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第4课时 代数式与整式
1.(2024·石家庄模拟)下列选项中的量不能用“8m”表示的是 ( )
A.长为m厘米,宽为8厘米的矩形的面积
B.8件单价为m元的同款外衣的总价
C.一台每天能生产m个零件的机器,工作8天生产的零件总量
D.十位数字为8,个位数字为m的两位数
2.化简-2(1 ) 的结果是 ( )
x-1
2
A.-x-1 B.-x+1 C.-x-2 D.-x+2
3.x7可以表示为 ( )
A.x3+x4 B.(x3)4 C.x9-x2 D.x3·x4
4.(2024·沧州孟村县模拟)如图,嘉嘉和淇淇在做数学游戏,设淇淇想的数是x,嘉嘉猜中的结果是y,
则y= ( )
淇淇,你在心里想一 把想好的这个数减去 4,把所得的差乘2,然后 无论你心里想的是几,我都
个数,不说出来. 加7,最后减去所想数的2倍,得到一个结果. 能猜中刚才的结果.
A.1 B.-1 C.3 D.4x+3
5.(2024·石家庄模拟)若2a+3b=4,则整式-2a-3b+7的值是 ( )
A.-3 B.3 C.5 D.11
6.将2 024×2 026变形正确的是 ( )
A.2 0252-1 B.2 0252+1
C.2 0252+2×2 025+1 D.2 0252-2×2 025+1
7.(2024·邢台威县模拟)x表示一个两位数,把6写到x的右边组成一个三位数,则表示这个三位数
的式子是 ( )
A.6x B.10x+6
C.100x+6 D.600+x
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8.(2024·广西)如果a+b=3,ab=1,那么a3b+2a2b2+ab3的值为 ( )
A.0 B.1 C.4 D.9
9.当n为正整数时,代数式(2n+1)2-(2n-1)2一定是下面哪个数的倍数 ( )
A.3 B.5 C.7 D.8
10.若⏟23+23+23+…+23
=2m(k>1,k,m都为正整数),则m的最小值为 ( )
k个23
A.3 B.4 C.6 D.9
11.(2024·邯郸模拟)已知M=2x2+1,N=x2-1,则下列说法正确的是 ( )
A.M>N
B.M<N
C.M、N可能相等
D.M、N的大小不能确定
12.幂的乘方运算、法则推导过程如下:
(am)n=⏟am·am·…·am (第一步)
n个
n个
= (第二步)
⏞ am+m+…+m
=amn(第三步)
甲:第一步的依据是乘方的意义;乙:第二步的依据是同底数幂的乘法法则;丙:第三步的依据是乘
法的意义.下列判断正确的是 ( )
A.甲、乙、丙都对 B.甲、乙、丙都错
C.只有丙错 D.只有乙错
13.单项式-2a2b的次数是 .
14.因式分解:2x2-8= .
15.(2024·通辽)分解因式:3ax2-6axy+3ay2= .
16.(2024·迁安二模)已知am·a2=an,若n=-1,则m= .
17.(2024·凉山州)已知a2-b2=12,且a-b=-2,则a+b= .
18.若一个多项式加上y2+3xy-4,结果是3xy+2y2-5,则这个多项式为 .
19.观察a,a2,a3,a4,…,根据这些式子的变化规律,可得第100个式子为 .
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20.如图是由火柴棒摆成的图案,按此规律摆放,第(7)个图案中有 根火柴棒.
1
21.(2024·济宁)先化简,再求值:x(y-4x)+(2x+y)(2x-y),其中x= ,y=2.
2
22.(2024·秦皇岛山海关区一模)如图,A,B,C三个小桶中分别盛有2个、11个、3个小球,将B小桶
中部分小球转移到A,C两个小桶中,数量如图所示.
(1)求转移后A,C两个小桶的小球的数量和(用含m的代数式表示).
(2)若转移后A,C两个小桶的小球的数量和与 B小桶中剩余小球的数量相同,求转移后C小桶的
小球的数量.
23.发现:数轴上从左至右排列的三个数,若每相邻的两个数相差为1,则中间的数的平方与两边的
数的积的差为定值.
验证:
(1)22-1×3= ,(3) 2-1×5= ,( )2-( -1)×( +1)= .
√3 √3 √3
2 2 2
探究:
(2)设“发现”中的中间的数为n,请论证“发现”中的结论的正确性.
1.(2024·邯郸模拟)如图,边长为a,b的矩形,它的周长为14,面积为10,则(a+1)(b+1)的值为 ( )
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A.20 B.18
C.16 D.14
2.若⏟2×2×…×2=⏟4×4×…×4,则k与m(k,m都为正整数,且k≥2)的关系是 ( )
k个2 m个4
A.k=m B.k=2m C.k+m=6 D.m-k=2
3.(2024·唐山二模)一个正两位数M,它的个位数字是a,十位数字是a+1,把M的十位上的数字与个
位上的数字交换位置得到新两位数N,则M+N的值总能 ( )
A.被3整除 B.被9整除 C.被10整除 D.被11整除
4.(2024·石家庄模拟)下列各图中,能直观解释“(3a)2=9a2”的是 ( )
A B C D
5.若3m=6,9n=16,则m n(填“>”“<”或“=”),32m-n的值等于 .
6.(2024·廊坊安次区二模)图1、图2均由边长为1的小正方形按照一定的规律排列而组成的.
图1 图2
设图1中第n(n>1)个图形的小正方形的个数为 t ,图2中第n(n>1)个图形的小正方形的个数为 t
甲
.
乙
(1)请用含n(n>1)的代数式表示t 、t ,并求n=6时,t +t 的值.
甲 乙 甲 乙
(2)比较t 和t 的大小,并说明理由.
甲 乙
7.如图1,2,约定:上方相邻两代数式之和等于这两代数式下方箭头共同指向的代数式.
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(1)求代数式M.
(2)嘉嘉说,无论x取什么值,M的值一定大于N的值,嘉嘉的说法是否正确?请通过计算说明.
图1 图2
8.我们把1,3,6,10,…这样的数称为“三角形数”,第n个“三角形数”可表示为1+2+3+…+n=
n(n+1)
.
2
淇淇发现:每相邻两个“三角形数”的和有一定的规律,例如:1+3=4;3+6=9;6+10=16……
(1)第6个“三角形数”与第7个“三角形数”的和为 .
(2)根据淇淇的发现,第n个“三角形数”与第(n+1)个“三角形数”的和可用下面等式表示:
+
= ,请补全上述等式并证明它的正确性.
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【详解答案】
基础夯实
1.D 解析:A.矩形的面积为8m cm2,不符合题意;
B.外衣的总价的8m元,不符合题意;
C.生产的零件总量为8m个,不符合题意;
D.十位数字为8,个位数字为m的两位数为80+m,符合题意.故选D.
2.D 解析:-2(1 )=-x+2.故选D.
x-1
2
3.D 解析:A.因为x3与x4不是同类项,所以A选项不能合并,故A选项不符合题意;
B.因为(x3)4=x3×4=x12,x12≠x7,故B选项不符合题意;
C.因为x9与x2不是同类项,所以C选项不能合并,故C选项不符合题意;
D.因为x3·x4=x3+4=x7,故D选项符合题意.故选D.
4.B 解析:根据题意,得2(x-4)+7-2x=2x-8+7-2x=-1,
故y=-1.故选B.
5.B 解析:∵-2a-3b+7=-(2a+3b)+7,
∴当2a+3b=4时,原式=-4+7=3.故选B.
6.A 解析:原式=(2 025-1)×(2 025+1)=2 0252-1.故选A.
7.B 解析:x表示一个两位数,把6写到x的右边组成一个三位数,相当于将x扩大了10倍,
∴表示这个三位数的式子是10x+6.故选B.
8.D 解析:∵a+b=3,ab=1,
∴a3b+2a2b2+ab3=ab(a2+2ab+b2)=ab(a+b)2=1×32=9.故选D.
9.D 解析:(2n+1)2-(2n-1)2
=[(2n+1)-(2n-1)][(2n+1)+(2n-1)]
=8n,
故当n是正整数时,(2n+1)2-(2n-1)2一定是8的倍数.故选D.
10.B
解析:∵⏟23+23+23+…+23
=2m(k>1,k,m都为正整数),
k个23
∴23·k=2m,
则k是可以转为以2为底数的幂的形式的数,
∴k的最小值为2=21,
∴23×2=2m,得m=4,∴m的最小值为4.故选B.
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11.A 解析:∵M-N=2x2+1-(x2-1)=x2+2>0,∴M>N.故选A.
12.A 解析:由推导过程可得:第一步是依据乘方的意义,第二步是依据同底数幂的乘法法则,第三步是依据乘法
的意义,故甲、乙、丙都对.故选A.
13.3 解析:单项式-2a2b的次数是3.
14.2(x+2)(x-2) 解析:2x2-8=2(x2-4)=2(x+2)(x-2).
15.3a(x-y)2 解析:3ax2-6axy+3ay2=3a(x2-2xy+y2)=3a(x-y)2.
16.-3 解析:∵am·a2=an,∴am+2=an,则m+2=n,
∵n=-1,∴m+2=-1,解得m=-3.
17.-6 解析:∵a2-b2=12,∴(a+b)(a-b)=12,
∵a-b=-2,∴a+b=-6.
18.y2-1 解析:3xy+2y2-5-(y2+3xy-4)
=3xy+2y2-5-y2-3xy+4
=y2-1.
19.a100 解析:根据题意可知,有一列按照一定规律排列的单项式:a,a2,a3,a4,…,
∴第100个式子为a100.
20.15 解析:观察图形的变化可知:
摆第(1)个图案要用火柴棒的根数为3=2×1+1;
摆第(2)个图案要用火柴棒的根数为5=3+2=2×2+1;
摆第(3)个图案要用火柴棒的根数为7=3+2+2=2×3+1;
……
则摆第(n)个图案要用火柴棒的根数为2n+1;
故摆第(7)个图案要用火柴棒的根数为2×7+1=15.
21.解:原式=(xy-4x2)+(4x2-y2)
=xy-4x2+4x2-y2
=xy-y2,
1 1
当x= ,y=2时,原式= ×2-22=1-4=-3.
2 2
22.解:(1)转移后A小桶小球的数量为(2+2m)个,转移后C小桶小球的数量为(3+m)个,2+2m+3+m=(3m+5)(个),
所以转移后A,C两个小桶的小球的数量和为(3m+5)个.
(2)转移后B小桶小球的数量为11-2m-m=(11-3m)个,
3m+5=11-3m,解得m=1,
3+m=3+1=4(个),
所以转移后C小桶的小球的数量为4个.
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23.解:(1)1 1 1
(2)证明:依题意,得
n2-(n-1)(n+1)
=n2-(n2-1)
=n2-n2+1
=1,
∴“发现”中的结论正确.
能力提升
1.B 解析:由题意,得2(a+b)=14,ab=10,
∴a+b=7,
∴(a+1)(b+1)=ab+a+b+1=10+7+1=18.故选B.
2.B
解析:∵⏟2×2×…×2=⏟4×4×…×4,
k个2 m个4
∴2k=4m,∴2k=(22)m,∴2k=22m,∴k=2m.故选B.
3.D 解析:由题意,M+N=10(a+1)+a+10a+a+1=10a+10+a+10a+a+1=22a+11=11(2a+1),
∴M+N的值总能被11整除.故选D.
4.D 解析:A表示的面积是3a·a=3a2;B表示的面积是3×3a=9a;C表示的面积是(3×3)×3a=27a;D表示的面积是
(3a)2=9a2.∴A、B、C不符合题意,D符合题意.故选D.
5.> 9 解析:∵3m=6,9n=32n=16,
∴3n=4,∴3m>3n,∴m>n,
32m-n=(3m)2÷3n=62÷4=9.
6.解:(1)由题图1可知,t =2+3(n-1)=3n-1,
甲
由题图2可知,t =n(n+1),
乙
当n=6时,t +t =3n-1+n(n+1)=3×6-1+6×7=59.
甲 乙
(2)t <t .理由如下:
甲 乙
∵n>1,
∴t -t
甲 乙
=3n-1-n(n+1)
=-n2+2n-1
=-(n-1)2<0,
∴t <t .
甲 乙
7.解:(1)由题意得
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M=2x2-5x+1-(x2-3x-2)
=2x2-5x+1-x2+3x+2
=x2-2x+3.
(2)正确,
N=(x-1)(x+1)-2(x+1)+5
=x2-1-2x-2+5
=x2-2x+2,
∴M-N
=x2-2x+3-(x2-2x+2)
=x2-2x+3-x2+2x-2
=1>0,
即M-N>0,
∴M>N.
8.解:(1)49
6×7
解析:第6个“三角形数”是 =21,
2
7×8
第7个“三角形数”是 =28,
2
则21+28=49.
n(n+1) (n+1)(n+2)
(2) (n+1)2
2 2
证明如下:
n2+n+n2+3n+2
左边=
2
2n2+4n+2
=
2
=n2+2n+1
=(n+1)2=右边.
9
