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专题 02 整式及其因式分解
模块一 考点类型
模块二 知识点一遍过
（一）整式的相关概念
（1）单项式：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式，单独一个数或一个字母也叫
单项式，所有字母指数的和叫做单项式的次数，单项式中的数字因数叫做单项式的系数．
（2）多项式：由几个单项式相加组成的代数式叫做多项式，多项式里次数最高的项的次数就是这个
多项式的次数，不含字母的项叫做常数项．
（3）整式：单项式和多项式统称为整式．
（4）同类项：多项式中，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项．
（5）代数式及求值
①概念：用基本运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方等)把数或表示数的字母连接而成的式
子叫代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式；
②列代数式：找出数量关系，用表示数的字母将它数学化的过程；
③代数式的值：用具体数代替代数式中的字母，按运算顺序计算出的结果叫代数式的值；
④代数式求值的步骤：a.代入数值(注意利用整体代入思想，简化运算)；b.计算．
（二）整式运算
（1）整式加减
①合并同类项：①字母和字母的指数不变；②同类项的系数相加减作为新的系数．
②添（去）括号，括号前面是“＋”，把括号去掉，括号里各项符号不变；括号前面是“－”，把
括号去掉，括号里各项加号变减号，减号变 加号 ．
（2）幂的运算法则
①同底数幂相乘：am·an＝am＋n（m，n都是整数，a≠0）．
②幂的乘方：（am）n＝amn（m，n都是整数，a≠0）．
③积的乘方：（ab）n＝an·bn（n是整数，a≠0，b≠0）．
④同底数幂相除：am÷an＝am－n（m，n都是整数，a≠0）．（3）整式乘除
①单项式×单项式：①系数和同底数幂分别相乘；②只有一个字母的照抄．
②单项式×多项式： m(a+b)=ma+mb.
③多项式×多项式: (m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb.
④单项式÷单项式：将系数、同底数幂分别相除.
⑤多项式÷单项式：①多项式的每一项除以单项式；②商相加．
（4）乘法公式
平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2.
完全平方公式的变式：a2+b2=(a±b)2 2ab ab=[(a+b)2－（a2+b2）]÷2
（三）因式分解
（1）提公因式法：mambmc m(a+b+c).
（2）公式法：①平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b);
②完全平方公式：a2+2ab+b2= (a+b ) 2；a2-2ab+b2= (a-b ) 2
（3）分组分解法：通过分组分解的方式来分解提公因式法和公式分解法无法直接分解的因式，分组
方式一般分为“1+3”式分组和“2+2”式分组。
（4）十字相乘法：x2+（p+q）x+pq= (x+p)(x+q )
因式分解的一般步骤：
一“提”（取公因式），二“套”（公式），三“分”（分组），四“查”（检查）
（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式．
（2）如果各项没有公因式，那么尽可能尝试用公式法来分解；
（3）如果项数较多或无法直接分解时，要分组分解．
（4）分解因式必须分解到不能再分解为止．每个因式的内部不再有括号，且同类项合并完毕，若有
相同因式需写成幂的形式.
易错知识辨析：
（1）注意因式分解与整式乘法的区别；
（2）完全平方公式、平方差公式中字母，不仅表示一个数，还可以表示单项式、多项式
模块三 考点一遍过
考点1求代数式的值
典例1：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个
n(n−1)(n−2)⋅⋅⋅(n−m+1)
元素的组合数，用符号Cm 表示，Cm= （n≥m，n、m为正整数）；
n n m(m−1)⋅⋅⋅15×4 8×7×6
例如：C2= ，C3= ，则C4+C5=（
）
5 2×1 8 3×2×1 9 9
A．C6 B．C4 C．C5 D．C6
9 10 10 10
【答案】C
【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、新定义下的实数运算
【分析】根据新定义分别进行计算比较即可得解．
n(n−1)(n−2)⋅⋅⋅(n−m+1)
【详解】解：∵Cm=
，
n m(m−1)⋅⋅⋅1
9×8×7×6 9×8×7×6×5
∴C4+C5= + =126+126=252，
9 9 4×3×2×1 5×4×3×2×1
9×8×7×6×5×4
A选项，C6= =84，
9 6×5×4×3×2×1
10×9×8×7
B选项，C4 = =210，
10 4×3×2×1
10×9×8×7×6
C选项，C5 = =252，
10 5×4×3×2×1
10×9×8×7×6×5
D选项，C6 = =210，
10 6×5×4×3×2×1
故选C．
【点睛】本题考查了新定义运算以及求代数式的值．正确理解新定义是解题的关键．
【变式1】已知(x+2)(x−2)−2x=1，则2x2−4x+3的值为（ ）
A．13 B．8 C．－3 D．5
【答案】A
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、运用平方差公式进行运算
【分析】先化简已知的式子，再整体代入求值即可．
【详解】∵(x+2)(x−2)−2x=1
∴x2−2x=5
∴2x2−4x+3=2(x2−2x)+3=13
故选：A．
【点睛】本题考查平方差公式、代数式求值，利用整体思想是解题的关键．
【变式2】若一元二次方程2x2−4x−1=0的两根为m，n，则3m2−4m+n2的值为 ．
【答案】6
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、通过对完全平方公式变形求值、一元二次方程的解、一
元二次方程的根与系数的关系【分析】本题考查了根与系数的关系及利用完全平方公式求解，若x ,x 是一元二次方程
1 2
b c
ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x +x =− ,x x = ，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是
1 2 a 1 2 a
解题关键．
1
根据根与系数的关系得m+n=2，mn=− ，2m2−4m=1，再把3m2−4m+n2变形为
2
2m2−4m+m2+n2，然后利用整体代入的方法计算，再利用完全平方公式求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程2x2−4x−1=0的两个根为m，n，
1
∴m+n=2，mn=− ，2m2−4m=1
2
∴3m2−4m+n2
=2m2−4m+m2+n2
=m2+n2+1
=(m+n) 2−2mn+1
1
=22−2×(− )+1
2
=6
故答案为：6．
19
【变式3】已知实数m满足m2−3m+1=0，则代数式m2+
的值等于 ．
m2+2
【答案】9
【知识点】分式化简求值、已知式子的值，求代数式的值
【详解】试题解析：∵m2−3m+1=0，
∴m2=3m−1，
19
∴m2+
m2+2
19
=3m−1+
3m−1+2
19
=3m−1+
3m+1
9m2−1+19
=
3m+1
9m2+18
=
3m+1
9(3m−1)+18
=
3m+19(3m+1)
=
3m+1
=9．
故答案为9．
考点2：整式的有关概念
典例2：已知整式M:a xn+a xn−1+⋯+a x+a ，其中n,a ,⋯,a 为自然数，a 为正整数，
n n−1 1 0 n−1 0 n
且n+a +a +⋯+a +a =5．下列说法：
n n−1 1 0
①满足条件的整式M中有5个单项式；
②不存在任何一个n，使得满足条件的整式M有且只有3个；
③满足条件的整式M共有16个．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【知识点】数字类规律探索、单项式规律题、多项式的项、项数或次数
【分析】本题考查的是整式的规律探究，分类讨论思想的应用，由条件可得0≤n≤4，再分类讨论
得到答案即可．
【详解】解：∵n,a ,⋯,a 为自然数，a 为正整数，且n+a +a +⋯+a +a =5，
n−1 0 n n n−1 1 0
∴0≤n≤4，
当n=4时，则4+a +a +a +a +a =5，
4 3 2 1 0
∴a =1，a =a =a =a =0，
4 3 2 1 0
满足条件的整式有x4，
当n=3时，则3+a +a +a +a =5，
3 2 1 0
∴(a ,a ,a ,a )=(2,0,0,0)，(1,1,0,0)，(1,0,1,0)，(1,0,0,1)，
3 2 1 0
满足条件的整式有：2x3，x3+x2，x3+x，x3+1，
当n=2时，则2+a +a +a =5，
2 1 0
∴(a ,a ,a )=(3,0,0)，(2,1,0)，(2,0,1)，(1,2,0)，(1,0,2)，(1,1,1)，
2 1 0
满足条件的整式有：3x2，2x2+x，2x2+1，x2+2x，x2+2，x2+x+1；
当n=1时，则1+a +a =5，
1 0
∴(a ,a )=(4,0)，(3,1)，(1,3)，(2,2)，
1 0
满足条件的整式有：4x，3x+1，x+3，2x+2；
当n=0时，0+a =5，
0满足条件的整式有：5；
∴满足条件的单项式有：x4，2x3，3x2，4x，5，故①符合题意；
不存在任何一个n，使得满足条件的整式M有且只有3个；故②符合题意；
满足条件的整式M共有1+4+6+4+1=16个．故③符合题意；
故选D
【变式1】下列整式中，是二次单项式的是（ ）
A．x2+1 B．xy C．x2y D．−3x
【答案】B
【知识点】单项式的系数、次数、多项式的判断
【分析】根据单项式的定义、单项式次数的定义逐项判断即可得．
【详解】A、x2+1是多项式，此项不符题意；
B、xy是二次单项式，此项符合题意；
C、x2y是三次单项式，此项不符题意；
D、−3x是一次单项式，此项不符题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了单项式，熟记定义是解题关键．
【变式2】按规律排列的单项式：x，−x3，x5，−x7，x9，…，则第20个单项式是 ．
【答案】−x39
【知识点】数字类规律探索、单项式的系数、次数
【分析】观察一列单项式发现偶数个单项式的系数为：−1,奇数个单项式的系数为：1,而单项式的
指数是奇数，从而可得答案．
【详解】解：x，−x3，x5，−x7，x9，…，
由偶数个单项式的系数为：−1, 所以第20个单项式的系数为−1,
第1个指数为：2×1−1,
第2个指数为：2×2−1,
第3个指数为：2×3−1,
······
指数为2×20−1=39,
所以第20个单项式是：−x39.
故答案为：−x39
【点睛】本题考查的是单项式的系数与次数的含义，数字的规律探究，掌握“从具体到一般的探究
方法”是解本题的关键．
【变式3】观察a，a2，a3，a4，…，根据这些式子的变化规律，可得第100个式子为 ．
【答案】a100【知识点】单项式规律题
【分析】此题考查了单项式规律探究．分别找出系数和次数的规律，据此判断出第n个式子是多少
即可．
【详解】解：∵a，a2，a3，a4，…，
∴第n个单项式的系数是1；
∵第1个、第2个、第3个、第4个单项式的次数分别是1、2、3、4，…，
∴第n个式子是an．
∴第100个式子是a100．
故答案为：a100．
考点3：幂的运算
典例3：下列计算正确的是（ ）
A．x2 ⋅x3=x6 B．(x−1) 2=x2−1
C．(x y2) 2 =x2y4 D． ( − 1) −2 =−4
2
【答案】C
【知识点】同底数幂相乘、积的乘方运算、运用完全平方公式进行运算、负整数指数幂
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，完全平方公式，积的乘方，负整数幂，根据相关运算法则逐
个判断即可．
【详解】解：A、x2 ⋅x3=x5，故A不正确，不符合题意；
B、(x−1) 2=x2−2x+1，故B不正确，不符合题意；
C、(x y2) 2 =x2y4，故C正确，符合题意；
( 1) −2
D、 − =4，故D不正确，不符合题意；
2
故选：C．
【变式1】下列计算正确的是（ ）
A．a2+a3=a5 B．a8÷a4=a2 C．a2 ⋅a3=a6 D．(3a2) 3 =27a6
【答案】D
【知识点】合并同类项、同底数幂相乘、积的乘方运算、同底数幂的除法运算
【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项，同底数幂的乘除法则，积的乘方和幂的乘方法则，
逐一进行判断即可．【详解】解：A、a2,a3不能合并，原选项计算错误，不符合题意；
B、a8÷a4=a4，原选项计算错误，不符合题意；
C、a2 ⋅a3=a5，原选项计算错误，不符合题意；
D、(3a2) 3 =27a6，原选项计算正确，符合题意；
故选D．
1 1
【变式2】若x，y均为实数，43x=2021，47y=2021，则43xy ⋅47xy=
❑
x+y； + =
x y
．
【答案】 2021 1
【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算、积的乘方运算
【分析】根据同底数幂乘法、积的乘方、幂的乘方等计算法则进行等量代换即可．
【详解】解：∵43x=2021，47y=2021
∴(43x
)
y=2021y，(47y
)
x=2021x，
43xy ⋅47xy=(43x
)
y×(47y
)
x=2021y×2021x=2021x+y，
故答案为：2021；
∵ 43xy ⋅47xy=(43×47) xy=2021xy，
即2021xy=2021x+y，
∴xy=x+ y，
1 1 x+ y
∴ + = =1，
x y xy
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查同底数幂乘法、积的乘方、幂的乘方等知识点，熟练掌握以上知识点的运算
法则是解决本题的关键．
【变式3】计算23×44×
(1) 5
的结果是 ．
8
1
【答案】
16
【知识点】幂的乘方运算、积的乘方的逆用
【分析】本题考查了幂的乘方运算的逆用及积的乘方运算的逆用，根据幂的乘方运算的逆用及积的
乘方运算的逆用进行运算，即可求得．【详解】解：23×44×
(1) 5
=23×28×
(1) 15
8 2
=211×
(1) 15
=211×
(1) 11
×
(1) 4
2 2 2
( 1) 11 (1) 4 (1) 4 1
= 2× × = =
2 2 2 16
1
故答案为： ．
16
考点4：整式的乘除运算
典例4：设有边长分别为a和b(a>b)的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干
张．如图所示要拼一个边长为a+b的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．
若要拼一个长为3a+b、宽为2a+2b的矩形，则需要C类纸片的张数为( )
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【知识点】多项式乘多项式与图形面积
【分析】计算出长为(3a+b)，宽为(2a+2b)的大长方形的面积，再分别得出A、B、C卡片的面积，
即可看出应当需要各类卡片多少张．
【详解】解：长为(3a+b)，宽为(2a+2b)的大长方形的面积为：
(3a+b)(2a+2b)=6a2+2b2+8ab；
需要6张A卡片，2张B卡片和8张C卡片．
故选：C．
【点睛】本题主要考查多项式乘多项式与图形面积，解题的关键是理解(3a+b)(2a+2b)结果中ab
项的系数即为需要C类卡片的张数．
【变式1】下列运算正确的是（ ）
1 2 1
A．(a＋b)(a－2b)=a2－2b2 B．(a− ) =a2−
2 4
C．－2(3a－1)=－6a＋1 D．(a＋3)(a－3)=a2－9【答案】D
【知识点】运用完全平方公式进行运算、运用平方差公式进行运算、计算多项式乘多项式、计算单
项式乘多项式及求值
【分析】本题根据整式式运算法则及乘法公式即可做出选择．
【详解】A、原式＝a2−2ab+ab−2b2=a2−ab−2b2，故此选项错误；
1
B、原始＝a2−a+
，根据完全平方公式可以做出判断，故此选项错误；
4
C、原式＝−6a+2，根据乘法分配律可以做出判断，故此选项错误；
D、原式＝a2－9，故此选项正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查整式式运算法则及乘法公式，掌握相关公式及运算法则是解答本题的关键．
【变式2】如图中的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有1×1个正方
形，所有线段的和为4，第二个图形有2×2个小正方形，所有线段的和为12，第三个图形有3×3个
小正方形，所有线段的和为24，按此规律，则第n个网格所有线段的和为 ．(用含n的
代数式表示)
【答案】2n2+2n
【知识点】计算单项式乘多项式及求值、数字类规律探索
【分析】本题要通过第1、2、3和4个图案找出普遍规律，进而得出第n个图案的规律为
S=4n+2n×(n-1)，得出结论即可．
n
【详解】解：观察图形可知：
第1个图案由1个小正方形组成，共用的木条根数S =4×1=2×2×1,
1
第2个图案由4个小正方形组成，共用的木条根数S =6×2=2×3×2,
2
第3个图案由9个小正方形组成，共用的木条根数S =8×3=2×4×3,
3
第4个图案由16个小正方形组成，共用的木条根数S =10×4=2×5×4,
4
…
由此发现规律是：
第n个图案由n2个小正方形组成，共用的木条根数S =2(n+1)·n=2n2+2n,
n
故答案为：2n2+2n．【点睛】本题考查了规律型-图形的变化类，熟练找出前四个图形的规律是解题的关键．
【变式3】1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人
们将这个数表称为“杨辉三角”．
观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律，(a+b) 7展开的多项式中各项系数之和为
．
【答案】128
【知识点】数字类规律探索、多项式乘法中的规律性问题
【分析】仿照阅读材料中的方法将原式展开，即可得出结果．
【详解】根据题意得：(a+b) 5展开后系数为：1,5,10,10,5,1，
系数和：1+5+10+10+5+1=32=25，
(a+b) 6展开后系数为：1,6,15,20,15,6,1，
系数和：1+6+15+20+15+6+1=64=26，
(a+b) 7展开后系数为：1,7,21,35,35,21,7,1，
系数和：1+7+21+35+35+21+7+1=128=27，
故答案为：128．
【点睛】此题考查了多项式的乘法运算，以及规律型：数字的变化类，解题的关键是弄清系数中的
规律．
考点5：乘法公式
典例5：已知2a2−a−3=0，则(2a+3)(2a−3)+(2a−1) 2的值是（ ）
A．6 B．−5 C．−3 D．4
【答案】D
【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算
【分析】2a2−a−3=0变形为2a2−a=3，将(2a+3)(2a−3)+(2a−1) 2变形为4(2a2−a)−8，
然后整体代入求值即可．
【详解】解：由2a2−a−3=0得：2a2−a=3，∴(2a+3)(2a−3)+(2a−1) 2
=4a2−9+4a2−4a+1
=8a2−4a−8
=4(2a2−a)−8
=4×3−8
=4，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了代数式求值，解题的关键是熟练掌握整式混合运算法则，将
(2a+3)(2a−3)+(2a−1) 2变形为4(2a2−a)−8．
(1 1) 2 ( 1 1 )
【变式1】已知a>b>0，且a2+b2=3ab，则 + ÷ − 的值是（ ）
a b a2 b2
√5 √5
A．√5 B．−√5 C． D．−
5 5
【答案】B
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、运用完全平方公式进行运算、分式加减乘除混合运算
a+b
【分析】先将分式进件化简为 ，然后利用完全平方公式得出a−b=√ab，a+b=√5ab，代入
b−a
计算即可得出结果．
1 1 2 1 1
【详解】解：( + ) ÷( − )
a b a2 b2
a+b 2 b2−a2
=( ) ÷
ab a2b2
(a+b) 2 a2b2
= ×
a2b2 (b+a)(b−a)
a+b
= ，
b−a
a2+b2=3ab，
∵a2−2ab+b2=ab，
∴
(a−b) 2=ab，
∴
，
∵a>b>0a−b=√ab，
∴a2+b2=3ab，
∵a2+2ab+b2=5ab，
∴
(a+b) 2=5ab，
∴
，
∵aa> + bb> = 0√5ab，
∴ √5ab
原式
−√ab
∴ =
=−√5，
故选：B．
【点睛】题目主要考查完全公式的计算，分式化简等，熟练掌握运算法则是解题关键．
【变式2】计算：(√3+√2)(√3−√2) 2= ．
【答案】√3−√2
【知识点】运用平方差公式进行运算、二次根式的混合运算
【分析】先将乘方展开，然后用平方差公式计算即可．
【详解】解：(√3+√2)(√3−√2) 2
=(√3+√2)(√3−√2)(√3−√2)
=[(√3) 2 −(√2) 2] (√3−√2)
=√3−√2．
故答案为√3−√2．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算以及平方差公式的应用，掌握二次根式混合运算的运算法
则和平方差公式是解答本题的关键．
【变式3】若m，n是一元二次方程x2−5x+2=0的两个实数根，则m+(n−2) 2的值为 ．
【答案】7
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、运用完全平方公式进行运算、一元二次方程的解、一元
二次方程的根与系数的关系
【分析】本题考查了根与系数的关系和完全平方公式和已知式子的值，求代数式的值．先利用已知
b
条件求出n2−5n+2=0，m+n=− =5，从而得到n2=5n−2，再将原式利用完全平方公式展开，
a
利用n2=5n−2替换n2项，整理后得到m+n+2，再将m+n=5代入即可．【详解】解：∵m，n是一元二次方程x2−5x+2=0的两个实数根，
b
∴n2−5n+2=0，m+n=− =5，
a
则n2=5n−2
∴m+(n−2) 2
=m+n2−4n+4
=m+5n−2−4n+4
=m+n+2
=5+2
=7
故答案为：7
考点6：乘法公式的几何背景
典例6：我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式．给出以下4组图形及相应的代数恒
等式：
(a+b) 2=a2+2ab+b2 (a−b) 2=a2−2ab+b2
① ②
(a+b)(a−b)=a2−b2 (a−b) 2=(a+b) 2−4ab
③ ④其中，图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】平方差公式与几何图形、完全平方公式在几何图形中的应用
【分析】观察各个图形及相应的代数恒等式即可得到答案．
【详解】解：图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有①②③④，
故选：D．
【点睛】本题考查用图形面积解释代数恒等式，解题的关键是用两种不同的方法表示同一个图形的
面积．
【变式1】“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全
等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，
n(m>n)．若小正方形面积为5，(m+n) 2=21，则大正方形面积为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
【答案】B
【知识点】用勾股定理解三角形、完全平方公式在几何图形中的应用
【分析】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于
基础题型．由题意可知，中间小正方形的边长为m−n，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可
求出大正方形的面积为m2+n2．
【详解】解：由题意可知，中间小正方形的边长为m−n，
∴(m−n) 2=5，即m2+n2−2mn=5①，∵(m+n) 2=21，
∴m2+n2+2mn=21②，
①+②得2(m2+n2)=26，
∴大正方形的面积m2+n2=13，
故选：B．
【变式2】现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）．
（1）取甲、乙纸片各1块，其面积和为 ；
（2）嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，还需取丙
纸片 块．
【答案】 a2+b2 4
【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用
【分析】（1）直接利用正方形面积公式进行计算即可；
（2）根据已知图形的面积公式的特征，利用完全平方公式即可判定应增加的项，再对应到图形上即
可．
【详解】解：（1）∵甲、乙都是正方形纸片，其边长分别为a,b
∴取甲、乙纸片各1块，其面积和为a2+b2；
故答案为：a2+b2．
（2）要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，则它们的面积
和为a2+4b2，若再加上4ab（刚好是4个丙），则a2+4b2+4ab=(a+2b) 2，则刚好能组成边长为
a+2b的正方形，图形如下所示，所以应取丙纸片4块．
故答案为：4．【点睛】本题考查了正方形的面积公式以及完全平方公式的几何意义，解决本题的关键是牢记公式
特点，灵活运用公式等，本题涉及到的方法为观察、假设与实践，涉及到的思想为数形结合的思想．
【变式3】如图，从边长为（a+3）的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又
剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的另一边长是 ．
【答案】a+6．
【知识点】平方差公式与几何图形
【详解】解：拼成的长方形的面积=（a+3）2﹣32
=（a+3+3）（a+3﹣3）
=a（a+6），
∵拼成的长方形一边长为a，
∴另一边长是a+6．
故答案为：6．
考点7：整式的混合运算
典例7：已知3x2−2x−3=0，求(x−1) 2+x ( x+ 2) 的值．
3
4
【答案】2x2− x+1，3
3
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、整式的混合运算
2
【分析】先将代数式化简，根据3x2−2x−3=0可得x2− x=1，整体代入即可求解．
3
2
【详解】原式=x2−2x+1+x2+ x
3
4
=2x2− x+1．
3∵3x2−2x−3=0，
2
∴x2− x=1．
3
∴原式=2 ( x2− 2 x ) +1
3
=2×1+1 =3．
【点睛】本题考查了整式的乘法运算，代数式化简求值，整体代入是解题的关键．
【变式1】先化简，再求值：
(2x+ y) 2+(x+2y) 2−x(x+ y)−2(x+2y)(2x+ y)，其中x=√2+1, y=√2−1．
【答案】y2−3xy；−2√2．
【知识点】整式的加减中的化简求值、整式的混合运算、二次根式的混合运算
【分析】利用完全平方公式将原式化简，然后再代入计算即可．
【详解】解：
原式=[(2x+ y)−(x+2y)] 2−x2−xy
=(x−y) 2−x2−xy
=x2−2xy+ y2−x2−xy
= y2−3xy
当x=√2+1,y=√2−1时，
原式=(√2−1) 2 −3(√2+1)(√2−1)
=3−2√2−3
=−2√2。
【点睛】本题考查的是整式的混合运算，完全平方公式的应用和二次根式的运算，掌握相关的性质
和运算法则是解题的关键．
【变式2】先化简，再求值：
1
x(y−4x)+(2x+ y)(2x−y)，其中x= ，y=2．
2
【答案】−3
【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、整式的混合运算
【分析】先将原式利用多项式乘以多项式，以及平方差公式化简，去括号合并同类项得到最简结果，
再把x与y的值代入计算即可求出结果．
此题考查了整式的混合运算及化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【详解】解： x(y−4x)+(2x+ y)(2x−y)
=xy−4x2+4x2−y2
=xy−y2，
1
当x= ，y=2时，
2
1
原式= ×2−22=1−4=−3．
2
【变式3】先化简，再求值：[(2a+b) 2−(2a+b)(2a−b)]÷2b，其中a=2，b=−1．
【答案】2a+b，3
【知识点】整式的混合运算
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据平方差公式和完全平方公式去小括号，然后合并
同类项，再根据多项式除以单项式的计算法则化简，最后代值计算即可．
【详解】解：[(2a+b) 2−(2a+b)(2a−b)]÷2b
=[(4a2+4ab+b2)−(4a2−b2)]÷2b
=(4a2+4ab+b2−4a2+b2)÷2b
=(4ab+2b2)÷2b
=2a+b，
当a=2，b=−1时，原式=2×2+(−1)=3．
考点8：因式分解——提公因式、公式法
典例8：若k为任意整数，则(2k+3) 2−4k2的值总能（ ）
A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除
【答案】B
【知识点】平方差公式分解因式
【分析】用平方差公式进行因式分解，得到乘积的形式，然后直接可以找到能被整除的数或式．
【详解】解：(2k+3) 2−4k2
=(2k+3+2k)(2k+3−2k)
=3(4k+3)，
3(4k+3)能被3整除，
∴(2k+3) 2−4k2的值总能被3整除，故选：B．
【点睛】本题考查了平方差公式的应用，平方差公式为a2−b2=(a−b)(a+b)通过因式分解，可以
把多项式分解成若干个整式乘积的形式．
【变式1】下列分解因式正确的一项是（ ）
A．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3） B．2xy+4x＝2（xy+2x）
C．x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2 D．x2+y2＝（x+y）2
【答案】A
【知识点】判断能否用公式法分解因式
【分析】各式分解得到结果，即可作出判断．
【详解】解：A、原式＝（x+3）（x﹣3），符合题意；
B、原式＝2x（y+2），不符合题意；
C、原式不能分解，不符合题意；
D、原式不能分解，不符合题意．
故选：A．
【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
【变式2】多项式2a2b3+8a4b2因式分解为（ ）
A．a2b2(2b+8a2) B．2ab2(ab+4a3)
C．2a2b2(b+4a2) D．2a2b(b2+4a2b)
【答案】C
【知识点】提公因式法分解因式
【分析】确定公因式，然后用提取公因式法进行因式分解即可．
【详解】解：2a2b3+8a4b2，
=2a2b2(b+4a2)．
故选：C．
【点睛】本题考查了用提取公因式法进行因式分解，解题关键是准确确定公因式，正确提取公因式．
【变式3】下列分解因式正确的是（ ）
A．−x2+4x=−x(x+4) B．x2+xy+x=x(x+ y)
C．x(x−y)+ y(y−x)=(x−y) 2 D．x2−4x+4=(x+2)(x−2)
【答案】C【知识点】提公因式法分解因式、公式法分解因式
【详解】【分析】根据因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分解即可求得答案．注意分解要
彻底．
【详解】A. −x2+4x=−x(x−4) ，故A选项错误；
B. x2+xy+x=x(x+ y+1)，故B选项错误；
C. x(x−y)+ y(y−x)=(x−y) 2 ，故C选项正确；
D. x2−4x+4=（x-2）2，故D选项错误，
故选C.
【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式．注意因式分解的步骤：先提公因式，再用公式
法分解．注意分解要彻底．
【变式4】若mn=2，m−n=1，则代数式m2n−mn2的值是 ．
【答案】2
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、提公因式法分解因式
【分析】本题考查代数式求值．先将代数式进行因式分解，然后将条件代入即可求值．
【详解】解：∵mn=2，m−n=1，
∴ m2n−mn2=mn(m−n)=2×1=2，
故答案为：2．
【变式5】长和宽分别为a，b的矩形的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为 ．
【答案】70
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、提公因式法分解因式、因式分解的应用
【分析】本题考查了提公因式法分解因式，由周长和面积可分别求得a+b和ab的值，再利用提公因
式法把所求代数式转化为ab(a+b)，代入计算即可求解，利用提公因式法把原式转化成ab(a+b)是
解题关键．
14
【详解】解：根据题意得：a+b= =7，ab=10，
2
∴a2b+ab2=ab(a+b)=10×7=70，
故答案为：70．
【变式6】若多项式4x2−mxy+9 y2能用完全平方公式因式分解，则m的值是 ．
【答案】±12
【知识点】完全平方公式分解因式【分析】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方
公式的结构特征判断即可确定出m的值．
【详解】解：∵多项式4x2−mxy+9 y2能用完全平方公式因式分解，
∴ 4x2−mxy+9 y2=(2x) 2−mxy+(3 y) 2=(2x±3 y) 2，
∴m=±2×(2×3)=±12，
故答案为：±12．
【变式7】因式分解：(x+2)(x+4)+1= ．
【答案】(x+3) 2
【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法、完全平方公式分解因式
【分析】本题主要考查了用完全平方公式分解因式，先按照多项式乘以多项式展开，然后利用完全
平方公式分解因式即可．
【详解】解：(x+2)(x+4)+1
=x2+4x+2x+8+1
=x2+6x+9
=(x+3) 2
故答案为：(x+3) 2．
考点9：因式分解——十字相乘
典例9：以下因式分解正确的是（ ）
A．ax2−a=a(x2−1) B．m3+m=m(m2+1)
C．x2+2x−3=x(x+2)−3 D．x2+2x−3=(x−3)(x+1)
【答案】B
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、十字相乘法
【分析】利用平方差公式，x2−1还可分解因式；利用十字相乘法，x2+2x−3=(x+3)(x−1)．
【详解】解：ax2−a=a(x2−1)=a(x+1)(x−1)；故A不正确，不符合题意．
m3+m=m(m2+1)；故B正确，符合题意．
x2+2x−3=(x+3)(x−1)；故C，D不正确，不符合题意．故选：B．
【点睛】本题考查因式分解，灵活掌握因式分解的方法是本题的关键．
【变式1】下列式子变形是因式分解的是（ ）
A．x2－5x＋6＝x(x－5)＋6 B．x2－5x＋6＝(x－2)(x－3)
C．(x－2)(x－3)＝x2－5x＋6 D．x2－5x＋6＝(x＋2)(x＋3)
【答案】B
【知识点】判断是否是因式分解、十字相乘法
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分
解因式，
【详解】A、x2－5x＋6＝x(x－5)＋6，不是因式分解，故本选项不符合题意；
B、x2－5x＋6＝(x－2)(x－3)，是因式分解，故本选项符合题意；
C、(x－2)(x－3)＝x2－5x＋6，不是因式分解，故本选项不符合题意；
D、x2－5x＋6＝(x－2)(x－3)≠(x＋2)(x＋3)，故本选项不符合题意；
故选B
【变式2】分解因式：2x3﹣6x2+4x= ．
【答案】2x（x﹣1）（x﹣2）．
【知识点】十字相乘法、提公因式法分解因式
【详解】分析：首先提取公因式2x，再利用十字相乘法分解因式得出答案．
详解：2x3﹣6x2+4x
=2x（x2﹣3x+2）
=2x（x﹣1）（x﹣2）．
故答案为2x（x﹣1）（x﹣2）．
点睛：此题主要考查了提取公因式法以及十字相乘法分解因式，正确分解常数项是解题关键．
【变式3】分解因式：a4﹣3a2﹣4＝ ．
【答案】（a2+1）（a+2）（a﹣2）
【知识点】平方差公式分解因式、十字相乘法
【分析】首先利用十字相乘法分解为(a2+1)(a2−4) ，然后利用平方差公式进一步因式分解即可．
【详解】解：a4﹣3a2﹣4
＝（a2+1）（a2﹣4）
＝（a2+1）（a+2）（a﹣2），
故答案为：（a2+1）（a+2）（a﹣2）．
【点睛】本题考查利用因式分解，解决问题的关键是掌握解题步骤：一提二套三检查．
考点10：因式分解的应用b c
典例10：已知实数a,b,c,m,n满足3m+n= ,mn= ．
a a
(1)求证：b2−12ac为非负数；
(2)若a,b,c均为奇数，m,n是否可以都为整数？说明你的理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)m,n不可能都为整数，理由见解析．
【知识点】因式分解的应用、完全平方公式分解因式、奇数和偶数，奇偶性分析、整数问题的综合
应用
【分析】本小题考查整式的运算、因式分解、等式的性质等基础知识：考查运算能力、推理能力、
创新意识等，以及综合应用所学知识分析、解决问题的能力．
（1）根据题意得出b=a(3m+n),c=amn，进而计算b2−12ac，根据非负数的性质，即可求解；
（2）分情况讨论，①m,n都为奇数；②m,n为整数，且其中至少有一个为偶数，根据奇偶数的性质
结合已知条件分析即可．
b c
【详解】（1）解：因为3m+n= ,mn= ，
a a
所以b=a(3m+n),c=amn．
则b2−12ac=[a(3m+n)] 2−12a2mn
=a2(9m2+6mn+n2)−12a2mn
=a2(9m2−6mn+n2)
=a2 (3m−n) 2．
因为a,m,n是实数，所以a2 (3m−n) 2≥0，
所以b2−12ac为非负数．
（2）m,n不可能都为整数．
理由如下：若m,n都为整数，其可能情况有：①m,n都为奇数；②m,n为整数，且其中至少有一个
为偶数．
①当m,n都为奇数时，则3m+n必为偶数．
b
又3m+n= ，所以b=a(3m+n)．
a
因为a为奇数，所以a(3m+n)必为偶数，这与b为奇数矛盾．
②当m,n为整数，且其中至少有一个为偶数时，则mn必为偶数．c
又因为mn= ，所以c=amn．
a
因为a为奇数，所以amn必为偶数，这与c为奇数矛盾．
综上所述，m,n不可能都为整数．
【变式1】如果一个自然数M的个位数字不为0，且能分解成A×B，其中A与B都是两位数，A与B
的十位数字相同，个位数字之和为10，则称数M为“合和数”，并把数M分解成M=A×B的过程，
称为“合分解”．
例如∵609=21×29，21和29的十位数字相同，个位数字之和为10，
∴609是“合和数”．
又如∵234=18×13，18和13的十位数相同，但个位数字之和不等于10，
∴234不是“合和数”．
（1）判断168，621是否是“合和数”？并说明理由；
（2）把一个四位“合和数”M进行“合分解”，即M=A×B．A的各个数位数字之和与B的各个
数位数字之和的和记为P(M)；A的各个数位数字之和与B的各个数位数字之和的差的绝对值记为
P(M)
Q(M)．令G(M)= ，当G(M)能被4整除时，求出所有满足条件的M．
Q(M)
【答案】（1）168不是“合和数”，621是“合和数，理由见解析；（2）M有1224，1221，5624，
5616．
【知识点】新定义下的实数运算、因式分解的应用
【分析】（1）首先根据题目内容，理解“合和数”的定义：如果一个自然数M的个位数字不为0，
且能分解成A×B，其中A与B都是两位数，A与B的十位数字相同，个位数字之和为10，则称数M
为“合和数”，再判断168，621是否是“合和数”；
（2）首先根据题目内容，理解“合分解”的定义．引进未知数来表示A个位及十位上的数，同时也
P(M)
可以用来表示B．然后整理出：G(M)= ，根据能被4整除时，通过分类讨论，求出所有满
Q(M)
足条件的M．
【详解】解：（1）
168不是“合和数”，621是“合和数”．
∵168=12×14，2+4≠10，
∴168不是“合和数”，
∵621=23×27，十位数字相同，且个位数字3+7=10，
∴621是“合和数”．
（2）设A的十位数字为m，个位数字为n（m，n为自然数，且3≤m≤9，1≤n≤9），则A=10m+n,B=10m+10−n．
∴P(M)=m+n+m+10−n=2m+10,Q(M)=|(m+n)−(m+10−n)|=|2n−10|．
P(M) 2m+10 m+5
∴G(M)= = = =4k（k是整数）．
Q(M) |2n−10| |n−5|
∵3≤m≤9，
∴8≤m+5≤14，
∵k是整数，
∴m+5=8或m+5=12，
①当m+5=8时，
m+5=8 m+5=8
{ 或{ ，
|n−5|=1 |n−5|=2
∴M=36×34=1224或M=37×33=1221．
②当m+5=12时，
m+5=12 m+5=12
{ 或{ ，
|n−5|=1 |n−5|=3
∴M=76×74=5623或M=78×72=5616．
综上，满足条件的M有1224，1221，5624，5616．
【点睛】本题考查了新定义问题，解题的关键是：首先要理解题中给出的新定义和会操作题目中所
涉及的过程，结合所学知识去解决问题，充分考察同学们自主学习和运用新知识的能力．
【变式2】我们知道，任意一个正整数x都可以进行这样的分解：x=m×n（m，n是正整数，且
m≤n），在x的所有这种分解中，如果m，n两因数之差的绝对值最小，我们就称m×n是x的最佳
m
分解．并规定：f (x)= ．
n
例如：18可以分解成1×18，2×9或3×6，因为18−1>9−2>6−3，所以3×6是18的最佳分解，
3 1
所以f (18)= = ．
6 2
（1）填空：f (6)=________；f (9)=_________；
（2）一个两位正整数t（t=10a+b，1≤a≤b≤9，a，b为正整数），交换其个位上的数字与十位
上的数字得到的新数减去原数所得的差为54，求出所有的两位正整数；并求f (t)的最大值；
（3）填空：
①f (22×3×5×7)=_____________；
②f (23×3×5×7)=_____________；③f (24×3×5×7)=_____________；
④f (25×3×5×7)=_____________．
2 4 20 14 20 14
【答案】（1） ；1；（2）t为39，28，17；f (t)的最大值 ；（3） , , ,
3 7 21 15 21 15
【知识点】因式分解的应用、新定义下的实数运算
2
【分析】（1）6＝1×6＝2×3，由已知可求f (6)＝ ；9=1×9=3×3，由已知可求f (9)=1；
3
（2）由题意可得：交换后的数减去交换前的数的差为：10b＋a−10a−b＝9（b−a）＝54，得到b−a＝
6，可求t的值，故可得到f (t)的最大值；
m
（3）根据f (x)= 的定义即可依次求解．
n
【详解】（1）6＝1×6＝2×3，
∵6−1＞3−2，
2
∴f (6)＝ ；
3
9=1×9=3×3，
∵9−1＞3−3，
∴f (9)=1，
2
故答案为： ；1；
3
（2）由题意可得：交换后的数减去交换前的数的差为：
10b＋a−10a−b＝9（b−a）＝54，
∴b−a＝6，
∵1≤a≤b≤9，
∴b＝9，a＝3或b＝8，a＝2或b＝7，a＝1，
∴t为39，28，17；
∵39＝1×39＝3×13，
3
∴f (39)＝ ；
13
28＝1×28＝2×14＝4×7，
4
∴f (28)＝ ；
7
17＝1×17，
1
∴f (17)= ；
174
∴f (t)的最大值 ．
7
（3）①∵22×3×5×7=20×21
20
∴f (22×3×5×7)= ；
21
②23×3×5×7=28×30
28 14
∴f (23×3×5×7)= = ；
30 15
③∵24×3×5×7=40×42
40 20
∴f (24×3×5×7)= = ；
42 21
④∵25×3×5×7=56×60
56 14
∴f (25×3×5×7)= = ，
60 15
20 14 20 14
故答案为： , , , ．
21 15 21 15
【点睛】本题考查因式分解的应用；理解题意，从题目中获取信息，列出正确的代数式，再由数的
特点求解是解题的关键．
【变式3】由多项式乘法： ，将该式从右到左使用，即可得到
“十字相乘法”进行因式分解的公式：
示例：分解因式：
（1）尝试：分解因式： ___ ___)；
（2）应用：请用上述方法解方程： .
【答案】(1)2,4；（2） .
【知识点】因式分解的应用、因式分解法解一元二次方程
【详解】试题分析：(1)把8分解成2 4，且2+4=6，类比例题即可求解；(2)把-4分解成1 （-4），
且1+（-4）=-3，类比例题分解因式，利用因式分解法解方程即可.
试题解析：
（1） _2_ _4_)；（2）
考点：“十字相乘法”因式分解，解一元二次方程
