的解为：¿．
（2）解：¿，
整理①得：3x−2y=8③，
②+③得：6x=18，解得：x=3，
1
把x=3代入②得，y= ，
2
∴方程组的解为¿．
【变式5】解方程组
(1)¿；
(2)¿．
【答案】(1)¿
(2)¿
【知识点】代入消元法、加减消元法
【分析】本题考查了解二元一次方程组，能选择适当的方法解方程组是解此题的关键，注意：解二
元一次方程组的方法有代入消元法和加减消元法．
（1）运用加减消元法解出y的值，再代入y解出x的值，即可作答；
（2）先去分母，再运用代入消元法解出y的值，即可作答．
【详解】（1）解：¿，
①−②，得7 y=7，解得y=1
把y=1代入①，得3x+2=11，解得x=3，
所以方程组的解为¿；
（2）解：¿
整理①得3x−3+2y+2=6，即3x+2y=7
所以整理②得x=4−y，
把x=4−y代入3x+2y=7，
得3×(4−y)+2y=7，
解得y=5，
把y=5代入x=4−y，
解得x=−1，
所以方程组的解为¿．考点7：一次方程组的实际应用
典例7：某汽车公司有甲、乙两种货车可供租用，现有一批货物要运往某地，货主准备租用该公司
货车，已知甲、乙两种货车运货情况如表：
第一
第二次
次
甲种货车（辆） 2 5
乙种货车（辆） 3 6
累计运货（吨） 13 28
(1)甲、乙两种货车每辆可装多少吨货物？
(2)若某货主共有20吨货物，计划租用该公司的货车，正好（每辆货车都满载）把这批货物运完，请
你写出所有租车方案
(3)王先生要租用该公司的甲、乙两种货车送一批货，如果租用甲种货车数量比乙种货车数量多1辆，
而乙种货车每辆的运费时甲种货车的1.4倍，结果甲种货车共付运费800元，乙种货车共付运费980
元，试求此次甲、乙两种货车每辆各需运费多少元？
【答案】(1)甲种货车每辆可装2吨货物，乙种货车每辆可装3吨货物
(2)共有4种租车方案，方案1：租用10辆甲种货车；方案2：租用7辆甲种货车，2辆乙种货车；方
案3：租用4辆甲种货车，4辆乙种货车；方案4：租用1辆甲种货车，6辆乙种货车
(3)甲种货车每辆需运费100元，乙种货车每辆需运费140元
【知识点】二元一次方程的解、方案问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用等知识点，
（1）设甲种货车每辆可装x吨货物，乙种货车每辆可装y吨货物，根据第一、二次两种货车运货情
况表，即可得出关于x,y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设租用a辆甲种货车，b辆乙种货车，根据货物的总重量为20吨且每辆货车都满载，即可得出
关于a,b的二元一次方程，结合a,b均为非负整数，即可得出各租车方案；
（3）设甲种货车每辆需运费m元，租用甲种货车n辆，则乙种货车每辆需运费1.4m元，租用乙种
货车(n−1)辆，根据总费用＝每辆车所需费用×租用该种车的辆数，即可得出关于m,n的方程组，解
之即可得出结论；
熟练掌握（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次
方程；（3）找准等量关系，正确列出方程组．是解决此题的关键．
【详解】（1）设甲种货车每辆可装x吨货物，乙种货车每辆可装y吨货物，
依题意，得：¿，
解得：¿，
答：甲种货车每辆可装2吨货物，乙种货车每辆可装3吨货物．（2）设租用a辆甲种货车，b辆乙种货车，
依题意，得：2a+3b=20，
3
∴a=10﹣ b．
2
∵a，b均为非负整数，
∴b为偶数，
∴当b=0时，a=10；
当b=2时，a=7；
当b=4时，a=4；
当b=6时，a=1．
∴共有4种租车方案，方案1：租用10辆甲种货车；方案2：租用7辆甲种货车，2辆乙种货车；方
案3：租用4辆甲种货车，4辆乙种货车；方案4：租用1辆甲种货车，6辆乙种货车．
（3）设甲种货车每辆需运费m元，租用甲种货车n辆，则乙种货车每辆需运费1.4m元，租用乙种
货车(n−1)辆，
依题意，得：¿，
解得：¿，
∴1.4m=140．
答：甲种货车每辆需运费100元，乙种货车每辆需运费140元．
青藏铁路全线有一座大桥—拉萨河大桥全长920多米，其中主桥长800米，小明在去年暑假乘T22
次列车从北京到拉萨游玩，小明为了探究T22次列车的长度与速度，记录了以下两个数据：
（1）火车完全在主桥上的时间为35秒．
（2）火车上主桥到完全通过主桥用了45秒．
知道这两个数据后，小明就会算出了T22次列车的长度与速度吗？
【答案】T22次列车的长度为100m，速度为20m/s．
【知识点】行程问题(二元一次方程组的应用)
【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等式是解题关键．
直接利用火车完全在主桥上的时间为35秒，火车上主桥到完全通过主桥用了45秒，主桥长800米，
分别得出等式组成方程组，求出答案．
【详解】解：设T22次列车的长度为xm，速度为ym/s,根据题意可得：
¿，
解得：¿
答：T22次列车的长度为100m，速度为20m/s．
【变式2】为打造集休闲娱乐、健身运动、观光旅游、体验自然等于一体的多功能活动区域．深圳
湾公园海滨步道现有一段长350米的河边道路需整治，任务由A，B两个工程队先后接力完成，A工程队每天整治15米，B工程队每天整治10米，共用时30天．
根据题意，甲、乙两位同学分别列出了如下不完整的方程组：
甲：¿乙：¿
从甲、乙两位同学所列方程组中任选一组，补全以下解题过程，并利用此方程组求出A，B两个工
程队分别整治河边道路多少米．
解：选择的方程组为____________（填“甲”或
“乙”）
设x为_______________________；
y为_________________________．
【答案】见解析
【知识点】工程问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查二元一次方程组解应用题，涉及二元一次方程组的解法，根据“两个工程队总共
完成350米，共用时30天”分别列方程，求解即可得到答案．
【详解】解：选择的方程组为甲，
设x为A工程队工作的天数；
y为B工程队工作的天数．
根据提意得¿，
解此方程组得¿，
∴15x=150，10 y=200，
答：A，B两个工程队分别整治河边道路150米和200米；
选择的方程组为乙，
设x为A工程队整治河边道路长度；
y为B工程队整治河边道路长度．
根据提意得¿，
解此方程组得¿，
答：A，B两个工程队分别整治河边道路150米和200米；
【变式3】某厂租用A、B两种型号的车给零售商运送货物，已知用2辆A型车和1辆B型车装满可运
货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨；厂家现有21吨货物需要配送，计划租
用A、B两种型号车6辆一次配送完货物，且A型车至少1辆．根据以上信息，解答下列问题：
(1)1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？
(2)请你帮助厂家设计租车方案完成一次配送完21吨货物；
(3)若A型车每辆需租金80元每次，B型车每辆需租金100元每次．请选出最省钱的租车方案，并求
出最少租车费．【答案】(1)1辆A型车装满货物一次可运货3吨，1辆B型车装满货物一次可运货4吨
(2)共有3种租车方案，方案1：租用A型车1辆，B型车5辆；方案2：租用A型车2辆，B型车4辆；
方案3：租用A型车3辆，B型车3辆
(3)方案3最省钱，即租用A型车3辆，B型车3辆，最少租车费为540元
【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、分配问题(二元一次方程组的应用)、不等式组的方案
选择问题
【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及有理数的混合运算，
（1）设1辆A型车装满货物一次可运货x吨，1辆B型车装满货物一次可运货y吨，根据“用2辆A型
车和1辆B型车装满可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨”可列出关于x、
y的二元一次方程组，求解后即可得出结论；
（2）设租用m辆A型车，则租用(6−m)辆B型车，根据“租用的A型车至少1辆，且能一次配送完
21吨货物”，即可得出关于m的一元一次不等式组，求解可得出m的取值范围，再结合m为整数，
即可得出各租车方案；
（3）利用总租金=每辆车的租金×租车数量，即可求出选择各租车方案所需租车费，比较后即可得
出结论；
解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正
确列出一元一次不等式组；（3）利用“总租金=每辆车的租金×租车数量”求出选择各租车方案所
需租车费．
【详解】（1）解：设1辆A型车装满货物一次可运货x吨，1辆B型车装满货物一次可运货y吨，
依题意得：¿，
解得：¿，
答：1辆A型车装满货物一次可运货3吨，1辆B型车装满货物一次可运货4吨；
（2）设租用m辆A型车，则租用(6−m)辆B型车，
依题意得：¿，
解得：1≤m≤3，
∵m为正整数，
∴m可以取1，2，3，
∴共有3种租车方案，
方案1：租用A型车1辆，B型车5辆；
方案2：租用A型车2辆，B型车4辆；
方案3：租用A型车3辆，B型车3辆；
（3）选择方案1的租车费为1×80+100×5=580（元）；
选择方案2的租车费为2×80+100×4=560（元）；选择方案3的租车费为3×80+100×3=540（元）；
∵580>560>540，
∴方案3最省钱，即租用A型车3辆，B型车3辆，最少租车费为540元．
【变式4】2023年11月底，某网店从甲厂家购进了A，B两种商品，A种商品每件进价40元，B种
商品每件进价10元，两种商品共购进了500件，所用资金为11000元．
(1)求11月底A、B两种商品各购进了多少件？
(2)2024年1月份，甲厂家决定薄利多销，提出了优惠方案，同样生产A，B两种商品的乙厂家也提
出了优惠方案．
甲厂家优惠方案：
购买总金额 优惠
未超过2000元 不打折
超过2000元，未超过5000元 全部打九折
超过5000元 全部打八折
乙厂家优惠方案：
购买A种商品的总件数 购买B种商品的总件数 优惠
未超过50件 未超过200件 打九折
超过50件，未超过130件的部分 超过200件，未超过400件的部分 打八折
超过130件的部分 超过400件的部分 打七折
1月份，该网店从甲厂家分两次分别购进A，B两种商品，进价与11月份相同，按照甲厂家优惠方
案，第一次全部购进A种商品实际付款4320元，第二次全部购进B两种商品实际付款3690元．已知
从乙厂家购买A种商品每件进价34元，购买B种商品每件进价12元，若网店从乙厂家购买与甲厂家
数量分别相同的A，B两种商品，并享受乙家的优惠方案，那么相较于从甲厂家购买，该网店实际
付款金额是节省还是多花费，节省或多花费多少元？
【答案】(1)A商品销售200件，则B商品销售300件
(2)该网店从乙厂家购买比从甲厂家购买节省，节省412元或21元
【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、销售、利润问题(二元一次方程组的应用)
【分析】此题考查了一元一次方程的实际应用，有理数混合运算的应用，掌握销售问题中的各个量
之间的关系，是解答此题的关键．
（1）设A种商品购进了x件、则B种商品购进了(500−x)件，根据费用之和为11000元，列出一元
一次方程求解即可；
（2）根据网店在甲厂家购进A种商品的费用可以得出其两种数量，分别计算两种购买方式的费用，与在乙厂家购买两种商品的费用比较即可．
【详解】（1）解：设A商品销售x件，则B商品销售(500−x)件，
由题意可得：40x+10(500−x)=11000，
解得：x=200，
∴500−200=300（件），
答：A商品销售200件，则B商品销售300件；
（2）解：在甲厂家购进A、B两种商品共需付：4320+3690=8010（元），
由4320÷0.9=4800（元），4320÷0.8=5400（元），
所以在甲厂家购进A商品数量为4800÷40=120（件），或5400÷40=135（件），
由3690÷0.9=4100（元），
所以在甲厂家购进B商品数量为4100÷10=410（件），
从乙厂家购买120件A商品需付款：50×34×0.9+(120−50)×34×0.8=3434（元），
购买135件A商品需付款：50×34×0.9+(130−50)×34×0.8+(135−130)×34×0.7=3825
（元），
购买410件B商品需付款：200×12×0.9+200×12×0.8+(410−400)×12×0.7=4164（元），
故从乙厂家购买120件A商品、410件B商品需付款：3434+4164=7598（元），
从乙厂家购买135件A商品、410件B商品需付款：3825+4164=7989（元），
故该网店从乙厂家购买比从甲厂家购买节省，节省8010−7598=412（元）或8010−7989=21
（元），
答：该网店从乙厂家购买比从甲厂家购买节省，节省412元或21元．
【变式5】现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图2时，中间留下了一
个边长为2的小正方形，求每个小长方形的面积．
小明设小长方形的长为x，宽为y，观察图形得出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值，再
根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积．
(1)请按照小明的思路完成上述问题：求每个小长方形的面积；
(2)某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示．若小
明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是______cm；
(3)拓展学习：如图4，是由7块颜色不同的正方形组成的长方形，已知中间小正方形A的边长为1，
求这个长方形的面积．【答案】(1)60
(2)20
(3)63
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、几何问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题主要题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用等知识点，分析题意、找
到合适的等量关系列出方程组和方程是解题的关键．
（1）设小长方形的长为x，宽为y，观察图形即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出
x、y的值，再根据长方形的面积公式求解即可；
（2）设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高xcm，单独一个纸杯的高度为ycm，观察图形
即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值，然后根据题意列代数式求值即可；
（3）设1、2、3号正方形的边长为x，则4号正方形的边长为x+1，5号正方形的边长为x+2，6号
正方形的边长为x+3；再用两种方式表示出长、宽，然后根据长列出一元一次方程求得x的值，进
而求得长方形的长和宽，最后求面积即可．
【详解】（1）解：设小长方形的长为x，宽为y，
¿
根据题意得： ，解得：¿，
¿
∴xy=10×6=60．
∴每个小长方形的面积为60．
（2）解：设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高xcm，单独一个纸杯的高度为ycm，
则¿，解得¿，
∴12x+ y=12×1+8=20．
∴小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是20cm．
故答案为：20．
（3）解：设1、2、3号正方形的边长为x，则4号正方形的边长为x+1，5号正方形的边长为x+2，
6号正方形的边长为x+3，
∴该长方形的长为3x+x+1=4x+1或x+2+x+3=2x+5，宽为x+3+x=2x+3
∴4x+1=2x+5，解得：x=2，
∴该长方形的长为9，宽为7，
∴这个长方形的面积为9×7=63．【变式1】
【变式6】2023年5月20日是第34个中国学生营养日．某营养餐公司为学生提供的480克早餐食品
中，蛋白质总含量为8%．包括一份牛奶，一份谷物食品和一个鸡蛋（一个鸡蛋的质量约为60g，蛋
白质含量占15%，谷物食品和牛奶的部分营养成分如表所示）．
表1：
谷物食品
项目 每100克（g）
2215千焦（kJ
能量
）
蛋白质 9.0克（g）
脂肪 32.4克（g）
碳水化合
50.8克（g）
物
钠 280毫克（mg）
表2：
牛奶
项目 每100克（g）
能量 261千焦（kJ）
蛋白质 3.0克（g）
脂肪 3.6克（g）
碳水化合
4.5克（g）
物
钙 100毫克（mg）
(1)设该份早餐中谷物食品为x克，牛奶为y克，请写出谷物食品中所含的蛋白质为 克，牛奶中所含
的蛋白质为 克．（用含有x，y的式子表示）
(2)求出x，y的值分别为 ．
(3)该公司为学校提供的午餐有A，B两种套餐（每天只提供一种）：
肉类
套餐 主食（克） 其它（克）
（克）
A 150 85 165B 180 60 160
为了膳食平衡，建议合理控制学生的主食摄入量．如果在一周里，学生午餐主食摄入总量不超过
830克，那么该校在一周里可以选择A，B套餐各几天？写出所有的方案．（说明：一周按5天计
算）
【答案】(1)9%x，3% y；
(2)x=280，y=140
(3)方案1：A套餐3天，B套餐2天
方案2：A套餐4天，B套餐1天
方案3：A套餐5天
【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、图表信息题(二元一次方程组的应用)
【分析】此题主要考查了二元一次方程组与一元一次不等式的应用．解决问题的关键是熟练掌握营
养成分表和套餐表中关键数据，百分数意义，列方程组和不等式．
（1）根据统计表中谷物食品的蛋白质含量，牛奶的蛋白质含量，列出算式即可求解；
（2）根据480克早餐食品的蛋白质总含量为8%；谷物、牛奶、鸡蛋的质量和蛋白质含量，列出方
程组求解即可；
（3）设该学校一周里共有a天选择A套餐，则有(5−a)天选择B套餐，根据学生午餐主食摄入总量
不超过830克列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：谷物食品中所含的蛋白质为9%x克，牛奶中所含的蛋白质为3% y克；
故答案为：9%x，3% y；
（2）解：依题意得：
¿，
解得¿，
故答案为：280；140；
（3）解：设该学校一周里共有a天选择A套餐，则有(5−a)天选择B套餐．
依题意得：150a+180(5−a)≤830，
7
解得a≥ ，
3
∵a≥0且5−a≥0，
∴1≤a≤5，
7
∴ ≤a≤5．
3
共三种方案：
方案 A套餐 B套餐方案1 3天 2天
方案2 4天 1天
方案3 5天 0天
【变式7】电影《刘三姐》中，有这样一个场景，罗秀才摇头晃脑地吟唱道：“三百条狗交给你，
一少三多四下分，不要双数要单数，看你怎样分得匀？”该歌词表达的是一道数学题．其大意是：
把300条狗分成4群，每个群里，狗的数量都是奇数，其中一个群，狗的数量少：另外三个群，狗
的数量多且数量相同．问：应该如何分？请你根据题意解答下列问题：
(1)刘三姐的姐妹们以对歌的形式给出答案：“九十九条打猎去，九十九条看羊来，九十九条守门口，
剩下三条给财主．”根据以上信息，判断以下说法是否正确，在题后相应的横线上，正确的打
“√”，错误的打“×”
该歌词表达的数学题的正确答案有无数多种．__________
请你仿照这种形式，写出你认为正确的对歌答案：“__________条打猎去，__________条看羊来，
__________条守门口，剩下__________给财主．”
(2)若罗秀才再增加一个条件：“数量多且数量相同的三个群里，每个群里狗的数量比数量较少的那
个群里狗的数量多40条”，求每个群里狗的数量．
【答案】(1)×；97；97；97；9
(2)“三多”的每群够有85条，则“一少”的够有45条
【知识点】一元一次不等式组的其他应用、古代问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查了不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，列出不等
式和方程组．
（1）设“三多”的每群够有x条，则“一少”的够有(300−3x)条，根据题意列出不等式，得出
750，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=70时，w取得最大值，最大值=2×70+1040=1180，
此时90−m=20；
答：当购进70件A款商品，20件B款商品时，才能获得最大销售利润，最大销售利润是1180元；
（3）解：设B款纪念品的降a元，
则每件的销售利润为(13−a)元，平均每天可售出(4+2a)件，
依题意得：(13−a)(4+2a)=108，
解得：a =4，a =7，
1 2
∴38−4=34或 38−7=31，
∵减少库存，
∴x=31．
答：将销售价定为每件31元时，才能使B款纪念品平均每天销售利润为108元．
【变式9】2018年2月28日，聊城市委、市政府召开创建全国文明城市暨迎接国家卫生城市复审动
员大会，号召全市上下迅速行动起来，力争2020年成功创建全国文明城市．某校也掀起了绿化热潮，
该校计划购进A，B两种树木共100棵进行校园绿化升级，经市场调查：购买A种树木2棵，B种树
木5棵，共需600元；购买A种树木3棵，B种树木1棵，共需380元．
(1)求A种，B种树木每棵各多少元？
(2)因布局需要，购买A种树木的数量不少于B种树木数量的3倍．A种树木最少购买多少棵？
(3)在（2）的条件下，学校与中标公司签订的合同中规定：在市场价格不变的情况下（不考虑其他
因素），实际付款总金额按市场价九折优惠，请设计一种购买树木的方案，使实际所花费用最省，
并求出最省的费用．
【答案】(1)A种树每棵100元，B种树每棵80元
(2)75棵(3)当购买A种树木75棵，B种树木25棵时，所需费用最少，最少为8550元
【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、用一元一次不等式解决实际问题、和差倍分问题(二元
一次方程组的应用)
【分析】本题考查二元一次方程、一元一次不等式、一次函数解决实际问题．
（1）设A种树每棵x元，B种树每棵y元，根据“购买A种树木2棵，B种树木5棵，共需600元；
购买A种树木3棵，B种树木1棵，共需380元”列出方程组，求解即可；
（2）设购买A种树木为a棵，则购买B种树木为(100−a)棵，根据“购买A种树木的数量不少于B
种树木数量的3倍”列出不等式，求解即可；
（3）设购买A种树木为a棵，实际付款总金额是m元，列出m关于a的一次函数，根据函数的性质
即可解答．
【详解】（1）解：设A种树每棵x元，B种树每棵y元，
依题意得：¿，
解得¿，
答：A种树每棵100元，B种树每棵80元；
（2）解：设购买A种树木为a棵，则购买B种树木为(100−a)棵，则
a≥3(100−a)，
解得：a≥75，
答：A种树木最少购买75棵．
（3）解：设购买A种树木为a棵，实际付款总金额是m元，则
m=0.9[100a+80(100−a)]，即m=18a+7200，
∵18>0， m随a的增大而增大，
∴当a=75时，m有最小值，为m=18×75+7200=8550（元）．
答：当购买A种树木75棵，B种树木25棵时，所需费用最少，最少为8550元．
考点8：方程组的应用——错解问题
典例8：甲乙两位同学在解同一个关于x，y的二元一次方程组¿时，甲看错了②中的b解得¿，乙看
错了①中的a解得¿．请回答：
(1)求a，b的值；
(2)求该二元一次方程组正确的解．
【答案】(1)a=1，b=3
(2)¿
【知识点】二元一次方程组的错解复原问题、加减消元法
【分析】此题主要是考查了二元一次方程组的解，解二元一方程组，
（1）根据题意得出¿是方程①的解，代入得出a=1，同理解得b=3（2）由题可知，原方程组可变为¿，解方程组，即可求解．
【详解】（1）解：由题意可知，
∵甲看错了②中的b
∴ ¿是方程①的解
∴ 2×2+a=5，解得a=1
∵乙看错了①中的a
∴¿是方程②的解
∴b−2=1
解得b=3
综上：a=1，b=3.
（2）由题可知，原方程组可变为¿
①+②，得5x=6
6
解得x=
5
6 13
把x= 代入①解得y=
5 5
∴原方程组的解为¿.
【变式1】在解方程组¿时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为¿，乙看错了方程组中的b，
而得解为¿，根据上面的信息解答∶
(1)甲把a看成了什么数，乙把b看成了什么数？
(2)求出正确的a，b的值；
(3)求出原方程组的正确解．
【答案】(1)甲把a看成了1，乙把b看成了3
(2)a=−1，b=5
(3)¿
【知识点】二元一次方程组的错解复原问题、加减消元法、解一元一次方程（一）——合并同类项
与移项
【分析】本题考查了解二元一次方程组、二元一次方程组的解和求代数式的值等知识点，能得出关
于a、b的方程是解此题的关键．
（1）把¿代入①，能求出a，把¿代入②，能求出b；
（2）把¿代入①，能求出a，把¿代入②，求出b即可；
（3）加减消元法求解即可．
【详解】（1）解：（1）把¿代入①，得a−3=−2，
解得：a=1；把¿代入②，得10−b=7，
解得b=3，
所以甲把a看成了1，乙把b看成了3；
（2）解：把¿代入①，得5a+3=−2，
解得：a=−1，
把¿代入②，得2+b=7，
解得：b=5；
∴a=−1，b=5；
（3）解：原方程组为¿，解得原方程组的正确解为：¿．
【变式2】如图，小红和小明两人共同解方程组
¿
根据以上他们的对话内容，请你求出a,b的正确值，并计算a2018+ ( − 1 b ) 2017 的值．
10
【答案】0
【知识点】二元一次方程组的错解复原问题
【分析】本题主要考查二元一次方程组解的定义，解决本题的关键是将已知方程组的解代入方程进
行求解． 根据题意将¿代入方程②求出b，把¿代入①求出a，最后代入代数式求值．
【详解】解：∵小明看错了方程①中的a，所以¿满足方程②，
即4×(−3)−b×(−1)=−2，解得b=10，
∵小红看错了方程②中的b，所以¿满足方程①，
即5a+5×4=15，解得a=−1，
∴a2018+ ( − 1 b ) 2017 =(−1) 2018+ ( − 1 ×10 ) 2017 =1+(−1)=0．
10 10
【变式3】甲、乙两人同时解方程组¿，甲解题看错了①中的m，解得¿，乙解题时看错②中的n，解
得¿
(1)甲把m错看成了什么？乙把n错看成了什么？
(2)试求原方程组的解．【答案】(1)甲把m错看成了2，乙把n错看成了1
(2)¿
【知识点】二元一次方程组的错解复原问题、二元一次方程的解
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解复原问题，二元一次方程解的定义：
（1）把¿代入mx+ y=5中求出m的值，把¿代入2x−ny=13求出n的值即可得到答案；
（2）根据题意可得甲的结果满足②，则¿是方程2x−ny=13的解，同理可得¿是方程mx+ y=5的解，
据此求出m、n的值，然后得到正确的原方程组，再解方程组即可得到答案．
7
【详解】（1）解： 把¿代入mx+ y=5中得 m−2=5，解得m=2，
2
把¿代入2x−ny=13中得6+7n=13，解得n=1，
∴甲把m错看成了2，乙把n错看成了1；
（2）解：∵甲解题看错了①中的m，
∴甲的结果满足②，
∴¿是方程2x−ny=13的解，
7
∴2× +2n=13，
2
∴n=3，
同理可得¿是方程mx+ y=5的解，
∴3m−7=5，
∴m=4；
∴原方程组为¿
解得¿．
【变式4】（1）已知关于x，y的方程组¿与¿有相同的解，求方程组的解及a，b的值．
（2）已知¿是一个被墨水污染的方程组．这个方程组的解与方程组¿的解相同；因为看错了第二个方
程中的x的系数■，求出的解是¿，请你根据以上信息，把方程组复原出来．
【答案】（1）¿；（2）¿
【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、二元一次方程组的错解复原问题、加减消元法、
方程组相同解问题
【分析】本题考查二元一次方程组综合，涉及同解二元一次方程组求参数问题，读懂题意，由所给
方程组得到系数确定的二元一次方程组求解即可得到答案，熟练掌握同解方程问题的解法是解决问
题的关键．
（1）由题中两个方程组同解，得到新的二元一次方程组¿，解方程后，将¿代入含参数的方程，构成
参数方程组求解即可得到答案；
（2）解¿，设被墨水污染的▲为m，●点为n，■为c，将方程组的解¿代入同解方程组¿解得c=−2，再结合题意构造新的二元一次方程组求解即可得到答案．
【详解】解：（1）∵方程组¿与¿有相同的解．
∴联立得方程组¿，解得¿，代入得¿，解得¿；
（2）¿，
由②－①，得y=−1．
把y=−1代入②，得x+3×(−1)=0，解得x=3，
∴方程组的解为¿，
设被墨水污染的▲为m，●点为n，■为c．
∵这个方程组的解是¿，
∴¿，
∴c=−2．
∵看错了第二个方程中的x的系数，求出的解是¿，
∴−2m+n=1，
∴¿，解得¿，
∴原方程组为¿．
【变式5】小明和小文同解一个二元一次方程组¿，小明把方程①抄错，求得的解为¿，小文把方程
②抄错，求得的解为¿．
(1)求原方程组中a，b的值；
(2)求原方程组的解．
【答案】(1)¿
(2)原方程组的解为¿
【知识点】二元一次方程组的错解复原问题、加减消元法、已知二元一次方程组的解求参数
【分析】本题考查了二元一次方程组的解与看错方程问题，将错解代入未看错的方程求出a、b的值
是解决此题的关键．
（1）把¿代入②得b−a=−1③，把¿代入①得−2a+5b=4④，③、④联立成方程组¿，求出a、b
的值即可；
（2）把¿代入原方程组，用加减消元法解二元一次方程组即可．
【详解】（1）解：把¿代入②得b−a=−1③，
把¿代入①得−2a+5b=4④，
③、④联立成方程组¿，
解得：¿ ．
（2）解：把¿代入原方程组得¿，
①×2−②×3，得：
−5 y=11，11
解得：y=−
5
11 14
把y=− 代入①得x=
5 5
所以原方程组的解为¿．
考点9：方程组的应用——含参问题
典例9：已知关于x，y的方程满足方程组¿，
(1)若x−y=2，求m的值；
(2)若x，y，m均为非负数，求m的取值范围，并化简式子|m−3|+|m−5|；
(3)在（2）的条件下求s=2x−3 y+m的最小值及最大值．
【答案】(1)m=5
(2)2
(3)s=2x−3 y+m的最小值为−3，最大值为9
【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、求不等式组的解集
【分析】此题考查了解二元一次方程组，一元一次不等式组，
（1）把m看作已知数表示出方程组的解，得到x、y，代入x−y=2求出m的值即可；
（2）根据x、y为非负数求出m的范围，判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化
简，计算即可得到结果；
（3）把表示出的x与y代入s，利用3≤m≤5求出最大值与最小值即可．
【详解】（1）¿
①−②×2得：−x=−m+3得：x=m−3
将x=m−3代入②得，2m−6+ y=m−1
解得y=−m+5③
把x=m−3和y=−m+5代入x−y=2，
m−3−(−m+5)=2，
解得m=5；
（2）∵x，y，m均为非负数，
¿
∴3≤m≤5
∴|m−3|+|m−5|=m−3+5−m=2；
（3）∵x=m−3，y=−m+5，
∴s=2x−3 y+m
=2(m−3)−3(−m+5)+m
=6m−21∵3≤m≤5，
∴−3≤6m−21≤9
∴−3≤s≤9．
答：s=2x−3 y+m的最小值为−3，最大值为9．
【变式1】已知关于x，y方程组¿的解满足3 y−x<15．
(1)求a的取值范围；
(2)在（1）的条件下，是否存在整数a，使不等式(2a+1)x>2a+1的解集为x<1．若存在，求a的
值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)a>−2
(2)整数a的值为−1
【知识点】由不等式组解集的情况求参数、已知二元一次方程组的解的情况求参数
【分析】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式(组)，解决本题的关键是求出方程组的
解集．
（1）用a表示出3 y−x，再结合3 y−x<15得出关于a的不等式即可．
（2）根据所给不等式的解集为x<1，得出关于a的不等式，再结合（1）中所求出a的范围即可解
决问题．
【详解】（1）解： ¿，
①+②得，
2x=4a+8，
则x=2a+4．
①﹣②得，
2y=−2a+6，
则y=−a+3，
所以原方程组的解为¿，
所以3 y−x=−3a+9−(2a+4)=−5a+5．
因为3 y−x<15，
所以−5a+5<15，
解得a>−2，
所以a的取值范围是a>−2．
（2）存在，整数a的值为−1．
因为不等式(2a+1)x>2a+1的解集为x<1，
所以2a+1<0，
1
解得a<− ，
2又因为a>−2，
1
所以−23的解集．
(2)已知关于x，y的二元一次方程组¿的解满足|x+ y|≤3，其中m是负整数，求m的值．
【答案】(1)x＜1或x＞4
(2)−4或−3或−2或−1
【知识点】求一元一次不等式的解集、已知二元一次方程组的解的情况求参数、绝对值方程
【分析】本题考查了解不等式和去绝对值，以及二元一次方程组的解法；熟练掌握去绝对值，解一
元一次方程求未知数的取值范围是本题的关键；（1）去绝对值，解一元一次不等式即可，（2）解
二元一次方程组，利用去绝对值，解不等式，求得m的取值范围．
【详解】（1）解：
∵|2x−5|＞3
∴2x−5＜−3或2x−5＞3．
∴2x＜2或2x＞8
∴x＜1或x＞4∴解集为x＜1或x＞4
（2）∵|x+ y|≤3，
∴−3≤x+ y≤3，
解¿，
①+②得：3x+3 y＝−3m−3，
∴x+ y＝−m−1，
则−3≤m−1≤3，
解得：−4≤m≤2，
又m是负整数，
∴m的值为−4或−3或−2或−1．
