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第 03 讲 分式
目 录
2
题型01 利用分式有无意义的条件，求未知数的值或取值范围 2
题型02 利用分式值为正、负数或0的条件，求未知数的值或取值范围 2
题型03 约分与最简分式 2
题型04 最简公分母 3
题型05 利用分式的基本性质进行变形 3
题型06 利用分式的基本性质判断分式值的变化 3
题型07 利用分式的符号法则，将分式恒等变形 4
题型08 分式的加减法 4
题型09 分式的乘除法 5
题型10 分式的混合运算 5
题型11 分式的化简求值 5
题型12 零指数幂 6
6
8
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题型01 利用分式有无意义的条件，求未知数的值或取值范围
1
1．（2023·广西·统考中考真题）若分式 有意义，则x的取值范围是（ ）
x+1
A．x≠−1 B．x≠0 C．x≠1 D．x≠2
1
2．（2021·湖南娄底·统考一模）若式子 有意义，则实数x的取值范围是 .
√x−1
1
3．（2023·江苏常州·常州市第二十四中学校考一模）当x 时，分式 无意义．
3−x
2−x
4．（2023·浙江宁波·统考一模）对于分式 ，下列说法错误的是（ ）
2x−6
A．当x=2时，分式的值为0 B．当x=3时，分式无意义
8
C．当x>2时，分式的值为正数 D．当x= 时，分式的值为1
3
题型02 利用分式值为正、负数或0的条件，求未知数的值或取值范围
x+5
1．（2020·浙江金华·统考中考真题）分式 的值是零，则x的值为（ ）
x−2
A．5 B．−5 C．−2 D．2
x2−4
2．（2023·陕西西安·统考模拟预测）使得分式值 为零的x的值是 ；
x+2
x2
3．（2022·福建泉州·统考模拟预测）若分式 的值为负数，则x的取值范围是 ．
x+3
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题型03 约分与最简分式
1．（2023·甘肃武威·统考三模）计算：3m3 ．
=
6m2
2．（2023·安徽芜湖·统考二模）化简：a2−2a+1＝ ．
1−a2
3．下列分式中，是最简分式的是（ ）
x 15 4ab a2−b2
A． B． C． D．
x+ y 10x 3a2 a+b
题型04 最简公分母
x+ y 3 y xy
1．（2021·广东广州·广州市第十六中学校考二模）分式 ， ， 的最简分母是（ ）
3xy 2x2 6x y2
A．3x B．x C．6x2 D．6x2y2
m 3n
2．分式 和 的最简公分母为 ．
2m−2n m−n
题型05 利用分式的基本性质进行变形
1．（2023·河北唐山·统考二模）根据分式的基本性质对分式变形，下列正确的是（ ）
A．a a+2 B．−a+2 a+2 C．a a2 D．a a+2a
= =− = =
b b+2 b b b b2 b b+2b
2．（2023·浙江温州·统考一模）下列式子一定成立的是（ ）
A．a b+2 B．a a−1 C．a a2 D．a 3a
= = = =
b a+2 b b−1 b b2 b 3b
3．（2022易县二模）下列各式从左到右的变形一定正确的是（ ）
A．a+3 a B．a ac C．a a3 D． ab 1
= = = =
b+3 b b bc b b3 3ab 3
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题型06 利用分式的基本性质判断分式值的变化
4m−a
1．（2022·河北邯郸·统考一模）只把分式 中的m，n同时扩大为原来的3倍后，分式的值也不会变，
5n
则此时a的值可以是下列中的（ ）
m
A．2 B．mn C． D．m2
3
xy
2．（2022·湖南永州·统考二模）如果分式 中的x，y都扩大为原来的2倍，那么所得分式的值（ ）
x+ y
1
A．不变 B．缩小为原来的
2
C．扩大为原来的2倍 D．不确定
0.02x+0.5 y
3．（2022·河北保定·统考一模）不改变分式的值，将分式 中的分子、分母的系数化为整数，
x+0.004 y
其结果为（ ）
20x+500 y 20x+500 y 2x+50 y 2x+5 y
A． B． C． D．
1000x+4 y 100x+4 y 1000x+4 y x+4 y
4．（2021·河北邢台·统考一模）若把x，y的值同时扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是
（ ）
A．(x+ y) 2 B． xy C．x+2 D．x−2
x2 x+ y y+2 y−2
题型07 利用分式的符号法则，将分式恒等变形
2
1．（2022无锡市三模）分式 可变形为（ ）
2−x
2 2 2 2
A． B．− C． D．−
2+x 2+x x−2 x−2
−x+ y
2．（2022秦皇岛模拟）下列分式中与 的值相等的分式是（ ）
−x−y
x+ y x−y x+ y x−y
A． B． C．- D．-
x−y x+ y x−y x+ y
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a
3．（2022铜仁市三模）分式− 可变形为（ ）
2−3a
a a a a
A．− B． C． D．−
3a−2 3a−2 3a+2 3a+2
题型08 分式的加减法
a2+b2 2ab
1．（2020·山东淄博·统考中考真题）化简 + 的结果是（ ）
a−b b−a
(a+b) 2 (a−b) 2
A．a+b B．a﹣b C． D．
a−b a+b
4
2．（2022·四川眉山·中考真题）化简 +a−2的结果是（ ）
a+2
A．1 B． a2 C． a2 D． a
a+2 a2−4 a+2
2 8
3．（2021·四川自贡·统考中考真题）化简： − = ．
a−2 a2−4
4．绿化队原来用漫灌方式浇绿地，a天用水m吨，现在改用喷灌方式，可使这些水多用3天，现在比原来
每天节约用水 吨．
5．（2023·福建福州·福建省福州屏东中学校考一模）福州市的市花是茉莉花．“飘香1号”茉莉花实验种
植基地是边长为am(a>1)的正方形去掉一块边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分，“飘香2号”茉莉
花实验种植基他是边长为(a−1)m的正方形，两块实取种植基地的茉莉花都收获了500kg．请说明哪种茉
莉花的单位面积产量更高？
题型09 分式的乘除法
1．（2023·山东济南·统考一模）化简： x2 x （ ）
÷ =
x2−4 x−2
x x
A．1 B．x C． D．
x−2 x+2
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2．（2023·江西·模拟预测）计算( b) 3 1 的结果为（ ）
− ÷
a a2
A． b3 B．b3 C． b3 D．b3
− −
a a a5 a5
3．（2023·山西大同·校联考三模）计算 a2−1 1−a的结果为（ ）
⋅
a2−2a+1 a2+a
1 1 2 3
A．− B． C． D．
a a a a
x2+xy y2
4．（2023·浙江温州·温州市第八中学校考三模）计算： ⋅ = ．
xy x+ y
5．（2023·广东汕头·校联考二模）把式子x−1 x2−1 化到最简其结果为 ．
÷
x−3 x2−6x+9
题型10 分式的混合运算
( 1 ) x2−1
1．（2022·辽宁沈阳·统考模拟预测）化简： 1− ⋅ = ．
x+1 x
(a+1 ) 2a
2．（2022·陕西·统考中考真题）化简： +1 ÷ ．
a−1 a2−1
3．（2022·西藏·统考中考真题）计算：a2+2a a 2 ．
⋅ −
a a2−4 a−2
4．（2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校考一模）计算：
(1) ；
(x+ y) 2−x(2y−x)
(2)( 4a ) 2a2−2 ．
a−1+ ÷
a−1 a2−2a+1
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题型11 分式的化简求值
1．已知 x 1，则 x2 ．
= =
x2−x+1 7 x4−x2+1
( 4 ) x−4
2．（2023·安徽蚌埠·统考三模）化简： x−2− ÷ ，并给出x的值，使得该式的值为0．
x−2 x2−4
( 1) a2−1
3．（2022·福建·统考模拟预测）先化简，再求值： 1+ ÷ ，其中a=√2+1．
a a
4. 如果 ，那么代数式(m2−m−4 ) m+1 的值．
m2−4m−6=0 +1 ÷
m+3 m2−9
5．（2023·山东泰安·新泰市实验中学校考一模）先化简，再求值：
a2−6ab+9b2 ( 5b2 ) 1，其中 满足 ．
÷ −a−2b − a,b ¿
a2−2ab a−2b a
题型12 零指数幂
1．（2022·四川攀枝花·统考中考真题）√3−8−(−1)0= ．
2．（2023·重庆江北·校考一模）计算： ．
cos60°+(π−3.14) 0=
x
1．（2023·江苏·统考中考真题）若代数式 的值是0，则实数x的值是（ ）
x2−1
A．−1 B．0 C．1 D．2
a+1 1
2．（2023·贵州·统考中考真题）化简 − 结果正确的是（ ）
a a
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1 1
A．1 B．a C． D．−
a a
4
3．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）化简 +x−2的结果是（ ）
x+2
A．1 B． x2 C． x D． x2
x2−4 x+2 x+2
m2−n2 2m
4．（2022·山东济南·统考中考真题）若m－n＝2，则代数式 ⋅ 的值是（ ）
m m+n
A．－2 B．2 C．－4 D．4
2
5．（2023·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）在函数y= 中，自变量x的取值范围是 ．
x−8
1 2 ab−a
6．（2023·福建·统考中考真题）已知 + =1，且a≠−b，则 的值为 ．
a b a+b
7．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）化简：( x+2 x−1 ) x−4 ．
− ÷ =
x2−2x x2−4x+4 x2−2x
( 4a−4) a2
8．（2022·山东菏泽·统考中考真题）若a2−2a−15=0，则代数式 a− ⋅ 的值是 ．
a a−2
9．（2022·江苏苏州·统考中考真题）计算： ．
|−3|+22−(√3−1) 0
10．（2022·内蒙古·中考真题）计算： ( − 1) −1 +2cos30°+(3−π) 0−√3−8．
2
11．（2021·广西梧州·统考中考真题）计算：（x﹣2）2﹣x（x﹣1） x3−4x2．
+
x2
1−x
12.（2023·山东临沂·统考中考真题）（1）解不等式5−2x< ，并在数轴上表示解集．
2
a2
（2）下面是某同学计算 −a−1的解题过程：
a−1
a2
解： −a−1
a−1
a2 (a−1) 2
= − ①
a−1 a−1
a2−(a−1) 2
= ②
a−1
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a2−a2+a−1
= ③
a−1
a−1
= =1 ④
a−1
上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出正确的解题过程．
13．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）以下是某同学化简分式a−b ( 2ab−b2 )的部分运算过程：
÷ a−
a a
a−b a−b 2ab−b2
解：原式= ÷a− + …………
a a a
第一步
a−b 1 a−b a
= ⋅ − ⋅ …………第二步
a a a 2ab−b2
a−b a−b
= =
…………第三步
a2 2ab−b2
……
(1)上面的运算过程中第___________步开始出现了错误；
(2)请你写出完整的解答过程．
14．（2023·湖南张家界·统考中考真题）先化简( 3 ) x2−4 ，然后从 ，1，2这三个数
x−1− ÷ −1
x+1 x2+2x+1
中选一个合适的数代入求值．
(
5+2a) a2+4a+4
15．（2022·辽宁营口·统考中考真题）先化简，再求值： a+1− ÷ ，其中
a+1 a+1
(1) −1
a=√9+|−2|− ．
2
16．（2023·辽宁丹东·统考中考真题）先化简，再求值：( x2−1 1 ) 3 ，其中
− ÷
x2−2x+1 x−1 x−1
x=
(1) −1
+(−3) 0 ．
2
17．（2023·青海西宁·统考中考真题）先化简，再求值：( a 1 ) 1 ，其中 ， 是方程
− ÷ a b
a2−b2 a+b a2−ab
x2+x−6=0的两个根．
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18．（2021·内蒙古通辽·统考中考真题）先化简，再求值：
2x+1 x+2
( +x−1)÷ ，其中x满足x2−x−2=0．
x+1 x2+2x+1
3 5 7
1．（2022·湖南·统考中考真题）有一组数据：a = ，a = ，a = ，…，
1 1×2×3 2 2×3×4 3 3×4×5
2n+1
a = ．记S =a +a +a +…+a ，则S = ．
n n(n+1)(n+2) n 1 2 3 n 12
2．（2023·广东广州·统考中考真题）已知a>3，代数式：A=2a2−8，B=3a2+6a，C=a3−4a2+4a．
(1)因式分解A；
(2)在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式．
1 1 1 1 1 1 1 1 1
3．（2022·浙江舟山·中考真题）观察下面的等式： = + ， = + ， = + ，……
2 3 6 3 4 12 4 5 20
(1)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）
(2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的．
4．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）阅读材料：
材料1：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根x ，x 和系数a，b，c有如下关系：
1 2
b c
x +x =− ，x x = ．
1 2 a 1 2 a
材料2：已知一元二次方程x2−x−1=0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．
解：∵m，n是一元二次方程x2−x−1=0的两个实数根，
∴m+n=1,mn=−1．
则m2n+mn2=mn(m+n)=−1×1=−1．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)应用：一元二次方程2x2+3x−1=0的两个实数根为x ，x ，则x +x =___________，x x =
1 2 1 2 1 2
___________；
(2)类比：已知一元二次方程2x2+3x−1=0的两个实数根为m，n，求m2+n2的值；
1 1
(3)提升：已知实数s，t满足2s2+3s−1=0，2t2+3t−1=0且s≠t，求 − 的值．
s t
10
