文档文本内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
第 34 讲 概率
目 录
一、考情分析
二、知识建构
考点一 概率的相关概念
题型01 事件的分类
题型02 判断事件发生可能性的大小
题型03 理解概率的意义
题型04 判断几个事件概率的大小关系
考点二 概率的计算方法
题型01 根据概率公式计算概率
题型02 根据概率作判断
题型03 已知概率求数量
题型04 列举法求概率
题型05 画树状图法/列表法求概率
题型06 几何概率
题型07 由频率估计概率
题型08 用频率估计概率的综合应用
题型09 放回实验概率计算方法
题型10 不放回实验概率计算方法
题型11 游戏公平性
题型12 概率的应用
题型13 概率与统计综合
考点要求 新课标要求 命题预测
概率问题在中考数学中的考察难度在中档以下，年年
概率的相 能通过列表、画树状图等
都会考查，是广大考生的得分点，分值为10分左右，预
关概念 方法列出简单随机事件所有可能的
计2024年各地中考还将出现. 该专题考题的类型也比较
结果，以及指定随机事件发生的所
的固定，单独考察时，通常作为选择或者填空题，考概
概率的计 有可能结果，了解随机事件的概
率的基本定义和简单计算;综合考察时会和统计图表类问
算方法 率.
题结合，作为最后一问，考察概率的树状图或者列表分
1关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
析. 因为整体难度较小，属于中考数学中必拿分点，审
知道通过大量重复试验， 题时要多加注意即可.
可以用频率估计概率.
考点一 概率的相关概念
1. 概率的定义及计算公式
概率的定义：一般地，对于一个随机事件A，把刻画其发生可能性大小的数值，称之为随机事件A发生的概率，
记为P(A).
概率的意义：一个事件发生的概率是一个确定的数,它从数值上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小.
随 机 事 件 出 现 的 次数
概率公式： P(随机事件)= .
所 有 可 能 出 现 的 结 果数
2.确定事件与随机事件
定义 事件发生的概率
确 必然 在一定条件下，有些事情我们事先肯定它一定发生， P(必然事件)=1
定 事件 这些事情称为必然事件。
事 不可能 在一定条件下，有些事情我们事先肯定它一定不会发 P(不可能事件)=0
件 事件 生，这些事情称为不可能事件。
不确定事件 在一定条件下，许多事情我们无法确定它会不会发 0＜P(随机事件)＜1
（随机事件） 生，这些事情称为不确定事件（又叫随机事件）。
2关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
题型01 事件的分类
【例1】（2023·安徽合肥·统考模拟预测）彩民李大叔购买1张彩票，中奖．这个事件是（ ）
A．必然事件 B．确定性事件 C．不可能事件 D．随机事件
【变式1-1】（2023·湖北武汉·统考模拟预测）下列成语所描述的事件属于不可能事件的是（ ）
A．水落石出 B．水涨船高 C．水滴石穿 D．水中捞月
【变式1-2】（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）下列事件是必然事件的是（ ）
A．三角形内角和是180° B．端午节赛龙舟，红队获得冠军
C．掷一枚均匀骰子，点数是6的一面朝上 D．打开电视，正在播放神舟十四号载人飞船发射实况
【变式1-3】（2021·贵州贵阳·统考一模）如图，电路图上有4个开关A、B、C、D和1个小灯泡，同时闭
合开关A、B或同时闭合开关C、D都可以使小灯泡发光．下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机
事件的是（ ）
A．只闭合1个开关 B．只闭合2个开关 C．只闭合3个开关 D．闭合4个开关
【变式1-4】（2024·福建福州·校考一模）下列事件中是随机事件的是（ ）
A．明天太阳从东方升起
B．经过有交通信号灯的路口时遇到红灯
C．平面内不共线的三点确定一个圆
D．任意画一个三角形，其内角和是540°
题型02 判断事件发生可能性的大小
【例2】（2022·广东中山·统考一模）某校九年级选出三名同学参加学校组织的“法治和安全知识竞赛”．
比赛规定，以抽签方式决定每个人的出场顺序，主持人将表示出场顺序的数字1，2，3分别写在3张同样
的纸条上，并将这些纸条放在一个不透明的盒子中，搅匀后从中任意抽出一张，小星第一个抽，下列说法
中正确的是（ ）
A．小星抽到数字1的可能性最小 B．小星抽到数字2的可能性最大
C．小星抽到数字3的可能性最大 D．小星抽到每个数的可能性相同
【变式2-1】（2021·河北唐山·统考一模）下列4个袋子中，装有除颜色外完全相同的10个小球，任意摸
出一个球，摸到红球可能性最大的是（ ）
3关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A． B． C． D．
【变式2-2】（2023·安徽芜湖·芜湖市第二十九中学校考一模）袋子里有8个红球，m个白球，3个黑球，
每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，若摸到红球的可能性最大，则m的值不可能是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．10
【变式2-3】（2023·贵州贵阳·校考一模）将4张质地相同的卡片背面朝上放置，正面分别标有1～4四个
数字，随机抽出一张，出现可能性最大的是（ ）
A．数字大于2的卡片B．数字小于2的卡片
C．数字大于3的卡片 D．数字小于4的卡片
判断事件发生的可能性大小，首先看是什么事件，必然事件的可能性最大为 100%，不可能事件的
可能性最小为0，随机事件的可能性有大有小，其发生可能性介于0－100%．在随机事件中，要想判断
随机事件发生的概率就要列举出随机事件中可能出现的各种结果，其中包含的结果数多的事件发生的
可能性大．所以平时要多加练习如何列举全随机事件中包含的各种结果，如果少列举一种都会造成错
误结果．
题型03 理解概率的意义
【例3】（2022·广东深圳·校考一模）“14人中至少有2人在同一个月过生日”这一事件发生的概率为P，
则（ ）
A．P＝0 B．0＜P＜1 C．P＝1 D．P＞1
【变式3-1】（2022·安徽芜湖·统考一模）县气象站天气预报称，明天千岛湖镇的降水概率为90%，下列理
解正确的是（ ）
A．明天千岛湖镇下雨的可能性较大
B．明天千岛湖镇有90%的地方会下雨
C．明天千岛湖镇全天有90%的时间会下雨
D．明天千岛湖镇一定会下雨
【变式3-2】（2022·河北石家庄·校联考一模）抛掷一枚质地均匀的硬币时，正面向上的概率是0.5．则下
列判断正确的是（ ）
A．连续掷2次时，正面朝上一定会出现1次
B．连续掷100次时，正面朝上一定会出现50次
C．连续掷2n次时，正面朝上一定会出现n次
4关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
D．当抛掷次数越大时，正面朝上的频率越稳定于0.5
【变式3-3】（2023·山西晋城·统考一模）在抛掷一枚均匀硬币的试验中，如果没有硬币，我们可以用替代
物，但下列物品不能做替代物的是（ ）
A．一枚均匀的普通六面体骰子 B．两张扑克牌(一张黑桃，一张红桃)
C．两个只有颜色不同的小球 D．一枚图钉
题型04 判断几个事件概率的大小关系
【例4】（2021·福建福州·福州三牧中学校考二模）在一个布袋中装有红、白两种颜色的小球，它们除颜色
外没有任何其他区别．其中红球若干，白球5个，袋中的球已搅匀．若从袋中随机取出1个球，取出红球
的可能性大，则红球的个数是（ ）
A．4个 B．5个 C．不足4个 D．6个或6个以上
【变式4-1】（2023·广东云浮·统考二模）任意抛掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，发生可能性最大的
事件是（ ）
A．朝上一面的点数大于2 B．朝上一面的点数为3
C．朝上一面的点数是2的倍数 D．朝上一面的点数是3的倍数
【变式4-2】（2020·内蒙古鄂尔多斯·统考一模）桌子上有6杯同样型号的杯子，其中1杯84消毒液，2杯
75%的酒精，3杯双氧水，从6个杯子中随机取出1杯，请你将下列事件发生的可能性从大到小排列： ．
（填序号 即可）①取到75%的酒精；②取到双氧水；③没有取到75%的酒精；④取到84消毒液．
考点二 概率的计算方法
公式法 m
P（A）= ，其中n为所有事件的总数，m为事件A发生的总次数．
n
在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，我们可通过列
举试验结果的方法，分析出随机事件发生的概率，这种方法称为列举法.
【注意事项】
列举法 1）直接列举试验结果时，要有一定的顺序性，保证结果不重不漏.
2）用列举法求概率的前提有两个：①所有可能出现的结果是有限个 ②每个结果出现的可能性相等.
3）所求概率是一个准确数，一般用分数表示.
当事件中涉及两个以上的因素时，用树状图的形式不重不漏地列出所有可能的结果的方法叫画树状图
法.
画树状图法求概率的步骤：
画树状图法 1) 明确试验由几个步骤组成；
5关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
2) 画树状图分步列举出试验的所有等可能结果；
3) 根据树状图求出所关注事件包含的结果数及所有等可能的结果数，再利用概率公式求解.
当事件中涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，用表格不重不漏地列出所有可能的结果，
这种方法叫列表法.
列表法 列表法求概率的步骤：
1）列表，并将所有可能结果有规律地填人表格；
2）通过表格计数，确定所有等可能的结果数n和符合条件的结果数m的值；
m
3）利用概率公式P(A)= ，计算出事件的概率．
n
通过大量重复试验，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示
用频率估计 出一定的稳定性. 因此可以用随机事件发生的频率来估计该事件发生的概率.
概率的方法 适用范围：当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等
时，一般通过统计频率来估计概率．
1. 当一次试验要涉及两个因素或一个因素做两次试验并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地
列出所有可能的结果，通常可以采用列表法，也可以用树状图法. 当试验包含三步或三步以上时，不能
用列表法，用画树状图法比较方便.
2. 概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值，且随实验次数的增多，值越来越精确.
题型01 根据概率公式计算概率
【例1】（2023·广西·模拟预测）书架上有2本数学书、1本物理书．从中任取1本书是物理书的概率为（
）
1 1 1 2
A． B． C． D．
4 3 2 3
【变式1-1】（2023·湖北武汉·统考模拟预测）在一个不透明的袋子里，装有3个红球、1个白球，它们除
颜色外都相同，从袋中任意摸出一个球为红球的概率是（ ）
3 1 1 1
A． B． C． D．
4 2 3 4
【变式1-2】（2023·广西·模拟预测）老师从甲、乙，丙、丁四位同学中任选一人去学校劳动基地浇水，选
中甲同学的概率是（ ）
6关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
1 1 1 3
A． B． C． D．
5 4 3 4
【变式1-3】（2023·辽宁抚顺·统考一模）如图，一个质地均匀的正五边形转盘，指针的位置固定，当转盘
自由转动停止后，观察指针指向区域内的数（若指针正好指向分界线，则重新转一次），这个数是一个奇
数的概率是 ．
题型02 根据概率作判断
【例2】（2020·北京·一模）一个不透明的袋中装有8个黄球，m个红球，n个白球，每个球除颜色外都相
同．任意摸出一个球，是黄球的概率与不是黄球的概率相同，下列m与n的关系一定正确的是（ ）
A．m=n=8 B．n−m=8 C．m+n=8 D．m−n=8
【变式2-1】（2015·河北石家庄·统考一模）已知电流在一定时间段内正常通过电子元件“ ”的概率
是0.5，则在一定时间段内，由该元件组成的图示电路A，B之间，电流能够正常通过的概率是 ．
【变式2-2】（2023·福建厦门·统考一模）一个不透明盒子中装有1个红球、2个黄球，这些球除颜色外无
1
其他差别．从该盒子中随机摸出1个球，请写出概率为 的事件： ．
3
题型03 已知概率求数量
【例3】（2023·广东·统考二模）一个不透明的口袋中装有n个白球，为了估计白球的个数，向口袋中加入
两个红球，它们除颜色外其它完全相同．通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在10%附近，则
n的值为（ ）
A．18 B．20 C．22 D．24
【变式3-1】（2023·山东临沂·统考一模）一个不透明的箱子中有5个红球和若干个黄球，除颜色外无其它
1
差别.若任意摸出一个球，摸出红球的概率为 ，则这个箱子中黄球的个数为 个．
4
【变式3-2】（2018·四川成都·成都外国语学校校考一模）袋中装有6个黑球和n个白球，经过若干次试验，
3
发现“若从袋中任摸出一个球，恰是黑球的概率为 ”，则这个袋中白球大约有 个．
4
7关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【变式3-3】（2020·辽宁鞍山·统考一模）在一个不透明的袋子中装有6个红球和若干个白球，这些球除颜
色外都相同，将球搅匀后随机摸出一个球，记下颜色后放回，不断重复这一过程，共摸球100次，发现有
20次摸到红球，估计袋子中白球的个数约为 ．
【变式3-4】（2023·广西南宁·广西大学附属中学校联考一模）黔东南州某校数学兴趣小组开展摸球试验，
具体操作如下：在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的小球共4个，这些球除颜色外无其它差别，
将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，然后再把它放回盒子里搅匀，再随机摸出一球记下颜色，不断
重复摸球实验．下表是这次活动的一组统计数据：
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数m 26 38 50 127 197 251
摸到白球的频率
m 0.260 0.253 0.250 0.254 0.246 0.251
n
(1)请你根据上表统计数据估计：从不透明的盒子里随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率约为
___________（精确到0.01）；
(2)试估算盒子里有多少个白球？
(3)根据第（2）题的估算结果，若从盒子里随机摸出两球，请画树状图或列表求“摸到两个颜色相同小
球”的概率．
题型04 列举法求概率
【例4】（2023·湖北武汉·校考模拟预测）随着信息化的发展，二维码已经走进我们的日常生活，其图案主
要由黑、白两种小正方形组成．现对由三个小正方形组成的“ ”进行涂色，每个小正方形随
机涂成黑色或白色，恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形的概率为（ ）
1 3 1 2
A． B． C． D．
3 8 2 3
【变式4-1】（2023·广东佛山·校考一模）宋代程颢的《秋月》有四句古诗如下：
①空水澄鲜一色秋；②白云红叶两悠悠；
③清溪流过碧山头；④隔断红尘三十里
这四句古诗的顺序被打乱了，敏敏想把这四句古诗调整为正确位置，则她第一次就调整正确的可能性是（
）
1 1 1 1
A． B． C． D．
12 18 24 64
【变式4-2】．（2021·山东潍坊·校考二模）现有下列长度的五根木棒：3，5，8，10，13，从中任取三根，
可以组成三角形的概率为 ．
8关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
题型05 画树状图法/列表法求概率
【例5】（2023·山东济南·统考一模）为了疫情防控，某小区需要从甲、乙、丙、丁 4名志愿者中随机抽
取2名负责该小区入口处的测温工作，则甲被抽中的概率是（ ）
1 1 3 5
A． B． C． D．
2 4 4 12
【变式5-1】（2022·广东深圳·校考一模）同时掷两枚质地均匀的骰子，则两枚骰子向上的点数之和为7的
概率是（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
12 6 3 2
【变式5-2】（2023·辽宁沈阳·模拟预测）一只不透明的袋子中装有3个大小、质地完全相同的乒乓球，球
面上分别标有数字1、2、3，搅匀后先从袋子中任意摸出1个球，记下数字后放回，搅匀后再从袋子中任
意摸出1个球，记下数字．
(1)第一次摸到标有偶数的乒乓球的概率是______；
(2)用画树状图或列表等方法求两次都摸到标有奇数的乒乓球的概率．
【变式5-3】（2023·陕西宝鸡·统考一模）有五个封装后外观完全相同的纸箱，且每个纸箱内各装有一个西
瓜，其中，所装西瓜的重量分别为6kg，6kg，7kg，7kg，8kg．现将这五个纸箱随机摆放．
(1)若从这五个纸箱中随机选1个，则所选纸箱里西瓜的重量为6kg的概率是______；
(2)若从这五个纸箱中随机选2个，请利用列表或画树状图的方法，求所选两个纸箱里西瓜的重量之和为
15kg的概率．
【变式5-4】（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图所示，甲、乙两个带指针的转盘分别被分成三个面积相
等的扇形（两个转盘除表面数字不同外，其它完全相同），转盘甲上的数字分别是−6，−1，8，转盘乙上
的数字分别是−4，5，7（规定：指针恰好停留在分界线上，则重新转一次）．
(1)转动转盘，转盘甲指针指向正数的概率是__________；转盘乙指针指向正数的概率是__________．
(2)若同时转动两个转盘，转盘甲指针所指的数字记为a，转盘乙指针所指的数字记为b，请用列表法或树
状图法求满足a+b<0的概率．
题型06 几何概率
【例6】（2023·安徽合肥·统考模拟预测）如图，在5×6的长方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜
色外都相同，小正方形的顶点称为格点，扇形OAB的圆心及弧的两端均为格点．假设飞镖击中每一块小正
方形是等可能的（击中扇形的边界或没有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，飞镖击中扇形
9关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
OAB（阴影部分）的概率是（ ）
π π √10π √5π
A． B． C． D．
12 24 60 60
【变式6-1】（2022·福建漳州·统考模拟预测）将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形镖盘上，飞镖落
在白色区域的概率为( )
1 1 2 3
A． B． C． D．
2 3 5 5
【变式6-2】（2022·福建龙岩·统考一模）如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），
小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为5m，宽为4m的长方形，将不规则图案围
起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上
或长方形区域外不计实验结果），他将若干次有效实验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计
不规则图案的面积大约为（ ）
A．6m2 B．7m2 C．8m2 D．9m2
【变式6-3】（2020·浙江衢州·统考模拟预测）如图是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，
指针落在数字“Ⅱ”所示区域内的概率是（ ）
10关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
1 1 1 1
A． B． C． D．
3 4 6 8
【变式6-4】（2022·贵州毕节·统考模拟预测）如图，将一个棱长为3的正方体表面涂上颜色，再把它分割
成棱长为1的小正方体，将它们全部放入一个不透明盒子中摇匀，随机取出一个小正方体，只有一个面被
涂色的概率为（ ）
4 2 8 20
A． B． C． D．
27 9 27 27
【变式6-5】（2023·湖南株洲·校考模拟预测）如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机的停留在
某块方砖上，那么它最终停留在阴影区域的概率是 ．
【变式6-6】（2022·辽宁葫芦岛·统考二模）如图，正方形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，点E
在线段BC上，OF⊥OE交CD于点F，小明向正方形内投掷一枚飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率是
．
题型07 由频率估计概率
【例7】（2020·浙江绍兴·统考模拟预测）某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出
现的频率，绘制了如下的表格，则符合这一结果的实验最有可能的是（ ）
实验次数 100 200 300 500 800 1000 2000
频率 0.365 0.328 0.330 0.334 0.336 0.332 0.333
A．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
B．抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是5
C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
11关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
D．抛一枚硬币，出现反面的概率
【变式7-1】（2023·山东青岛·模拟预测）在一个不透明的口袋中装有红球和白球共8个，这些球除颜色外
都相同，将口袋中的球搅匀后，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，
共摸了100次球，发现有75次摸到红球，则口袋中红球的个数约为 ．
【变式7-2】（2023·江苏扬州·校考二模）为了比较甲、乙两鱼池中的鱼苗数目，小明从两鱼池中各捞出
100条鱼苗，每条做好记号，然后放回原鱼池；一段时间后，在同样的地方，小明再从甲、乙两鱼池中各
捞出100条鱼苗，发现其中有记号的鱼苗分别是5条、10条，可以初步估计鱼苗数目较多的是
鱼池（填甲或乙）
【变式7-3】（2023·广东佛山·统考一模）2022年3月12日是我国第44个植树节，某林业部门为了考察某
种幼树在一定条件下的移植成活率，在同等条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，下表是
这种幼树移植过程中的一组统计数据：
1000
幼树移植数（棵） 100 1000 5000 8000 15000 20000
0
幼树移植成活数
87 893 4485 7224 8983 13443 18044
（棵）
幼树移植成活的频率 0.870 0.893 0.897 0.903 0.898 0.896 0.902
估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是 ．（结果精确到0.1）
【变式7-4】（2023·福建三明·统考一模）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
射击次数 20 80 100 200 400 800 1000
射中九环以上次数 18 68 82 166 330 664 832
射中九环以上的频
0.90 0.85 0.82 0.83 0.825 0.83 0.832
率
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“中九环以上”的概率约是 .（精确到0.01）
题型08 用频率估计概率的综合应用
【例8】（2022·福建·二模）不透明袋子中装有红、黄小球各若干个，这些球除颜色外无其他差别．把“从
袋子中随机摸出一个小球”作为试验，每次试验后，将摸出的小球放回摇匀，再进行下一次试验．试验数
据显示：大量重复试验后，摸出红球的频率越来越稳定于0.2，则下列对于袋子中球的数量的估计，最合
理的是（ ）
A．红球有2个 B．黄球有10个
C．黄球的数量是红球的4倍 D．黄球和红球的数量相等
【变式8-1】（2015·河北·模拟预测）某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，
绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（ ）
12关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
C．暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球
D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是6
【变式8-2】（2023·北京朝阳·统考二模）某射箭选手在同一条件下进行射箭训练，结果如下：
射箭次数n 10 20 50 100 200 350 500
射中靶心的次数m 7 17 44 92 178 315 455
射中靶心的频率
m 0.70 0.85 0.88 0.92 0.89 0.90 0.91
n
下列说法正确的是（ ）
A．该选手射箭一次，估计射中靶心的概率为0.90
B．该选手射箭80次，射中靶心的频率不超过0.90
C．该选手射箭400次，射中靶心的次数不超过360次
D．该选手射箭1000次，射中靶心的次数一定为910次
【变式8-3】（2020·江苏扬州·统考模拟预测）大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用．如
图是小明同学的苏康码（绿码）示意图，用黑白打印机打印于边长为2cm的正方形区域内，为了估计图中
黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在
0.6左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为 cm2．
【变式8-4】（2023·江苏徐州·统考一模）国务院教育督导委员会办公室印发的《关于组织责任督学进行
“五项管理”督导的通知》指出，要加强中小学生作业、睡眠、手机、读物、体质管理．某校数学社团成
员采用随机抽样的方法，抽取了八年级部分学生，对他们一周内平均每天的睡眠时间t（单位：h）进行了
调查，将数据整理后得到下列不完整的统计图表：
频
组别 睡眠时间分组 频率
数
13关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A t<6 4 0.08
B 6≤t<7 8 0.16
C 7≤t<8 10 a
D 8≤t<9 21 0.42
E t≥9 b 0.14
请根据图表信息回答下列问题：
（1）频数分布表中，a=________，b=________；
（2）扇形统计图中，C组所在扇形的圆心角的度数是________°；
（3）请估算该校600名八年级学生中睡眠不足7小时的人数；
（4）研究表明，初中生每天睡眠时长低于7小时，会严重影响学习效率．请你根据以上调查统计结果，向
学校提出一条合理化的建议．
题型09 放回实验概率计算方法
【例9】（2017·河北·模拟预测）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共40个，小颖做摸球试
验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，然后把它放回盒子中，不断重复上述过程．
如图所示为“摸到白球”的频率折线统计图．
(1)请估计：当n足够大时，摸到白球的频率将会接近__________（结果精确到0.1），假如小李摸一次球，
小李摸到白球的概率为__________；
(2)试估算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个；
3
(3)在（2）的条件下，如果要使摸到白球的频率稳定在 ，需要往盒子里再放入多少个白球？
5
【变式9-1】（2024·福建南平·统考一模）在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字 1，3，4，5 的
小球．它们的形状、大小、质地等完全相同．小明先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为 x，放回盒
子摇匀后，再由小华随机取出一个小球，记下数字为 y．
(1)列出表示点(x,y)的所有可能出现的结果；
(2)求小明、小华各取一次小球所确定的点(x,y)落在一次函数y=5x的图象上的概率．
【变式9-2】（2022·陕西西安·校考模拟预测）一个不透明的箱子里装有1枚黑棋子和若干枚白棋子，这些
14关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
棋子除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的棋子摇匀后随机摸出一枚棋子，记下颜色后再放回箱子里，
1
通过大量重复试验后，发现摸到黑棋子的频率稳定于 ．
3
(1)请你估计箱子里白棋子的数量；
(2)若一个不透明的袋子里装有2枚黑棋子和1枚白棋子，从箱子和袋子里各随机摸出一枚棋子，请用树状
图或列表法求摸出的两枚棋子颜色不同的概率．
【变式9-3】（2021·广东清远·一模）为庆祝党的二十大胜利召开，阳光中学举行作文比赛，题目有“科技
托起强国梦”“家乡的新变化““时代赋予我们的使命”．比赛时，将这三个作文题目写在三张无差别不
透明的卡片的正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，然后参赛学生依次抽取：乐乐先从中随机抽取一张卡
片，放回后洗匀，再由贝贝从中随机抽取一张卡片，……，每人所抽取到的卡片题目均为自己此次参赛作
文的题目．
(1)贝贝抽中题目“家乡的新变化“的概率是 ．
(2)请用画树状图或列表的方法表示出乐乐和贝贝两人抽取的所有可能的结果，并求出他俩抽中不同题目的
概率．（三个作文题目分别用字母A，B，C表示）
题型10 不放回实验概率计算方法
【例10】（2023·江苏盐城·校考二模）盐城地处黄海之滨，市域内海洋滩涂资源丰富，滩涂面积占江苏省
滩涂总面积近70%，被誉为“东方湿地之都”．黄海湿地文化是盐城身份认同、文化自信的重要载体，丹
顶鹤、麋鹿、勺嘴鹬“湿地吉祥三宝”更是世界闻名．为保护与宣传这“三宝”，某校生物兴趣小组设计
了3张环保宣传卡片，正面分别绘有丹顶鹤、麋鹿、勺嘴鹬图案，除此之外卡片完全相同．
(1)将这3张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，则抽取的卡片正面图案恰好是“麋鹿”的概率为
_____；
(2)将这3张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，不放回，再从剩余的两张卡片中随机抽取一张，请
用列表或画树状图的方法，求抽取的卡片正面图案恰好是“丹顶鹤”和“勺嘴鹬”的概率．
【变式10-1】（2023·陕西榆林·统考模拟预测）中国一中亚峰会于5月18日至19日在陕西省西安市举行，
让千年古都再次聚焦世界的目光．也让每一个西安人、陕西人感到骄傲．在一个不透明的口袋里，装有分
别标着汉字“喜”、“迎”、“中”、“亚”、“峰”、“会”的六个小球
(1)若从袋中任取一个小球，则取到的小球上的汉字恰好是“亚”的概率为 ；
(2)从袋中任取一个小球，不放回．搅匀后再从剩下的五个小球中任取一个，请用画树状图或列表法（汉字
不分先后顺序）求出取到的两个小球上的汉字恰能组成“喜迎”或“中亚”或“峰会”的概率．
15关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【变式10-2】（2022·广东湛江·校联考二模）在一个不透明的布袋中，有红，白两种颜色的小球，这些球
2
除颜色外都相同，其中白球1个，现从中任意摸出一个红球的概率为 ．
3
(1)求袋中红球的个数为___________．
(2)搅匀后先从中任意摸出1个球（不放回），再从余下的球中任意摸出1个球．请用树状图或表格求两次都
摸到红球的概率．
【变式10-3】（2023·吉林白山·校联考二模）从一副扑克牌中取出四张牌，它们的牌面数字分别为1、2、
2、3，将这四张扑克牌背面，朝上洗匀，从中随机抽取一张，不放回，再从剩余的三张牌中随机抽取一张．
请用画树状图或列表的方法，求抽取的这两张牌的牌面数字之和为偶数的概率．
【变式10-4】（2023·江苏连云港·统考一模）将图中的A型、B型、C型矩形纸片分别放在3个盒子中，
盒子的形状、大小、质地都相同，再将这3个盒子装入一只不透明的袋子中．
(1)搅匀后从中摸出1个盒子，则摸出的盒子中是A型矩形纸片的概率 ；
(2)搅匀后先从中摸出1个盒子(不放回)，再从余下的两个盒子中摸出一个盒子，用列表法或画树状图法求2
次摸出的盒子的纸片能拼成一个新矩形的概率(不重叠无缝隙拼接)．
对于“放回”和“不放回”的题目，易错点在于不知道如何判断是“放回”还是“不放回”，只要
判断正确，然后结合树状图等方法就能迎刃而解：如，过红绿灯、选择直行、左、右转弯等，就属于
放回这类问题，他们有共同特征就是每一次都有同样多的选择；从几个人里选两个人参加活动、一次
性选择两个物品等，属于不放回问题，他们的共同特征就是每抽取一次，下一次就少一种情况，特别
注意同时抽取，也是表示抽出来不放回．做题时，一定要看清每次选择后的下一步选择是都有同样多
的选择还是少了一种选择以正确判断是“放回”还是“不放回”．
题型11 游戏公平性
【例11】（2022·北京西城·统考二模）如图，在8个格子中依次放着分别写有字母a～h的小球．
甲、乙两人轮流从中取走小球，规则如下：
①每人首次取球时，只能取走2个或3个球；后续每次可取走1个，2个或3个球；
②取走2个或3个球时，必须从相邻的格子中取走；
③最后一个将球取完的人获胜．
（1）若甲首次取走写有b，c，d的3个球，接着乙首次也取走3个球，则 （填“甲”或“乙”）一
定获胜；
16关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
（2）若甲首次取走写有a，b的2个球，乙想要一定获胜，则乙首次取球的方案是 ．
【变式11-1】（2023·云南·模拟预测）2022年3月23日下午，“天宫课堂”第二课开讲，航天员翟志刚、
王亚平、叶光富相互配合进行授课，激发了同学们学习航天知识的热情．小冰和小雪参加航天知识竞赛时，
均获得了一等奖，学校想请一位同学作为代表分享获奖心得．小冰和小雪都想分享，于是两人决定一起做
游戏，谁获胜谁分享，游戏规则如下：甲口袋装有编号为1，2的两个球，乙口袋装有编号为1，2，3，
4，5的五个球，两口袋中的球除编号外都相同．小冰先从甲口袋中随机摸出一个球，小雪再从乙口袋中随
机摸出一个球，若两球编号之和为奇数，则小冰获胜；若两球编号之和为偶数，则小雪获胜．
请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平．
【变式11-2】（2021·云南昆明·校联考一模）小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张
入场券，于是他们设计了一个“配紫色”游戏：A，B是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面
积相等的几个扇形、同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可
以配成紫色．若配成紫色，则小颖去观看，否则小亮去观看．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．
【变式11-3】（2020·云南昆明·统考一模）现有A、B两个不透明袋子，分别装有3个除颜色外完全相同
的小球．其中，A袋装有2个白球，1个红球；B袋装有2个红球，1个白球．
（1）将A袋摇匀，然后从A袋中随机取出一个小球，求摸出小球是白色的概率；
（2）小华和小林商定了一个游戏规则：从摇匀后的A，B两袋中随机摸出一个小球，摸出的这两个小球，
若颜色相同，则小林获胜；若颜色不同，则小华获胜．请用列表法或画出树状图的方法说明这个游戏规则
对双方是否公平．
题型12 概率的应用
【例12】（2022·福建·校联考一模）商场在国庆期间举行部分商品优惠促销活动，顾客只能从以下两种方
案中选择一种：
方案一：购物每满200元减66元；
方案二：顾客购物达到200元可抽奖一次．具体规则是：在一个箱子内装有四张一样的卡片，四张卡片中
有2张写着数字1，2张写着数字5．顾客随机从箱子内抽出两张卡片，两张卡片上的数字和记为w，w的
值和享受的优惠如表所示．
w的值 2 6 10
实际付
8折 7折 6折
款
(1)若按方案二的抽奖方式，利用树形图（或列表法）求一次抽奖获得7折优惠的概率；
17关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(2)若某顾客的购物金额为a元（200<a<300），请用所学统计与概率的知识，求出选择方案二更优惠时a
的取值范围．
【变式12-1】（2022·山西·山西大附中校考一模）某商场，为了吸引顾客，在“元旦”当天举办了商品有
奖酬宾活动，凡购物满200元者，有两种奖励方案供选择：
方案一：是直接获得20元的礼金卷；
方案二：是得到一次摇奖的机会．规则如下：已知如图是由转盘和箭头组成的两个转盘A、B，这两个转盘
除了颜色不同外，其它构造完全相同，摇奖者同时转动两个转盘，指针分别指向一个区域（指针落在分割
线上时重新转动转盘），根据指针指向的区域颜色（如表）决定送礼金券的多少．
指针指向 两红 一红一蓝 两蓝
礼金券
18 9 18
（元）
(1)请你用列表法（或画树状图法）求两款转盘指
针分别指向一红区和一蓝区的概率．
(2)如果一名顾客当天在本店购物满200元，若只考虑获得最多的礼品券，请你帮助分析选择哪种方案较为
实惠．
【变式12-2】（2021·江苏无锡·校联考一模）一款游戏的规则如下：如图①为游戏棋盘，从起点到终点共
7步；如图②是一个被分成4个大小相等的扇形的转盘，转动转盘，待转盘自动停止后，此时，称为转动
转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内
部为止），每次棋子按照指针所指的数字前进相应的步数，若棋子最终能恰好落在终点的视为通过游戏，
棋子从起点前进2步到达B，第二次转动转盘指针所指数字为3，…，直到棋子到达终点或超过终点停止．
（1）转动转盘一次，求转盘停止后指针指向4的概率；
（2）请用列表或画树状图法，求转动转盘两次能通过游戏的概率．
【变式12-3】（2020·新疆·统考二模）一个智力挑战赛需要全部答对两道单项选择题，才能顺利通过第一
关.第一道题有4个选项，第二道题有3个选项，这两道题小新都不会，不过小新还有一个“求助卡”没有
用，使用“求助卡”可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项．
18关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
（1）如果小新在第--题使用“求助卡”，请用树状图或者列表来分析小新顺利通过第一关的概率；
（2）从概率的角度分析，你建议小新在第几题使用“求助卡”．为什么．
题型13 概率与统计综合
【例13】（2022·安徽·校联考模拟预测）2021年，中国科技取得10项重大突破，其中4项和安徽有关，分
别是A．“人造太阳”刷新世界纪录；B．“九章2.0”和“祖冲之2.0”的出现；C．光存储时间达1小时；
D．证明凯勒几何核心猜想．为调查学生对这4项科技最想了解的情况，某校对九年级部分学生进行了随
机调查（每人只能选一个），根据调查统计结果，绘制成两幅不完整的统计图．请结合统计图，回答下列
问题．
(1)参加这次调查的学生总人数为________；扇形统计图中，D部分扇形所对应圆心角的度数是________；
将条形统计图补充完整；
(2)该校九年级共有800名学生，按照此调查结果，估计最想了解C项目的学生人数；
(3)在所调查的学生中随机抽取甲、乙两名学生，求恰好甲最想了解A项目、乙最想了解D项目的概率．
【变式13-1】（2023·浙江绍兴·校联考模拟预测）某中学的一个数学 兴趣
小组在本校学生中开展了主题为“防诈、反诈”的专题调查活动，采 取随
机抽样的方式进行问卷调查，问卷调查的结果分为“A．非常了解”、 “ B．
比较了解”、“ C．基本了解”、“ D．不太了解”四个等级，将 所得
数据进行整理后，绘制成如图两幅不完整的统计图表，请你结合图表 中的
信息解答下列问题：
等级 A B C D
频数 110 50 36 n
频率 0.55 m 0.18 0.02
(1)表中m的值为 ，n的值为 ；
(2)扇形统计图中，等级B所对应的扇形的圆心角是 °；
(3)若该校从甲、乙、丙、丁四人中随机选取两人参加市里的比赛，求甲、乙两人恰好同时选中的概率．
【变式13-2】（2022·安徽合肥·合肥38中校考一模）在加强对中小学生“双减”和“五项管理”政策下，
某校为了了解在教学改革模式下九年级期末数学成绩，随机抽取40名学生抽测，满分为50分，并将测试
19关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
成绩分成五档：A档：40≤x≤50；B档：30≤x<40；C档：20≤x<30；D档：10≤x<20；E 档：
0≤x<10，绘制频数分布图如下，已知在20≤x<30这一组的具体得分（单位：分）是20、26、22、27、
28、26、 26、26、24、29、27、21、28、27．
(1)在20≤x<30这一组成绩数据中，中位数为 ，众数为 ，并补全频数分布直方图；
(2)若成绩不低于40分为优秀，该校九年级有1800名学生，则该校九年级期末数学成绩优秀的学生约有多
少名？
(3)该校举办“一帮一”活动，在A档中随抽取两名学生，在E档随抽取两名学生，则该4名同学中随机抽
取2名学生，恰好抽出一名A档学生和一名E档学生的概率是多少？
【变式13-3】（2023·辽宁铁岭·统考一模）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智
慧启发，让人滋养浩然之气．”河南省实验中学响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读，学校文学社
为了解学生课外阅读情况，抽样调查了20名学生每天用于课外阅读的时间，以下是部分数据和不完整的统
计图表：阅读时间在40≤x<60范围内的数据：40，50，45，50，40，55，45，40不完整的统计图表：
人数
课外阅读时间x（min） 等级
0≤x<20 D 3
20≤x<40 C a
40≤x<60 B 8
x≥60 A b
结合以上信息回答下列问题：
(1)统计表中的a=______；统计图中B组对应扇形的圆心角为______度；
(2)阅读时间在40≤x<60范围内的数据的众数是______min；根据调查结果，请你估计全校600名同学课外
阅读时间不少于40min的人数有______人；
(3)A等级学生中只有一名女生，从A等级学生中选两名学生对全校学生作读书的收获和体会的报告，用列
举法或树状图法求恰好选择一名男生和一名女生的概率．
20
