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备战2024年中考数学模拟卷01（全国专用）
（考试时间：120分钟 满分：120分）
第Ⅰ卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中选一个正确
的答案）
1．下列各数中，最小的数是（ ）
A．﹣1 B．0 C． D．|﹣2|
【答案】A
【解析】解：|﹣2|＝2，
∵﹣1＜﹣ ＜0＜2，
∴﹣1＜﹣ ＜0＜|2|．
故选：A．
2．“约会哈尔滨冰雪暖世界”哈尔滨冰雪季系列主题活动开展的如火如荼．“冰雪大世
界”由10万吨冰打造而成，占地面积81.67万平方米，建设规模创历史之最．其中10
万用科学记数法表示为（ ）
A．10×105 B．1×104 C．0.1×105 D．1×105
【答案】D
【解析】解：∵10万＝100000，
∴10万用科学记数法表示为1×105．
故选：D．
3．下列运算中，正确的是（ ）
A．（a2）3＝a8 B．（﹣3a）2＝6a2
C．a2•a3＝a5 D．a9÷a3＝a3
【答案】C
【解析】解：（a2）3＝a6，故A计算错误，不符合题意；
（﹣3a）2＝9a2，故B计算错误，不符合题意；
a2•a3＝a5，故C计算正确，符合题意；
a9÷a3＝a6，故D计算错误，不符合题意．
故选：C．
4．有五张背面完全相同的卡片，正面分别写有数字 1，2，3，4，5，把这些卡片背面朝上
洗匀后，从中随机抽取一张，其正面的数字是3的概率为（ ）
A． B． C． D．
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【答案】D
【解析】解：∵从写有数字1，2，3，4，5这5张卡片中抽取一张，其中正面的数字是
3的只有1种结果，
∴正面的数字是3的概率为 ．
故选：D．
5．如图，E、F、G、H 分别是四边形 ABCD 四条边的中点，则四边形 EFGH 一定是
（ ）
A．平行四边形 B．矩形
C．菱形 D．正方形
【答案】A
【解析】解：如图，连接AC，
∵E、F、G、H分别是四边形ABCD边的中点，
∴HG∥AC，HG＝ AC，EF∥AC，EF＝ AC；
∴EF＝HG且EF∥HG；
∴四边形EFGH是平行四边形．
故选：A．
6．对于抛物线y＝﹣ +3，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上，顶点坐标（﹣5，3）
B．开口向上，顶点坐标（5，3）
C．开口向下，顶点坐标（﹣5，3）
D．开口向下，顶点坐标（5，3）
【答案】D
【解析】解：∵抛物线y＝﹣ （x﹣5）2+3中k＝﹣ ＜0，
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∴此抛物线开口向下，顶点坐标为：（5，3），
故选：D．
7．如图，AB是 O的直径，AB⊥CD于E，AB＝10，CD＝8，则OE为（ ）
⊙
A．2 B．3 C．4 D．3.5
【答案】B
【解析】解：连接OC，
∵直径AB＝10，
∴OC＝5，
∵CD⊥AB，AB为直径，
∴CD＝2CE＝8，∠OEC＝90°，
∴CE＝4，
由勾股定理得：OE＝ ＝3．
故选：B．
8．我国南宋数学家杨辉所著的《田亩比类乘除算法》中有这样一道题：“直田积八百六十
四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”意思是：一块矩形田地的面积为
864平方步，只知道它的宽比长少12步，问它的长和宽各多少步？设这块田地的宽为x
步，则所列的方程正确的是（ ）
A．x+（x﹣12）＝864 B．x+（x+12）＝864
C．x（x﹣12）＝864 D．x（x+12）＝864
【答案】D
【解析】解：∵这块田地的宽比长少12步，且这块田地的宽为x步，
∴这块田地的长为（x+12）步．
根据题意得：x（x+12）＝864．
故选：D．
9．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度得到△AB′C′，此时点B′恰在边AC
上，若AB＝2，AC′＝5，则B′C的长为（ ）
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A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度得到△AB'C'，
∴AB＝AB'，AC＝AC'，
∵AB＝2，AC'＝5，B'C＝AC﹣AB'＝5﹣2＝3，
故选：B．
10．抛物线y＝﹣x2+1先向左平移2个单位，再向下平移1个单位长度，所得新抛物线的解
析式为（ ）
A．y＝﹣（x+2）2+2 B．y＝﹣（x﹣2）2
C．y＝﹣（x+2）2 D．y＝﹣（x﹣2）2+2
【答案】C
【解析】解：把抛物线y＝﹣x2+1，先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长
度，得到的抛物线解析式为：y＝﹣（x+2）2+1﹣1，即y＝﹣（x+2）2．
故选：C．
11．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数 y＝ax+b和反比例函数 在同
一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：根据二次函数y＝ax2+bx+c的图象可以确定，开口向上a＞0，对称轴在y
轴右侧，b＜0，图象与y轴交于负半轴，c＜0，
∴一次函数y＝ax+b经过第一、三、四象限，反比例函数 分布在第二、四象限，选
项A符合，
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故选：A．
12．如图1，矩形ABCD中，点E为BC的中点，点P沿BC从点B运动到点C，设B，P
两点间的距离为x，PA﹣PE＝y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则BC的长
为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【解析】解：由函数图象知：当x＝0，即P在B点时，BA﹣BE＝1．
利用两点之间线段最短，得到PA﹣PE≤AE．
∴y的最大值为AE，
∴AE＝5．
在Rt△ABE中，由勾股定理得：BA2+BE2＝AE2＝25，
设BE的长度为t，
则AB＝t+1，
∴（t+1）2+t2＝25，
即t2+t﹣12＝0，
∴（t﹣3）（t+4）＝0，
解得t＝3或t＝﹣4，
由于t＞0，
∴t＝3．
∴BE＝3，
∵点E为BC的中点，
∴BC＝6．
故选：A．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．若 在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x ≠﹣ 1 ．
【答案】x≠﹣1．
【解析】解：由题意，得x+1≠0，
解得x≠﹣1．
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故答案为：x≠﹣1．
14．因式分解：2m2﹣m＝ m （ 2 m ﹣ 1 ） ．
【答案】m（2m﹣1）．
【解析】解：2m2﹣m＝m（2m﹣1）．
故答案为：m（2m﹣1）．
15．若x ，x 是一元二次方程x2+5x﹣1＝0的两个实数根，则x +x 的值为 ﹣ 5 ．
1 2 1 2
【答案】﹣5．
【解析】解：∵x ，x 是一元二次方程x2+5x﹣1＝0的两个实数根，
1 2
∴x +x ＝﹣5．
1 2
故答案为：﹣5．
16．学校举行科技创新比赛，各项成绩均按百分制计，再按照创新设计占60%，现场展示
占40%计算选手的综合成绩（百分制）．小华本次比赛的各项成绩分别是：创新设计85
分，现场展示90分，则他的综合成绩是 8 7 分．
【答案】见试题解答内容
【解析】解：根据题意可得，他的综合成绩是85×60%+90×40%＝87（分），
故答案为：87．
17．用半径为24cm，面积为120 cm2的扇形纸片，围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底
面圆的半径为 5 cm．
π
【答案】5．
【解析】解：设圆锥的底面圆的半径为r cm，
则 ×2 r×24＝120 ，
解得：r＝5，
π π
故答案为：5．
18．如图，在菱形ABCD中，∠B＝45°，E、F分别是边CD，BC上的动点，连接AE、
EF，G、H分别为AE、EF的中点，连接GH．若GH的最小值为3，则BC的长为
．
【答案】 ．
【解析】解：连接AF，
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∵G，H分别为AE，EF的中点，
∴GH∥AF，且 ，
要使GH最小，只要AF最小，
当AF⊥BC时，AF最小，
∵GH的最小值为3，
∴AF＝6，
∵∠B＝45°，
∴∠BAF＝45°，
∴BF＝AF＝6，
∴ ，
∵四边形ABCD是菱形，
∴ ．
故答案为： ．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）计算： ．
【答案】3．
【解析】解：原式＝2 ﹣2× +2﹣（ ﹣1）
＝2 ﹣ +2﹣ +1
＝3．
20．（6分）先化简，再求值：（ +1）÷ ，然后从1，2，3，4中选择一个合
适的数代入求值．
【答案】 ，﹣ ．
【解析】解：原式＝ •
＝ •
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＝ ，
∵m﹣3≠0，m﹣1≠0，
∴m≠3，m≠1，
∴当m＝2时，原式＝ ＝﹣ ．
21．（8分）如图，△ABC中，点D在边AC上，且AD＝AB．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出∠A的平分线（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若（1）中所作的角平分线与边BC交于点E，连接DE．求证：DE＝BE．
【答案】（1）见解答；
（2）见解答．
【解析】（1）解：如图所示，即为所求，
（2）证明：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠DAE，
∵AB＝AD，AE＝AE，
∴△BAE≌△DAE（SAS），
∴DE＝BE．
22．（8分）高尔基说：“书，是人类进步的阶梯．”阅读可以启智增慧，拓展视野．为
了解学生寒假阅读情况，开学初学校进行了问卷调查，并对部分学生假期（28天）的阅
读总时间作了随机抽样分析．设被抽样的每位同学寒假阅读的总时间为t（小时），阅
读总时间分为四个类别：A（0＜t＜12），B（12≤t＜24），C（24≤t＜36），D
（t≥36），将分类结果制成两幅统计图（尚不完整）．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次抽样的样本容量为 4 0 ，请补全条形统计图；
（2）扇形统计图中a的值为 2 0 ，圆心角 的度数为 144 ° ；
（3）若该校有2000名学生，估计寒假阅读的总时间少于24小时的学生有多少名？
β
（4）政教处决定从本次调查阅读时长前四名学生甲、乙、丙、丁中，随机抽取 2名同
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学参加该校“阅读之星”竞选，请用树状图或列表法求恰好选中甲和乙的概率．
【答案】（1）60；（2）20，144°；（3）1000名；（4） ．
【解析】解：（1）本次抽样的样本容量为 ＝60，
C组的人数为40%×60＝24（人），
统计图如下：
故答案为：60；
（2）A组所占的百分比为 ×100%＝20%，即a＝20，
＝40%×360°＝144°，
故答案为：20，144°；
β
（3）估计寒假阅读的总时间少于24小时的学生有2000×（20%+30%）＝1000（名）；
（4）画树状图如图：
共有12种等可能的结果，恰好选中甲和乙的结果有2种，
∴恰好选中甲和乙的概率为 ＝ ．
23．（8分）如图，已知AB为 O的直径，点C为圆上一点，AD垂直于过点C的直线，
交 O于点E，垂足为点D，AC平分∠BAD．
⊙
⊙
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（1）求证：CD是 O的切线；
（2）若AC＝8，BC＝6，求DE的长．
⊙
【答案】（1）证明见解析；（2）3.6．
【解析】（1）证明：连接OC，如图，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA．
∵AC平分∠BAD，
∴∠OAC＝∠DAC，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴OC∥AD．
∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD．
∵OC为 O的半径，
∴CD是 O的切线；
⊙
（2）解：连接BE，交OC于点F，如图，
⊙
∵AB为 O的直径，
∴∠AEB＝90°，
⊙
∵AD⊥CD，OC⊥CD，
∴四边形EFCD为矩形，
∴EF＝CD，ED＝CF，OF⊥BE，
∴EF＝BF．
∵AB为 O的直径，
∴∠ACB＝90°，
⊙
∴AB＝ ＝10．
∴∠ACB＝∠ADC＝90°，
∵∠DAC＝∠CAB，
∴△DAC∽△CAB，
∴ ，
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∴ ，
∴CD＝4.8，AD＝6.4．
∴EF＝CD＝4.8，
∴BE＝2EF＝9.6，
∴AE＝ ＝2.8，
∴DE＝AD﹣AE＝6.4﹣2.8＝3.6．
24．（10分）2023年5月30日上午9点31分，神舟十六号载人飞船在酒泉发射中心发射
升空．某中学组织毕业班的同学到当地电视台演播大厅观看现场直播，学校准备为同学
们购进A，B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元，用500元购进A
款和用400元购进B款的文化衫的数量相同．
（1）求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？
（2）已知毕业班的同学一共有300人，学校计划用不多于14800元，不少于14750元购
买文化衫，求有几种购买方案？
（3）在实际购买时，由于数量较多，商家让利销售，A款七折优惠，B款每件让利m元，
采购人员发现（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，试求m值．
【答案】（1）A款文化衫每件50元，B款文化衫每件40元；
（2）共有6种购买方案；
（3）m＝5．
【解析】解：（1）设B款文化衫每件x元，则A款文化衫每件（x+10）元，
根据题意得： ＝ ，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是所列方程的解，且符合题意，
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∴x+10＝40+10＝50．
答：A款文化衫每件50元，B款文化衫每件40元；
（2）设购买y件A款文化衫，则购买（300﹣y）件B款文化衫，
根据题意得： ，
解得：275≤y≤280，
又∵y为正整数，
∴y可以为275，276，277，278，279，280，
∴共有6种购买方案；
（3）设购买300件两款文化衫所需总费用为w元，则w＝50×0.7y+（40﹣m）（300﹣
y）＝（m﹣5）y+300（40﹣m），
∵（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，
∴w的值与y值无关，
∴m﹣5＝0，
∴m＝5．
答：m的值为5．
25．（10分）李老师让同学们以“旋转”为主题展开探究．
【问题情境】
如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6．将边AB绕点A逆时针旋转（0°＜ ＜180°）
得到线段AE，过点E作EF⊥AE交直线BC与点F．
θ
【猜想证明】
（1）当 ＝90°时，四边形ABFE的形状为 正方形 ；（直接写出答案）
（2）如图2，当 ＝45°时，连接DE，求此时△ADE的面积；
θ
【能力提升】
θ
（3）在【问题情境】的条件下，是否存在 ，使点F，E，D三点共线．若存在，请求
出此时BF的长度；若不存在，请说明理由．
θ
【答案】（1）正方形；
（2）6 ；
（3）BF＝6﹣2 或6+2 ．
【解析】解：（1）如图1，
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∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝90°，
∵将边AB绕点A逆时针旋转（0°＜ ＜180°）得到线段AE，
∴AE＝AB，∠EAB＝90°，∠AEF＝90°，
θ
∴∠B＝∠EAB＝∠AEF＝90°，
∴四边形ABFE是矩形，
∵AE＝AB，
∴四边形ABFE是正方形；
故答案为：正方形；
（2）如图2，作EG⊥AD于G，
∵∠BAD＝90°，∠BAE＝45°，
∴∠EAG＝45°，
∴∠AEG＝90°﹣∠EAG＝45°，
∴∠AEG＝∠EAG，
∴AG＝EG，
∵EG2+AG2＝AE2，
∴2EG2＝42，
∴EG＝2 ，
∴S△ADE ＝ AD•EG＝ ×6×2 ＝6 ；
（3）如图3，当点E在DF上时，连接AF，
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∵∠AEF＝∠B＝90°，AE＝AB，AF＝AF，
∴Rt△ABF≌Rt△AEF（HL），
∴BF＝EF，
设BF＝EF＝x，则CF＝4﹣x，
根据旋转的性质得：AE＝AB＝4，
∵EF⊥AE，
∴∠AED＝∠AEF＝90°，
∵AD＝6，
∴DE＝ ＝ ＝2 ，
在Rt△DCF中，由勾股定理得：CF2+CD2＝DF2，
（6﹣x）2+42＝（x+2 ）2，
解得：x＝6﹣2 ；
如图4，当点E在DF的延长线上时，
同理EF＝BF，DE＝2 ，
设EF＝BF＝a，则DF＝a﹣2 ，CF＝a﹣6，
∴（a﹣6）2+42＝（a﹣2 ）2，
解得：a＝6+2 ，
综上所述，BF＝6﹣2 或6+2 ．
26．（10分）我们将抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0，b≠0且a≠b）与抛物线y＝bx2+cx+a称
之为“轮换抛物线”．例如：抛物线y＝3x2+4x+5与抛物线y＝4x2+5x+3就是一组轮换
抛物线．已知抛物线C ：y＝ax2+bx+4a﹣3，其轮换抛物线记作C ．
1 2
（1）若C 与C 交于y轴上的同一点M，求a的值；
1 2
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（2）在（1）的条件下且b＜0，抛物线C 与其轮换抛物线C 的另一个交点记作N点，
1 2
若将点M绕点N顺时针旋转90°后，M的对应点P恰好落在抛物线C 的图象上，求出此
1
时b的值；
（3）小明同学阅读了《苏科版（数学）》课本九年级下册18﹣19页《数学实验室》介
绍的用几何画板画二次函数图象内容后，自己动手画了抛物线 C ：y＝ax2+bx+4a﹣3及
1
其轮换抛物线C 的图象，C 与C 与y轴的交点分别记作P、Q（P、Q两点不重合）．
2 1 2
小明发现，不论a、b为何值时，两抛物线始终有一交点G点在与x轴垂直的某一固定
直线上运动．若PG＝QG，记S＝ab，求S的最大值．
【答案】见试题解答内容
【解析】解：（1）∵抛物线C ：y＝ax2+bx+4a﹣3，
1
∴轮换抛物线C ：y＝bx2+（4a﹣3）x+a，
2
∵C 与C 交于y轴上的同一点M，
1 2
∴4a﹣3＝a，
解得a＝1；
（2）∵a＝1，
∴抛物线C ：y＝x2+bx+1，轮换抛物线C ：y＝bx2+x+1，
1 2
当x2+bx+1＝bx2+x+1时，x＝0或x＝1，
∴N（1，2+b），
由a＝1可知M（0，1），
过N点作EF⊥y轴交于E，过P点作PF⊥EF交于F，
∵∠MNP＝90°，
∴∠MNE+∠PNF＝90°，
∵∠MNE+∠EMN＝90°，
∴∠PNF＝∠EMN，
∵MN＝NP，
∴△MNE≌△NPF（AAS），
∴EN＝PF＝1，ME＝NF＝|﹣1﹣b|，
∵b＜0，
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当﹣1＜b＜0时，N点在M点的上方，按顺时针方向旋转后 P的坐标为（﹣1﹣b，
b+3），
∴3+b＝（﹣1﹣b）2+b（﹣1﹣b）+1，
方程无解；
当b≤﹣1时，P（﹣b，3+b），
∴3+b＝（﹣b）2+b（﹣b）+1，
解得b＝﹣2；
综上所述：b的值为﹣2；
（3）抛物线C ：y＝ax2+bx+4a﹣3的轮换抛物线C 为：y＝bx2+（4a﹣3）x+a，
1 2
∴P（0，4a﹣3），Q（0，a），
∵P、Q不重合，
∴4a﹣3≠a，
∴a≠1，
当ax2+bx+4a﹣3＝bx2+（4a﹣3）x+a时，整理得（x﹣1）[（a﹣b）x﹣3a+3]＝0，
解得x＝1或x＝ ，
∴G点的横坐标为1，
∴G（1，5a+b﹣3），
∵PG＝QG，
∴1+（5a+b﹣3﹣4a+3）2＝1+（5a+b﹣3﹣a）2，
∴（5a+2b﹣3）（a﹣1）＝0，
∴5a+2b＝3，
∴b＝ （3﹣5a），
∴S＝ab＝ （3a﹣5a2）＝﹣ （a﹣ ）2+ ，
当a＝ 时，S有最大值 ．
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