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第 05 讲 一次方程（组）及其应用
目 录
题型01 利用等式的变形判断式子正误
题型02 利用等式的性质求解
题型03 判断一元一次方程.
题型04 解一元一次方程
题型05 错看或错解一元一次方程
题型06 二元一次方程（组）的概念
题型07 解二元一次方程组
题型08 错看或错解二元一次方程组问题
题型09 构造二元一次方程组求解
题型10 利用一元一次方程解决实际问题
题型11 利用二元一次方程解决实际问题
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题型 01 利用等式的变形判断式子正误
1．（2023·浙江衢州·三模）已知a=b，下列等式不一定成立的是（ ）
3a 3b
A．5a=5b B．a+4=b+4 C．b−2=a−2 D． =
c c
【答案】D
【分析】根据等式的性质，逐项分析判断即可求解．
【详解】A. ∵a=b，∴5a=5b，故该选项正确，不符合题意；
B. ∵a=b，∴a+4=b+4，故该选项正确，不符合题意；
C. ∵a=b，∴ b−2=a−2，故该选项正确，不符合题意；
3a 3b
D. ∵a=b，且c≠0，∴ = ，故该选项不正确，符合题意；
c c
故选：D．
【点睛】本题考查了等式的性质，熟练等式的性质是解题的关键．等式的性质1：等式两边加(或减)同一个
数(或式子)，结果仍相等；等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数(或式子)，结果
仍相等．
2．（2023·内蒙古包头·二模）设x、y、c是实数，正确的是（ ）
A．若x= y，则x+c=c−y B．若x= y，则c−x=c−y
x y x y
C．若x= y，则 = D．若 = ，则2x=3 y
c c 2c 3c
【答案】B
【分析】根据等式的性质，即可一一判定．
【详解】解：A.若x= y，则x+c= y+c，故该选项错误，不符合题意；
B.若x= y，则c−x=c−y，故该选项正确，符合题意；
x y
C.若x= y且c≠0，则 = ，故该选项错误，不符合题意；
c c
x y
D. 若 = ，则3x=2y，故该选项错误，不符合题意；
2c 3c
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故选：B．
【点睛】本题考查了等式的性质，熟练掌握和运用等式的性质是解决本题的关键．
3．（2023·浙江杭州·统考二模）设a，b，m均为实数，（ ）
A．若a>b，则a+m>b−m B．若a=b，则ma=mb
C．若a+m>b−m，则a>b D．若ma=mb，则a=b
【答案】B
【分析】根据等式的性质和不等式的性质可直接进行排除选项．
【详解】解：A、若a>b，则a+m不一定大于b−m，故错误；
B、若a=b，则ma=mb，故正确；
C、若a+m>b−m，则a不一定大于b，故错误；
D、若ma=mb，m≠0，则a=b；若ma=mb，m=0，则a≠b或a=b，故错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了等式的性质和不等式的性质．解题的关键是掌握等式的性质和不等式的性质，注意等
式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
题型 02 利用等式的性质求解
1
1．（2023·河北保定·校考一模）已知a−b=a+3− ，则下列表示b的式子是（ ）
4
1 1 1 1
A． −3 B．3− C．3+ D．− −3
4 4 4 4
【答案】A
【分析】运用等式的基本性质解题即可．
1
【详解】解：∵a−b=a+3−
4
1
∴两边同时减去a得：−b=+3−
4
1
∴两边同时乘以−1得：b=−3+
4
故选A．
【点睛】本题考查等式的基本性质，掌握等式的基本性质是解题的关键．
2．（2023·广东江门·统考三模）若−2a=1，则a的值是（ ）
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1 1
A．− B． C．2 D．−2
2 2
【答案】A
【分析】根据等式的性质解方程即可求解．
【详解】解：−2a=1
1
系数化为1，两边同时除以−2得，a=− ，
2
故选：A．
【点睛】本题主要考查等式的性质，掌握等式的性质解方程的运算是解题的关键．
1 1
3．（2022·安徽合肥·合肥38中校考三模）已知a≠b，且a＋ ＝b＋ 则下列结论正确的是（ ）
b a
A．a＋b＝0 B．ab＝1
C．若a＋b＝0，则a－b＝2 D．若a－b＝2，则a＋b＝0
【答案】D
【分析】利用等式的性质将代数式的变形计算即可
1 1
【详解】∵a＋ ＝b＋ ，
b a
1 1
∴a－b＋ － ＝0，
b a
a−b
∴(a−b)+ =0，
ab
( 1 )
∴(a−b) 1+ =0，
ab
∵a≠b，
∴a−b≠0，
1
∴1+ =0，即ab=−1，
ab
∴选项A、B错误；
当a＋b＝0时，与ab=−1联立，解得¿ 或¿，
可得a－b＝－2或a－b＝2，
故选项C错误；
当a－b＝2时，与ab=−1联立，解得¿，
可得a＋b＝0，
故选项D正确；
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故选D
【点睛】本题考查了等式的性质、代数式的化简问题，根据已知条件逐项求解即可．
题型 03 判断一元一次方程.
1 y−2 1 1
1．（2022·江苏盐城·校联考三模）在下列方程中：①x+2y=3，② −3x=9，③ = y+ ，④ x=0，
x 3 3 2
是一元一次方程的有 （只填序号）．
【答案】③④
【详解】试题分析：一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式．
根据定义可知：①含有两个未知数，不是一元一次方程；②含有分式，不是一元一次方程；③和④是一元
一次方程．
2．（2019·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）关于x的方程mx2m﹣1+（m﹣1）x-2＝0如果是一元一次
方程，则其解为 ．
【答案】x＝2或x=−2或x=-3．
【分析】利用一元一次方程的定义判断即可．
【详解】解：∵关于x的方程mx2m﹣1+（m﹣1）x﹣2＝0如果是一元一次方程，
（1）当2m﹣1＝1，即m＝1，
即x﹣2＝0
解得：x＝2，
（2）当m=0时，−x−2＝0，
解得：x=−2
1
（3）当2m-1=0，即m= 时，
2
1 1
方程为 − x−2=0
2 2
解得：x=-3，
故答案为x=2或x=-2或x=-3．
【点睛】此题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解本题的关键．
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题型 04 解一元一次方程
3x−2 5−4x
1．（2023·浙江·统考一模）解方程： −1=
3 6
【答案】x=1.5
【分析】按照去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1的步骤，进行解答即可．
【详解】解：去分母，得：6x−4−6=5−4x，
移项，得：6x+4x=5+4+6，
合并同类项，得：10x=15，
系数化为1，得：x=1.5．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是在掌握解一元一次方程的方法和步骤．
x+2 2x−1
2．（2023·浙江温州·统考一模）解方程 + =1，以下去分母正确的是（ ）
3 4
A．4(x+2)+3(2x−1)=12 B．4(x+2)+3(2x−1)=1
C．x+2+2x−1=12 D．3(x+2)+4(2x−1)=12
【答案】A
【分析】各项同时乘以12运算即可．
x+2 2x−1
【详解】解： + =1，
3 4
去分母得，4(x+2)+3(2x−1)=12，
故选：A．
【点睛】本题考查了解一元一次方程—去分母．解题的关键在于正确的运算．
3．（2023常州市二模）对任意四个有理数a，b，c，d定义新运算：|ab|=ad−bc，已知|2x−4|=18，则
cd x 1
x=（ ）
A．﹣1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据新运算公式，得：2x+4x=18，解得x=3．
【详解】解：∵ |ab|=ad−bc，
cd
∴2x+4x=18，
解得x=3，
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故选：C．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，解题关键是把数式代入到对应的字母中，进行运算求解，易错
点是数式与字母不能准确对应．
4−3x 5x+3
4．（2023·陕西西安·校考模拟预测）解一元一次方程：1− = −x
4 6
6
【答案】x=
11
【分析】按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程，即可求解．
4−3x 5x+3
【详解】解：1− = −x
4 6
去分母，12−3(4−3x)=2(5x+3)−12x
去括号，12−12+9x=10x+6−12x
移项，9x−10x+12x=6−12+12
合并同类项，11x=6
6
化系数为1，x=
11
【点睛】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
题型 05 错看或错解一元一次方程
3x−1
1．（2022·河北邯郸·统考三模）嘉淇在解关于x的一元一次方程 + ＝3时，发现正整数
2
被污染了；
3x−1
(1)嘉淇猜 是2，请解一元一次方程 +2=3；
2
(2)若老师告诉嘉淇这个方程的解是正整数，则被污染的正整数是多少？
【答案】(1)x=1
(2)2
3x−1
【分析】（1）由题意得方程 +2=3，按解一元一次方程的一般步骤求解即可；
2
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3x−1 7−2m
（2）设被污染的正整数为m，得方程 +m=3，求解得x= ，再根据解是正整数求解即可．
2 3
3x−1
【详解】（1）解： +2=3，
2
去分母，得3x−1+4=6；
移项，合并同类项，得3x=3；
系数化为1，得x=1．
（2）解：设被污染的正整数为m，
3x−1
则有 +m=3，
2
7−2m
解之得，x= ，
3
7−2m
∵ 是正整数，且m为正整数，
3
∴m=2．
【点睛】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键．
x+3 5x−3
2．（2022·山西太原·一模）（1）下面是小明同学解方程 − =1的过程，请认真阅读，并完成
2 6
相应的任务．
解：去分母，得3(x+3)−(5x−3)=1． 第
一步
去括号，得3x+9−5x+3=1． 第二步
移项，得3x−5x=−9−3+1． 第三步
合并同类项．得−2x=−11． 第四步
2
系数化为1，得x= ． 第五步
11
任务一：①解答过程中，第________步开始出现了错误，产生错误的原因是_________；
②第三步变形的依据是__________．
任务二：①该一元一次方程的解是_______；
②写出一条解一元一次方程时应注意的事项．
【答案】
任务一：①一，等式右边的1漏乘以6（或去分母时漏乘了6）；②移项法则（或等式的基本性质一）；任
务二：①x=3； ②去括号时，括号前面是“-”时各项都要变号
【详解】
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任务一：①一；等式右边的1漏乘以6（或去分母时漏乘了6），
②移项法则（或等式的基本性质一），
x+3 5x−3
任务二：① − =1，
2 6
去分母，得3(x+3)-(5x-3)=6，
去括号，得3x+9-5x+3=6，
移项，得3x-5x=6-9-3，
合并同类项，得-2x=-6，
系数化为，得x=3，
故答案为：x=3；
②答案不唯一如：
Ⅰ．去分母时，注意不要漏乘（或正确运用等式的基本性质）．
Ⅱ．移项时，注意变号（或正确运用等式的基本性质）．
Ⅲ．去括号时，括号前面是“-”时各项都要变号．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，实数的运算，熟练掌握实数的运算法则和解一元一次方程是解本题
的关键．
3．（2022·河北保定·统考一模）已知整式(a2−2ab)−(■ab−4b2)，其中“■”处的系数被墨水污染了．
当a=−2，b=1时，该整式的值为16．
(1)则■所表示的数字是多少？
(2)小红说该代数式的值是非负数，你认为小红的说法对吗？说明理由．
【答案】(1)■所表示的数字是2；
(2)小红的说法是正确的，理由见解析.
【分析】（1）直接把a=−2，b=1代入代数式其值等于16，解关于■方程即可；
（2）把（1）求得的■的结果代入代数式整理即可求解．
【详解】（1）（1）将a=−2，b=1代入(a2−2ab)−(■ab−4b2)，
可得4+4−(■×(−2)−4)=16，解得■=2；
（2）（2）由（1）求得的结果可得该整式为，
(a2−2ab)−(2ab−4b2)=a2−4ab+4b2=(a−2b) 2≥0，
故小红的说法是正确的．
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【点睛】本题考查了代数式的化简求值及解一元一次方程、完全平方公式等，求得■的值是解题的关键．
题型 06 二元一次方程（组）的概念
1．下列方程组中，二元一次方程组的个数有（ ）
①¿ ②¿ ③¿ ④¿ ⑤¿
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】利用二元一次方程组的定义：由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫二元一次方程
组可得．
【详解】解：①¿符合二元一次方程组的定义，是二元一次方程组；
②¿方程组含有二次项xy，因此不符合二元一次方程组的定义，不是二元一次方程组；
③¿方程组含有三个未知数，因此不符合二元一次方程组的定义，不是二元一次方程组；
1
④¿方程组含有 ，是分式，因此不符合二元一次方程组的定义，不是二元一次方程组；
x
⑤¿符合二元一次方程组的定义，是二元一次方程组；
综上，①⑤是二元一次方程组，共2个，
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，掌握二元一次方程组满足三个条件：①方程组中的两个方程
都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程．
2．（2023·贵州六盘水·统考二模）下面4组数值中，哪组是二元一次方程x+2y=5的解（ ）
A．¿ B．¿ C．¿ D．¿
【答案】B
【分析】二元一次方程x+2y=5的解有无数个，所以此题应该用排除法确定答案，分别代入方程组，使方
程左右相等的解才是方程组的解．
【详解】解：A．把¿代入方程，左边=1+2≠右边，所以不是方程的解；
B．把¿代入方程，左边=右边=5，所以是方程的解；
C．把¿代入方程，左边=6≠右边，所以不是方程的解；
D．把¿代入方程，左边=−5≠右边，所以不是方程的解．
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解的定义．要求理解什么是二元一次方程的解，并会把x，y的值代入
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原方程验证二元一次方程的解是本题的关键．
3．（2023·河北张家口·统考一模）¿不是下列哪个方程的解（ ）
A．x+ y=0 B．x−y=−2 C．2x−y=−1 D．x+2y=1
【答案】C
【分析】将¿代入各个方程，即可判断．
【详解】经代入计算，可知¿能使方程x+ y=0、x−y=−2、x+2y=1成立，
¿不能使2x−y=−3成立，
∴¿不是2x−y=−1的解．
故选：C．
【点睛】本题考查了二元次一方程的解的定义，正确代入计算，是解答本题的关键．
4．（2022·浙江绍兴·校联考二模）已知¿是方程4x﹣ay＝7的一个解，那么a的值是 ．
【答案】1
【分析】先将¿代入方程4x﹣ay＝7，得到4×1−a×(−3)=7，求解即可．
【详解】∵ ¿是方程4x﹣ay＝7的一个解，
∴4×1−a×(−3)=7，
解得a=1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握知识点是解题的关键．
题型 07 解二元一次方程组
1．（2022·辽宁沈阳·统考模拟预测）二元一次方程组¿的解是 ．
{x=1 {y=2
【答案】 /
y=2 x=1
【分析】利用代入消元法进行求解方程组的解即可．
【详解】解：¿
把②代入①得：5x=5，解得：x=1，
把x=1代入②得：y=2；
∴原方程组的解为¿；
故答案为¿．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
2．（2022·江苏无锡·统考二模）已知方程组¿，则x+ y的值为 ．
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【答案】9
【分析】解方程组，求得x、y的值，进而求得答案．
【详解】解：由方程组¿，解得¿
∴x+ y=9
故答案为：9．
【点睛】本题考查求方程组的解，熟练掌握相关知识是解题的关键．
3．（2023·陕西西安·校考二模）解方程组：¿
【答案】¿
【分析】方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
【详解】解：方程组整理得：¿，
②×2−①得：5x=12，
12
解得：x= ，
5
12 48
把x= 代入②得： −y=8，
5 5
8
解得：y= ，
5
则方程组的解为¿．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
题型 08 错看或错解二元一次方程组问题
1．（2023·广东惠州·统考二模）小丽和小明同时解一道关于x、y的方程组¿，其中a、b为常数．在解方
程组的过程中，小丽看错常数“a”，解得¿；小明看错常数“b”，解得¿．
(1)求a、b的值；
(2)求出原方程组正确的解．
【答案】(1)a=1，b=−2
(2)¿
【分析】（1）根据题意，在解方程组的过程中，小丽看错常数“a”，解得¿，即−1−3b=5是正确的，
解得b=−2；小明看错常数“b”，解得¿，即2a+1=3正确，解得a=1；
（2）由（1）知关于x、y的方程组¿可化为¿，根据二元一次方程组的解法求解即可得到答案．
【详解】（1）解：∵在解方程组的过程中，小丽看错常数“a”，解得¿，
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∴ −1−3b=5，解得b=−2；
∵在解方程组的过程中，小明看错常数“b”，解得¿，
∴ 2a+1=3，解得a=1；
∴ a=1；b=−2；
（2）解：由（1）知¿，
由①−②得−y=−2，解得y=2，
将y=2代入①得x=1，
∴原方程组的解为¿．
【点睛】本题考查二元一次方程组解的定义及解二元一次方程组，读懂题意，准确得到相应方程是解决问
题的关键．
2．（2021·广东汕头·统考一模）甲、乙两人同解方程组¿，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为
¿乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为¿
（1）求a，b的值；
（2）若关于x的一元二次方程ax2−bx+m=0两实数根为x ，x ，且满足7x −2x =7，求实数m的值．
1 2 1 2
【答案】（1）¿；（2）m=−5
【分析】（1）将¿代入方程②求出b的值，将¿代入方程①求得a的值，即可得出答案，
（2）再将a，b的值代入ax2−bx+m=0中，再利用根与系数的关系得到方程组，解出两个根，即可得出
m的值．
【详解】解：（1）根据题意得¿解得¿
（2）当¿时，一元二次方程ax2−bx+m=0化为7x2+2x+m=0，
2 m
由根与系数关系得x +x =− ，x ×x =
1 2 7 1 2 7
联成方程组得¿，解得¿
∴m=−5
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解和解二元一次方程组，一元二次方程以
及根与系数的关系，正确理解题意是解题的关键．
3．（2022许昌市二模）下面是小颖同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解方程组：¿．
解：①×4，得8x−4 y=16③，………………第一步，
②−③，得−y=4，…………………第二步，
y=−4．……………第三步，
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将y=−4代入①，得x=0．…………第四步，
所以，原方程组的解为¿．……………第五步．
填空：
(1)这种求解二元一次方程组的方法叫做______．
A、代入消元法
B、加减消元法
(2)第______步开始出现错误，具体错误是______；
(3)直接写出该方程组的正确解：______．
【答案】(1)B
(2)二；−3 y−(−4 y)应该等于y
(3)¿
【分析】（1）②−③消去了x，得到了关于y的一元一次方程，所以这是加减消元法；
（2）第二步开始出现错误，具体错误是−3y−（−4y）应该等于y；
（3）解方程组即可．
【详解】（1）解：②−③消去了x，得到了关于y的一元一次方程，
故答案为：B；
（2）解：第二步开始出现错误，具体错误是−3 y−(−4 y)应该等于y，
故答案为：二；−3 y−(−4 y)应该等于y；
（3）解：②−③得y=4，
将y=4代入①，得：x=4，
∴原方程组的解为¿．
故答案为：¿．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元方程转化为一
元方程是解题的关键．
4．（2021·浙江嘉兴·统考二模）解方程组：¿，小海同学的解题过程如下：
解：由②得y=5+x，③⋯⋯⋯⋯⋯(1)
把③代入①得3x−2x+5=6，⋯⋯⋯⋯⋯(2)
x=−1⋯⋯⋯⋯⋯(3)
把x=−1代入③得y=1，⋯⋯⋯⋯⋯(4)
∴此方程组的解为¿．⋯⋯⋯⋯⋯(5)
判断小海同学的解题过程是否正确，若不正确，请指出错误的步骤序号，并给出正确的解题过程．
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【答案】不正确，（1），（2），（3），（4），过程见解析
【分析】第（1）步，移项没有变号，第（2）步没有用乘法分配律，去括号也错误了，第（3）步移项没
有变号，写出正确的解答过程即可．
【详解】解：错误的是（1），（2），（3），（4），
正确的解答过程：
由②得：y=5-x③
把③代入①得：3x-10+2x=6，
16
解得：x= ，
5
16 9
把x= 代入③得：y= ，
5 5
∴此方程组的解为¿．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元方程转化为一
元方程是解题的关键．
题型 09 构造二元一次方程组求解
1．（2021·青海·统考中考真题）已知a，b是等腰三角形的两边长，且a，b满足
√2a−3b+5+(2a+3b−13) 2=0，则此等腰三角形的周长为（ ）．
A．8 B．6或8 C．7 D．7或8
【答案】D
【分析】先根据非负数的性质列式求出a、b的值，再分a的值是腰长与底边两种情况讨论求解．
【详解】解：∵√2a−3b+5+(2a+3b−13) 2=0，
∴¿
解得¿，
①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、3，能组成三角形，周长=2+2+3=7；
②2是底边时，三角形的三边分别为2、3、3，能组成三角形，周长=2+3+3=8，
所以该等腰三角形的周长为7或8．
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，绝对值与算术平方根的非负性，根据几个非负数的和等于0，则
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每一个算式都等于0求出a、b的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行
判断．
k
2．（2023·江苏淮安·校考二模）反比例函数y= 的图象经过A(3,m)、B(m−1,6)两点，则k的值为（
x
）
A．4 B．6 C．9 D．12
【答案】B
【分析】根据反比例函数图象上点的特征列出方程组，解方程组即可得到答案．
k
【详解】解：∵反比例函数y= 的图象经过A(3,m)、B(m−1,6)两点，
x
∴¿，
解得¿，
故选：B．
【点睛】此题考查了反比例函数，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
3．（2023·广东深圳·深圳市南山外国语学校校联考二模）若(4x+ y−4) 2与|2x−y+1|互为相反数，则xy
的值是 .
1
【答案】 /0.25
4
【分析】利用互为相反数两数之和为0列出等式，再利用非负数的性质列出方程组，求出方程组的解即可
得到x与y的值．
【详解】解：∵(4x+ y−4) 2+|2x−y+1|=0，
∴¿，
解得：¿，
∴xy=
(1) 2
=
1
，
2 4
1
故答案为： ．
4
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
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题型 10 利用一元一次方程解决实际问题
1．（2022·陕西宝鸡·统考一模）某医疗器械企业计划购进20台机器生产口罩，已知生产口罩面的机器每
台每天的产量为12000个，生产耳挂绳的机器每台每天的产量为96000个，口罩是一个口罩面和两个耳挂
绳构成，为使每天生产的口罩面和耳挂绳刚好配套，该企业应分别购进生产口罩面和生产耳挂绳的机器各
多少台？
【答案】16 ；4
【分析】设该企业购进生产口罩面的机器x台，则生产耳挂绳的机器为(20−x)台，利用耳挂绳是口罩面的
2倍列出方程即可求解．
【详解】解：设该企业购进生产口罩面的机器x台，则生产耳挂绳的机器为(20−x)台，
依题意得，96000(20−x)=2×12000x
解得x=16
∴20−x=20−16=4，
∴该企业购进生产口罩面的机器16台，生产耳挂绳的机器为4台．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，读懂题意，找出题目的等量关系是解题的关键．
2．（2022·山西运城·统考一模）在落实国家“精准扶贫”政策的过程中，政府为某村修建一条长为400米
的公路，由甲、乙两个工程队负责施工．甲工程队独立施工2天后乙工程队加入，两工程队联合施工4天
后，还剩70米的工程．已知甲工程队每天比乙工程队多施工5米，求甲、乙工程队每天各施工多少米？
【答案】甲工程队每天施工35米，乙工程队每天施工30米
【分析】设甲工程队每天施工x米，则乙工程队每天施工(x-5)米，根据题意可列出关于x的一元一次方程，
解出x，即可求出答案．
【详解】设甲工程队每天施工x米，则乙工程队每天施工(x-5)米，
根据题意可得：2x+4x+4(x−5)=400−70，
解得：x=35，
x−5=35−5=30，
答：甲工程队每天施工35米，乙工程队每天施工30米．
【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用．根据题意找出等量关系，列出等式是解题关键．
3．（2022·安徽马鞍山·安徽省马鞍山市第七中学校联考二模）某奶茶店的一款主打奶茶分为线上和线下两
种销售模式，消费者从线上下单，每次可使用“满30减28”消费券一张（线下下单没有该消费券），同规
格的一杯奶茶，线上价格比线下高20%，外卖配送费为4元/次，订单显示用券后线上一次性购买6杯实际
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支付金额和线下购买6杯支付金额一样多，求该款奶茶线下销售价格．
【答案】该款奶茶线下销售价格为20元
【分析】找到等量关系式：线上6杯奶茶的价格+配送费－28=线下6杯奶茶的价格，设该款奶茶线下销售
价格为x元，根据等量关系式列方程，解方程即可．
【详解】解：设该款奶茶线下销售价格为x元
6×(1+20%)x+4−28=6x
7.2x+4−28=6x
1.2x=24
x=20
答：该款奶茶线下销售价格为20元．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找准等量关系式．
4．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）为有效落实双减工作，切实做到减负提质，很多学校高
度重视学生的体育锻炼，不定期举行体育比赛．已知在一次足球比赛中，胜一场得4分，平一场得2分，负
一场得0分，某队在已赛的13场比赛中保持连续不败的战绩，共得40分，求该队获胜的场数．
【答案】7场
【分析】设该队获胜x场，则平(13−x)场，根据题意，建立一元一次方程，解方程即可求解．
【详解】设该队获胜x场，则平(13−x)场，依题意
得：4x+2(13−x)=40，
解得：x=7
答：该队获胜7场．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意建立方程是解题的关键．
5．（2023·河北沧州·统考三模）嘉嘉和淇淇玩游戏，下面是两人的对话．
(1)如果淇淇想的数是−6，求他告诉嘉嘉的结果；
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(2)设淇淇心里想的数是x，求淇淇告诉嘉嘉的结果；若淇淇告诉嘉嘉的结果是66，求淇淇想的那个数是几．
【答案】(1)−1
(2)61
【分析】（1）根据题意列式计算即可；
（2）根据题意建立方程求解即可．
【详解】（1）解：(−6×3−6)÷3+7
=(−18−6)÷3+7
=−24÷3+7
=−8+7
=−1；
（2）解：由题意得，(3x−6)÷3+7=66，
解得x=61，
∴淇淇想的那个数是61．
【点睛】本题主要考查了有理数的四则混合计算的实际应用，一元一次方程的实际应用，正确理解题意列
出式子和方程是解题的关键．
6．（2023·陕西西安·交大附中分校校考三模）如图，某小区矩形绿地的长宽分别为35m，15m．现计划对
其进行扩充，将绿地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地．若扩充后的矩形绿地的长是宽
的2倍，求新的矩形绿地的长与宽；
【答案】40m，20m
【分析】设绿地的长、宽增加的长度为xm，然后根据扩充后的矩形绿地的长是宽的2倍，列出方程求解即
可．
【详解】解：设绿地的长、宽增加的长度为xm，
由题意得，35+x=2(15+x)，
解得x=5，
∴35+x=40，15+x=20，
∴新的矩形绿地的长与宽分别为40m，20m．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系建立方程是解题的关键．
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7．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）以井测绳．若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测
之，绳多半尺．则井深几何？题目大意：古人用绳子测量水井的深度．如果将绳子折成三等份测量，绳子
比井深多五尺；如果将绅子折成四等份测量，则绳子比井深多半尺．求此水井的深度．
【答案】13尺
【分析】设井深为x尺，则绳子的长度为3(x+5)尺，然后根据将绅子折成四等份测量，则绳子比井深多半
尺列出方程求解即可．
【详解】解：设井深为x尺，则绳子的长度为3(x+5)尺，
3(x+5)
由题意得，x+0.5= ，
4
解得x=13，
答：水井的深度为13尺．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键．
8．（2023·陕西西安·西北大学附中校考模拟预测）《算法统宗》是中国古代重要的数学著作，其中记载：
我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．其大意为：今有若干人住店，若
每间住7人，则余下7人无房可住；若每间住9人，则余下一间无人住，求店中共有多少间房？
【答案】店中共有8间房
【分析】由等量关系“一房七客多七客，一房九客一房空”，即可列出一元一次方程求得．
【详解】解：设店中共有x间房
依题意得：7x+7=9(x−1)，
解得：x=8，
答：店中共有8间房．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，理清题中的等量关系是解题的关键．
9．（2022·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考一模）《九章算术》中有一道题，原文是：“今有善行者行
一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？ ”题目意思是：同
样时间段内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步，且两人的步长相等，若走路慢的人先走
100步，求走路快的人走多少步才能追上走路慢的人？ （注释：“步”是古代的一种计量单位）
【答案】250步
【分析】设走路快的人追上走路慢的人所用时间为t，根据二者的速度差×时间=路程，即可求出t值，再将
其代入路程=速度×时间，即可求出结论．
【详解】解：设走路快的人追上走路慢的人所用时间为t，
根据题意得：（100-60）t=100，
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解得：t=2.5，
∴100t=100×2.5=250．
答：走路快的人要走250步才能追上走路慢的人．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
题型 11 利用二元一次方程解决实际问题
1．（2023·福建泉州·福建省泉州第一中学校考模拟预测）元旦期间，七（1）班明明等同学随家长一同到
某景区游玩，该景区门票价格规定如图：
(1)明明他们一共12人，分别按成人和学生购票，共需550元，求他们一共去了几个成人，几个学生？
(2)购完票后，明明发现，如果购团体票更省钱，正在此时，七（2）班涛涛等8名同学和他们的12名家长共
20人也来购票，请你为七（2）班设计出最省钱的购票方案，并求出此时的购票费用．
【答案】(1)8个成人，4个学生
(2)方案见解析，638元
【分析】（1）先设出两个未知数，再依据题意列出二元一次方程组，解出方程组即可；
（2）因为学生票最便宜，团体票次之，成人票最贵，所以应尽可能不买成人票，尽量多买学生票．先凑
够16人买团体票，再让剩余学生买学生票是费用最省．
【详解】（1）解：设他们一共去了x个成人，y个学生．
由题意得：¿，
解得：¿，
答：他们一共去了8个成人，4个学生．
（2）∵学生票最便宜，团体票次之，成人票最贵
∴应尽可能不买成人票，尽量多买学生票
∴当七（2）班4名同学和他们的12名家长，一起购买团体票，剩余4名同学买学生票时最省钱．此时，
购票费用为:
55
55×16×0.6+ ×4=638元
2
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【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用和购票方案的选择，细心审题，列出方程组和找出最省钱
方案是解题关键．
2．（2023·广东东莞·模拟预测）A、B两地相距4千米，甲从A地出发步行到B地，乙从B地出发骑自行
车到A地，两人同时出发，30分钟后两人相遇，又经过10分钟，甲剩余路程为乙剩余路程的3倍．
(1)求甲、乙每小时各行多少千米？
(2)在他们出发后多长时间两人相距1千米？
【答案】(1)甲每小时行3千米，乙每小时行5千米
3 5
(2)出发后 小时或 小时两人相距1千米
8 8
【分析】（1）这是行程问题中的相遇问题，三个基本量：路程、速度、时间．关系式为：路程=速度×时
间．题中的两个等量关系是：30分钟×甲的速度+30分钟×乙的速度=4千米，4千米-40分钟×甲的速度=（4
千米-40分钟×乙的速度）×3，依此列出方程求解即可，注意单位换算；
（2）先求出两人一共行驶的路程，再除以速度和即可求解．
【详解】（1）解：设甲每小时行x千米，乙每小时行y千米．
依题意：¿
解方程组得¿
答：甲每小时行3千米，乙每小时行5千米．
3
（2）相遇前：(4−1)÷(3+5)= （小时），
8
5
相遇后：(4+1)÷(3+5)= （小时）．
8
3 5
故在他们出发后 小时或 小时两人相距1千米．
8 8
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，本题是行程问题中的相遇问题，解题关键是如何建立二元一
次方程组的模型．
3．（2021·江苏泰州·统考中考真题）甲、乙两工程队共同修建150km的公路，原计划30个月完工．实际
施工时，甲队通过技术创新，施工效率提高了50%，乙队施工效率不变，结果提前5个月完工．甲、乙两
工程队原计划平均每月分别修建多长？
【答案】甲工程队原计划每月修建2千米，乙甲工程队原计划每月修建3千米
【分析】设甲工程队原计划每月修建x千米，乙甲工程队原计划每月修建y千米，根据原计划每月修建
150 150
km和甲提高效率后每月修建 km列出二元一次方程组求解即可．
30 (30-5)
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【详解】解：设甲工程队原计划每月修建x千米，乙甲工程队原计划每月修建y千米，根据题意得，
¿
解得，¿
答：甲工程队原计划每月修建2千米，乙甲工程队原计划每月修建3千米
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是弄清题意，找到合适的等量关系，列出方程．
4．（2017·安徽·中考真题）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：
今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？
译文为：
现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个
物品的价格是多少？
请解答上述问题．
【答案】共有7人，这个物品的价格是53元
【分析】根据题意，找出等量关系，列出一元一次方程.
【详解】解：设共有x人，这个物品的价格是y元，
¿解得¿
答：共有7人，这个物品的价格是53元.
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找出等量关系，列出方程.
5．（2023·福建厦门·厦门一中校考一模）学校为实现垃圾分类投放，准备在校园内摆放大、小两种垃圾桶．
购买2个大垃圾桶和4个小垃圾桶共需600元；购买6个大垃圾桶和8个小垃圾桶共需1560元．求大、小
两种垃圾桶的单价．
【答案】大、小两种垃圾桶的单价分别为180元和60元
【分析】设大、小两种垃圾桶的单价分别为x元，y元，根据题意，列出方程组进行求解即可．
【详解】解：设大、小两种垃圾桶的单价分别为x元，y元，由题意，得：
¿，解得：¿；
答：大、小两种垃圾桶的单价分别为180元和60元．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用．找准等量关系，正确的列出方程组，是解题的关键．
6．（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）如图，用8块形状、大小完全相同的矩形地砖拼成一
块长方形地面，且AB=60cm，地砖的拼放方式如图，求每块地砖的长与宽．
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【答案】每块地砖的长为45cm,宽为15cm
【分析】通过理解题意和观察图示可知本题存在两个等量关系，即拼成的大长方形的长=小长方形的长
×2=3×小长方形的宽+小长方形的长，拼成的大长方形的宽=小长方形的长+小长方形的宽．根据这两个
等量关系可列出方程组．再求解．
【详解】解：设每块地砖的长为xcm,宽为ycm. 根据题意得¿ ，
解这个方程组得¿.
答：每块地砖的长为45cm,宽为15cm.
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，解题关键是弄清题意，懂得看图示，从题意和图示找出合
适的等量关系：拼放成的大长方形的长=小长方形的长×2=3×小长方形的宽+小长方形的长，拼放成的大
长方形的宽=小长方形的长+小长方形的宽．列出方程组，再求解．
7．（2023·广东佛山·统考一模）我国古代数学著作《九章算术》中记载有这样一个问题：“今有甲、乙二
人，持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲大半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”题目大意是：
今有甲、乙二人，各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的
2
，那么乙也共有钱50，问甲、乙二人各带了多少钱？
3
(1)求甲、乙两人各带的钱数；
(2)若小明、小颖去文具店购买作业本，两人带的钱数（单位：元）恰好等于甲、乙两人各带的钱数，已知
作业本的单价为2.5元/本．由于开学之际，文具店搞促销活动，凡消费50元可以打八折，那么他们合起来
购买可以比单独购买多多少本作业本？
【答案】(1)甲带钱37.5，乙持钱25
(2)他们合起来购买可以比单独购买多6本作业本
【分析】（1）设甲带钱x，乙持钱y，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）分别计算出分开买和合起来买的数量，再比较即可作答．
【详解】（1）解：设甲带钱x，乙持钱y，
根据题意得：
¿，
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解得：¿，
答：甲带钱37.5，乙持钱25；
（2）分开买：37.5÷2.5+25÷2.5=25（本）；
合起来买：(37.5+25)÷(2.5×80%)=62.5÷2=31.25≈31（本），
即：31−25=6（本），
即：他们合起来购买可以比单独购买多6本作业本．
【点睛】本题主要考查了使用二元一次方程组解答古代问题的知识，明确题意，列出方程组是解答本题的
关键．
8．（2020·湖北黄石·中考真题）我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；
牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头
牛、5只羊，值16两银子，问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”
根据以上译文，提出以下两个问题：
（1）求每头牛、每只羊各值多少两银子？
（2）若某商人准备用19两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请问商人有几种购
买方法？列出所有的可能．
【答案】(1) 每头牛3两银子,每只羊2两银子;(2) 三种购买方法, 买牛5头,买养2只或买牛3头,买养5只
或买牛1头,买养8只．
【分析】(1)根据题意列出二元一次方程组,解出即可．
(2)根据题意列出代数式,穷举法代入取值即可．
【详解】(1)设每头牛x银两,每只羊y银两．
¿
解得: ¿
答:每头牛3两银子,每只羊2两银子．
(2)设买牛a头,买羊b只．
19−3a
3a+2b=19,即b= ．
2
解得a=5,b=2；或a=3,b=5,或a=1,b=8．
答:三种购买方法, 买牛5头,买养2只或买牛3头,买养5只或买牛1头,买羊8只．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用,关键在于理解题意找出等量关系．
9．（2023·湖北孝感·统考一模）我国古代数学名著《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，
上面记载有这样一个问题：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几
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何？”其大意是：今有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱；每人出7钱，会差3钱．问合伙人数、羊价
各是多少？请你解答这个问题．
【答案】合伙人数为21人，羊价为150钱
【分析】设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据题意，找出等量关系， 列出方程组，求解即可．
【详解】解：设合伙人数为x人，羊价为y钱，
依题意有：¿，
解得¿，
答：合伙人数为21人，羊价为150钱．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键是正确理解题意，找出等量关系，列出
方程组．
1．（2023·湖南永州·统考中考真题）关于x的一元一次方程2x+m=5的解为x=1，则m的值为（ ）
A．3 B．−3 C．7 D．−7
【答案】A
【分析】把x=1代入2x+m=5再进行求解即可．
【详解】解：把x=1代入2x+m=5得：2+m=5，
解得：m=3．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，以及解一元一次方程，解题的关键是掌握使一元一次方程左
右两边相等的未知数的值是一元一次方程的解，以及解一元一次方程的方法和步骤．
2．（2023·海南·统考中考真题）若代数式x+2的值为7，则x等于（ ）
A．9 B．−9 C．5 D．−5
【答案】C
【分析】根据题意得出x+2=7，然后解方程即可．
【详解】解：∵代数式x+2的值为7，
∴x+2=7，
解得：x=5，
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故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意得出x+2=7．
3．（2023·浙江衢州·统考中考真题）下列各组数满足方程2x+3 y=8的是（ ）
A．¿ B．¿ C．¿ D．¿
【答案】A
【分析】代入x,y的值，逐一判断即可解答．
【详解】解：当¿时，方程左边=2×1+3×2=8，方程左边=方程右边，故A符合题意；
当¿时，方程左边=2×2+3×1=7，方程左边≠方程右边，故B不符合题意；
当¿时，方程左边=2×(−1)+3×2=4，方程左边≠方程右边，故C不符合题意；
当¿时，方程左边=2×2+3×4=16，方程左边≠方程右边，故D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，熟知使得二元一次方程两边的值相等的两位未知数是二元一次方
程的解，是解题的关键．
4．（2023·浙江温州·统考中考真题）一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的1.5倍，碳水化
合物、蛋白质与脂肪的含量共30g．设蛋白质、脂肪的含量分别为x(g)，y(g)，可列出方程为（ ）
5 5 3 3
A． x+ y=30 B．x+ y=30 C． x+ y=30 D．x+ y=30
2 2 2 2
【答案】A
【分析】根据碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g列方程．
【详解】解：设蛋白质、脂肪的含量分别为xg，yg，则碳水化合物含量为(1.5x)g，
5
则：x+1.5x+ y=30，即 x+ y=30，
2
故选A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关
系，列方程．
5．（2023·四川眉山·统考中考真题）已知关于x,y的二元一次方程组¿的解满足x−y=4，则m的值为
（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】将方程组的两个方程相减，可得到x−y=m+3，代入x−y=4，即可解答．
【详解】解：¿，
①−②得2x−2y=2m+6，
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∴x−y=m+3，
代入x−y=4，可得m+3=4，
解得m=1，
故选：B．
【点睛】本题考查了根据解的情况求参数，熟练利用加减法整理代入是解题的关键．
6．（2023·四川南充·统考中考真题）关于x，y的方程组¿的解满足x+ y=1，则4m÷2n的值是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】D
【分析】法一：利用加减法解方程组，用n,m表示出x,y，再将求得的代数式代入x+ y=1，得到m,n的
关系，最后将4m÷2n变形，即可解答．
法二：¿中①−②得到2m−n=2(x+ y)+1，再根据x+ y=1求出2m−n=3代入代数式进行求解即可.
【详解】解：法一：¿，
①+②得4x=2m+n−1，
2m+n−1
解得x= ，
4
2m+n−1 2m−3n−1
将x= 代入②，解得y= ，
4 4
∵x+ y=1，
2m+n−1 2m−3n−1
∴ + =1，
4 4
得到2m−n=3，
∴4m÷2n=22m÷2n=22m−n=23=8，
法二：¿
①−②得：2x+2y=2m−n−1，即：2m−n=2(x+ y)+1，
∵x+ y=1，
∴2m−n=2×1+1=3，
∴4m÷2n=22m÷2n=22m−n=23=8，
故选：D．
【点睛】本题考查了根据二元一次方程解的情况求参数，同底数幂除法，幂的乘方，熟练求出m,n的关系
是解题的关键．
7．（2022·湖南株洲·统考中考真题）对于二元一次方程组¿，将①式代入②式，消去y可以得到（ ）
A．x+2x−1=7 B．x+2x−2=7
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C．x+x−1=7 D．x+2x+2=7
【答案】B
【分析】将①式代入②式消去去括号即可求得结果．
【详解】解：将①式代入②式得，
x+2(x−1)=x+2x−2=7，
故选B．
【点睛】本题考查了代入消元法求解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法是解题的关键．
8．（2023·四川甘孜·统考中考真题）有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，
音hú，是古代的一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．1个大桶、1个小桶分别可以盛酒
多少斛？设大桶可以盛酒x斛，小桶可以盛酒y斛，则可列方程组为（ ）
A．¿ B．¿ C．¿ D．¿
【答案】A
【分析】设大桶可以盛酒x斛，小桶可以盛酒y斛，根据题意列出二元一次方程组，即可求解．
【详解】设大桶可以盛酒x斛，小桶可以盛酒y斛，根据题意得，
¿，
故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，根据题意，列出二元一次方程组是解题的关键．
9．（2023·内蒙古·统考中考真题）某校举行篮球赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场
得1分．某队在12场比赛中得20分．设该队胜x场，负y场，则根据题意，列出关于x、y的二元一次方程
组正确的是（ ）
A．¿ B．¿
C．¿ D．¿
【答案】D
【分析】设该队胜x场，负y场，根据每队胜一场得2分，负一场得1分，在12场比赛中得20分，列出方
程组即可．
【详解】解：设该队胜x场，负y场，根据题意得：
¿，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了列二元一次方程组，解题的关键是找出题目中的等量关系．
10．（2022·江苏宿迁·统考中考真题）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客
都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么
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有7人无房可住；如果一间客房住9人，那么就空出一间客房，若设该店有客房x间，房客y人，则列出
关于x、y的二元一次方程组正确的是（ ）
A．¿ B．¿ C．¿ D．¿
【答案】B
【分析】设该店有客房x间，房客y人；根据题意一房七客多七客，一房九客一房空得出方程组即可．
【详解】解：设该店有客房x间，房客y人；
根据题意得：¿，
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用；根据题意得出方程组是解决问题的关键．
11．（2022·浙江宁波·统考中考真题）我国古代数学名著《九章算术》中记载：“粟米之法：粟率五十；
粝米三十．今有米在十斗桶中，不知其数．满中添粟而春之，得米七斗．问故米几何？”意思为：50斗谷
3
子能出30斗米，即出米率为 ．今有米在容量为10斗的桶中，但不知道数量是多少．再向桶中加满谷子，
5
再舂成米，共得米7斗．问原来有米多少斗？如果设原来有米x斗，向桶中加谷子y斗，那么可列方程组
为（ ）
A．¿ B．¿ C．¿ D．¿
【答案】A
【分析】根据题意列出方程组即可；
【详解】原来有米x斗，向桶中加谷子y斗，容量为10斗，则x+ y=10；
3 3
已知谷子出米率为 ，则来年共得米x+ y=7；
5 5
则可列方程组为¿，
故选A．
【点睛】本题考查了根据实际问题列出二元一次方程组，题目较简单，根据题意正确列出方程即可．
12．（2023·山东·统考中考真题）常言道：失之毫厘，谬以千里．当人们向太空发射火箭或者描述星际位
置时，需要非常准确的数据．1″的角真的很小．把整个圆等分成360份，每份这样的弧所对的圆心角的度
数是1°．1°=60'=3600″．若一个等腰三角形的腰长为1千米，底边长为4.848毫米，则其顶角的度数就
是1″．太阳到地球的平均距离大约为1.5×108千米．若以太阳到地球的平均距离为腰长，则顶角为1″的等
腰三角形底边长为（ ）
A．24.24千米 B．72.72千米 C．242.4千米 D．727.2千米
【答案】D
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【分析】设以太阳到地球的平均距离为腰长，则顶角为1″的等腰三角形底边长为x毫米，根据顶角相等的
1.5×108 x
两等腰三角形相似，相似三角形的对应边成比例，可列出方程 = ，求解即可．
1 4.848
【详解】解：设以太阳到地球的平均距离为腰长，则顶角为1″的等腰三角形底边长为x毫米，根据题意，
得
1.5×108 x
=
1 4.848
解得：x=7.272×108
∴等腰三角形底边长为7.272×108毫米=727.2千米．
故选：D．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用．根据相似三角形判定与性质列出方程是解题的关键，注意单位换
算．
13．（2023·湖南益阳·统考中考真题）某学校为进一步开展好劳动教育实践活动，用1580元购进A，B两
种劳动工具共145件，A，B两种劳动工具每件分别为10元，12元．设购买A，B两种劳动工具的件数分
别为x，y，那么下面列出的方程组中正确的是（ ）
A．¿ B．¿
C．¿ D．¿
【答案】A
【分析】设购买A，B两种劳动工具的件数分别为x，y，根据“用1580元购进A，B两种劳动工具共145
件，A，B两种劳动工具每件分别为10元，12元．”列出方程组，即可求解．
【详解】解：设购买A，B两种劳动工具的件数分别为x，y，根据题意得：
¿．
故选：A
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
x=1
14．（2022·四川雅安·统考中考真题）已知{ 是方程ax+by＝3的解，则代数式2a+4b﹣5的值为 ．
y=2
【答案】1
x=1
【分析】把{ 代入ax+by＝3可得a+2b=3，而2a+4b﹣5=2(a+2b)−5，再整体代入求值即可．
y=2
x=1
【详解】解：把{ 代入ax+by＝3可得：
y=2
a+2b=3，
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∴ 2a+4b﹣5
=2(a+2b)−5
=2×3−5=1．
故答案为：1
【点睛】本题考查的是二元一次方程的解，利用整体代入法求解代数式的值，掌握“方程的解的含义及整
体代入的方法”是解本题的关键．
15．（2022·黑龙江绥化·统考中考真题）某班为奖励在数学竞赛中成绩优异的同学，花费48元钱购买了甲、
乙两种奖品，每种奖品至少购买1件，其中甲种奖品每件4元，乙种奖品每件3元，则有 种购买方
案．
【答案】3/三
3 y
【分析】设购买甲种奖品x件，乙种奖品y件，列出关系式，并求出x=12− ，由于x≥1，y≥1且x，y
4
都是正整数，所以y是4的整数倍，由此计算即可．
【详解】解：设：购买甲种奖品x件，乙种奖品y件，
3 y
4x+3 y=48，解得x=12− ，
4
∵x≥1，y≥1且x，y都是正整数，
∴y是4的整数倍，
3×4
∴y=4时，x=12− =9，
4
3×8
y=8时，x=12− =6，
4
3×12
y=12时，x=12− =3，
4
3×16
y=16时，x=12− =0，不符合题意，
4
故有3种购买方案，
故答案为：3．
【点睛】本题考查列关系式，根据题意判断出y是4的整数倍是解答本题的关键．
16．（2021·重庆·统考中考真题）盲盒为消费市场注入了活力，既能够营造消费者购物过程中的趣味体验，
也为商家实现销售额提升拓展了途径．某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个，搭配为A，
B，C三种盲盒各一个，其中A盒中有2个蓝牙耳机，3个多接口优盘，1个迷你音箱；B盒中蓝牙耳机与
迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量，蓝牙耳机与迷你音箱的数量之比为3：2；C盒中有1个蓝牙
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耳机，3个多接口优盘，2个迷你音箱．经核算，A盒的成本为145元，B盒的成本为245元（每种盲盒的
成本为该盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本之和），则C盒的成本为 元．
【答案】155
【分析】设B盒中蓝牙耳机3a个，迷你音箱2a个，列方程求出B盒中各种设备的数量，再设蓝牙耳机、
多接口优盘、迷你音箱的成本分别为x、y、z元，根据题意列出方程组，再整体求出x+3 y+2z的值即可．
【详解】解：根据题意，设B盒中蓝牙耳机3a个，迷你音箱2a个，优盘的数量为3a+2a=5 a个，则
2+3+1+3a+2a+5a+1+3+2=22，解得，a=1；
设蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本分别为x、y、z元，根据题意列方程组得，¿
②-①得，x+2y+z=100③，
③×3-①得，x+3 y+2z=155，
故答案为：155．
【点睛】本题考查了三元一次方程组和一元一次方程的应用，解题关键是找准题目中的等量关系列出方程
（组），熟练运用等式的性质进行方程变形，整体求值．
17．（2022·重庆·统考中考真题）特产专卖店销售桃片、米花糖、麻花三种特产，其中每包桃片的成本是
麻花的2倍，每包桃片、米花糖、麻花的售价分别比其成本高20%、30%、20%．该店五月份销售桃片、
米花糖、麻花的数量之比为1∶3∶2，三种特产的总利润是总成本的25%，则每包米花糖与每包麻花的成
本之比为 ．
【答案】4：3
【分析】设每包麻花的成本为x元，每包米花糖的成本为y元，桃片的销售量为m包，则每包桃片的成本
为2x元，米花糖的销售量为3m包，麻花的销售量为2m包，根据三种特产的总利润是总成本的25%列得
2x⋅20%⋅m+30% y⋅3m+20%x⋅2m
=25%，计算可得．
2mx+3my+2mx
【详解】解：设每包麻花的成本为x元，每包米花糖的成本为y元，桃片的销售量为m包，则每包桃片的
成本为2x元，米花糖的销售量为3m包，麻花的销售量为2m包，由题意得
2x⋅20%⋅m+30% y⋅3m+20%x⋅2m
=25%，
2mx+3my+2mx
解得3y=4x，
∴y：x=4：3，
故答案为：4：3．
【点睛】此题考查了三元一次方程的实际应用，正确理解题意确定等量关系是解题的关键．
18．（2023·山东·统考中考真题）《九章算术》中有一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，
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不足四、问人数、物价各几何？”题目大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人
出7元，少4元．问有多少人？该物品价值多少元？设有x人，该物品价值y元，根据题意列方程组：
．
【答案】¿
【分析】设有x人，物品价值为y元，根据等量关系“每人出8元，多3元”和“每人出7元，少4元”列
出二元一次方程组即可解答．
【详解】解：设有x人，物品价值为y元，
由题意得：¿．
故答案为：¿．
【点睛】本题主要考查列二元一次方程组．根据题意、正确找到等量关系是解题的关键．
19．（2022·贵州贵阳·统考中考真题）“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的
x y
第八章名为“方程”如： 从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数 ， 的系
x+4 y=23
数与相应的常数项，即可表示方程 ，则 表示的方程是 ．
【答案】x+2y=32
【分析】根据横着的算筹为10，竖放的算筹为1，依次表示x,y的系数与等式后面的数字，即可求解．
x+2y=32
【详解】解： 表示的方程是
故答案为：x+2y=32
【点睛】本题考查了列二元一次方程组，理解题意是解题的关键．
20．（2023·湖南娄底·统考中考真题）若干个同学参加课后社团——舞蹈活动，一次排练中，先到的n个
同学均匀排成一个以O点为圆心，r为半径的圆圈（每个同学对应圆周上一个点），又来了两个同学，先
到的同学都沿各自所在半径往后移a米，再左右调整位置，使这(n+2)个同学之间的距离与原来n个同学
之间的距离（即在圆周上两人之间的圆弧的长）相等．这(n+2)个同学排成圆圈后，又有一个同学要加入
队伍，重复前面的操作，则每人须往后移 米（请用关于a的代数式表示），才能使得这(n+3)个同
学之间的距离与原来n个同学之间的距离相等．
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a
【答案】
2
2πr 2π(r+a) 2r
【分析】由第一次操作可得： = ，则n= ，设第二次操作时每位同学向后移动了x米，可
n n+2 a
2π(r+a) 2π(r+a+x) r+a
得 = ，解得x= ，再代入化简即可．
n+2 n+3 2+n
2πr 2π(r+a)
【详解】解：由第一次操作可得： = ，
n n+2
2r
∴n= ，
a
设第二次操作时每位同学向后移动了x米，则
2π(r+a) 2π(r+a+x)
= ，
n+2 n+3
r+a r+a a(r+a) a
x= = = =
∴ 2+n 2r 2(a+r) 2，
2+
a
a
故答案为：
2
【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，分式的化简，准确的理解题意确定相等关系是解本题的关键．
21．（2023·辽宁大连·统考中考真题）我国的《九章算术》中记载道：“今有共买物，人出八，盈三；人
出七，不足四．问有几人．”大意是：今有人合伙购物，每人出8元钱，会多3钱；每人出7元钱，又差4
钱，问人数有多少．设有x人，则可列方程为： ．
【答案】8x−3=7x+4
【分析】设有x人，每人出8元钱，会多3钱，则物品的钱数为：(8x−3)元，每人出7元钱，又差4钱，
则物品的钱数为：(7x+4)元，根据题意列出一元一次方程即可求解．
【详解】设有x人，每人出8元钱，会多3钱，则物品的钱数为：(8x−3)元，每人出7元钱，又差4钱，
则物品的钱数为：(7x+4)元，
则可列方程为：8x−3=7x+4
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故答案为：8x−3=7x+4．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出一元一次方程是解题的关键．
22．（2023·湖南怀化·统考中考真题）定义新运算：(a,b)⋅(c,d)=ac+bd，其中a，b，c，d为实数．
例如：(1,2)⋅(3,4)=1×3+2×4=11．如果(2x,3)⋅(3,−1)=3，那么x= ．
【答案】1
【分析】根据新定义列出一元一次方程，解方程即可求解．
【详解】解：∵(2x,3)⋅(3,−1)=3
∴2x×3+3×(−1)=3
即6x=6
解得：x=1
故答案为：1．
【点睛】本题考查了新定义运算，解一元一次方程，根据题意列出方程解题的关键．
23．（2023·浙江·统考中考真题）古代中国的数学专著《九章算术》中有一题：“今有生丝三十斤，干之，
耗三斤十二两．今有干丝一十二斤，问生丝几何？”意思是：“今有生丝30斤，干燥后耗损3斤12两（古
代中国1斤等于16两）．今有干丝12斤，问原有生丝多少？”则原有生丝为 斤．
96
【答案】
7
【分析】设原有生丝x斤，根据题意列出方程，解方程即可求解．
【详解】解：设原有生丝x斤，依题意，
30 x
=
12 12
30−3
16
96
解得：x= ，
7
96
故答案为： ．
7
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程解题的关键．
7x 4x−1
24．（2023·浙江衢州·统考中考真题）小红在解方程 = +1时，第一步出现了错误：
3 6
(1)请在相应的方框内用横线划出小红的错误处；
(2)写出你的解答过程．
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【答案】(1)划线见解析
1
(2)x= ，过程见解析
2
【分析】（1）根据解一元一次方程去分母的过程，即可解答；
（2）根据解一元一次方程的步骤，计算即可．
【详解】（1）解：划线如图所示：
7x 4x−1
（2）解： = +1，
3 6
2×7x=4x−1+6，
2×7x−4x=−1+6，
10x=5，
1
x= ．
2
【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟知解方程的步骤是解题的关键．
25．（2023·山东枣庄·统考中考真题）对于任意实数a，b，定义一种新运算：a※b=¿，例如：
3※1=3−1=2，5※4=5+4−6=3．根据上面的材料，请完成下列问题：
(1)4※3=___________，(−1)※(−3)=___________；
(2)若(3x+2)※(x−1)=5，求x的值．
【答案】(1)1；2；
(2)x=1，
【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；
（2）已知等式利用已知的新定义进行分类讨论并列出方程，再计算求出x的值即可．
【详解】（1）∵4＜3×2，
∴4※3=4+3−6=1，
∵−1＞(−3)×2
∴(−1)※(−3)=−1−(−3)=2；
故答案为：1；2；
（2）若3x+2≥2(x−1)时，即x≥−4时，则
(3x+2)−(x−1)=5，
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解得：x=1，
若3x+2＜2(x−1)时，即x＜−4时，则
(3x+2)+(x−1)−6=5，
5
解得：x= ，不合题意，舍去，
2
∴x=1，
【点睛】此题考查了实数的新定义运算及解一元一次方程，弄清题中的新定义是解本题的关键．
26．（2023·湖南常德·统考中考真题）解方程组：¿
【答案】¿
【分析】方程组利用加减消元法求解即可．
【详解】解：将①×2得：2x−4 y=2③
②+③得：x=5
将x=5代入①得：y=2
所以¿是原方程组的解．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法
消去一个未知数．
27．（2023·北京·统考中考真题）对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分
别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是6:4，左、右边的宽相
1
等，均为天头长与地头长的和的 ．某人要装裱一幅对联，对联的长为100cm，宽为27cm．若要求装裱
10
后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长．（书法作品选自《启功法书》）
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【答案】边的宽为4cm，天头长为24cm
2 1 ( 2 ) 1
【分析】设天头长为xcm，则地头长为 xcm，边的宽为 x+ x cm= xcm，再分别表示础装裱后
3 10 3 6
的长和宽，根据装裱后的长是装裱后的宽的4倍列方程求解即可．
【详解】解：设天头长为xcm，
2
由题意天头长与地头长的比是6:4，可知地头长为 xcm，
3
1 ( 2 ) 1
边的宽为 x+ x cm= xcm，
10 3 6
(2 ) (5 )
装裱后的长为 x+x+100 cm= x+100 cm，
3 3
(1 1 ) (1 )
装裱后的宽为 x+ x+27 cm= x+27 cm，
6 6 3
5 (1 )
由题意可得： x+100= x+27 ×4
3 3
解得x=24，
1
∴ x=4，
6
答：边的宽为4cm，天头长为24cm．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，题中的数量关系较为复杂，需要合理设未知数，找准数量关系．
28．（2023·河北·统考中考真题）某磁性飞镖游戏的靶盘如图．珍珍玩了两局，每局投10次飞镖，若投到
边界则不计入次数，需重新投，计分规则如下：
投中位置 A区 B区 脱靶
一次计分
3 1 −2
（分）
在第一局中，珍珍投中A区4次，B区2次，脱靶4次．
(1)求珍珍第一局的得分；
(2)第二局，珍珍投中A区k次，B区3次，其余全部脱靶．若本局得分比第一局提高了13分，求k的值．
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【答案】(1)珍珍第一局的得分为6分；
(2)k=6．
【分析】（1）根据题意列式计算即可求解；
（2）根据题意列一元一次方程即可求解.
【详解】（1）解：由题意得4×3+2×1+4×(−2)=6(分)，
答：珍珍第一局的得分为6分；
（2）解：由题意得3k+3×1+(10−k−3)×(−2)=6+13，
解得：k=6．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合
适的等量关系，列出方程，再求解．
29．（2023·吉林·统考中考真题）2022年12月28日查干湖冬捕活动后，某商家销售A，B两种查干湖野生
鱼，如果购买1箱A种鱼和2箱B种鱼需花费1300元：如果购买2箱A种鱼和3箱B种鱼需花费2300元．
分别求每箱A种鱼和每箱B种鱼的价格．
【答案】每箱A种鱼的价格是700元，每箱B种鱼的价格是300元．
【分析】设每箱A种鱼的价格是x元，每箱B种鱼的价格是y元，根据题意建立方程组，解方程组即可得．
【详解】解：设每箱A种鱼的价格是x元，每箱B种鱼的价格是y元，
由题意得：¿，
解得¿，
答：每箱A种鱼的价格是700元，每箱B种鱼的价格是300元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用用，正确建立方程组是解题关键．
30．（2023·湖南张家界·统考中考真题）为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，原计划
租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰
好坐满．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表所示：
甲型客车 乙型客车
载客量（人/辆） 45 60
租金（元/辆） 200 300
(1)参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？
(2)若租用同一种客车，要使每位师生都有座位，应该怎样租用才合算？
【答案】(1)参加此次研学活动的师生有600人，原计划租用45座客车13辆
(2)租14辆45座客车较合算
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【分析】（1）设参加此次研学活动的师生有x人，原计划租用45座客车y辆，根据题意列出二元一次方
程组求解即可；
（2）由（1）结论求出所需费用比较即可．
【详解】（1）解：设参加此次研学活动的师生有x人，原计划租用45座客车y辆
依题意得¿
解得：¿，
答：参加此次研学活动的师生有600人，原计划租用45座客车13辆；
（2）∵要使每位师生都有座位，
∴租45座客车14辆，则租60座客车10辆，
14×200=2800，10×300=3000，
∵2800<3000
∴租14辆45座客车较合算．
【点睛】题目主要考查二元一次方程组的应用及有理数乘法的应用，理解题意是解题关键．
31．（2023·安徽·统考中考真题）根据经营情况，公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整：
甲地上涨10%，乙地降价5元，已知销售单价调整前甲地比乙地少10元，调整后甲地比乙地少1元，求调整
前甲、乙两地该商品的销售单价．
【答案】调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为40,50元
【分析】设调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为x,y元，根据题意，列出二元一次方程组，解方程
组即可求解．
【详解】解：设调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为x,y元，根据题意得，
¿
解得：¿
答：调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为40,50元
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出二元一次方程组是解题的关键．
1．（2023·重庆·统考中考真题）如果一个四位自然数abcd的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足
ab−bc=cd，那么称这个四位数为“递减数”．例如：四位数4129，∵41−12=29，∴4129是“递减
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数”；又如：四位数5324，∵53−32=21≠24，∴5324不是“递减数”．若一个“递减数”为a312，则
这个数为 ；若一个“递减数”的前三个数字组成的三位数abc与后三个数字组成的三位数bcd
的和能被9整除，则满足条件的数的最大值是 ．
【答案】 4312 8165
【分析】根据递减数的定义进行求解即可．
【详解】解：∵ a312是递减数，
∴10a+3−31=12，
∴a=4，
∴这个数为4312；
故答案为：4312
∵一个“递减数”的前三个数字组成的三位数abc与后三个数字组成的三位数bcd的和能被9整除，
∴10a+b−10b−c=10c+d，
∵abc+bcd=100a+10b+c+100b+10c+d，
∴abc+bcd=100a+10b+c+100b+10a+b−10b−c=110a+101b，
∵110a+101b=99(a+b)+11a+2b，能被9整除，
∴11a+2b能被9整除，
∵各数位上的数字互不相等且均不为0，
∴¿，
∵最大的递减数，
∴a=8,b=1，
∴10×8−9×1−c=10c+d，即：11c+d=71，
∴c最大取6，此时d=5，
∴这个最大的递减数为8165．
故答案为：8165．
【点睛】本题考查一元一次方程和二元一次方程的应用．理解并掌握递减数的定义，是解题的关键．
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