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3.4.1 三角函数的性质（1）（精练）（基础版）
题组一 周期
1．（2022·广西南宁）下列四个函数，最小正周期是 的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】A选项： ，错误；B选项： ，错误；
C选项： ，正确；D选项： ，错误.故选：C.
2.（2021年湖南）下列函数中，周期为2π的奇函数为( )
A．y＝sincos B．y＝sin2x
C．y＝tan 2x D．y＝sin 2x＋cos 2x
【答案】A
【解析】 y＝sin2x为偶函数；y＝tan 2x的周期为；y＝sin 2x＋cos 2x为非奇非偶函数，故B、C、D都
不正确，故选A.
3．（2022·江西景德镇）函数 的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函数 ，
其中函数 的最小正周期为 ，函数 的最小正周期为
所以函数 的最小正周期为 .故选：B.
4．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学）函数 的最小正周期为________.
【答案】【解析】因为 ，所以 ，所以 ，所以函数
的最小正周期 ；故答案为：
5．（2022·陕西·西安市临潼区铁路中学）已知函数f(x)＝sin(ωx＋ )(ω>0)的最小正周期为π，则ω＝____.
【答案】2
【解析】由 ，又ω>0，故 .故答案为：2.
6．（2022·全国·高三专题练习）求下列三角函数的周期：
(1)y＝3sin x，x∈R； (2)y＝cos 2x，x∈R；
(3)y＝sin ，x∈R； (4)y＝|cos x|，x∈R.
【答案】（1） ； （2） ； （3） ； （4） .
【解析】(1)因为3sin(x＋2π)＝3sinx，由周期函数的定义知，y＝3sinx的周期为2π.
(2)因为cos2(x＋π)＝cos(2x＋2π)＝cos2x，由周期函数的定义知，y＝cos2x的周期为π.
(3)因为 ，
由周期函数的定义知， 的周期为6π.
(4)y＝|cosx|的图象如图(实线部分)所示，
由图象可知，y＝|cos x|的周期为π.
7（2021·上海·高三专题练习）求下列函数的周期：
（1） ； （2） .
【答案】（1） ；（2）【解析】（1） ，将各项同时除以 ，结合正切函数和角公式化简可得
，∴函数的周期是 .
（2）由立方和公式及完全平方公式化简可得
.所以函数的周期是 .
题组二 对称性
1．（2022·全国·单元测试）函数 图象的对称中心的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】令 ，得 ，
故函数 图象的对称中心的坐标为 .故选:D.
2．（2022·安徽）“ ”是“函数 的图象关于 对称”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由 ， 可得 ， ，即函数 的对称轴为 ， ；
若 ，则 ， ，能推出函数 的图象关于 对称；
若函数 的图象关于 对称，则 ， ，即 ， ；
所以“ ”是“函数 的图象关于 对称”的充分不必要条件，
故选：A.
3．（2021·青海西宁）已知函数 的图象过点 ，则 图象的一个对
称中心为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题知 ，又 ，所以 ，则 ，
令 ，则 ，当 时， ，
即 为 图象的一个对称中心，可验证其他选项不正确.故选：C.
4．（2022·浙江金华）下列函数中，关于直线 对称的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】A.将 代入 ，得函数值为 ，故 不是 的一条对称轴；B.将 代入 ，得函数值为 ，故 不是 的一条对称轴；
C.将 代入 ，得函数值为 ，故 不是 的一条对称轴；
D.将 代入 ，得函数值为1，故 是 的一条对称轴；故选：D.
5（2022·全国·单元测试）函数 的图像（ ）
A．关于点 对称 B．关于点 对称
C．关于直线 对称 D．关于直线 对称
【答案】B
【解析】令 ,得 ,所以对称点为 .
当 ,为 ,故B正确；令 ,则对称轴为 ,
因此直线 和 均不是函数的对称轴.故选B
6．（2022·河北省）关于 有下列结论:
①函数的最小正周期为 ； ②表达式可改写成 ；
③函数的图象关于点 对称； ④函数的图象关于直线 对称.
其中错误的结论是( )
A．①② B．①③ C．④ D．②③
【答案】C【解析】结论①：周期 ，故本结论正确；
结论②： ，故本结论正确；
结论③：因为 ，所以函数的图象关于点 对称，故本结论正确；
结论④：由③的判断可知，函数函数的图象关于点 对称，故本结论不正确，综上，本题选C.
7．（2021·北京市）最小正周期为 ，且图象关于直线 对称的一个函数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】函数 的周期为： ，故排除A.
将 代入 得： =1，此时 取得最大值，
所以直线 是函数 一条对称轴．故选D.
8．（2022·江西·南昌十五中）若函数 的图象与 的图象都关于
直线 对称，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】由题意可得 ，即 ，
故 的最小值为 ；故选：B.
题组三 奇偶性
1．（2022·江西）下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】选项A: ，则 为奇函数.排除；
选项B: ，则 为偶函数.排除；
选项C: ，则 为偶函数.排除；
选项D: 令 ， ，
则 ， ，则 既不是奇函数也不是偶函数．可选.故选：D
2．（2022·全国·高二课时练习）函数 是（ ）
A．周期为 的奇函数 B．周期为 的偶函数
C．周期为 的奇函数 D．周期为 的偶函数
【答案】C
【解析】函数 , 其最小正周期为 由 ，可得函数
为奇函数.故选：C
3．（2021·全国·课时练习）下列函数中，最小正周期是 且是奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】A选项， 的最小正周期是 ，且是奇函数，A正确.
B选项， 的最小正周期是 ，且是奇函数，B错误.
C选项， 的最小正周期为 ，且是奇函数，C错误.
D选项， 的最小正周期是 ，且是偶函数，D错误.
故选：A
4．（2022·陕西·西安市临潼区铁路中学）下列函数中为周期是 的偶函数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】对于A， 为偶函数,且最小正周期为 ,所以A正确;
对于B， 为偶函数,但不具有周期性,所以B错误;
对于C， 为奇函数，所以C错误;
对于D, 为非奇非偶函数,所以D错误.综上可知,正确的为A故选:A
5．（2022·全国·高三专题练习）下列函数中，周期为 的奇函数为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】对于选项A， ，则 ，且
是奇函数，所以A选项正确；
对于选项B， ，则 ，且 是偶函数，所以B选
项错误；对于选项C， ，则 ，且 是奇函数，所以C选项错误；
对于选项D， ，
则 ，且 是非奇非偶函数，所以D选项错误.
故选：A.
6．（2022·新疆昌吉）已知函数 ，则下列关于函数 的描述错误的是
（ ）
A．奇函数 B．最小正周期为
C．其图象关于点 对称 D．其图象关于直线 对称
【答案】B
【解析】因为 ，所以 ，最小正周期为 ，故 错误；
显然为奇函数，其图象关于点 对称且关于直线 对称，所以其它选项均正确；
故选： ．
7．（2022·全国·课时练习）下列函数中，其图像关于原点对称的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】对于A： 的定义域为 ， ，所以 是偶函数，图
象不关于原点对称，故选项A不正确；
对于B： 的定义域为 ， ，所以 是偶函数，图象不关于原点对称，故选项B不正确；
对于C： 的定义域为 关于原点对称，
，所以 是偶函数，图象不关于原点对称，
故选项C不正确；
对于D： 的定义域为 ， ，
，所以 是奇函数，图象关于原点对称，故选项D正
确；
故选：D.
8．（2021·全国·课时练习）下列函数具有奇偶性的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】对A，函数的定义域为 ，不关于原点对称，无奇偶性，故A错误；
对B，函数的定义域为 ，不关于原点对称，无奇偶性；故B错误；
对C，函数的定义域为 ，且 ，故为奇函数，故C正确；
对D，函数的定义域为 ，不关于原点对称，无奇偶性，故D错误．
故选：C．
9．（2022·河南）“函数f(x)=sin2x+(a2-1)cosx为奇函数”是“a=1”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B【解析】因函数 是定义域为R的奇函数，则 ，f(x)+f(-x)=0，
于是得 ，而 不恒为0，则有 ，解得 ，
因此，当a=1时，f(x)是奇函数，而f(x)是奇函数时，a可以为-1，
所以“函数f(x)=sin2x+(a2-1)cosx为奇函数”是“a=1”的必要不充分条件.故选：B
10．（2022·全国·专题练习）函数f（x）= 是（ ）
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数
【答案】C
【解析】由1+sinx≠0得sinx≠-1，所以
所以函数f（x）的定义域为 ，不关于原点对称，也不关于y轴对称，所以f（x）是
非奇非偶函数.
11．（2022·上海市）函数 是（ ）
A．最小正周期为 的奇函数 B．最小正周期为 的偶函数
C．最小正周期为 的奇函数 D．最小正周期为 的偶函数
【答案】A
【解析】 ，
因为 ，所以为奇函数，周期 ，
所以此函数最小正周期为 的奇函数，故选：A.
12．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，则“ ”是“ 为偶函数”的
（ ）条件
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件【答案】A
【解析】当 时， ，
∵ ，∴ 为偶函数.
当 为偶函数时， ， ，综上所述 是 为偶函数的充分不必要条件，故选：A.
13．（2022·全国·高三专题练习）函数f(x)= 的奇偶性为（ ）
A．奇函数 B．既是奇函数也是偶函数 C．偶函数 D．非奇非偶函数
【答案】D
【解析】由2sinx-1≥0，即sinx≥ ，得函数定义域为 (k∈Z)，此定义域在x轴上表示的
区间不关于原点对称．所以该函数不具有奇偶性，为非奇非偶函数．故选：D
14．（2022·全国·高三专题练习）函数① ，② ，③
中，周期是 且为奇函数的所有函数的序号是（ ）
A．①② B．② C．③ D．②③
【答案】D
【解析】对于① ， ，周期为π，但不是奇函数；
对于② ， 周期为 ；
又 故 符合题意；
对于③ ， ，
由②推导过程可知： 周期是 且为奇函数，符合题意.故选：D15．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 为奇函数，且存在
，使得 ，则 的一个可能值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 为奇函数，
则 ，可得 ，所以排除BD选项；
对于A，当 时， ，
当 时， ， ，不合题意；
对于C，当 时， ， 满足题意.故选：C.
16．（2022·全国·高三专题练习）使函数 为偶函数的 的一个值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
函数 为偶函数，所以 （ 为奇数），当 时， = ．故选：D．
17．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ．则“ 是偶函数“是
“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B
【解析】若 ，则 ， ，所以 为偶函
数；若 为偶函数，则 ， ， 不一定等于 .
所以“ 是偶函数“是“ ”的必要不充分条件.故选：B
18．（2022·全国·高三专题练习）在下列四个函数中，周期为 的偶函数为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】A. ，函数是奇函数，周期 ，故A不正确；
B. ，函数是偶函数，周期 ，故B正确；
C. 函数 ，满足 ，是偶函数，但不是周期函数， ， ，即
，所以函数的周期不是 ，故C不正确；
D. ，函数是偶函数，函数的周期 ，故D不正确.
故选：B
19．（2022·安徽·淮南第一中学一模（理））已知函数 ，则下列说法正确的是
（ ）
A． 为奇函数 B． 为奇函数C． 为偶函数 D． 为偶函数
【答案】C
【解析】∵
，
∴ 为偶函数，故A错误；
既不是奇函数也不是偶函数，故B错误；
为偶函数，故C正确；
为奇函数，故D错误.
故选：C.
20．（2022·河南濮阳·高三开学考试（理））设 ，若函数 的图象关
于原点对称，则a的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ，
因为函数的图象关于原点对称，所以当 时， ， ，
解得： ， ，因为 ，所以当 时， 的最大值 .故选：D题组四 单调性
1．（2022·内蒙古包头·高三期末（理））下列区间中，函数 单调递增的区间是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对于A选项，当 时， ，则 在 上不单调；
对于B选项，当 时， ，则 在 上单调递减；
对于C选项，当 时， ，则 在 上不单调；
对于D选项，当 时， ，则 在 上单调递增.故选：D.
2．（2022·全国·高三专题练习）函数 的单调递增区间为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【解析】令 ，解得 ，
所以函数 的单调递增区间为 ， ，故选：C3．（2022·河北·模拟预测）（多选）下列四个函数中，以 为周期且在 上单调递增的偶函数有
（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【解析】 在 上不单调，故A错误； 为奇函数，故B错误；
图象如下图：
故最小正周期为 ，在 上单调递增，且为偶函数，故C正确；
最小正周期为 ，在 上单调递增，且为偶函数，则 也是以 为周期且在 上
单调递增的偶函数，故D正确.故选：CD
4．（2022·湖南·长沙市南雅中学高三阶段练习）在下列区间中，函数 单调递增的
区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，令 ，解得，所以函数的单调递增区间为 ，当 时可
得函数的一个单调递增区间为 ，因为 ，所以函数在 上单调递增；
故选：D
5．（2022·湖北武汉·高三期末）下列四个函数中，以 为最小正周期，其在 上单调递减的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 的最小正周期为 ，在 上单调递减，符合题意，故A正确；
不是周期函数，故B错误；
中， ，则 ，故 中在 时不是单调函数，故C错误；
，则 ，故 中在 时不是单调函数，故D错误，
故选：A.
6．（2022·全国·高三专题练习）在下列函数中，同时满足：①在 上单调递增；②最小正周期为
的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对于选项AD，结合正切函数图象可知， 和 的最小正周期都为 ，故AD错误；对于选项B，结合余弦函数图象可知， 在 上单调递减，故B错误；
对于选项C，结合正切函数图象可知， 在 上单调递增，且最小正周期 ，故C正
确.故选：C.
7．（2022·山东·昌乐）若 在区间 上单调递增，则实数 的最大值为__________.
【答案】
【解析】x∈ ，则 ，由题可知， ，
则 ，则a的最大值为 .故答案为： .
8．（2022·天津河西·高三期末）已知函数 的最小正周期为 ，其图
象的一条对称轴为 ，则 ______.
【答案】
【解析】∵f(x)最小正周期为 ，∴ ；
∵f(x)图象的一条对称轴为 ，∴ ，
∴ ， ， ∴ ， ，∴ .故答案为： .
9．（2022·山东潍坊·模拟预测）已知函数 （ ）在 上单调递增，则 的
一个取值为________．
【答案】 ，答案不唯一
【解析】 ，
当 时， ，
，所以 在 上单调递增，符合题意.
故答案为： ，答案不唯一
