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22.1 二次函数的图象和性质一、二次函数的定义
一般地，如果y=ax²+bx+c（其中a,b,c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。
二、二次函数的图象
1.抛物线y=ax²的顶点是坐标原点，对称轴是y轴。
2.二次函数y=ax²+bx+c的图像是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线。
3.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点。
三、二次函数的性质
1.a的符号决定抛物线的开口方向：当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下。|a|相等，
抛物线的开口大小、形状相同。
2.在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴。
3.c决定了抛物线与y轴交点的位置：当c>0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方；当c=0
时，抛物线与y轴的交点为坐标原点；当c<0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方。
4.顶点决定抛物线的位置。几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的
开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同。
巩固课内例1:画出函数y=ax²的图象
1．已知抛物线 ，则以下说法中，错误的是（ ）
A．开口向上 B．顶点坐标是
C．对称轴是直线 D．当 时，y有最大值为0
2．若抛物线 与 形状相同，开口方向相反，则抛物线的解析式为
．3．已知 是二次函数，且当 时， 随 的增大而增大．
(1)则 的值为______；对称轴为______；
(2)已知，点 在该二次函数图象上，则点 在该图象上对称点的坐标为______；
(3)请画出该函数图象，并根据图象写出当 时， 的范围为______．
巩固课内例2:画出函数y=ax²+k的图象
1．二次函数 的图象是一条抛物线，则下列说法错误的是（ ）
A．抛物线开口向上 B．抛物线经过点
C．抛物线的顶点是 D．当 时， 随 的增大而增大
2．已知抛物线 的图像开口向下，则m的取值范围是 ．
3．【探究】如图，已知抛物线 ．
(1)在坐标系中画出此抛物线的大致图象（不要求列表）：(2)该抛物线 可由抛物线 向______平移______个单位得到；
(3)当 时， 的取值范围是______．
巩固课内例3:画出函数y=a(x-h)²+k的图象
1．已知抛物线 ，下列结论中错误的是（ ）
A．抛物线的开口向下
B．抛物线的对称轴为直线
C．当 时，y取最大值3
D．当 时，y随x的增大而增大
2．设 是抛物线 上的三点，则
的大小关系为 ．（用 号连接）
3．已知抛物线 ．
(1)写出抛物线的对称轴；
(2)完成下表：
x … 1 3 5 …
y … ______ ______ ______ ______ ______ …
(3)在平面直角坐标系中描点画出抛物线的图象．
巩固课内例4:喷水问题
1．如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置 ，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的
高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是 ，则水流喷出的最
大高度是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，综合实践小组的同学们研究了某草坪喷灌系统的设计，发现喷灌架喷射出的水流
可以近似的看成抛物线 （其中 为垂直高度， 为水平距离，单位：
m），则该喷灌架喷出的水流可到达的最远距离 为 m．
3．项目学习实践
项目主题：合理设置智慧洒水车喷头
项目背景：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，环保绿化．
如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员
想了解洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水浇灌到整个绿
化带．围绕这个问题，该小组开展了“合理设置智慧洒水车喷头”为主题的项目式学习．
任务一：测量建模
利用图1实际测量数据建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的上、下
边缘抽象为两条抛物线的部分图象，喷水口 离地面竖直高度 为 米．上边缘抛物线最
高点 离喷水口的水平距离为 米，高出喷水口 米；
（1）请你求出上边缘抛物线的函数解析式；
任务二：推理分析小组成员通过进一步分析发现：当喷头洒水进行调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发
生改变，即下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
（2）请你结合模型探究下边缘抛物线与 轴交点 的坐标；
任务三：实践探究
如果我们把绿化带横截面抽象为矩形 ，其水平宽度 米，竖直高度
米，洒水车到绿化带的距离 为 米．
（3）当调整与绿化带距离为 米，洒水车行驶时喷出的水覆盖区域能否洗灌到整个
绿化带？请说明理由．
巩固课内例5:求二次函数解析式
1．若二次函数 的顶点为 ，且过点 ，则a的值为（ ）
A． B．1 C． D．3
2．若二次函数 的图像过点 和 ，且顶点为 ，则
3．已知二次函数 的图像经过点 ， ，且顶点到 轴距离为 ．
(1)求函数表达式；
(2)若点 在图像上，且 ，求 的取值范围．类型一、二次函数的定义
1．下列各式中， 是 的二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．若 是关于 的二次函数，则 的值为 ．
3．已知关于 的函数 ．
(1)若该函数为二次函数，求 的值；
(2)若该函数为一次函数，求 的值．
类型二、列二次函数关系式
1．两个正方形的周长之和是 ，其中一个正方形的边长为 ．若以两个正方形面积
之和 为函数，其中一个正方形的边长 为自变量，它们的关系式是（ ）
A． B．
C． D．
2．某超市有一种商品，进价为2元，据市场调查，销售单价是13元时，平均每天的销售
量是50件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出10件．若设降价后售价为
元，每天利润为 元，则 与 之间的函数关系为 ．
3．设圆柱的高为 ，底面半径为 ，底面周长为 ，圆柱的体积为 ．
(1)分别写出 关于 、 关于 、 关于 的函数关系式；
(2)这三个函数中，哪些是二次函数？
类型三、二次函数的顶点坐标与对称轴
1．抛物线 的顶点坐标是（ ）A． B． C． D．
2．抛物线 的对称轴是直线 ．
3．已知二次函数 的图象经过点 ．
(1)求二次函数的解析式；
(2)写出此函数的开口方向、对称轴．
类型四、二次函数一般式化为顶点式
1．二次函数 可变形为（ ）
A． B．
C． D．
2．将 化成 的形式为 ．
3．已知二次函数 ．
(1)将 化成 的形式；
(2)当 时， 的最小值是________，最大值是________．
类型一、二次函数的增减性
1．若点 在抛物线 上，则 的大小关系是
（ ）
A． B． C． D．
2．已知二次函数 的图象上有两点 ，当时，始终有 ，则m的取值范围是 ．
3．在平面直角坐标系 中，已知抛物线 ．
(1)当 时，求抛物线的顶点坐标；
(2)已知点 、 在抛物线上，当 时，求 的取值范围；
(3)点 在抛物线上．若对于 ，都有 ，求
的取值范围．
类型二、二次函数的对称性
1．如图，直线 从左至右交抛物线G，L于点M，N，P，Q，且两条抛物线的顶点A，B
都在直线 上，已知 ， ， ，则 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．已知抛物线 的部分图象如图所示，则抛物线与 轴的另一个交点坐标为
．
3．已知二次函数 图象上的部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
… 0 1 2 3 …
y … 3 4 3 0 …
根据以上信息回答下列问题：
(1)二次函数图象的顶点坐标是______， ______， ______；
(2)求二次函数的表达式；
类型三、二次函数与一次函数函数图象结合
1．已知二次函数 的图象如图，则一次函数 的大致图象可能是
（ ）
A． B． C．
D．
2．二次函数 的图象如图所示，则一次函数 的图象一定不经过第
象限．3．已知二次函数 与一次函数 的图象相交于A、B两点，如图所示，
其中 ．
(1)请求出以上两个函数的解析式；
(2)求点B的坐标；
类型一、最值问题
1．已知二次函数 在 时最小值为 ，则b的值为（ ）
A．4 B．4或 C． D． 或
2．已知函数 ，当 时，该函数的最大值是 ．
3．已知某抛物线的解析式为 ， 为实数．
(1)若该抛物线经过点 ，求此抛物线的顶点坐标．
(2)如果当 时， 的最大值为4，求 的值．类型二、二次函数各项系数关系
1．如图，二次函数 的图象与x轴交于点 ，与y轴交于点B，对
称轴为直线 ，下列四个结论：① ；② ；③方程 的两根
和为1；④若 ，则 ，⑤点 ， 在抛物线
上，且当 时， ；其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图所示，二次函数 的图象开口向上，图象经过点 和 且与
轴交于负半轴．给出四个结论：① ，② ；③ ；④ ；其
中正确的结论的序号是 ．
3．在平面直角坐标系 中，已知抛物线 ．
(1)当 时，
①求该抛物线的对称轴；
②点 和 是抛物线上的两点，直接写出m和n的大小关系；
(2)如果点 和 是抛物线上的两点，且对于 ， ，都有，求a的取值范围．
类型三、二次函数的周长问题
1．如图，抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，连接 ，P
为抛物线对称轴上动点，则当 的周长取最小值时，点P坐标是（ ）．
A． B． C． D．
2．如图，在平面直角坐标系中，点 是抛物线 与 轴的交点，点
是这条抛物线上的另一点，且 轴，则以 为边的正方形 的周长为 ．
3．如图，抛物线 与x轴交于 ， 两点．(1)求该抛物线的解析式；
(2)抛物线的对称轴上是否存在一点M，使 的周长最小？若存在，请求出M点的坐
标，若不存在，请说明理由．
类型四、二次函数的面积问题
1．如图，已知正方形 的边长是1，正方形 的顶点分别在 ， ， ，
上，且 ．设正方形 的面积是 ， 的长是 ，则下列说法正确的是（
）
A．当 时，S有最小值
B．当 时，S有最大值
C．S随x的增大而减小
D．S随x的增大而增大
2．如图，在正方形 中， ，E为边 上的动点，连接 ，以 为边作正方
形 ，连接 ， ，则 面积的最大值为 ．
3．如图，在平面直角坐标系 中，直线 与 轴相交于点 ，与 轴相交于点 ，
点 在线段 上（不与点 ， 重合），过点 作 的垂线，与直线 相交于点 ，
点 关于直线 的对称点为 ，连接 ．(1)求证： ；
(2)设点 的坐标为 ，当 时，线段 与线段 相交于点 ，求四边形
面积的最大值.
