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专题 06 一次方程（组）及其应用【八大题型】
【题型1 等式的性质及一元一次方程的相关概念】.............................................................................................2
【题型2 一次方程(组)的解法】...............................................................................................................................2
【题型3 一元一次方程的应用】..............................................................................................................................3
【题型4 二元一次方程组的应用之和差倍分问题】.............................................................................................4
【题型5 二元一次方程组的应用之销售问题】.....................................................................................................4
【题型6 中考最热考法之以注重过程性学习的形式考查一次方程（组）】.....................................................6
【题型7 中考最热考法之以跨学科背景考查一元一次方程的实际应用】.........................................................7
【题型8 中考最热考法之以真实问题情境为背景考查二元一次方程组的实际应用】.....................................9
【知识点 一次方程(组)】
1.定义
定义1：含有未知数的等式叫做方程。
定义2：只含有一个未知数(元)，未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程，
它的一般形式是 。
定义3：使方程中等号左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
定义4：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程，它的一般形
式是 。
定义5：把两个方程合在一起，就组成了方程组。
定义6：方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，这样的方
程组叫做二元一次方程组。
定义7：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。
定义8：二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。
2.等式的性质
性质1：若a=b，则a±c=b±c。等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等。
性质2：若a=b，则ac=bc； (c≠0)。等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍
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相等。
3.解一元一次方程的一般步骤
①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1。
4.解二元一次方程组的方法
①代入消元法；②加减消元法。
代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入
另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这种方法叫做代入消元法，简称代入法。
加减消元法：当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边
分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程。这种方法叫做加减消元法，简称加减法。
5.方程(组)与实际问题
解有关方程(组)的实际问题的一般步骤：
第1步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系。
第2步：设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数。
第3步：列方程(组)。根据题中各个量的关系列出方程(组)。
第4步：解方程(组)。根据方程(组)的类型采用相应的解法。
第5步：答。
【题型1 等式的性质及一元一次方程的相关概念】
【例1】（2023·内蒙古包头·二模）设x、y、c是实数，正确的是（ ）
A．若x= y，则x+c=c−y B．若x= y，则c−x=c−y
x y x y
C．若x= y，则 = D．若 = ，则2x=3 y
c c 2c 3c
【变式1-1】（2023·吉林·统考中考真题）请写出一个解为2的一元一次方程，这个方程可以为 ．
6 1
【变式1-2】（2023·安徽宿州·统考三模）若a，b，c为互不相等的实数，且 a+ c=b，则下列结论正确
7 7
的是( )
A．a−c=6(b−a) B．a−b=7(a−c)
C．a−b=6(b−c) D．a−c=7(a−b)
【变式1-3】（2023·内蒙古·统考中考真题）关于x的方程mx2m﹣1+（m﹣1）x-2＝0如果是一元一次
方程，则其解为 ．
【题型2 一次方程(组)的解法】
【例2】（2023·江苏南通·统考中考真题）若实数x，y，m满足x+ y+m=6，3x−y+m=4，则代数式
−2xy+1的值可以是（ ）
5 3
A．3 B． C．2 D．
2 2
【变式2-1】（2023·湖南永州·统考中考真题）关于x的一元一次方程2x+m=5的解为x=1，则m的值为
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（ ）
A．3 B．−3 C．7 D．−7
【变式2-2】（2023·海南·统考中考真题）若代数式x+2的值为7，则x等于（ ）
A．9 B．−9 C．5 D．−5
【变式2-3】（2023·湖南常德·统考中考真题）解方程组：¿
【题型3 一元一次方程的应用】
【规律方法】利用一元一次方程解应用题的关键是找准等量关系，而等量关系往往隐藏在含有关键词的语
句中，列方程时应注意以下内容：
（1）设未知数时，单位要写清楚；
（2）列方程时，方程两边所表示的量应该相同，并且各项的单位要一致；
（3）对于求得的解，还要检验其是否符合实际意义。
【例3】（2023浙江杭州·校联考一模）小红在一家文具店买了一种大笔记本4个和一种小笔记本6个，共
用了62元．已知她买的这种大笔记本的单价比这种小笔记本的单价多3元，求该文具店中这种大笔记本的
单价．
【变式3-1】（2023·北京·统考中考真题）对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空
白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是6:4，左、右边
1
的宽相等，均为天头长与地头长的和的 ．某人要装裱一副对联，对联的长为100cm，宽为27cm．若要
10
求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长．（书法作品选自《启功法书》）
【变式3-2】（2023·浙江·统考中考真题）古代中国的数学专著《九章算术》中有一题：“今有生丝三十斤，
干之，耗三斤十二两．今有干丝一十二斤，问生丝几何？”意思是：“今有生丝30斤，干燥后耗损3斤12
两（古代中国1斤等于16两）．今有干丝12斤，问原有生丝多少？”则原有生丝为 斤．
【变式3-3】（2023·广西·统考中考真题）为了美化环境，建设生态桂林，某社区需要进行绿化改造，现有
甲、乙两个绿化工程队可供选择，已知甲队每天能完成的绿化改造面积比乙队多200平方米，甲队与乙队
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合作一天能完成800平方米的绿化改造面积．
（1）甲、乙两工程队每天各能完成多少平方米的绿化改造面积？
（2）该社区需要进行绿化改造的区域共有12000平方米，甲队每天的施工费用为600元，乙队每天的施工
费用为400元，比较以下三种方案：①甲队单独完成；②乙队单独完成；③甲、乙两队全程合作完成．哪
一种方案的施工费用最少？
【题型4 二元一次方程组的应用之和差倍分问题】
【例4】（2023·吉林·中考真题）被誉为“最美高铁”的长春至珲春城际铁路途经许多隧道和桥梁，其中隧
道累计长度与桥梁累计长度之和为342km，隧道累计长度的2倍比桥梁累计长度多36km．求隧道累计长度
与桥梁累计长度．
【变式4-1】（2023·湖南·统考中考真题）某班有52名学生，其中男生人数是女生人数的2倍少17人，则
女生有 名．
【变式4-2】（2023·湖北·统考中考真题）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有
大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何．”意思是：有大小两种盛酒的桶，已知
5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，是古代的一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．
1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？请解答．
【变式4-3】（2023·吉林·统考中考真题）问题解决
糖葫芦一般是用竹签串上山楂，再蘸以冰糖制作而成．现将一些山楂分别串在若干根竹签上．如果每根竹
签串5个山楂，还剩余4个山楂；如果每根竹签串8个山楂，还剩余7根竹签．这些竹签有多少根？山楂
有多少个？
反思归纳
现有a根竹签，b个山楂．若每根竹签串c个山楂，还剩余d个山楂，则下列等式成立的是________（填写
序号）．
⑴bc+d=a；⑵ac+d=b；⑶ac−d=b．
【题型5 二元一次方程组的应用之销售问题】
【例5】（2023·湖北襄阳·统考中考真题）在襄阳市创建“经济品牌特色品牌”政策的影响下．每到傍晚，
市内某网红烧烤店就食客如云，这家烧烤店的海鲜串和肉串非常畅销，店主从食品加工厂批发以上两种产
品进行加工销售，其中海鲜串的成本为m元/支，肉串的成本为n元/支；两次购进并加工海鲜串和肉串的
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数量与成本如下表所示（成本包括进价和其他费用）：
数量（支）
次数 总成本（元）
海鲜串 肉串
第一
3000 4000 17000
次
第二
4000 3000 18000
次
针对团以消费，店主决定每次消费海鲜串不超过200支时，每支售价5元；超过200支时、不超过200支
的部分按原价，超过200支的部分打八折．每支肉串的售价为3.5元．
(1)求m、n的值；
(2)五一当天，一个旅游团去此店吃烧烤，一次性消费海鲜串和肉串共1000支，且海鲜串不超过400支．
在本次消费中，设该旅游团消费海鲜串x支，店主获得海鲜串的总利润为y元，求y与x的函数关系式，并
写出自变量x的取值范围；
(3)在（2）的条件下，该旅游团消费的海鲜串超过了200支，店主决定给该旅游团更多优惠，对每支肉串
降价a（0
