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备战 2024 中考数学一轮复习
第八章统计与概率
第 2 讲概率
№考向解读
➊考点精析
➋真题精讲
➌题型突破
➍专题精练
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第 2 讲概率
该板块内容以考查基础为主,也是考查重点,年年都会考查,是广大考生的得分点，分值为
10分左右,预计2024年各地中考还将出现,并且在选择、解答中考查事件的判断、随机事
件的概率、概率与几何、频率估计概率、用树状图或列表法求概率、游戏的公平性问题等
知识这部分知识是考生的得分点，应掌握扎实.
→➊考点精析←
→➋真题精讲←
考向一 事件的分类
考向二 概率的计算
考向三 随机事件（等可能事件）的概率
考向四 利用频率估计概率
考向五 用树状图或列表法求概率
第 2 讲概率
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→➊考点精析←
一、事件的分类
1．必然事件：在一定条件下一定会发生的事件，它的概率是1．
2．不可能事件：在一定条件下一定不会发生的事件，它的概率是0．
3．随机事件：在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件，它的概率是0~1之间．
二、概率的计算
1．公式法：P（A）= ，其中n为所有事件的总数，m为事件A发生的总次数．
2．列举法
1）列表法：当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，应不重不漏地
列出所有可能的结果，通常采用列表法求事件发生的概率．
2）画树状图法：当一次试验要涉及2个或更多的因素时，通常采用画树状图来求事件发生
的概率．
三、利用频率估计概率
1．定义：一般地，在大量重复试验中，如果事件发生的频率稳定在某个常数P附近，因此，
用一个事件发生的频率 来估计这一事件发生的概率．
2．适用条件：当试验的所有可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，我
们一般要通过统计频率来估计概率．
3．方法：进行大量重复试验，当事件发生的频率越来越靠近一个常数时，该常数就可认为
是这个事件发生的概率．
四、概率的应用：概率是和实际结合非常紧密的数学知识，可以对生活中的某些现象做出
评判，如解释摸奖、评判游戏活动的公平性、数学竞赛获奖的可能性等等，还可以对某些
事件做出决策．
→➋真题精讲←
考向一 事件的分类
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1.如图，电路图上有 个开关 、 、 、 和 个小灯泡，同时闭合开关 、 或同时
闭合开关 、 都可以使小灯泡发光．下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件
的是（ ）
A．只闭合 个开关 B．只闭合 个开关 C．只闭合 个开关 D．闭合 个开关
【答案】B
【分析】观察电路发现，闭合 或闭合 或闭合三个或四个，则小灯泡一定发光，
从而可得答案．
【详解】解：由小灯泡要发光，则电路一定是一个闭合的回路，
只闭合 个开关，小灯泡不发光，所以是一个不可能事件，所以A不符合题意；
闭合 个开关，小灯泡发光是必然事件，所以D不符合题意；
只闭合 个开关，小灯泡有可能发光，也有可能不发光，所以B符合题意；
只闭合 个开关，小灯泡一定发光，是必然事件，所以C不符合题意．故选B．
【点睛】本题结合物理知识考查的是必然事件，不可能事件，随机事件的概念，掌握以上
知识是解题的关键．
2.下列事件中是不可能事件的是( )
A．守株待兔 B．瓮中捉鳖 C．水中捞月 D．百步穿杨
【答案】C
【分析】不可能事件是一定不会发生的事件，依据定义即可判断．
【详解】解：A、守株待兔，不一定就能达到，是随机事件，故选项不符合；
B、瓮中捉鳖是必然事件，故选项不符合；
C、水中捞月，一定不能达到，是不可能事件，选项不符合；
D、百步穿杨，未必达到，是随机事件，故选项不符合；故选C.
【点睛】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件
的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定
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不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
考向二 概率的计算
3．（2023·湖南·统考中考真题）从6名男生和4名女生的注册学号中随机抽取一个学号，
则抽到的学号为男生的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据概率公式求解即可．
【详解】解：总人数为 人，
随机抽取一个学号共有 种等可能结果，
抽到的学号为男生的可能有 种，
则抽到的学号为男生的概率为： ，
故选：B．
【点睛】本题考查了概率公式求概率；解题的关键是熟练掌握概率公式．
4.如图是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字“Ⅱ”所示区
域内的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直接利用“Ⅱ”所示区域所占圆周角除以360，进而得出答案．
【详解】解：由扇形统计图可得，指针落在数字“Ⅱ”所示区域内的概率是： ．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了概率公式，正确理解概率的求法是解题关键．
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考向三 随机事件（等可能事件）的概率
5．（2023·四川泸州·统考中考真题）从1，2，3，4，5，5六个数中随机选取一个数，这
个数恰为该组数据的众数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由众数的概念可知六个数中众数为5，然后根据简单概率计算公式求解即可．
【详解】解：1，2，3，4，5，5六个数中，数字5出现了2次，出现的次数最多，
故这组数据的众数为5，
所以从六个数中随机选取一个数，这个数恰为该组数据的众数的概率为 ．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了求一组数据的众数以及简单概率计算，正确确定该组数据的众数
是解题关键．
6．（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，转盘中四个扇形的面积都相等，任意转动这个
转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在灰色区域的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据灰色区域与整个面积的比即可求解．
【详解】解：∵转盘中四个扇形的面积都相等，设整个圆的面积为1，
∴灰色区域的面积为 ,
∴当转盘停止转动时，指针落在灰色区域的概率是 ，
故选：C．
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【点睛】本题考查了几何概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．
7.如图，小球从A入口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等．
则小球从E出口落出的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据“在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等”可知在点B、C、
D处都是等可能情况，从而得到在四个出口E、F、G、H也都是等可能情况，然后概率的意
义列式即可得解．
【详解】解：由图可知，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，
小球最终落出的点共有E、F、G、H四个，所以小球从E出口落出的概率是： ；故选：
C．
【点睛】此题考查的是求概率问题，掌握概率公式是解决此题的关键．
考向四 利用频率估计概率
8.为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区1000名九年级男生的身高数据，
统计结果如下．
身高
人数 60 260 550 130
根据以上统计结果，随机抽取该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于 的概率
是（ ）
A．0.32 B．0.55 C．0.68 D．0.87
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【答案】C
【分析】先计算出样本中身高不低于170cm的频率，然后根据利用频率估计概率求解．
【详解】解：样本中身高不低于170cm的频率 ，
所以估计抽查该地区一名九年级男生的身高不低于170cm的概率是0.68．故选：C．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位
置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋
势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，
随实验次数的增多，值越来越精确．
9.某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
射击次数
“射中 环以上”的次数
“射中 环以上”的频率(结
果保留小数点后两位)
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率是_______(结果
保留小数点后一位)．
【答案】0.8
【分析】根据大量的实验结果稳定在0.8左右即可得出结论．
【详解】∵从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.8附近，
∴这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率大约是0.8．故答案为：0.8．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位
置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋
势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
考向五 用树状图或列表法求概率
10．（2023·湖北武汉·统考中考真题）某校即将举行田径运动会，“体育达人”小明从
“跳高”“跳远”“100米”“400米”四个项目中，随机选择两项，则他选择“100米”
与“400米”两个项目的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
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【分析】设“跳高”“跳远”“100米”“400米”四个项目分别为 ，画出树
状图，找到所有情况数和满足要求的情况数，利用概率公式求解即可．
【详解】解：设“跳高”“跳远”“100米”“400米”四个项目分别为 ，画
树状图如下：
由树状图可知共有12种等可能情况，他选择“100米”与“400米”两个项目即选择C和
D的情况数共有2种，
∴选择“100米”与“400米”两个项目的概率为 ，
故选：C.
【点睛】此题考查了树状图或列表法求概率，正确画出树状图或列表，找到所有等可能情
况数和满足要求情况数是解题的关键．
11．（2023·山东临沂·统考中考真题）在项目化学习中，“水是生命之源”项目组为了解
本地区人均淡水消耗量，需要从四名同学（两名男生，两名女生）中随机抽取两人，组成
调查小组进行社会调查，恰好抽到一名男生和一名女生的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】画树状图得出所有等可能的结果数和抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生
的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：设两名男生分别记为 ， ，两名女生分别记为 ， ，
画树状图如下：
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共有 种等可能的结果，其中抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的结果有 种，
∴抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率为 ，
故选：D．
【点睛】本题考查列表法或树状图法求概率，解题时要注意是放回试验还是不放回试验；
概率等于所求情况数与总情况数之比．用列表法或画树状图法不重复不遗漏的列出所有可
能的结果是解题的关键．
12．（2023·山东滨州·统考中考真题）同时掷两枚质地均匀的骰子，则两枚骰子点数之和
等于7的概率是___________．
【答案】
【分析】利用表格或树状图列示出所有可能结果，找出满足条件的结果，根据概率公式计
算即可．
【详解】所有可能结果如下表 ，
所有结果共有36种，其中，点数之和等于7的结果有6种，概率为
故答案为： ．
【点睛】本题考查概率的计算，运用列表或树状图列示出所有可能结果是解题的关键．
13．（2023·重庆·统考中考真题）一个口袋中有1个红色球，有1个白色球，有1个蓝色球，
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这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摇匀后再从中随机摸出
一个球，则两次都摸到红球的概率是___________ ．
【答案】
【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即
可．
【详解】解：根据题意列表如下：
红球 白球 蓝球
（红球，红
红球 （白球，红球） （蓝球，红球）
球）
（红球，白
白球 （白球，白球） （蓝球，白球）
球）
（红球，蓝
蓝球 （白球，蓝球） （蓝球，蓝球）
球）
由表知，共有9种等可能结果，其中两次都摸到红球的有1种结果，
所以两次摸到球的颜色相同的概率为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总
情况数之比．
14．（2023·四川内江·统考中考真题）某校为落实国家“双减”政策，丰富课后服务内容，
为学生开设五类社团活动（要求每人必须参加且只参加一类活动）：A．音乐社团；B．体
育社团；C．美术社团；D．文学社团；E．电脑编程社团，该校为了解学生对这五类社团
活动的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据调查结果，绘制了如图所示
的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
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(1)此次调查一共随机抽取了___________名学生，补全条形统计图（要求在条形图上方注
明人数）；
(2)扇形统计图中圆心角 ___________度；
(3)现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，
请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率．
【答案】(1)200，补全条形统计图见解析
(2)54
(3)恰好选中甲、乙两名同学的概率为
【分析】（1）用B类型社团的人数除以其人数占比即可求出参与调查的总人数；用总人数
减去A、B、D、E四个类型社团的人数得到C类型社团的人数，即可补全条形统计图；
（2）用 乘以C类型社团的人数占比即可求出扇形统计图中 的度数；
（3）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到恰好选中甲和乙两名同学的结果数，
最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】（1）解： (人)，
C类型社团的人数为 (人)，补全条形统计图如图，
故答案为：200；
（2）解： ，
故答案为：54；
（3）解：画树状图如下：
∵共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两名同学的结果有2种，
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∴恰好选中甲、乙两名同学的概率为 ．
【点睛】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，树状图法或列表法求解概
率，正确读懂统计图并画出树状图或列出表格是解题的关键．
15．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）为落实中共中央办公厅、国务院办公厅印发的《关
于实施中华优秀传统文化传承发展工程意见》，深入开展“我们的节日”主题活动，某校
七年级在端午节来临之际，成立了四个社团：A包粽子，B腌咸蛋，C酿甜酒，D摘艾叶．
每人只参加一个社团的情况下，随机调查了部分学生，根据调查结果绘制了两幅不完整的
统计图：
(1)本次共调查了_________名学生；
(2)请补全条形统计图；
(3)学校计划从四个社团中任选两个社团进行成果展示，请用列表或画树状图的方法，求同
时选中A和C两个社团的概率．
【答案】(1)100
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据样本容量=频数÷所占百分数，计算即可．
（2）先计算B的人数，再完善统计图即可．
（3）利用画树状图计算即可．
【详解】（1）∵ (人)，
故答案为：100．
（2）B的人数： （人），
补全统计图如下：
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．
（3）根据题意，画树状图如下：
一共有12种等可能性，选中A，C的等可能性有2种，
故同时选中A和C两个社团的概率为 ．
【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图，画树状图求概率，熟练掌握统计图的意义，
准确画树状图是解题的关键．
16．（2023·江苏苏州·统考中考真题）一只不透明的袋子中装有4个小球，分别标有编号
，这些小球除编号外都相同．
(1)搅匀后从中任意摸出1个球，这个球的编号是2的概率为________________．
(2)搅匀后从中任意摸出1个球，记录球的编号后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球．求
第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1的概率是多少？（用画树状图或列表
的方法说明）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接利用概率公式求解即可求得答案；
（2）画树状图表示所有等可能出现的情况，从中找出符合条件的结果数，进而求出概率．
【详解】（1）解：搅匀后从中任意摸出1个球，这个球的编号是2的概率为 ；
（2）如图，画树状图如下：
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所有可能的结果数为16个，第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1的结果数
为3个，
∴第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1的概率为： ．
【点睛】本题考查简单随机事件的概率计算，利用列表法或树状图法求等可能事件发生的
概率，使用此方法一定注意每一种结果出现的可能性是均等的，即为等可能事件．
15
