文档内容
专题 01 一次方程（组）及其应用
模块一 考点类型
模块二 知识点一遍过
（一）等式的性质
（1）性质1：等式两边加或减同一个数或同一个整式所得结果仍是等式.即若a＝b，则a±c＝b ± c
.
（2）性质2：等式两边同乘（或除）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式.即若a＝b，则
ac＝bc， (c≠0)．
（3）性质3：（对称性）若a=b,则b=a.
（4）性质4：（传递性）若a=b,b=c,则a=c.
（二）方程的概念
（1）方程：含有未知数的等式叫做方程：使方程左右两边值相等的未知数的值叫做方程的解，方程
的解也叫它的根：求方程解的过程叫做解方程。
（2）一元一次方程：只含有1个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程：它的一般形式为
ax+b=0(a≠0)．其解为x＝ ．
（3）二元一次方程（组）：
①二元一次方程：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，这样的整式方程叫做二元一次
方程．一般形式：ax＋by＝c(a≠0，b≠0)．
②二元一次方程组：具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组．
③二元一次方程的解：适合一个二元一次方程的未知数的值叫做这个二元一次方程
的一个解，一个二元一次方程有无数多个解．
④二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．
（三）解一元一次方程
（1）一般步骤：①去分母：②去括号：③移项：④合并同类项：⑤系数化为1．（2）理论根据和注意点
①去分母→根据等式性质2→注意点：勿漏乘不含分母的项，分子是两项以上的代数式须加上括号；
②去括号→根据去括号法则（分配律）→注意点：一是勿漏乘括号内每一项；二是括号前是“－”，
括号内各项都要变号；
③移项→根据移项法则（等式性质1）→注意点：一是移项要变号，二是勿漏项；
④合并同类项→根据合并同类项法则→注意点：系数相加，字母及它的指数不变
（四）解二元一次方程组
解二元一次方程组的基本思想是消元，即化二元一次方程组为一元一次方程，主要方法有代入消元
法和加减消元法．
（五）一次方程（组）的应用
步骤：设（未知数）→列（方程）→解（方程）→答（作答）
关键点：确认等量关系；常见的等量关系：
①行程问题基本等量关系：
路程=时间×速度；时间=路程÷速度；速度=路程÷时间。
顺行：顺行速度＝自身速度＋风速（水速）；逆行速度＝自身速度－风速（水速）
②工程问题：
工作总量=工作时间×工作效率。
③配套问题：
实际生产比＝配套比。
④商品销售问题：
利润＝售价－成本；售价＝标价×0.1折扣；利润率＝利润÷进价×100%
总利润＝单利润×数量
现单利润＝原单利润＋涨价部分（－降价部分）
现数量＝原数量－ （原数量＋ ）
⑤数字问题：一个十位数可表示为：10×十位上的数字＋个位上的数字；一个百位数可表示为：
100×百位上的数字＋10×十位上的数字＋个位上的数字。以此类推。
⑥平均增长率（下降率）问题：计算公式：原数×（1＋增长率）＝总数，
原数×（1－下降率）＝总数。
模块三 考点一遍过
考点1：方程的解
x
典例1：如果x=−8是方程3x+8= −a的解，则a的值为（ ）．
4A．−14 B．14 C．30 D．−30
【变式1】已知关于x的方程3x−7=2x+a的解与方程4x+2=7−x的解相同，则a的值为 ．
【变式2】我们规定关于x的一元一次方程ax=b的解为x=b−a，则称该方程是“差解方程”，例
如：3x=4.5的解为x=4.5−3=1.5，则方程3x=4.5就是“差解方程”，请根据上述规定解答下列
问题：
（1）已知关于x的一元一次方程6x=m是“差解方程”，则m= ．
（2）已知关于x的一元一次方程：5x=mn−m和−3x=mn−n都是“差解方程”，则代数式
4(mn−m)−16(mn−n) 2= ．
【变式3】若关于x的一元一次方程ax=b的解为x=b−a；则称该方程为“奇异方程”，例如：
2x=4的解为x=4−2，则该方程2x=4是“奇异方程”已知关于x的一元一次方程3x=m+5是奇
异方程，则m的值为 ．
【变式4】小丽同学在做作业时，不小心将方程2(x−3)−■=x+1中的一个常数污染了，在询问老
师后、老师告诉她方程的解是x=8，请问这个被污染的常数■是 （ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
1
【变式5】如果方程−m(x−1)=1−3x的解为x= ，那么关于y的方程m(y+5)=2m−(2y−1)
2
的解为（ ）
A．y=4 B．y=3 C．y=2 D．y=1
考点2：等式的性质
典例2：下列变形错误的是（ ）
A．若a=b，则ac2=bc2 B．若ac2=bc2，则a=b
a b
C．若a=b，则1−3a=1−3b D．若 = ，则a=b
c2 c2
x y
【变式1】有下列变形：①若x= y，则mx=my；②若x= y，则 = ；③若ax=ay，则x= y；④
c c
x y
若 = ，则x= y．其中变形正确的是 ．（请填写序号）
c c
【变式2】下列各变形中：
x y
①由x= y，可得到后 = ；
a a
②由x+3= y+3，可得到x= y；
x y
③由 = ，可得到x= y；
a ax 2x−1 10x 20x−10
④由 − =5，可得到 − =50．其中一定正确的有 （填序号）．
0.3 0.7 3 7
【变式3】下列等式变形：①若a=b，则a+x=b+x；②若ac=bc，则a=b；③若4a=3b，则
a 3 2x 3 y
4a−3b=1；④若 = ，则4a=3b；⑤若 = ，则2x=3 y．其中一定正确的是 （填
b 4 m m
序号）．
【变式4】下列等式变形正确的是（ ）
A．若3x+2=2x−2，则x=0
x x−1
B．若 + =1，则2x+3(x−1)=1
3 2
C．若5x−6=2x+8，则5x+2x=8+6
0.04x+0.22 0.5−0.2x 4x+22 5−2x
D．若 − =0.2，则 − =0.2
0.05 0.3 5 3
b a a b
【变式5】下列结论：①若a+b=0，a≠b，则 (a+2)+ (b−3)=1；②若a=b，则 +1= +1；
a b c2 c2
③若x10），请用含a的代数式表示应收水费 元．
(3)该户居民4、5两个月共用水15立方米（5月份的用水量超过了4月份的用水量），两个月共交水
费44元，求该户居民4、5月份各用多少立方米？
【变式6】小颖同学在学习了方程的内容后，用学习方程时积累的经验解决我国古代数学著作《九
章算术》中的“燕雀问题”：“五只雀六只燕，共重十六两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问雀燕各几两？”．尝试解决：
(1)用表格梳理出数量关系如下：
每只重量（两） 数量（只） 总重量（两）
雀 5
燕 6
相互关系 互换1只一样重 共16
每只重量×只数=总重量．
(2)设未知数，并用含有未知数的代数式表示其他量；
(3)列方程(组)：
从表格中她发现有4个未知量，分别是：雀、燕每只的重量；5只雀、6只燕的重量．
①尝试设一个未知数解决．
如果设每只雀重量x两，则5只雀的总重量为_____两，6只燕的总重量为_____两，每只燕的重量为
_____两，连接已知量和未知量的相等关系是“互换1只一样重”，于是列方程为_____．同样也可
设5只雀的总重量(略)；
②尝试设两个未知数解决，
如果设每只雀重量为x两，每只燕重量为y两，连接已知量和未知量的相等关系是“五只雀六只燕，
共重十六两”、“互换1只一样重”可列方程组为 ，同样也可设5只雀、6只燕的总重量(略)；
反思提炼：
经过上面的几个步骤可以将实际问题变成一个方程问题，这种思想方法在数学中通常称为数学建模．
从以上探究可以看出，对于“燕雀问题”列一元一次方程解决比较复杂，因此_______是解决含有多
个未知数问题的重要工具．
每只重量（两） 数量（只） 总重量（两）
雀 x 5 5x
16−5x
燕 6 16−5x
6
相互关系 互换1只一样重 共16【变式7】在月历中有许多奥秘，图1是某月的月历，请仔细观察并思考下列问题：
(1)我们用如图所示的“Z”字型框架任意框住月历中的5个数（如图1中的阴影部分），探究“Z”
字型框架中的五个数的和与C位上的数的关系．
例如：5+6+13+20+21=________，2+3+10+17+18=________；
不难发现，其结果都等于________；
(2)设“Z”字型框架中位置C上的数为x，请利用整式的运算对（1）中的规律加以说明；
(3)在某月历中，“Z”字型框架框住的5个位置上的数，如果最小数与最大数的和为40，那么中间
C位上的数c=________．
【变式8】一列火车匀速行驶，经过一条长300m的隧道需要20s的时间．隧道的顶上有一盏灯，垂
直向下发光，灯光照在火车上的时间是10s．设火车长xm，解答下列问题．
(1)从车头经过灯下到车尾经过灯下，火车所走的路程是______m，这段时间内火车的速度是______
m/s．（用含x的代数式表示）
(2)从车头进入隧道到车尾离开隧道，火车所走的路程是______m，这段时间内火车的速度是______
m/s．（用含x的代数式表示）
(3)求这列火车的长度．
【变式9】综合与实践：砂糖桔是广西某县传统特产，具有皮薄，汁多，化渣，味清甜，吃后沁心
润喉，是老少皆宜的美味佳品．请阅读以下材料，完成学习任务：请同学们根据材料一、材料二提
供的信息完成3个任务：
材料一：某县批发市场计划运输一批砂糖橘到甲地出售，为保证砂糖桔新鲜需用带冷柜的货车运
输．现有A，B两种型号的冷柜车，若A型车的平均速度为60千米/小时，B型车的平均速度为75
千米/小时，从某县到甲地B型车比A型车少用2小时．
材料二：已知A型车每辆可运8吨，B型车每辆可运7吨，若单独租用A型车，则恰好装完：若单独
租用相同数量的B型车，则还剩4吨砂糖桔没有装上车．
材料三：在材料一与材料二的条件下，冷柜车运完砂糖桔从某县到甲地时，运输的相关数据如下表
所示：
路费单价 冷柜使用单价
1.5元/（千米
A型冷柜车 B型冷柜车
辆）10元/（小时⋅ 8元/（小时⋅
辆） 辆）
（参考公式：冷柜使用费=冷柜使用单价×使用时间×车辆数目；总费用=路费+冷柜使用费）
(1)请求出A型车从某县到甲地的时间；
(2)问这批砂糖桔共有多少吨？
(3)本次砂糖桔从某县到甲地的运输单独安排A型车或B型车，应该选用哪种车型使得总费用较少？
较少的总费用是多少元？
考点5：方程组的概念
典例5：在下列方程组¿，¿，¿，¿，¿中，是二元一次方程组的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式1】（1）若(a−3)x+ y|a|−2=9是关于x，y的二元一次方程，则a的值是 ；
（2）若方程组¿是关于x，y的二元一次方程组，则ab的值是 ．
【变式2】观察所给的4个方程组：①¿；②¿；③¿；④¿，其中，符合二元一次方程组定义的是
（写出所有正确的序号）．
【变式3】下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A．¿ B．¿
C．¿ D．¿
考点6：解二元一次方程组
典例6：解方程组：
(1)¿；
(2)¿．
【变式1】解方程组
(1)¿；
(2)¿．
【变式2】解方程组：
(1)¿
(2)¿
【变式3】解下列方程（组）：
x−3 3x+1
(1) −0.7= ；
5 2
(2)¿
(3)¿
【变式4】解二元一次方程组：(1)¿
(2)¿
【变式5】解方程组
(1)¿；
(2)¿．
考点7：一次方程组的实际应用
典例7：某汽车公司有甲、乙两种货车可供租用，现有一批货物要运往某地，货主准备租用该公司
货车，已知甲、乙两种货车运货情况如表：
第一
第二次
次
甲种货车（辆） 2 5
乙种货车（辆） 3 6
累计运货（吨） 13 28
(1)甲、乙两种货车每辆可装多少吨货物？
(2)若某货主共有20吨货物，计划租用该公司的货车，正好（每辆货车都满载）把这批货物运完，请
你写出所有租车方案
(3)王先生要租用该公司的甲、乙两种货车送一批货，如果租用甲种货车数量比乙种货车数量多1辆，
而乙种货车每辆的运费时甲种货车的1.4倍，结果甲种货车共付运费800元，乙种货车共付运费980
元，试求此次甲、乙两种货车每辆各需运费多少元？
青藏铁路全线有一座大桥—拉萨河大桥全长920多米，其中主桥长800米，小明在去年暑假乘T22
次列车从北京到拉萨游玩，小明为了探究T22次列车的长度与速度，记录了以下两个数据：
（1）火车完全在主桥上的时间为35秒．
（2）火车上主桥到完全通过主桥用了45秒．
知道这两个数据后，小明就会算出了T22次列车的长度与速度吗？
【变式2】为打造集休闲娱乐、健身运动、观光旅游、体验自然等于一体的多功能活动区域．深圳
湾公园海滨步道现有一段长350米的河边道路需整治，任务由A，B两个工程队先后接力完成，A工
程队每天整治15米，B工程队每天整治10米，共用时30天．
根据题意，甲、乙两位同学分别列出了如下不完整的方程组：
甲：¿乙：¿
从甲、乙两位同学所列方程组中任选一组，补全以下解题过程，并利用此方程组求出A，B两个工
程队分别整治河边道路多少米．
解：选择的方程组为____________（填“甲”或
“乙”）设x为_______________________；
y为_________________________．
【变式3】某厂租用A、B两种型号的车给零售商运送货物，已知用2辆A型车和1辆B型车装满可运
货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨；厂家现有21吨货物需要配送，计划租
用A、B两种型号车6辆一次配送完货物，且A型车至少1辆．根据以上信息，解答下列问题：
(1)1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？
(2)请你帮助厂家设计租车方案完成一次配送完21吨货物；
(3)若A型车每辆需租金80元每次，B型车每辆需租金100元每次．请选出最省钱的租车方案，并求
出最少租车费．
【变式4】2023年11月底，某网店从甲厂家购进了A，B两种商品，A种商品每件进价40元，B种
商品每件进价10元，两种商品共购进了500件，所用资金为11000元．
(1)求11月底A、B两种商品各购进了多少件？
(2)2024年1月份，甲厂家决定薄利多销，提出了优惠方案，同样生产A，B两种商品的乙厂家也提
出了优惠方案．
甲厂家优惠方案：
购买总金额 优惠
未超过2000元 不打折
超过2000元，未超过5000元 全部打九折
超过5000元 全部打八折
乙厂家优惠方案：
购买A种商品的总件数 购买B种商品的总件数 优惠
未超过50件 未超过200件 打九折
超过50件，未超过130件的部分 超过200件，未超过400件的部分 打八折
超过130件的部分 超过400件的部分 打七折
1月份，该网店从甲厂家分两次分别购进A，B两种商品，进价与11月份相同，按照甲厂家优惠方
案，第一次全部购进A种商品实际付款4320元，第二次全部购进B两种商品实际付款3690元．已知
从乙厂家购买A种商品每件进价34元，购买B种商品每件进价12元，若网店从乙厂家购买与甲厂家
数量分别相同的A，B两种商品，并享受乙家的优惠方案，那么相较于从甲厂家购买，该网店实际
付款金额是节省还是多花费，节省或多花费多少元？
【变式5】现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图2时，中间留下了一个边长为2的小正方形，求每个小长方形的面积．
小明设小长方形的长为x，宽为y，观察图形得出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值，再
根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积．
(1)请按照小明的思路完成上述问题：求每个小长方形的面积；
(2)某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示．若小
明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是______cm；
(3)拓展学习：如图4，是由7块颜色不同的正方形组成的长方形，已知中间小正方形A的边长为1，
求这个长方形的面积．
【变式1】
【变式6】2023年5月20日是第34个中国学生营养日．某营养餐公司为学生提供的480克早餐食品
中，蛋白质总含量为8%．包括一份牛奶，一份谷物食品和一个鸡蛋（一个鸡蛋的质量约为60g，蛋
白质含量占15%，谷物食品和牛奶的部分营养成分如表所示）．
表1：
谷物食品
项目 每100克（g）
2215千焦（kJ
能量
）
蛋白质 9.0克（g）
脂肪 32.4克（g）
碳水化合
50.8克（g）
物
钠 280毫克（mg）
表2：
牛奶
项目 每100克（g）
能量 261千焦（kJ）
蛋白质 3.0克（g）脂肪 3.6克（g）
碳水化合
4.5克（g）
物
钙 100毫克（mg）
(1)设该份早餐中谷物食品为x克，牛奶为y克，请写出谷物食品中所含的蛋白质为 克，牛奶中所含
的蛋白质为 克．（用含有x，y的式子表示）
(2)求出x，y的值分别为 ．
(3)该公司为学校提供的午餐有A，B两种套餐（每天只提供一种）：
肉类
套餐 主食（克） 其它（克）
（克）
A 150 85 165
B 180 60 160
为了膳食平衡，建议合理控制学生的主食摄入量．如果在一周里，学生午餐主食摄入总量不超过
830克，那么该校在一周里可以选择A，B套餐各几天？写出所有的方案．（说明：一周按5天计
算）
方案 A套餐 B套餐
方案1 3天 2天
方案2 4天 1天
方案3 5天 0天
【变式7】电影《刘三姐》中，有这样一个场景，罗秀才摇头晃脑地吟唱道：“三百条狗交给你，
一少三多四下分，不要双数要单数，看你怎样分得匀？”该歌词表达的是一道数学题．其大意是：
把300条狗分成4群，每个群里，狗的数量都是奇数，其中一个群，狗的数量少：另外三个群，狗
的数量多且数量相同．问：应该如何分？请你根据题意解答下列问题：
(1)刘三姐的姐妹们以对歌的形式给出答案：“九十九条打猎去，九十九条看羊来，九十九条守门口，
剩下三条给财主．”根据以上信息，判断以下说法是否正确，在题后相应的横线上，正确的打
“√”，错误的打“×”
该歌词表达的数学题的正确答案有无数多种．__________
请你仿照这种形式，写出你认为正确的对歌答案：“__________条打猎去，__________条看羊来，
__________条守门口，剩下__________给财主．”
(2)若罗秀才再增加一个条件：“数量多且数量相同的三个群里，每个群里狗的数量比数量较少的那
个群里狗的数量多40条”，求每个群里狗的数量．【变式8】2024巴黎奥运会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款奥运会纪念品，进货价和销售价
如下表：（注：利润=销售价−进货价）
类别 A款纪念 B款纪念
价格 品 品
进货价（元/件） 30 25
销售价（元/件） 45 38
(1)网店第一次1400元购进A、B两款纪念品共50件，求两款纪念品分别购进的件数；
(2)第一次购进的纪念品售完后，该网店计划再次购进A、B两款纪念品共90件（进货价和销售价都
不变），且进货总价不高于2600元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润
是多少？
(3)奥运会临近结束时，网店打算把B款纪念品调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售4件．
经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，为了尽快减少库存，将销售价定为每件多少元时，
才能使B款纪念品平均每天销售利润为108元？
【变式9】2018年2月28日，聊城市委、市政府召开创建全国文明城市暨迎接国家卫生城市复审动
员大会，号召全市上下迅速行动起来，力争2020年成功创建全国文明城市．某校也掀起了绿化热潮，
该校计划购进A，B两种树木共100棵进行校园绿化升级，经市场调查：购买A种树木2棵，B种树
木5棵，共需600元；购买A种树木3棵，B种树木1棵，共需380元．
(1)求A种，B种树木每棵各多少元？
(2)因布局需要，购买A种树木的数量不少于B种树木数量的3倍．A种树木最少购买多少棵？
(3)在（2）的条件下，学校与中标公司签订的合同中规定：在市场价格不变的情况下（不考虑其他
因素），实际付款总金额按市场价九折优惠，请设计一种购买树木的方案，使实际所花费用最省，
并求出最省的费用．
考点8：方程组的应用——错解问题
典例8：甲乙两位同学在解同一个关于x，y的二元一次方程组¿时，甲看错了②中的b解得¿，乙看
错了①中的a解得¿．请回答：
(1)求a，b的值；
(2)求该二元一次方程组正确的解．
【变式1】在解方程组¿时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为¿，乙看错了方程组中的b，
而得解为¿，根据上面的信息解答∶
(1)甲把a看成了什么数，乙把b看成了什么数？
(2)求出正确的a，b的值；
(3)求出原方程组的正确解．【变式2】如图，小红和小明两人共同解方程组
¿
根据以上他们的对话内容，请你求出a,b的正确值，并计算a2018+ ( − 1 b ) 2017 的值．
10
【变式3】甲、乙两人同时解方程组¿，甲解题看错了①中的m，解得¿，乙解题时看错②中的n，解
得¿
(1)甲把m错看成了什么？乙把n错看成了什么？
(2)试求原方程组的解．
【变式4】（1）已知关于x，y的方程组¿与¿有相同的解，求方程组的解及a，b的值．
（2）已知¿是一个被墨水污染的方程组．这个方程组的解与方程组¿的解相同；因为看错了第二个方
程中的x的系数■，求出的解是¿，请你根据以上信息，把方程组复原出来．
【变式5】小明和小文同解一个二元一次方程组¿，小明把方程①抄错，求得的解为¿，小文把方程
②抄错，求得的解为¿．
(1)求原方程组中a，b的值；
(2)求原方程组的解．
考点9：方程组的应用——含参问题
典例9：已知关于x，y的方程满足方程组¿，
(1)若x−y=2，求m的值；
(2)若x，y，m均为非负数，求m的取值范围，并化简式子|m−3|+|m−5|；
(3)在（2）的条件下求s=2x−3 y+m的最小值及最大值．
【变式1】已知关于x，y方程组¿的解满足3 y−x<15．
(1)求a的取值范围；
(2)在（1）的条件下，是否存在整数a，使不等式(2a+1)x>2a+1的解集为x<1．若存在，求a的
值；若不存在，说明理由．
【变式2】已知关于x，y的方程组¿
(1)若方程组的解满足x+ y=0，求m的值；
(2)无论实数m取何值，方程x−2y+mx+4m=0总有一个固定的解，请求出这个解？(3)若方程组的解中x为整数，且m是自然数，求m的值．
【变式3】已知关于x、y的方程组¿．
(1)若方程组的解满足x−y=−1，求m的值；
(2)若x、y、m都是非负数，且n=2x+3 y−m，求n的取值范围；
(3)无论有理数m取何值，关于x、y的方程2x+ y−mx+m=0总有一个固定的解，请直接写出这个
固定解．
【变式4】对于未知数x，y的二元一次方程组，如果方程组的解x，y满足|x−y|=1，我们就说方
程组的解x与y具有“邻好关系”．
(1)方程组¿，的解x与y是否具有“邻好关系”？说明你的理由；
(2)若方程组¿的解x与y具有“邻好关系”，求m的值；
(3)未知数为x，y的方程组¿，其中a与x，y都是正整数，则该方程组的解x与y是否具有“邻好关
系”？如果具有，请求出a的值；如果不具有，请说明理由．
【变式5】请阅读求绝对值不等式|x|＜3和|x|＞3的解集过程．对于绝对值不等式|x|＜3，从图1
的数轴上看：大于−3而小于3的绝对值是小于3的，所以|x|＜3的解集为−3＜x＜3；对于绝对值
不等式|x|＞3，从图2的数轴上看：小于−3而大于3的绝对值是大于3的，所以|x|＞3的解集为
x＜−3或x＞3．
(1)解绝对值不等式|2x−5|>3的解集．
(2)已知关于x，y的二元一次方程组¿的解满足|x+ y|≤3，其中m是负整数，求m的值．
